6.4.2 正余弦定理讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

本讲义聚焦正余弦定理核心知识点，系统梳理余弦定理、正弦定理公式，衔接解三角形概念、解的个数判断及应用题步骤，通过10个考向构建从基础公式到实际应用的学习支架，配套例题与题组强化理解。 资料特色在于考向全面，涵盖边角互换、形状判断、面积计算等，结合距离测量、高度估算等实例，培养数学眼光与思维，助力教师系统授课，课后题组帮助学生查漏补缺，提升应用能力。

6.4.2 正余弦定理 知识点一、余弦定理 （一）公式 知识点二、正弦定理 （1） 公式： ①已知两个角及任意—边②已知两边和其中—边的对角 知识点三、解三角形的概念 在三角形中，由已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形． 知识点四 判断三角形的个数 在中，已知和A时，解的情况主要有以下几类： ①若A为锐角时： ② 若A为直角或钝角时： 知识点五、解三角形应用题的步骤 实际问题画图数学问题解三角形数学问题的解检验实际问题的解 考向一 正余弦定理解三角形 正余弦定理的选择 （1） 正弦定理：两角一边、两边和对应角 （2） 余弦定理：三边求角、两边一角求边 （3） 任意三角形中，有“大角对大边，小角对小边”的边角 【例1-1】（25-26高一上·北京东城·期末）在中，若，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在中，，，， 由余弦定理可得， 即，整理得， 解得或（舍去），故. 故选：D. 【例1-2】（2025·湖南永州）在中，，则最大的内角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为三条边中最大，所以最大的内角为， 由余弦定理得， 由，所以. 故选：C 【例1-3】（25-26重庆·月考）在中，，则（    ） A．3 B．5 C．4 D． 【答案】D 【解析】由，且， 所以，可得. 故选：D 【例1-4】．（24-25高一下·贵州毕节·期中）在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由正弦定理可得． 故选：C 【例1-5】（23-24高一下·贵州遵义·月考）在中，，则（    ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】A 【解析】在中，根据正弦定理得，即， 所以，又，所以或， 当时， ，符合题意， 当时， ，符合题意；所以的两个解均成立. 根据三角形内角和定理，所以或.故选：A 【一隅三反】 1．（2025江苏）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由余弦定理，可得， 又因为，故. 故选：C. 2．（24-25高一下·贵州遵义·月考）在中，已知，则（    ） A．3 B． C． D．1 【答案】A 【解析】在中，由余弦定理可得， 所以，即， 解得或（舍去）， 故选：A 3．（25-26 陕西咸阳·月考）在中，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由余弦定理可得， 因为为三角形内角，所以，所以. 故选：C 4．（24-25高一下·广东湛江·月考）在中，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，且，所以， 由正弦定理可得，解得， 又，∴，∴，故 故选：A 5.（24-25高一下·江苏常州·期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【解析】由，可得，又， 所以，解得， 又因为，，所以，所以， 由正弦定理可得，所以，解得. 故选：A. 6.（2026湖北）在△ABC中，，B＝45°，解这个三角形． 【答案】 【解析】根据余弦定理得，， . 又， . 考向二 正余弦定理应用---边角互换 选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下： （1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； （2）若式子中含有、、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； （3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； （4）代数式变形或者三角恒等变换前置； （5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解； （6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理. 【例2-1】（25-26高二上·河北张家口·开学考试）在中，满足，则（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【解析】因为，即， 所以，且，所以. 故选：A 【例2-2】．（23-24高一下·重庆·期末）在中，记内角所对的边分别为.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得，由余弦定理得， 又，所以.故选：C 【例2-3】．（24-25 山东）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则 ． 【答案】/ 【解析】在中，由及正弦定理，得，而， 所以. 故答案为： 【例2-4】．（24-25高一下·天津）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且，则角 ． 【答案】/ 【解析】，由正弦定理可得， 在中，，，，.故答案为：. 【例2-5】（2025山东·期末）已知分别为三个内角的对边，且，则 . 【答案】 【解析】因为， 所以由正弦定理得， 因为在中，，所以，又，所以.故答案为：. 【例2-6】．（24-25 海南·阶段练习）在中，，，分别为内角，，的对边，且，则 【答案】 【解析】， 由正弦定理可得， 又在中，， ，， 在中，，，且为的内角， 【一隅三反】 1．（24-25高一下·福建泉州·月考）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，则 【答案】 【解析】因为，整理可得， 则，且，所以. 故答案为：. 2．（24-25高一下·江苏苏州）在中，若，则 【答案】 【解析】因为，即，所以， 由余弦定理可得，又，所以. 3．（2024·四川成都）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则 【答案】 【解析】由，根据正弦定理有，所以，有， 根据余弦定理，有，由，所以． 4.（24-25高一·陕西）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则 。 【答案】 【解析】，则由正弦定理得， 即， 因为，所以，所以. 5.（24-25海南）在中，角，，的对边分别是，，，，则角 【答案】 【解析】由得， 则，所以，即， 因为为三角形内角，所以，，则，所以； 6．（2024高三·全国·专题练习）记的内角、、的对边分别为、、，已知，求= 【答案】 【解析】在中，由及余弦定理 得，化简得， 由余弦定理得，而， 所以. 