数学一模突破卷（辽宁专用）学易金卷：2026年中考第一次模拟考试

2026年中考第一次模拟考试 数学·参考答案 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A B D D B A B D C D 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11． 12． 13． 14． 15． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（10分） 【解析】（1）解： ×1×（2分） （4分） ；（5分） （2）解： （6分） （7分） （8分） （9分） ．（10分） 17．（8分） 【解析】（1）解：设每箱百香果的售价为元，每箱金桔的售价为元， 根据题意，得，（2分） 解得，（3分） 答：每箱百香果的售价是50元，每箱金桔的售价是65元；（4分） （2）解：设张先生卖出箱百香果，则卖出箱金桔，获利为元， 则，（6分） 解得， 根据题意，得， ， 随的增大而减小．（7分） 又， 当时，最大． 答：w关于m的函数表达式为，当时获利最大．（8分） 18．（8分） 【解析】（1）解：①甲组20个数据中出现次数最多的是80， ∴甲组数据的众数为80，即； ∵乙组数据的中位数在第3组中，第1、2两组共有6人， ∴第三组的第4、5个数据的平均数为中位数，即．（1分） ②∵乙款软件评分在有3人， ∴这1200个普通用户中对乙款软件评分x满足的约为个．（2分） 故答案为：①80；77；②180． （2）解：①乙款软件的评分（分）；（5分） ②由题意得，解得：． ∴k的最小整数值为91．（8分） 故答案为：①；②91． 19．（8分） 【解析】（1）解：折线①表示全全警官行走的路程与时间的函数图象， 故答案为：全全；（1分） （2）解：全全提速前速度为（米/秒）， 全全提速后速度为（米/秒）， 段经过的时间为（秒）， ， 当时，安安警官的路程为米，（2分） 安安警官的速度为（米/秒）， ；（3分） （3）解：设折线①中线段所在直线的函数解析式为， 将，代入得，（4分） 解得， 折线①中线段所在直线的函数解析式为；（5分） （4）解：设所在直线的函数解析式为，将代入得， 解得， 所在直线的函数解析式为， 联立，（6分） 解得， 时，全全警官追上安安警官，（7分） （秒）， 全全警官加速后经过秒追上安安警官．（8分） 20．（8分） 【解析】（1）解：如图，作，，，垂足分别为点G，H，M， 在中，，， ， ，（2分） 在中，， ，（3分） ． 点A的铅直高度是；（4分） （2）解：在中，，（5分） 在中，， ，（7分） ， 答：A，E两点的水平距离约为．（8分） 21．（8分） 【解析】（1）证明：如图，连接， ∵是的切线， ∴，即， ∴，（1分） 又∵是的直径， ∴， ∴，（2分） ∵， ∴， ∴， ∴， ∴．（4分） （2）解：∵，， ∴， ∴，（5分） 在中，， 在中，， ∴， ∴是等边三角形，即，（6分） ∵， ∴，即，（7分） 又∵， ∴， ∴， ∴．（8分） 22．（12分） 【解析】（1）解：∵的最高点距离地面， ∴， ∵将代入中，得，解得：， ∴抛物线的函数解析式为；（3分） （2）解：设为x步的距离，则，， ∵标杆垂直于地面， ∴，，（4分） ∵，， ∴， ∴；（5分） ∵，， ∴， ∴；（6分） ∴，解得：， 将代入，解得：， ∴的长度为6m；（7分） （3）解：∵指示灯需距离地面， ∴，，，在直线上，（8分） 将代入，解得：，（9分） ∵，∴， ∵，点的坐标为， ∴点的坐标为，（10分） ∵， ∴满足题意，存在灯架，（11分） 将代入，解得：， ∴， ∴灯架的长为m．（12分） 23．（13分） 【解析】（1）解：由操作一可知，由操作二可知， ， 在矩形中，， ， ， 故答案为：；（3分） （2）解：四边形是菱形， 理由：如图3，由折叠知：，， 在矩形中，， ，（4分） ， ， ，（5分） ， 四边形是平行四边形，（6分） ，（7分） 平行四边形是菱形；（8分） （3）解：， 由（1）可知，，， 四边形是菱形， ， ， ， 点是线段的黄金分割点， 或， 即或， 或， ，或， 综上可知，的长度是或． 故答案为：或（13分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2026年中考第一次模拟考试 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．某人转动转盘，如果沿逆时针方向转了5圈记作圈，那么沿顺时针方向转了3圈记作（   ） A．圈 B．圈 C．圈 D．圈 2．如图是由6个大小相同的正方体搭成的几何体，其左视图是（　　） A． B． C． D． 3．中国“二十四节气”已被列入联合国教育、科学及文化组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 4．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．已知，为常数，且点在第四象限，则关于的一元二次方程的根的情况为（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 6．