云南保山市2025-2026学年高三上学期期末质量监测数学试题

2025~2026学年上学期期末质量监测 高三年级数学参考答案 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D A C B B A D 【解析】 1．（人教A版必修一12页练习题第1题）∵，故选C． 2．（人教A版必修二95页练习题第8题第（1）题）由，故选D． 3．因为“且”能推出“”，但是“”不能推出“且”，所以“，”是“”的充分不必要条件，故选A． 4．由题意，成等差数列，设公差为，∵，，可得，∴，又，且，可得，所以，故选C． 5．把第一轮调查的样本数据记为，其平均数记为，方差记为，把第二轮调查的样本记为，其平均数记为，方差记为，则总样本平均数，由方差的定义，总样本方差为 ，总样本方差为96，故选B． 6．（人教A版必修一255页练习题第21、22题）由，可得，由题意，要使在有一个极值点和两个零点，则需使，即，故选B． 7．如图1所示，设切点为， ( 图1 )，，所以直线l的斜率，由，所以，，所以 ，即，所以，故选A． 8．（人教A版必修一86页练习题第11题）∵是奇函数，∴为偶函数，故排除A选项；∵为偶函数，∴，即，故的图象关于直线对称，故排除B选项；又由的图象关于直线对称，得，即，即，所以关于对称，故排除C选项；∵关于对称，∴，又，∴，即，∴，∴的一个周期是16，故选D． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 题号 9 10 11 答案 ACD BCD AD 【解析】 9．当时，；当时，由有，所以，所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，故C正确；，故A正确；由 ，故B错误；因为，所以是等比数列，故D正确，故选ACD． 10．（人教A版选择性必修二104页练习题第19题），该函数的定义域为，且．当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，，故B，C选项正确；当时，，此时，A选项错误；由，可得，解得，D选项正确，故选BCD． ( 图 3 ) ( 图 2 )11．对于A，如图2，连接，取中点，连接和，由题意可得、为同一直线，且A、、、四点共面，又，故四边形为菱形，故，故异面直线DE与CF所成的角等于直线DE与AE所成的角，即异面直线DE与CF所成的角等于，故A正确；对于B，由四边形为正方形，有，故四边形亦为正方形，即点到各顶点距离相等，即此八面体的外接球球心为，半径为，设此八面体的内切球半径为，则有，化简得，则此八面体的外接球与内切球的半径之比为，故B错误；对于C，将延折叠至平面中，则在新的平面中，A、、三点共线时，如图3，有最小值，则，故C错误；对于D，设三角形的内切圆半径为，则由等面积法，有，解得，由B可知，点到平面的距离为，所以，这表明当点在平面内时，点在三角形的内切圆上运动，它的周长是，根据对称性可知动点的轨迹长度为，故D正确，故选AD． 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 题号 12 13 14 答案 4 【解析】 12．因为抛物线的焦点，准线方程为，点在上，所以到准线的距离为，又到直线的距离为，所以，故． 13．当时，，则．又因为是偶函数，所以 ，所以当时，此时，则切线斜率为又，所以切线方程为，即． 14．∵在上，∴与共线，可设，又∵D是BC的中点，∴，∴，，又因为三点共线，所以存在，使得， ∴，解得，∴ 即，∴． 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分） （1）证明：∵∴，且，   ……………………………………………………………………………………（1分） ∴，  ……………………………………………………………………（2分） ∴ 又，∴， ……………………………………………………（5分） 又∵，∴，，即， ∴是等腰三角形．………………………………………………………………（7分） （2）解：由（1）知，，且，∴，  ……………………………………………………………………………………（9分） ∴  …………………………………………………………（11分） ∴在中，． ∴， ∴，即．……………………………………………………………（13分） 16．（本小题满分15分）【命题依据】人教A版选择性必修三46例1 解：（1）设表示比赛终止时小明的积分，由题可知时，有以下3种情况： 第一种：第一场、第二场结果都为负； 第二种：第一场结果为平，后两场比赛结果都为负； 第三种：第一场结果为负，第二场结果为平，第三场结果为负．  ……………………………………………………………………………………（3分） ∴．…………………………………（6分） （2）设事件：比赛进行了两场便终止，事件：小明晋级成功， 由题意知，……………………………………………………………（9分） ． ……………………………………………………………（12分） 所以， 所以在比赛进行两场便终止的条件下，小明晋级成功的概率为．  ……………………………………………………………………………………（15分） 17．（本小题满分15分） 解：（1）∵双曲线C的离心率…………………………………（2分） ∴  ………………………………………………………………………………（4分） ∴双曲线C的标准方程为． ………………………………………………（5分） （2）由双曲线的方程知，且由题意知点B，N关于原点对称． 