考向三 判断三角形的形状 判定三角形形状的途径： (1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系； (2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁. 【例3-1】（24-25高一下·天津武清·月考）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则为（   ）． A．等腰直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【解析】因为，根据余弦定理得， 整理得，所以或， 所以为等腰三角形或直角三角形， 故选：B. 【例3-2】，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【解析】由和余弦定理得，， 化简得，， 整理得，，则得，或， 即为等腰或直角三角形. 故选：D. 【例3-3】（24-25高一上·浙江杭州·期末）在中，（分别为角的对边），则的形状为（        ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】B 【解析】因为，所以，整理得到， 又由正弦定理，得到， 所以，得到， 又，所以，得到，又，所以， 故选：B. 【一隅三反】 1．（24-25高一下·全国·课后作业）的内角，，的对边分别为，，，若，则为（   ） A．等腰直角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 【答案】C 【解析】因为，所以． 在中，，故， 因为，所以．因为，所以，故为直角三角形． 故选：C. 2．（23-24高一下·宁夏银川·月考）在中，其内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】A 【解析】因为所以，整理得， 即的形状是等腰三角形. 故选：A. 3．（24-25陕西安康·月考）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由于在中，， 故，即， 而，故， 所以. 故选：D 4．（2026北京）在中，若内角的对边分别为，，则的形状为（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【解析】在中，由已知得，所以， 根据余弦定理，得 所以，即， 因此是直角三角形. 故选：B. 5．（25-26 重庆·月考）在中，角所对的边分别为，已知，则角等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， 由正弦定理得， 因为, 即 所以， 因为，所以， 所以， 故或（舍去），得， 故选：D. 考向四 三角形的面积 三角形的面积公式 （1）=a=b=c (,,分别为边a,b,c上的高). （2）将=bC，=cA，=aB代入上式可得=abC=bcA=acB，即三 角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦值乘积的一半. （3）=r(a+b+c)= rl，其中r,l分别为△ABC的内切圆半径及△ABC的周长. 【例4-1】（24-25高一下·云南玉溪·期末）已知中，内角所对的边分别为，且满足，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在中，，，，由三角形的面积公式得. 故选：A. 【例4-2】（24-25高一下·浙江杭州·月考）在中，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题设，且为三角形的最大角， 所以，则的面积为. 故选：D 【例4-3】（24-25高一下·河南郑州·月考）在中，若，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由， 故， 故选：D 【例4-4】（24-25高一下·重庆荣昌·月考）在中，，，且的面积为，则的周长为（  ） A．15 B．12 C．16 D．20 【答案】A 【解析】因为，，且的面积为， 所以，解得， 由余弦定理，所以，则. 故选：A 【一隅三反】 1．（25-26甘肃·月考）已知的三边长分别为，则的外接圆的面积为 【答案】 【解析】记长为4的边的对角为,则由余弦定理可以知道, 所以, 设的外接圆半径为,则由正弦定理,得,所以, 所以外接圆的面积为. 2．（24-25高二上·上海·期中）在中，若，且的面积为，则 ． 【答案】 【解析】因为，且的面积为， ，解得：. 故答案为： 3．（24-25高一下·安徽滁州·期中）的内角A、B、C的对边分别为，b，c，已知，且，则的面积为 ． 【答案】/ 【解析】由，结合正弦定理可得，故， 故，因为，故，又，故. 由余弦定理，则，解得. 则. 故答案为： 4.（24-25高一上·河北保定·期末）内角，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积为 . 【答案】 【解析】由，结合正弦定理得， ， 因为，所以, 利用余弦定理，解得， 所以.故答案为：. 5．（25-26高一上·上海杨浦·期末）在中，角A、B、C所对应的边分别是a、b、c，已知，，. (1)求c的值； (2)求与的面积. 【答案】(1) (2)； 【解析】（1）在中，由余弦定理可得，即， 整理可得，分解因式可得，由，解得. （2）在中，由正弦定理可得， 解得，所以. 考向五 三角形外接圆的半径 【例5-1】（24-25高一下·新疆克拉玛依·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则外接圆的周长为（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【解析】设外接圆的半径为， 因为，，所以， 所以，所以外接圆的周长为. 故选：A. 【例5-2】（24-25高一下·安徽·期中）在中，分别为角所对的边，且，若的外接圆直径为.则的值为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【解析】因为， 所以由正弦定理得， ， 又在中，，，，， 的外接圆直径为，.故选：B. 【一隅三反】 1．（25-26内蒙古）在中，已知，，则外接圆的半径为（    ） A．6 B．3 C． D． 【答案】D 【解析】因为，，所以. 设外接圆的半径为，则， 所以外接圆的半径为. 故选：D 2．（24-25高一下·重庆·期末）在中，角，，的对边分别为，，．已知，，．外接圆的半径为（    ） A．6 B．3 C． D．9 【答案】B 【解析】因为，，， 所以由余弦定理可得， 所以，设外接圆的半径为， 又，，所以， 由正弦定理可得外接圆的半径为，解得. 故选：B. 3．（24-25高一下·江苏盐城·期末）在中，角，，的对边分别是，，，且满足，，则外接圆的半径为（   ） A． B．3 C． D．6 【答案】A 【解析】设外接圆的半径为. 在中，由余弦定理及可得，即， 即， 即，即. ∴由余弦定理可得. ∵，∴，∴由正弦定理可得，解得. 故选：A. 4．（25-26高一·全国·假期作业）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的外接圆面积为（　　） A．3π B．6π C．9π D．12π 【答案】C 【解析】因为，所以，得， 设的外接圆半径为，则，可得， 故的外接圆面积. 故选：C. 考向六 正余弦定理的应用---几何 【例6-1】（2025·福建）如图，在三角形中，为边上一点，，，. （1）若，求； （2）若，求. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）∵，，∴ . 由余弦定理得：，即， ∴或，又，∴，故. （2）∵，∴， 由正弦定理得，，即，化简得，故. 【例6-2】（2026湖南）如图，在中，，，D，E分别在边BC，AC上，，且． （1）求； （2）求的面积． 【答案】（1）（2） 【解析】（1）由，，得…①， 在中，，由正弦定理得，即…②， 将①代入②得，故． （2）由，，得到， 在中，， ， 由，易知A为锐角，则， ∴． ∵，∴，∴的面积是． 【一隅三反】 1．（2025海南）如图，是等边三角形，是等腰直角三角形，，交于，.      (1)求的度数； (2)求的面积. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）由已知得， ，， 所以 是等腰三角形，， 所以， 所以. （2）由（1）知中，，， 又， 所以. 2．（2026·甘肃）在中，角所对的边分别为，且满足． （1）求的值； （2）如图，点在边上，且，求的面积． 【答案】（1）（2） 【解析】（1）由已知得． 由正弦定理得 ． ， ． （2）由（1）知，．． ．． ． 的面积．． 3．（2026山东临沂·期中）如图，在平面四边形中，，，，，．    (1)求的值； (2)求的长． 【答案】(1)(2) 【解析】（1）解：在中，，，， 由余弦定理可得， 整理可得，，解得，则， 故为等腰三角形，故. （2）解：由（1）知，，又因为，则， 因为，则为锐角， 且， 所以，， 在中，由正弦定理，可得. 考向七 正余弦定理的应用---距离 【例7-1】（24-25高一下·北京顺义·期末）一艘海轮从港口A出发，沿着正东方向航行50n mile后到达海岛B，然后从海岛B出发，沿着北偏东30°方向航行70n mile后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C，那么这艘海轮需要航行的距离大约是（   ） A．62.4n mile B．85.0n mile C．104.4n mile D．116.0n mile 【答案】C 【解析】 因为，且.. 在中，由余弦定理得， 即. 所以； 故选：C. 【例7-2】（24-25高一下·辽宁辽阳·期末）已知点在点的正西方向，为了测量两点之间的距离，在观测点处测得在的北偏西方向，在的北偏东方向，且两点之间的距离为20米，则两点之间的距离为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【解析】根据题意作图， 则，,， 在中，根据正弦定理，，即，则， 因为， 所以，. 即两点之间的距离为米. 故选：A. 【一隅三反】 1．（24-25高一下·辽宁·期末）海洋洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得，，，，则A、B两点的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，在中，，， ，所以， 由正弦定理得，解得， 在中，，， ， 所以，故， 所以在中，由余弦定理得 ， 则，即A，B两点间的距离为． 故选：D. 2．（24-25高一下·浙江杭州·期中）位于P处的雷达接收到在其正东方向相距海里的B处的一艘渔船遇险后抛锚的营救信号后，即刻通知位于P处雷达北偏东且与P处雷达相距30海里的M处的甲船前往救援，则甲船至少需要航行的海里数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】题意如图，    当甲船沿航行时，航行的里数最少. 由题意，，在中，根据余弦定理可得： ， 所以. 即甲船至少需要航行的海里数为. 故选：B. 3．（24-25高一下·吉林长春·期末），是海面上相距海里的两个观测点，位于的正东方向.现位于点北偏东45°方向，点北偏西60°方向的点有一艘船发出求救信号，位于点南偏西60°方向且与点相距8海里的点的救援船立即前往营救，其航行速度为海里/小时，则该救援船到达点所需的最短时间为（   ） A．0.2小时 B．0.3小时 C．0.4小时 D．0.5小时 【答案】C 【解析】过点作⊥于点， 在中，，，设，则， 所以，解得（海里）， 所以，故， 在中，，，， 由余弦定理得， 故（海里）， 故该救援船到达点所需的最短时间为（小时）. 故选：C 考向八 正余弦定理的应用--高度 【例8-1】（25-26 甘肃·月考）小河的对岸有一棵树，设树底为，树顶为．如图，为了测量这棵树的高度，在河的另一侧选取两点，使得在同一水平面上，且三点共线，米．若在处测得树顶的仰角为，在处测得树顶的仰角为，则这棵树的高度（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【解析】在中，，，米， 在中，由正弦定理可得，所以， 又因为， 所以，解得米， 在中，，米， 所以米， 故选：D. 【一隅三反】 1．（24-25高一下·福建福州·期末）如图，为了测量河对岸塔的高度，甲在处观测到河对岸塔在北偏东方向，顶部的仰角为，往正东方向前进到达处，测得该塔在北偏西方向，底部和在同一水平面内，则该建筑物的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题设及图知：，则， 在中，可得， 又，可得. 故选：A 2．（24-25高一下·黑龙江佳木斯·期中）圣⋅索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球､圆柱､棱柱于一体，极具对称之美.为了估算圣⋅索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物，高约为，在它们之间的地面上的点（，，三点共线）处测得建筑物顶､教堂顶的仰角分别是和，在建筑物顶处测得教堂顶的仰角为，则可估算圣⋅索菲亚教堂的高度约为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题可得在直角中，，，所以， 在中，，， 所以， 所以由正弦定理可得，所以， 则在直角中，， 即圣.索菲亚教堂的高度约为. 故答案为：D. 3．（24-25高一下·重庆渝北·期中）渝北中学大力传承和弘扬“红岩·莲华”精神，在王朴母子雕像前举行纪念活动.某同学为测量王朴母子雕像的高度AB（雕像的底端视为点，雕像的顶端视为点），在地面选取了两点C，D（其中四点在同一个铅垂平面内），在点处测得点的仰角为，在点处测得点A，B的仰角分别为，测得，则按此法测得的王朴母子雕像AB的高为（    ）    A．34m B．35m C．36m D．37m 【答案】C 【解析】如图，设直线CD与AB交于点E，则，    由题意得， 又，且， 代入解得，从而， 进而， 则雕像高米，故C正确. 故选：C 考向九 正余弦定理的应用--角度 【例9-1】．（24-25高一下·浙江温州·期中）一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东30°，距离为6海里，灯塔在的北偏东60°，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西30°方向，则此时灯塔位于渔船的（   ） A．北偏东60°方向 B．北偏西30°方向 C．北偏西60°方向 D．北偏东30°方向 【答案】D 【解析】如图， 由题意，在中，，，， 则为正三角形，则， 在中，因为，， 由余弦定理得， 所以，故， 此时灯塔C位于渔船的北偏东方向. 故选：D. 