在下列方程中没有实数解的是（    ） A． B． C． D． 7．若一次函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（　　） A． B． C．随的增大而减小 D．当时， 8．（数学文化）我国古代问题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺，井深几何？”这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺；把绳四折来量，井外余绳一尺，问井深几尺？若设井深尺，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 9．如图a是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图b，再沿折叠成图c，则图c中的的度数是（   ） A． B． C． D． 10．将一个底面直径为的圆锥，从顶点沿着高将它切成两半后，表面积增加了，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是（   ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11．如果，则＝ ． 12．如图，的三个顶点坐标分别为、、．将沿方向平移得到，其中点与原点重合．则点的坐标为 ． 13．有4张看上去无差别的卡片，上面分别写着数字，小红随机抽取1张后，放回并混在一起，再随机抽取1张，则两次取出的数字之和为偶数的概率为 ． 14．如图，在中，，轴，垂足为，反比例函数的图象经过点，交于点．若，则 ． 15．如图，在矩形中，、分别为、边上的点，且，为上一点，且，、分别为、的中点，则 ． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．计算（每小题5分，共10分） (1) (2) 17．（8分）在国家的“惠农政策”支持下，越来越多的农户将自己的农副产品销往全国各地．成都市农户张先生将种植的百香果和金桔以箱为单位售卖．已知2箱百香果和4箱金桔的价格为360元，1箱百香果和3箱金桔的价格为245元，百香果和金桔的成本价如表所示： 品名 百香果 金桔 成本/箱 40 元 50元 (1)求每箱百香果和每箱金桔的售价分别是多少元？ (2)成都某公司决定向农户张先生采购500箱水果，其中百香果的箱数不少于金桔的箱数．张先生目前仅有金桔和百香果各库存400箱，在只能整箱销售的情况下，设张先生卖出百香果m箱，两种水果全部销售获得总利润为w元，求w关于m的函数表达式：在满足公司要求的情况下，m为何值时本次采购中张先生获利最大． 18．（8分）某研发小组设计了甲、乙两款AI软件，为测试两款软件的实用性能，先后邀请普通用户和专业人士对甲、乙两款软件体验、评分（百分制）． (1)邀请800个普通用户对甲款软件和1200个普通用户对乙款软件体验、评分（百分制）．从评分中各随机抽取20个数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： a．甲款软件评分： 60  60  70  70  72  75  80  80  80  80 80  80  81  81  81  82  82  85  90  91 b．乙款软件评分频数分布直方图如图． （数据分成五组：，，，，） 其中成绩在的数据如下： 75  75  75  76  78  78  79  79 c．甲、乙两款软件评分的平均数、中位数、众数如下表所示： 软件 平均数 中位数 众数 甲 78 80 m 乙 78 n 75 根据所给信息，解答下列问题： ①______，______； ②估计这1200个普通用户中对乙款软件评分x满足的约为______个； (2)邀请专业人士对甲、乙两款软件从四个维度体验、评分（百分制），评分结果由维度1和维度2各占30%，维度3和维度4各占20%组成，评分如下： 软件 维度1 维度2 维度3 维度4 甲 94 k 92 93 乙 91 93 93 92 ①求乙款软件的评分； ②若甲款软件的评分比乙款软件的评分高，求表中k（k为整数）的最小值． 19．（8分）随着人工智能的发展，智能机器人警察已经陆续出现，图1是机器人警察安安和全全，他们从街头处出发，准备前往相距米的处（、在同一直线上）巡逻，安安警察比全全警察先出发，且速度保持不变，全全警察出发一段时间后将速度提高到原来的倍.已知安安警察、全全警察行走的路程（米），（米）与安安警察行走的时间（秒）之间的函数关系图象如图2所示． (1)如图2，折线①表示______警官行走的路程与时间的函数图象（填“安安”或“全全”）； (2)求全全警察提速后的速度，并求、的值； (3)求折线①中线段所在直线的函数解析式； (4)全全警察加速后经过几秒追上安安警察． 20．（8分）2025年是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，我国于9月3日在天安门广场阅兵，56门礼炮，80响轰鸣，寓意着56个民族共同抗击日本侵略者进行了艰苦卓绝的斗争．下图①是礼炮图片，图②是礼炮抽象示意图，已知是水平线，，，，的仰角分别是和，，，且． (1)求点A的铅直高度； (2)求A，E两点的水平距离． （以上结果精确到．