设，则，  …………………………………………（6分） 由直线AB不与轴垂直，可设直线AB的方程为． 联立直线与双曲线的方程得 …………………………………………（8分） 消去，得， ∴，即，，…………………（10分） 由，得， ∴，即， 整理得， ∴， 整理得，∴． 又，∴，解得， ∴，又， 故的取值范围是． ……………………………………………（15分） 18．（本小题满分17分）【命题依据】人教A版选择性必修一48页第9题 （1）证明：在中，由余弦定理得 ， ∴，则，∴．……………………………………（2分） 又∵在直三棱柱中，， ∴， 又∵，且， ∴．……………………………………………………………………（7分） ( 图 4 )（2）解：以为坐标原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，建立如图4所示的空间直角坐标系： ， 因为平面，且由（1）知， ∴BC∥PN，∴点B，C，P，N四点共面， ∴点在线段上（如图4），则， 所以， …………………（9分） 又∵， ∴，整理得， 又，所以．………………………………………………………（11分） 设平面的法向量为， 则，即， 取，则，于是．……………………………………（13分） 设直线与平面所成角为， 则． …………………………………………………………………………………（15分） 又，所以，即， 故直线与平面所成角的正弦值的最大值为． ……………………………（17分） 19．（本小题满分17分） （1）证明：．…………………………………………………（1分） 由“糖水不等式”，得，其中， 则 ，…………………………………………………（3分） 因此数列是递减数列．………………………………………………………………（4分） （2）（i）解：由题意可得， ，  ……………………（5分） 因此， ， 以此类推，， 故．…………………………………………………………………（6分） 又， ∴，故．………………………………………（7分） 又， ∴，， ，，其中． ………………………………………………………………………………………（8分） 综上，对任意正整数，都有，即数列的通项公式为． ………………………………………………………………………………………（9分） （ii）证明：由（i）可知， 则， 故， 同理可得， 又，所以当且仅当为奇数时，， 故．…………………………………………………………（11分） 由题意得，则， 故，…………………………………………………………（12分） 由“糖水不等式”可得， 所以．  ……………………………………………………………………………………（13分） 故，所以， 所以， 即．……………………………………………………………………（14分） 当时，由“糖水不等式”可得， 所以， ……………………（15分） 故，所以， 即， 易知时上式也成立，故．………………………………（16分） 综上所述，．……………………………………（17分） 高三数学参考答案·第6页（共10页） 学科网（北京）股份有限公司 $【考试时间：2026年2月3日15：00~17：00】 2025~2026学年上学期期末质量监测 高三年级数学 本试卷分第I卷（选择题)和第Ⅱ卷（非选择题)两部分.第I卷第1页至第3页， 第Ⅱ卷第3页至第6页、考试结束后，请将答题卡交回.满分150分，考试用时120分钟. 第I卷（选择题，共58分) 注意事项： 1、答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、学校、班级、考场号、座位号、 准考证号在答题卡上填写清楚. 2、每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效。 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只 有一项是符合题目要求的) 1.已知集合M={1,2,3},N={2,3,4,5},则 A.MCN B.NCM C.M∩N={2,3} D.MUN={1,4} 2复数2) 等于 A.16 B.-16 C.16i D.-16i 3.已知m,n是实数，则“m<0,n<0”是“mn>0”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 高三数学·第1页（共6页） 4若数列a1,2,a4,a4,a,为正项等差数列，正项数列61，，6g,,6,满足 二m (m为常数)，已知a1=12,a5=8,b1=6,则b3= A.2 B.3 C.5 D.7 5.某体育媒体对“滇超”联赛（云南省城市足球联赛）的球迷满意度开展了两轮调查， 从赛事观赏性、现场服务、球员表现等方面收集球迷的评分，评分采用百分制.经统 计，第一轮调查的4万个样本数据中，评分的平均值为80，方差为75；第二轮调查的 6万个样本数据中，评分的平均值为90，方差为70.由这些数据计算这两轮调查的总 样本方差为 A.88 B.96 C.98 D.106 6.已知函数()=sina平}(w>0)在区间0，军到)上有-个极值点和两个零点，则如的 取值范围是 A.[5,7] B.(5,7] C.[3,5] D.(3,5] 已知稍圆。O>0.