【一隅三反】 1．（23-24高一下·广东茂名·月考）一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东，距离为海里，灯塔在的北偏东，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西方向，则此时灯塔位于渔船的（    ） A．南偏东方向 B．南偏西方向 C．北偏西方向 D．北偏西方向 【答案】D 【解析】如图，    由题意，在中，，，， 由正弦定理得， 所以， 在中，因为，， 由余弦定理得， 所以， 由正弦定理得， 所以， 因为，故为锐角， 故，此时灯塔C位于渔船的北偏西方向. 故选：D. 2．（23-24 山东泰安·月考）公路北侧有一幢楼，高为60米，公路与楼脚底面在同一水平面上.某人在点处测得楼顶的仰角为，他在公路上自西向东行走，行走60米到点处，测得仰角为，沿该方向再行走60米到点处，测得仰角为.则（    ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【解析】如图所示，由题意有，， 则有，故， 则， 故， 则. 故选：A. 3．（2025重庆·期中）一艘游轮航行到处时看灯塔在的北偏东，距离为海里，灯塔在的北偏西，距离为海里，该游轮由沿正北方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏东方向，则此时灯塔位于游轮的（　　） A．正西方向 B．南偏西方向 C．南偏西方向 D．南偏西方向 【答案】C 【解析】如图，在中，，由正弦定理得， 在中，由余弦定理得， 因为，所以解得， 由正弦定理得，故或， 因为，故为锐角，所以， 此时灯塔位于游轮的南偏西方向. 故选：C 考向十 三角形解的个数 （1） 已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角，此时有唯一解，三角形被唯一确定. （2）已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定. 由正弦定理、正弦函数的有界性及三角形的性质可得： ①若B=>1，则满足条件的三角形的个数为0； ②若B==1，则满足条件的三角形的个数为1； ③若B=<1，则满足条件的三角形的个数为1或2. 显然由0<B=<1可得B有两个值，一个大于，一个小于 【例10-1】（25-26山西太原·月考）在中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ） A． B．，， C． D．，， 【答案】C 【解析】对于选项A，已知两边及夹角，由三角形全等的条件可知△ABC有唯一解． 对于选项B，，，，又，故，故△ABC无解． 对于选项C，，，，有，∴， 又，故△ABC有两个解． 对于选项D，，，，由，得，故B为锐角，故△ABC有唯一解． 故选：C． 【例10-2】（25-26 黑龙江）在中，内角所对边分别为，已知，且三角形有两解，则角A的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由正弦定理可得,,可得, 由△ABC有两解知，有两个解，故，即， 或，又， ∴ A为锐角，所以， 故选: . 【一隅三反】 1．（25-26河北保定）在中，若，，，则解的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定 【答案】C 【解析】由正弦定理，得，所以，即，又， 所以，或，所以解的个数为2． 故选：C． 2．（24-25高一下·安徽合肥·期末）在中，内角的对边分别为，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，，则，只有一解，A不符合题意； 对于B，，满足，只有一解，B不符合题意； 对于C，，则， 故，结合， 故B有两解，分别在以及之间，C符合题意； 对于D，，则， 故，此时无解，D不符合题意， 故选：C 3．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）已知的内角的对边分别为，且，，若有两解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 如图：三角形中，，， 则有两解的充要条件为：， 即. 故选：D. 4．（25-26江苏盐城·月考）（多选）在中，角、、所对的边分别为、、，，，若满足条件的三角形有且只有一个，则边的长可以是（   ） A．1 B． C． D．4 【答案】ABD 【解析】在中，当已知边和锐角，判断三角形的个数时，若，有且只有一个解； 当时，有两个解；当时，有且只有一个解；当时，无解. 因为. 由，即，解得，故D正确； 由，可得，选项中，满足此条件，故A，B正确； 对于C，，此时三角形无解， 故C错误. 故选：ABD 【题组一 正余弦定理解三角形】 1．（25-26宁夏银川）已知中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据余弦定理得.故选：C 2．（2025·陕西西安）在中，，，，则（    ） A．1 B．3 C．1或3 D．2 【答案】B 【解析】在中利用余弦定理可得，， 则由题意得，即，得（负值舍去）. 故选：B 3．（24-25高一下·新疆阿克苏·期末）在中，角所对的边分别为，，，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】在中，，，， 由余弦定理得， 所以. 故选：B. 4．（24-25高一下·甘肃天水·月考）在中，，，，则边的长为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【解析】由余弦定理，可得，即， 整理得，解得. 故选：A. 5．（25-26高一上·福建福州·自主招生）在中，和均为锐角，且．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题可知， 由正弦定理得， 即，解得． 故选：A． 6．（24-25高一下·贵州遵义·月考）在中，角、、的对边分别为、、，若，，，则（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【解析】在中，因为，，，且，故， 由正弦定理可得， 又因为，故或. 故选：D. 7．（24-25高一下·山东菏泽·月考）已知的内角所对的边分别为，若，则（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【解析】由正弦定理知，，即，解得， 又，所以，所以． 故选：A． 8．（24-25高一下·北京顺义·期末）在中，，，，则（   ） A．4 B．3 C． D．2 【答案】D 【解析】在中，，所以， 又因为，则由正弦定理得，解得. 故选：D. 9．（2025河南）在中，内角的对边分别为，若，则 ． 【答案】2 【解析】在中，由余弦定理得， 得， 整理得，解得或（舍去）. 所以. 故答案：2 10．（24-25高一下·上海·期末）在中，若，则的大小为 . 【答案】 【解析】由正弦定理得，即，解得， 又因为，所以，所以.故答案为：. 【题组二 正余弦定理应用---边角互换】 11．（2025·江西）在中，角的对边分别是，若，则 【答案】2 【解析】由余弦定理可得，化简可得， 因为，所以. 12．（24-25高一下·江苏南通·期中）在中，若，则 【答案】 【解析】由题设，则， 所以，又，可得. 13．