参考数据：，，．） 21．（8分）如图，内接于，为的直径，过点C作的切线交的延长线于点D． (1)求证：． (2)过点C作于点E，若，，求的长． 22．（12分）综合与实践 问题情境： 为了提升交通安全，某市隧道入口进行道路设施规划，计划安装车道指示灯，现需要对隧道入口隔音屏顶部的装灯位置进行合理设计． 数学建模： 图1是隧道入口隔音屏，其顶部轮廓可近似地看成抛物线，其截面如图2所示．以地面为轴，左侧墙面为轴，建立平面直角坐标系，则抛物线符合函数解析式．最高点距离地面，点的坐标为，照明灯安装在轴右侧的点处． （1）请直接写出抛物线的函数解析式（不需要写出的取值范围）． 问题解决： （2）为测量点到地面的距离的长度，小敏参考《海岛算经》中的测量方法，使用两根标杆进行测量，具体测量方法如图3所示．经测量，标杆（标杆垂直于地面），两杆相距15步，从退行10步到点，从退行15步到点．点，，在同一条直线上，点、、在同一条直线上，请计算出的长度． （3）为提高通行效率，需在隔音屏顶部加装灯架，为每个车道增设指示灯．按要求，指示灯需距离地面．如图2，灯架，，，均平行于轴，指示灯，，，在同一条直线上，该条直线平行轴，，点的坐标为．求灯架的长．（结果保留两位小数） 23．（13分）综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． (1)【操作判断】 操作一：如图1，将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，折痕为，把纸片展平，连接； 操作二：如图2，将矩形纸片再次折叠，使点与点重合，得到折痕为，把纸片展平； 操作三：如图3，连接，并把折到上的处，得到折痕，把纸片展平，连接． 根据以上操作，直接写出图3中的值：______； (2)【问题解决】 请判断图3中四边形的形状，并说明理由． (3)【拓展应用】 我们知道：将一条线段分割成长、短两条线段，，若，则点叫做线段的黄金分割点．在以上探究过程中，已知矩形纸片的宽为，当点是线段的黄金分割点时，线段的长度是______． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $2026年中考第一次模拟考试 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 ==▣===-====。。=-。====-。一=▣。■ 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 口 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×][1【/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1[A][B][C][D] 5.[A][B][C1[D1 9.[A1[B][C1[D] 2.[A][B][C][D] 6.A][B][CJ[D] 10.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7.A][B1[C1[D1 4.A][B1[CI[D] 8.[A][B][C][D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题5分，共15分） 12. 13 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16.(10分) w( ®低位 17.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(8分) 乙款软件评分频数分布直方图 频数个 10 6 -2 1 0L 5060708090100分数 19.(8分) y(米) 450 F ----20 310 302 1517m n衣（秒） 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(8分) A BD 、 图① 图② 20.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.（12分) DD.DD. G M 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(13分) AG E MD B B H FG' 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2026年中考第一次模拟考试 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．某人转动转盘，如果沿逆时针方向转了5圈记作圈，那么沿顺时针方向转了3圈记作（   ） A．圈 B．圈 C．圈 D．圈 2．如图是由6个大小相同的正方体搭成的几何体，其左视图是（　　） A． B． C． D． 3．中国“二十四节气”已被列入联合国教育、科学及文化组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 4．