焦点F(2,0),FB2,0,若过R的直线1和园A (x~1)2+y=4相切，与椭圆在第一象限交于点P,且PP2⊥x轴，则等于 25 B⑤ 5 c.5 D 8.已知函数f(x)的定义域为R,f(-1)=0,函数y=f(x+3)是奇函数，函数y=(x+1)f(x) 的图象关于直线x=一1对称，测下列说法中错误的是 A.f(x+3)是偶函数 B.f(x)的图象关于直线x=3对称 C.f(x)关于(-1,0)对称 D.f(x)的一个周期是8 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有 多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.若Sn为数列{an}的前n项和，且Sn=2an+l(neN*),则下列说法中正确的是 A.a5=-16 B.S4=-16 C.{an}是等比数列 D.{Sn-1}是等比数列 高三数学·第2页（共6页) 10.已知函数f(x)=-x21nx,则 A.f(x)≤0恒成立 B.x>e时，f(x)单调递减 C尺e)在=。得到极大值2。 D.f(x)只有一个零点 11.六氟化硫，化学式为SF6,在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有 良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构 (正八面体每个面都是正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘 接在一起的几何体)，如图1所示，正八面体E-ABCD-F的棱长为α，下列说法中正 确的是 A.异面直线DE与CF所成的角为60° B.此八面体的外接球与内切球的半径之比为2√3 C.若点P为棱EB上的动点，则AP+CP的最小值为2√3α D.若点O为四边形ABCD的中心，点Q为此八面体表面上动点， 8√5 且10Q=2,则动点Q的轨迹长度为3m 图1 第Ⅱ卷（非选择题，共92分) 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.已知抛物线C:y2=12x的焦点为F,点M在C上.若M到直线x=-4的距离为5，则 |MF|= 13.已知f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)=ln(-x)+2x,则曲线 y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程是 14.如图2，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，A它= D 远，A0与c交于点0.若证.配-60.d=0,则8 图2 的值是 高三数学·第3页（共6页） 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15.（本小题满分13分) 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知eosC=si2B "1+sin1+cos2B,且A=2 1 (1)证明：△ABC是等腰三角形； (2)若a=√3，点D在边BC上，且BD=2DC,求AD的长. 16.(本小题满分15分) 小明参加一项积分晋级赛，规则如下：初始积分为10分，每场比赛胜则加5分，负 则减5分，平则积分不变；当积分达到0分（淘汰出局)或20分（晋级成功）时终 止比赛，否则继续比赛；若三场比赛后仍未终止，则判定为晋级成功并终止比赛.已 知每场比赛结果相互独立，小明每场比赛胜、负、平的概率分别为2,4,4 111 (1)比赛终止时小明积分为0分的概率； (2)在比赛进行两场便终止的条件下，小明晋级成功的概率 高三数学·第4页（共6页） 17.(本小题满分15分) 已知双曲线C:卡=1(b>0),左、右顶点分别为A,,过点M(-2,0)的直线交 双曲线C于A,B两点. (1)若双曲线C的离心率e=3,求双曲线C的方程； (2)连接B0(0为坐标原点)并延长交C于点N,若A,·A2A=1,求b的取值范围. 18.（本小题满分17分) 如图3，在直三棱柱ABC-AB,C,中，AB=4,BC=25,∠ABC=石，M,=3.若M, N分别为棱AC,BB1上的动点，且MW=2√5，点N在平面A1ACC1上的射影为点P. (1)求证：BC⊥平面A1ACC1; (2)求直线AB与平面MNP所成角的正弦值的最大值， 图3 高三数学·第5页（共6页） 19.（本小题满分17分) 向糖水中加人糖后，糖水变甜了、该现象可以描述为向含有αg溶质且总质量为bg的 溶液中加人cg溶质，则片公（其中6>a0c>0),此不等式称为“箱水不等式” (1)已知Ln=logn(n+i),neN·,n≥2，>0，利用“糖水不等式”证明数列{Ln}是 减数列； (2)对于函数)-e,eR,0()为)的导数，记为)的1阶导数， f2)(x)为f)(x)的导数，记为f(x)的2阶导数，…以此类推，f)(x)为f(x)的n 阶导数，n∈N,已知M(x)=ef(x)(keN·). (i)若Mk=(Mx(x))mx,求数列{Mn}的通项公式； ()若集合S={k|Mk(x)≠±Mk(-x)},k1,k2,k,…,kn是S中所有元素从小到 大的-个排列，设a,形+=a1aa·a,证明：n∈N,n+<1+含r: </2n+1. 高三数学；·第6页（共6页)