（25-26内蒙古）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，且，则∠B＝ 【答案】 【解析】由正弦定理得，即， 所以，在中，所以，，又，所以， 则． 14．（23-24高一下·湖南衡阳·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则A的大小为 【答案】或或 【解析】依题可得，即，则或， 因为，所以或或． 15．（24-25高一下·全国·课后作业）在中，内角A，，的对边分别为，，，若，则 ． 【答案】/ 【解析】因为，所以由正弦定理得，即， 由余弦定理得，又，所以． 故答案为： 16．（24-25高一下·上海·期中）已知，，分别为三个内角，，的对边，且.则角 . 【答案】 【解析】由题设，，则， 所以，，则.故答案为： 17．（2024江西）已知分别为的内角的对边，且.角 . 【答案】 【解析】在中，由余弦定理得，，代入得， 则，即， 即，因为，但时上式不成立， 所以，所以，则. 故答案为： 18．（23-24河北保定）在锐角中，若，则角 ． 【答案】/ 【解析】由，得，，又是锐角三角形， .故答案为：. 19．（25-26天津）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则 . 【答案】/ 【解析】由， 根据正弦定理，得， 则， 则， 在中，，则，即， 又，所以，则. 故答案为：. 20．（25-26云南楚雄）设的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若，则 ． 【答案】 【解析】因为，所以由正弦定理可得：，即，因为，所以，所以． 故答案为：. 【题组三 判断三角形的形状】 21．（24-25江苏南京）在中，其内角A，B，C的对边分别为，，，若，则的形状是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】B 【解析】因为，由余弦定理知，所以， 整理得，即的形状是直角三角形.故选：B. 22．（24-25高一下·江苏盐城·期中）在中，角A、B、C所对边分别为a、b、c.若，则该三角形一定是（    ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【解析】由，则， 所以，可得，不能确定是否成立， 所以一定是直角三角形. 故选：B 23．（23-24高一下·江苏淮安·期中）在中，角的对边分别为，若，则的形状是（ ） A．等腰三角形 B．等边三角形 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.4.2 正余弦定理 知识点一、余弦定理 （一）公式 知识点二、正弦定理 （1） 公式： ①已知两个角及任意—边②已知两边和其中—边的对角 知识点三、解三角形的概念 在三角形中，由已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形． 知识点四 判断三角形的个数 在中，已知和A时，解的情况主要有以下几类： ①若A为锐角时： ② 若A为直角或钝角时： 知识点五、解三角形应用题的步骤 实际问题画图数学问题解三角形数学问题的解检验实际问题的解 考向一 正余弦定理解三角形 正余弦定理的选择 （1） 正弦定理：两角一边、两边和对应角 （2） 余弦定理：三边求角、两边一角求边 （3） 任意三角形中，有“大角对大边，小角对小边”的边角 【例1-1】（25-26高一上·北京东城·期末）在中，若，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【例1-2】（2025·湖南永州）在中，，则最大的内角为（    ） A． B． C． D． 【例1-3】（25-26重庆·月考）在中，，则（    ） A．3 B．5 C．4 D． 【例1-4】．（24-25高一下·贵州毕节·期中）在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【例1-5】（23-24高一下·贵州遵义·月考）在中，，则（    ） A．或 B．或 C．或 D． 【一隅三反】 1．（2025江苏）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·贵州遵义·月考）在中，已知，则（    ） A．3 B． C． D．1 3．（25-26 陕西咸阳·月考）在中，，，，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·广东湛江·月考）在中，若，，，则（   ） A． B． C． D． 5.（24-25高一下·江苏常州·期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（   ） A．2 B． C．3 D． 6.（2026湖北）在△ABC中，，B＝45°，解这个三角形． 考向二 正余弦定理应用---边角互换 选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下： （1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； （2）若式子中含有、、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； （3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； （4）代数式变形或者三角恒等变换前置； （5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解； （6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理. 【例2-1】（25-26高二上·河北张家口·开学考试）在中，满足，则（    ） A． B．或 C． D．或 【例2-2】．（23-24高一下·重庆·期末）在中，记内角所对的边分别为.若，则（    ） A． B． C． D． 【例2-3】．（24-25 山东）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则 ． 【例2-4】．（24-25高一下·天津）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且，则角 ． 【例2-5】（2025山东·期末）已知分别为三个内角的对边，且，则 . 【例2-6】．（24-25 海南·阶段练习）在中，，，分别为内角，，的对边，且，则 【一隅三反】 1．（24-25高一下·福建泉州·月考）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，则 2．（24-25高一下·江苏苏州）在中，若，则 3．（2024·四川成都）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则 4.（24-25高一·陕西）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则 。 5.（24-25海南）在中，角，，的对边分别是，，，，则角 6．（2024高三·全国·专题练习）记的内角、、的对边分别为、、，已知，求= 考向三 判断三角形的形状 判定三角形形状的途径： (1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系； (2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁. 