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．已知，为常数，且点在第四象限，则关于的一元二次方程的根的情况为（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 6．在下列方程中没有实数解的是（    ） A． B． C． D． 7．若一次函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（　　） A． B． C．随的增大而减小 D．当时， 8．（数学文化）我国古代问题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺，井深几何？”这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺；把绳四折来量，井外余绳一尺，问井深几尺？若设井深尺，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 9．如图a是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图b，再沿折叠成图c，则图c中的的度数是（   ） A． B． C． D． 10．将一个底面直径为的圆锥，从顶点沿着高将它切成两半后，表面积增加了，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是（   ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11．如果，则＝ ． 12．如图，的三个顶点坐标分别为、、．将沿方向平移得到，其中点与原点重合．则点的坐标为 ． 13．有4张看上去无差别的卡片，上面分别写着数字，小红随机抽取1张后，放回并混在一起，再随机抽取1张，则两次取出的数字之和为偶数的概率为 ． 14．如图，在中，，轴，垂足为，反比例函数的图象经过点，交于点．若，则 ． 15．如图，在矩形中，、分别为、边上的点，且，为上一点，且，、分别为、的中点，则 ． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．计算（每小题5分，共10分） (1) (2) 17．（8分）在国家的“惠农政策”支持下，越来越多的农户将自己的农副产品销往全国各地．成都市农户张先生将种植的百香果和金桔以箱为单位售卖．已知2箱百香果和4箱金桔的价格为360元，1箱百香果和3箱金桔的价格为245元，百香果和金桔的成本价如表所示： 品名 百香果 金桔 成本/箱 40 元 50元 (1)求每箱百香果和每箱金桔的售价分别是多少元？ (2)成都某公司决定向农户张先生采购500箱水果，其中百香果的箱数不少于金桔的箱数．张先生目前仅有金桔和百香果各库存400箱，在只能整箱销售的情况下，设张先生卖出百香果m箱，两种水果全部销售获得总利润为w元，求w关于m的函数表达式：在满足公司要求的情况下，m为何值时本次采购中张先生获利最大． 18．（8分）某研发小组设计了甲、乙两款AI软件，为测试两款软件的实用性能，先后邀请普通用户和专业人士对甲、乙两款软件体验、评分（百分制）． (1)邀请800个普通用户对甲款软件和1200个普通用户对乙款软件体验、评分（百分制）．从评分中各随机抽取20个数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： a．甲款软件评分： 60  60  70  70  72  75  80  80  80  80 80  80  81  81  81  82  82  85  90  91 b．乙款软件评分频数分布直方图如图． （数据分成五组：，，，，） 其中成绩在的数据如下： 75  75  75  76  78  78  79  79 c．甲、乙两款软件评分的平均数、中位数、众数如下表所示： 软件 平均数 中位数 众数 甲 78 80 m 乙 78 n 75 根据所给信息，解答下列问题： ①______，______； ②估计这1200个普通用户中对乙款软件评分x满足的约为______个； (2)邀请专业人士对甲、乙两款软件从四个维度体验、评分（百分制），评分结果由维度1和维度2各占30%，维度3和维度4各占20%组成，评分如下： 软件 维度1 维度2 维度3 维度4 甲 94 k 92 93 乙 91 93 93 92 ①求乙款软件的评分； ②若甲款软件的评分比乙款软件的评分高，求表中k（k为整数）的最小值． 19．（8分）随着人工智能的发展，智能机器人警察已经陆续出现，图1是机器人警察安安和全全，他们从街头处出发，准备前往相距米的处（、在同一直线上）巡逻，安安警察比全全警察先出发，且速度保持不变，全全警察出发一段时间后将速度提高到原来的倍.已知安安警察、全全警察行走的路程（米），（米）与安安警察行走的时间（秒）之间的函数关系图象如图2所示． (1)如图2，折线①表示______警官行走的路程与时间的函数图象（填“安安”或“全全”）； (2)求全全警察提速后的速度，并求、的值； (3)求折线①中线段所在直线的函数解析式； (4)全全警察加速后经过几秒追上安安警察． 20．