【例3-1】（24-25高一下·天津武清·月考）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则为（   ）． A．等腰直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 【例3-2】，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【例3-3】（24-25高一上·浙江杭州·期末）在中，（分别为角的对边），则的形状为（        ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【一隅三反】 1．（24-25高一下·全国·课后作业）的内角，，的对边分别为，，，若，则为（   ） A．等腰直角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 2．（23-24高一下·宁夏银川·月考）在中，其内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 3．（24-25陕西安康·月考）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则（    ） A． B． C． D． 4．（2026北京）在中，若内角的对边分别为，，则的形状为（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 5．（25-26 重庆·月考）在中，角所对的边分别为，已知，则角等于（    ） A． B． C． D． 考向四 三角形的面积 三角形的面积公式 （1）=a=b=c (,,分别为边a,b,c上的高). （2）将=bC，=cA，=aB代入上式可得=abC=bcA=acB，即三 角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦值乘积的一半. （3）=r(a+b+c)= rl，其中r,l分别为△ABC的内切圆半径及△ABC的周长. 【例4-1】（24-25高一下·云南玉溪·期末）已知中，内角所对的边分别为，且满足，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【例4-2】（24-25高一下·浙江杭州·月考）在中，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【例4-3】（24-25高一下·河南郑州·月考）在中，若，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【例4-4】（24-25高一下·重庆荣昌·月考）在中，，，且的面积为，则的周长为（  ） A．15 B．12 C．16 D．20 【一隅三反】 1．（25-26甘肃·月考）已知的三边长分别为，则的外接圆的面积为 2．（24-25高二上·上海·期中）在中，若，且的面积为，则 ． 3．（24-25高一下·安徽滁州·期中）的内角A、B、C的对边分别为，b，c，已知，且，则的面积为 ． 4.（24-25高一上·河北保定·期末）内角，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积为 . 5．（25-26高一上·上海杨浦·期末）在中，角A、B、C所对应的边分别是a、b、c，已知，，. (1)求c的值； (2)求与的面积. 考向五 三角形外接圆的半径 【例5-1】（24-25高一下·新疆克拉玛依·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则外接圆的周长为（    ） A． B． C．2 D．1 【例5-2】（24-25高一下·安徽·期中）在中，分别为角所对的边，且，若的外接圆直径为.则的值为（    ） A． B．2 C． D．4 【一隅三反】 1．（25-26内蒙古）在中，已知，，则外接圆的半径为（    ） A．6 B．3 C． D． 2．（24-25高一下·重庆·期末）在中，角，，的对边分别为，，．已知，，．外接圆的半径为（    ） A．6 B．3 C． D．9 3．（24-25高一下·江苏盐城·期末）在中，角，，的对边分别是，，，且满足，，则外接圆的半径为（   ） A． B．3 C． D．6 4．（25-26高一·全国·假期作业）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的外接圆面积为（　　） A．3π B．6π C．9π D．12π 考向六 正余弦定理的应用---几何 【例6-1】（2025·福建）如图，在三角形中，为边上一点，，，. （1）若，求； （2）若，求. 【例6-2】（2026湖南）如图，在中，，，D，E分别在边BC，AC上，，且． （1）求； （2）求的面积． 【一隅三反】 1．（2025海南）如图，是等边三角形，是等腰直角三角形，，交于，.      (1)求的度数； (2)求的面积. 2．（2026·甘肃）在中，角所对的边分别为，且满足． （1）求的值； （2）如图，点在边上，且，求的面积． 3．（2026山东临沂·期中）如图，在平面四边形中，，，，，．    (1)求的值； (2)求的长． 考向七 正余弦定理的应用---距离 【例7-1】（24-25高一下·北京顺义·期末）一艘海轮从港口A出发，沿着正东方向航行50n mile后到达海岛B，然后从海岛B出发，沿着北偏东30°方向航行70n mile后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C，那么这艘海轮需要航行的距离大约是（   ） A．62.4n mile B．85.0n mile C．104.4n mile D．116.0n mile 【例7-2】（24-25高一下·辽宁辽阳·期末）已知点在点的正西方向，为了测量两点之间的距离，在观测点处测得在的北偏西方向，在的北偏东方向，且两点之间的距离为20米，则两点之间的距离为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【一隅三反】 1．（24-25高一下·辽宁·期末）海洋洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得，，，，则A、B两点的距离为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·浙江杭州·期中）位于P处的雷达接收到在其正东方向相距海里的B处的一艘渔船遇险后抛锚的营救信号后，即刻通知位于P处雷达北偏东且与P处雷达相距30海里的M处的甲船前往救援，则甲船至少需要航行的海里数为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·吉林长春·期末），是海面上相距海里的两个观测点，位于的正东方向.现位于点北偏东45°方向，点北偏西60°方向的点有一艘船发出求救信号，位于点南偏西60°方向且与点相距8海里的点的救援船立即前往营救，其航行速度为海里/小时，则该救援船到达点所需的最短时间为（   ） A．0.2小时 B．0.3小时 C．0.4小时 D．0.5小时 考向八 正余弦定理的应用--高度 【例8-1】（25-26 甘肃·月考）小河的对岸有一棵树，设树底为，树顶为．如图，为了测量这棵树的高度，在河的另一侧选取两点，使得在同一水平面上，且三点共线，米．若在处测得树顶的仰角为，在处测得树顶的仰角为，则这棵树的高度（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【一隅三反】 1．（24-25高一下·福建福州·期末）如图，为了测量河对岸塔的高度，甲在处观测到河对岸塔在北偏东方向，顶部的仰角为，往正东方向前进到达处，测得该塔在北偏西方向，底部和在同一水平面内，则该建筑物的高为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·黑龙江佳木斯·期中）圣⋅索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球､圆柱､棱柱于一体，极具对称之美.为了估算圣⋅索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物，高约为，在它们之间的地面上的点（，，三点共线）处测得建筑物顶､教堂顶的仰角分别是和，在建筑物顶处测得教堂顶的仰角为，则可估算圣⋅索菲亚教堂的高度约为（    ）    A． B． C． D． 3．（24-25高一下·重庆渝北·期中）渝北中学大力传承和弘扬“红岩·莲华”精神，在王朴母子雕像前举行纪念活动.某同学为测量王朴母子雕像的高度AB（雕像的底端视为点，雕像的顶端视为点），在地面选取了两点C，D（其中四点在同一个铅垂平面内），在点处测得点的仰角为，在点处测得点A，B的仰角分别为，测得，则按此法测得的王朴母子雕像AB的高为（    ）    A．34m B．35m C．36m D．37m 考向九 正余弦定理的应用--角度 【例9-1】．（24-25高一下·浙江温州·期中）一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东30°，距离为6海里，灯塔在的北偏东60°，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西30°方向，则此时灯塔位于渔船的（   ） A．北偏东60°方向 B．北偏西30°方向 C．北偏西60°方向 D．北偏东30°方向 【一隅三反】 1．（23-24高一下·广东茂名·月考）一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东，距离为海里，灯塔在的北偏东，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西方向，则此时灯塔位于渔船的（    ） A．南偏东方向 B．南偏西方向 C．北偏西方向 D．北偏西方向 2．（23-24 山东泰安·月考）公路北侧有一幢楼，高为60米，公路与楼脚底面在同一水平面上.某人在点处测得楼顶的仰角为，他在公路上自西向东行走，行走60米到点处，测得仰角为，沿该方向再行走60米到点处，测得仰角为.则（    ） A． B．3 C． D． 3．（2025重庆·期中）一艘游轮航行到处时看灯塔在的北偏东，距离为海里，灯塔在的北偏西，距离为海里，该游轮由沿正北方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏东方向，则此时灯塔位于游轮的（　　） A．正西方向 B．南偏西方向 C．南偏西方向 D．南偏西方向 考向十 三角形解的个数 （1） 已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角，此时有唯一解，三角形被唯一确定. （2）已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定. 由正弦定理、正弦函数的有界性及三角形的性质可得： ①若B=>1，则满足条件的三角形的个数为0； ②若B==1，则满足条件的三角形的个数为1； ③若B=<1，则满足条件的三角形的个数为1或2. 显然由0<B=<1可得B有两个值，一个大于，一个小于 【例10-1】（25-26山西太原·月考）在中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ） A． B．，， C． D．，， 【例10-2】（25-26 黑龙江）在中，内角所对边分别为，已知，且三角形有两解，则角A的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（25-26河北保定）在中，若，，，则解的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定 2．（24-25高一下·安徽合肥·期末）在中，内角的对边分别为，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）已知的内角的对边分别为，且，，若有两解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26江苏盐城·月考）（多选）在中，角、、所对的边分别为、、，，，若满足条件的三角形有且只有一个，则边的长可以是（   ） A．1 B． C． D．4 【题组一 正余弦定理解三角形】 1．（25-26宁夏银川）已知中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·陕西西安）在中，，，，则（    ） A．1 B．3 C．1或3 D．2 3．（24-25高一下·新疆阿克苏·期末）在中，角所对的边分别为，，，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（24-25高一下·甘肃天水·月考）在中，，，，则边的长为（   ） A．1 B． C．2 D． 5．（25-26高一上·福建福州·自主招生）在中，和均为锐角，且．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·贵州遵义·月考）在中，角、、的对边分别为、、，若，，，则（   ） A． B． C． D．或 7．（24-25高一下·山东菏泽·月考）已知的内角所对的边分别为，若，则（　　） A． B． C．或 D．或 8．（24-25高一下·北京顺义·期末）在中，，，，则（   ） A．4 B．3 C． D．2 9．（2025河南）在中，内角的对边分别为，若，则 ． 10．（24-25高一下·上海·期末）在中，若，则的大小为 . 【题组二 正余弦定理应用---边角互换】 11．（2025·江西）在中，角的对边分别是，若，则 12．（24-25高一下·江苏南通·期中）在中，若，则 13．（25-26内蒙古）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，且，则∠B＝ 14．（23-24高一下·湖南衡阳·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则A的大小为 15．（24-25高一下·全国·课后作业）在中，内角A，，的对边分别为，，，若，则 ． 16．（24-25高一下·上海·期中）已知，，分别为三个内角，，的对边，且.则角 . 17．（2024江西）已知分别为的内角的对边，且.角 . 18．（23-24河北保定）在锐角中，若，则角 ． 19．（25-26天津）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则 . 20．（25-26云南楚雄）设的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若，则 ． 【题组三 判断三角形的形状】 21．（24-25江苏南京）在中，其内角A，B，C的对边分别为，，，若，则的形状是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 22．