（8分）2025年是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，我国于9月3日在天安门广场阅兵，56门礼炮，80响轰鸣，寓意着56个民族共同抗击日本侵略者进行了艰苦卓绝的斗争．下图①是礼炮图片，图②是礼炮抽象示意图，已知是水平线，，，，的仰角分别是和，，，且． (1)求点A的铅直高度； (2)求A，E两点的水平距离． （以上结果精确到．参考数据：，，．） 21．（8分）如图，内接于，为的直径，过点C作的切线交的延长线于点D． (1)求证：． (2)过点C作于点E，若，，求的长． 22．（12分）综合与实践 问题情境： 为了提升交通安全，某市隧道入口进行道路设施规划，计划安装车道指示灯，现需要对隧道入口隔音屏顶部的装灯位置进行合理设计． 数学建模： 图1是隧道入口隔音屏，其顶部轮廓可近似地看成抛物线，其截面如图2所示．以地面为轴，左侧墙面为轴，建立平面直角坐标系，则抛物线符合函数解析式．最高点距离地面，点的坐标为，照明灯安装在轴右侧的点处． （1）请直接写出抛物线的函数解析式（不需要写出的取值范围）． 问题解决： （2）为测量点到地面的距离的长度，小敏参考《海岛算经》中的测量方法，使用两根标杆进行测量，具体测量方法如图3所示．经测量，标杆（标杆垂直于地面），两杆相距15步，从退行10步到点，从退行15步到点．点，，在同一条直线上，点、、在同一条直线上，请计算出的长度． （3）为提高通行效率，需在隔音屏顶部加装灯架，为每个车道增设指示灯．按要求，指示灯需距离地面．如图2，灯架，，，均平行于轴，指示灯，，，在同一条直线上，该条直线平行轴，，点的坐标为．求灯架的长．（结果保留两位小数） 23．（13分）综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． (1)【操作判断】 操作一：如图1，将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，折痕为，把纸片展平，连接； 操作二：如图2，将矩形纸片再次折叠，使点与点重合，得到折痕为，把纸片展平； 操作三：如图3，连接，并把折到上的处，得到折痕，把纸片展平，连接． 根据以上操作，直接写出图3中的值：______； (2)【问题解决】 请判断图3中四边形的形状，并说明理由． (3)【拓展应用】 我们知道：将一条线段分割成长、短两条线段，，若，则点叫做线段的黄金分割点．在以上探究过程中，已知矩形纸片的宽为，当点是线段的黄金分割点时，线段的长度是______． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考第一次模拟考试 数学·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．某人转动转盘，如果沿逆时针方向转了5圈记作圈，那么沿顺时针方向转了3圈记作（   ） A．圈 B．圈 C．圈 D．圈 【答案】A 【详解】解：∵沿逆时针方向转了5圈记作圈， ∴沿顺时针方向转了3圈记作圈， 故选：A． 2．如图是由6个大小相同的正方体搭成的几何体，其左视图是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：该几何体从左边看，有两列，从左到右第一列有两个正方形，第二列有一个正方形． 故选：B． 3．中国“二十四节气”已被列入联合国教育、科学及文化组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故符合题意； 故选：D． 4．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：对于A：∵与不是同类项，∴不能合并，∴不符合题意； 对于B：，，∴不符合题意； 对于C：，∴不符合题意； 对于D：，∴符合题意； 故选：D． 5．已知，为常数，且点在第四象限，则关于的一元二次方程的根的情况为（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】B 【详解】解：∵点在第四象限， ∴，， ∴， ∴方程的判别式， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 6．在下列方程中没有实数解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：选项A：，判别式，无实数解； 选项B：是二元一次方程，有无数组实数解，有实数解； 选项C：，去分母得，解得或，但使分母为零为增根，为实数解，即有实数解； 选项D：，解得为实数，有实数解； 故选：A． 7．若一次函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（　　） A． B． C．随的增大而减小 D．当时， 【答案】B 【详解】解：由图象知，，且随的增大而增大，故A、C选项错误； 图象与y轴负半轴的交点坐标为，所以，B选项正确； 当时，图象位于x轴的下方，则有，D选项错误， 故选：B． 8．（数学文化）我国古代问题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺，井深几何？”这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺；把绳四折来量，井外余绳一尺，问井深几尺？若设井深尺，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设井深尺， ∵三折时绳长为，四折时绳长为，且绳长不变， ， 故选：D． 9．如图a是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图b，再沿折叠成图c，则图c中的的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图：延长到H，由于纸带是长方形， ∴， ∴， 根据翻折不变性得， ∴， 又∵， ∴，． 在梯形中，， 根据翻折不变性，． 故选：C． 10．将一个底面直径为的圆锥，从顶点沿着高将它切成两半后，表面积增加了，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵该圆锥从顶点沿着高将它切成两半后，表面积增加了， 由圆锥的几何特征可知，表面积增加的是两个等腰三角形的面积， 即每个三角形的底为圆锥底面直径， 设圆锥的高为h，即三角形的高为h， ∴，解得， 又底面半径为， ∴圆锥的母线为， ∴该圆锥的侧面展开图的弧长为该底面圆的周长，即， 设圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为， 由弧长公式可得，， 即，解得． 故选：D ． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11．如果，则＝ ． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴， 解得，， 则 故答案为：． 12．如图，的三个顶点坐标分别为、、．将沿方向平移得到，其中点与原点重合．则点的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：∵将沿方向平移得到，其中点与原点重合， ∴平移方式可以是先向下平移3个单位，再向右平移4个单位， ∴按以上平移方式，点平移后对应点的坐标为， 故答案为：． 13．有4张看上去无差别的卡片，上面分别写着数字，小红随机抽取1张后，放回并混在一起，再随机抽取1张，则两次取出的数字之和为偶数的概率为 ． 【答案】 【详解】解：根据题意，画树状图如下： 两个数的和4，5，6，8，5，6，7，9，6，7，8，10，8，9，10，12共有16种等可能性，两个数字的和是偶数的等可能性有10种， 故两次取出的数字之和为偶数的概率为：， 故答案为：． 14．如图，在中，，轴，垂足为，反比例函数的图象经过点，交于点．若，则 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点作于点， ，， ， 在中，， ， 点的横坐标为， 点的坐标为， 把点代入中得：， 解得． 故答案为：． 15．如图，在矩形中，、分别为、边上的点，且，为上一点，且，、分别为、的中点，则 ． 【答案】 【详解】解：如图，取的中点，的中点，连接，，过点作于， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵、分别为、的中点， 为的中点， 为的中点， ∴，，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．计算（每小题5分，共10分） (1) (2) 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解： ×1×（2分） （4分） ；（5分） （2）解： （6分） （7分） （8分） （9分） ．（10分） 17．（8分）在国家的“惠农政策”支持下，越来越多的农户将自己的农副产品销往全国各地．成都市农户张先生将种植的百香果和金桔以箱为单位售卖．已知2箱百香果和4箱金桔的价格为360元，1箱百香果和3箱金桔的价格为245元，百香果和金桔的成本价如表所示： 品名 百香果 金桔 成本/箱 40 元 50元 (1)求每箱百香果和每箱金桔的售价分别是多少元？ (2)成都某公司决定向农户张先生采购500箱水果，其中百香果的箱数不少于金桔的箱数．张先生目前仅有金桔和百香果各库存400箱，在只能整箱销售的情况下，设张先生卖出百香果m箱，两种水果全部销售获得总利润为w元，求w关于m的函数表达式：在满足公司要求的情况下，m为何值时本次采购中张先生获利最大． 【答案】(1) 每箱百香果的售价是50元，每箱金桔的售价是65元； (2) w关于m的函数表达式为，当时获利最大． 【解析】（1）解：设每箱百香果的售价为元，每箱金桔的售价为元， 根据题意，得，（2分） 解得，（3分） 答：每箱百香果的售价是50元，每箱金桔的售价是65元；（4分） （2）解：设张先生卖出箱百香果，则卖出箱金桔，获利为元， 则，（6分） 解得， 根据题意，得， ， 随的增大而减小．（7分） 又， 当时，最大． 答：w关于m的函数表达式为，当时获利最大．（8分） 18．（8分）某研发小组设计了甲、乙两款AI软件，为测试两款软件的实用性能，先后邀请普通用户和专业人士对甲、乙两款软件体验、评分（百分制）． (1)邀请800个普通用户对甲款软件和1200个普通用户对乙款软件体验、评分（百分制）．从评分中各随机抽取20个数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： a．甲款软件评分： 60  60  70  70  72  75  80  80  80  80 80  80  81  81  81  82  82  85  90  91 b．乙款软件评分频数分布直方图如图． （数据分成五组：，，，，） 其中成绩在的数据如下： 75  75  75  76  78  78  79  79 c．甲、乙两款软件评分的平均数、中位数、众数如下表所示： 软件 平均数 中位数 众数 甲 78 80 m 乙 78 n 75 根据所给信息，解答下列问题： ①______，______； ②估计这1200个普通用户中对乙款软件评分x满足的约为______个； (2)邀请专业人士对甲、乙两款软件从四个维度体验、评分（百分制），评分结果由维度1和维度2各占30%，维度3和维度4各占20%组成，评分如下： 软件 维度1 维度2 维度3 维度4 甲 94 k 92 93 乙 91 93 93 92 ①求乙款软件的评分； ②若甲款软件的评分比乙款软件的评分高，求表中k（k为整数）的最小值． 【答案】(1)①80，77；②180 (2)①乙款软件的评分为92．2分；②k的最小值为91 【解析】（1）解：①甲组20个数据中出现次数最多的是80， ∴甲组数据的众数为80，即； ∵乙组数据的中位数在第3组中，第1、2两组共有6人， ∴第三组的第4、5个数据的平均数为中位数，即．（1分） ②∵乙款软件评分在有3人， ∴这1200个普通用户中对乙款软件评分x满足的约为个．（2分） 故答案为：①80；77；②180． （2）解：①乙款软件的评分（分）；（5分） ②由题意得，解得：． ∴k的最小整数值为91．（8分） 故答案为：①；②91． 19．（8分）随着人工智能的发展，智能机器人警察已经陆续出现，图1是机器人警察安安和全全，他们从街头处出发，准备前往相距米的处（、在同一直线上）巡逻，安安警察比全全警察先出发，且速度保持不变，全全警察出发一段时间后将速度提高到原来的倍.已知安安警察、全全警察行走的路程（米），（米）与安安警察行走的时间（秒）之间的函数关系图象如图2所示． (1)如图2，折线①表示______警官行走的路程与时间的函数图象（填“安安”或“全全”）； (2)求全全警察提速后的速度，并求、的值； (3)求折线①中线段所在直线的函数解析式； (4)全全警察加速后经过几秒追上安安警察． 【答案】(1)全全 (2)全全提速后速度为米/秒，， (3)折线①中线段所在直线的函数解析式为 (4)全全警官加速后经过秒追上安安警官 【解析】（1）解：折线①表示全全警官行走的路程与时间的函数图象， 故答案为：全全；（1分） （2）解：全全提速前速度为（米/秒）， 全全提速后速度为（米/秒）， 段经过的时间为（秒）， ， 当时，安安警官的路程为米，（2分） 安安警官的速度为（米/秒）， ；（3分） （3）解：设折线①中线段所在直线的函数解析式为， 将，代入得，（4分） 解得， 折线①中线段所在直线的函数解析式为；（5分） （4）解：设所在直线的函数解析式为，将代入得， 解得， 所在直线的函数解析式为， 联立，（6分） 解得， 时，全全警官追上安安警官，（7分） （秒）， 全全警官加速后经过秒追上安安警官．（8分） 20．（8分）2025年是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，我国于9月3日在天安门广场阅兵，56门礼炮，80响轰鸣，寓意着56个民族共同抗击日本侵略者进行了艰苦卓绝的斗争．下图①是礼炮图片，图②是礼炮抽象示意图，已知是水平线，，，，的仰角分别是和，，，且． (1)求点A的铅直高度； (2)求A，E两点的水平距离． （以上结果精确到．参考数据：，，．） 【答案】(1)点A的铅直高度是 (2)A，E两点的水平距离约为 【解析】（1）解：如图，作，，，垂足分别为点G，H，M， 在中，，， ， ，（2分） 在中，， ，（3分） ． 点A的铅直高度是；（4分） （2）解：在中，，（5分） 在中，， ，（7分） ， 答：A，E两点的水平距离约为．（8分） 21．（8分）如图，内接于，为的直径，过点C作的切线交的延长线于点D． (1)求证：． (2)过点C作于点E，若，，求的长． 【答案】(1)证明见详解 (2)4 【解析】（1）证明：如图，连接， ∵是的切线， ∴，即， ∴，（1分） 又∵是的直径， ∴， ∴，（2分） ∵， ∴， ∴， ∴， ∴．（4分） （2）解：∵，， ∴， ∴，（5分） 在中，， 在中，， ∴， ∴是等边三角形，即，（6分） ∵， ∴，即，（7分） 又∵， ∴， ∴， ∴．（8分） 22．（12分）综合与实践 问题情境： 为了提升交通安全，某市隧道入口进行道路设施规划，计划安装车道指示灯，现需要对隧道入口隔音屏顶部的装灯位置进行合理设计． 数学建模： 图1是隧道入口隔音屏，其顶部轮廓可近似地看成抛物线，其截面如图2所示．以地面为轴，左侧墙面为轴，建立平面直角坐标系，则抛物线符合函数解析式．最高点距离地面，点的坐标为，照明灯安装在轴右侧的点处． （1）请直接写出抛物线的函数解析式（不需要写出的取值范围）． 问题解决： （2）为测量点到地面的距离的长度，小敏参考《海岛算经》中的测量方法，使用两根标杆进行测量，具体测量方法如图3所示．经测量，标杆（标杆垂直于地面），两杆相距15步，从退行10步到点，从退行15步到点．点，，在同一条直线上，点、、在同一条直线上，请计算出的长度． （3）为提高通行效率，需在隔音屏顶部加装灯架，为每个车道增设指示灯．按要求，指示灯需距离地面．如图2，灯架，，，均平行于轴，指示灯，，，在同一条直线上，该条直线平行轴，，点的坐标为．求灯架的长．（结果保留两位小数） 【答案】（1）抛物线的函数解析式为 （2）的长度为6m （3）灯架的长为m 【解析】（1）解：∵的最高点距离地面， ∴， ∵将代入中，得，解得：， ∴抛物线的函数解析式为；（3分） （2）解：设为x步的距离，则，， ∵标杆垂直于地面， ∴，，（4分） ∵，， ∴， ∴；（5分） ∵，， ∴， ∴；（6分） ∴，解得：， 将代入，解得：， ∴的长度为6m；（7分） （3）解：∵指示灯需距离地面， ∴，，，在直线上，（8分） 将代入，解得：，（9分） ∵，∴， ∵，点的坐标为， ∴点的坐标为，（10分） ∵， ∴满足题意，存在灯架，（11分） 将代入，解得：， ∴， ∴灯架的长为m．（12分） 23．（13分）综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． (1)【操作判断】 操作一：如图1，将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，折痕为，把纸片展平，连接； 操作二：如图2，将矩形纸片再次折叠，使点与点重合，得到折痕为，把纸片展平； 操作三：如图3，连接，并把折到上的处，得到折痕，把纸片展平，连接． 根据以上操作，直接写出图3中的值：______； (2)【问题解决】 请判断图3中四边形的形状，并说明理由． (3)【拓展应用】 我们知道：将一条线段分割成长、短两条线段，，若，则点叫做线段的黄金分割点．在以上探究过程中，已知矩形纸片的宽为，当点是线段的黄金分割点时，线段的长度是______． 【答案】(1) (2)菱形，见解析 (3)或 【解析】（1）解：由操作一可知，由操作二可知， ， 在矩形中，， ， ， 故答案为：；（3分） （2）解：四边形是菱形， 理由：如图3，由折叠知：，， 在矩形中，， ，（4分） ， ， ，（5分） ， 四边形是平行四边形，（6分） ，（7分） 平行四边形是菱形；（8分） （3）解：， 由（1）可知，，， 四边形是菱形， ， ， ， 点是线段的黄金分割点， 或， 即或， 或， ，或， 综上可知，的长度是或． 故答案为：或（13分） / 学科网（北京）股份有限公司 $2026年中考第一次模拟考试 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 口 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ▣ 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5m黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×]【1【/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1[AJ[B][C][D] 5[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 2[AJ[BJ[C][D] 6[A]IB][C][D] 10.[AJ[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7AJIBIIC]ID] 4[AJ[B]IC][D] 8.[A][B1[CI[D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题5分，共15分） 11. 12 13 15 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共8个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.(10分) 02-s a后) 17.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(8分) 乙款软件评分频数分布直方图 频数个 10 9 8 6 5060708090100分藏 19.(8分) y(米) 450 F 310 万 ② 30<-- E 0 1517 n(秒) 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(8分) A C BD -F 图① 图② 20.(8分) >D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(12分) 7 DD,方D 0 G M 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(13分) D MD B HF B H FG 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！