（24-25高一下·江苏盐城·期中）在中，角A、B、C所对边分别为a、b、c.若，则该三角形一定是（    ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 23．（23-24高一下·江苏淮安·期中）在中，角的对边分别为，若，则的形状是（ ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 24．（24-25高一下·吉林通化·期末）在中，角所对的边分别为，若，则为（   ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 25．（24-25高一下·江苏连云港·期中）在中，若，则的形状是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 26．（2025江苏）在中，若，则的形状一定是（　　） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形 【题组四 三角形的面积】 27．（2026浙江）内角，，的对边分别为，，，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 28．（2026江苏）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a sin B＝b cos A，a2＝(b－c)2＋4，则△ABC的面积是（   ） A．1＋ B．2＋ C．2 D．2＋2 29．（23-24高一下·陕西咸阳·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则的面积是（   ） A． B． C． D． 30．（24-25高一下·广东深圳·期中）在中，角所对的边分别为，且，的面积，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 31．（2026湖南常德·期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知. (1)求角； (2)若的面积，，求边的大小. 32．（2025·四川德阳）在中，若角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且，，. (1)求角； (2)求的周长. 33．（24-25高一下·河南·月考）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若． (1)求角B； (2)若，，求的面积S． 34．（25-26 上海·月考）在中， . (1)求； (2)求c以及的值. 【题组五 三角形外接圆的半径】 35．（2025河北保定·月考）在中，若，，三角形的面积，则三角形外接圆的半径为（   ） A． B．2 C． D． 36．（23-24高一下·福建厦门·期中）已知四边形 的三个顶点在某圆上，， 则该圆的面积为（    ） A． B． C． D． 37．（24-25高一下·广东潮州·期末）在中，已知，，则的外接圆直径为（    ） A．2 B． C． D． 38．（24-25高一下·湖南娄底·期中）在中，角的对边分别为，则的外接圆面积为（    ） A． B． C． D． 39．（25-26高一上·上海浦东新·期末）已知中，，则外接圆半径为 . 40．（25-26广东清远·月考）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则 ；外接圆的面积为 ． 41．（24-25高一下·重庆渝北·期中）在中，内角所对的边分别为，已知且，则外接圆面积为 . 【题组六 正余弦定理的应用---几何】 42．（24-25高一下·吉林松原·期末）在中，已知，是边上一点，如图，，，，则（    ） A． B． C． D． 43．（24-25高一下·广东东莞·月考）（多选）如图，在四边形中，已知，，，，，则以下说法正确的有（    ） A． B． C．四边形的面积为 D． 44．（24-25高一下·广东清远·期中）如图，在平面四边形中，，，，，则 . 45．（25-26 江西南昌·月考）如图，在中，，，点在上，， . (1)求； (2)求. 46．（24-25 江西萍乡·期中）如图，在平面四边形中，，，，． (1)求四边形的周长； (2)求四边形的面积． 47．（23-24高一下·北京·期中）如图，在梯形ABCD中，，， (1)求； (2)求BC的长． 48．（23-24安徽六安·月考）在中，角所对的边分别为，，，且. (1)求; (2)已知，为边上的一点，若，，求的长. 【题组七 正余弦定理的应用---距离】 49．（25-26福建·月考）如图，某施工队将从到修建一条隧道，为确定、之间的距离，测得了以下数据：，，，，则、间的距离为（   ） A．3 B． C． D． 50．（25-26高一上·四川绵阳·期中）某船只在海面上向正东方向行驶了迅速将航向调整为南偏西，然后沿着新的方向行驶了，此时发现离出发点恰好30km，那么的值为（   ） A．30 B．60 C．40或60 D．30或60 51．（24-25高一下·北京房山·期末）如图，甲船在A处，乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B处，乙船以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以每小时8海里的速度由A处向南偏西60°方向行驶，当甲、乙两船相距最近时，行驶的时间为（    ）    A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 52．（24-25高一下·贵州贵阳·期末）某数学建模活动小组在开展主题为“空中不可到达两点的测距问题”的探究活动中，抽象并构建了如图所示的几何模型，该模型中MA、NB均与水平面ABC垂直.并已测得可直接到达的两点间距离，在C处观测M的仰角为观测N的仰角为60°，且，则M与N之间的距离为（    ） A． B． C． D． 53．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，为了测量两山顶间的距离，飞机沿水平方向在两点进行测量，在同一个铅垂平面内，在A点测得在A的南偏东的方向上，在A的南偏东的方向上，在点测得在的南偏西的方向上，在的南偏东的方向上，且，则（   ） A． B． C． D． 54．（24-25高一下·广东惠州·期末）位于灯塔处正西方相距海里的处有一艘甲船，需要海上加油，位于灯塔处北偏东方向有一与灯塔相距海里的处有一艘乙船，则乙船前往支援处甲船需要航行的最短距离是 （    ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 55．（24-25高一下·河南南阳·期末）如图，某观察站B在城A的南偏西的方向，由城A出发的一条公路走向是南偏东，在B处测得公路上距B处的C处有一人正沿公路向A城走去，走了之后到达D处，此时B，D间的距离为．要达到A城，这个人还要走（   ） A． B． C． D． 【题组八 正余弦定理的应用--高度】 56．（24-25高一下·河南驻马店·开学考试）普利寺塔，又名万佛塔，被国务院批准列入第五批全国重点文物保护单位名单.如图，某测量小组为测量该塔的总高度AB，选取与塔底B在同一水平面内的两个测量点C与D，现测得，，米，在C点测得塔顶A的仰角为，则该塔的总高度AB约（   ）米（取，） A． B． C． D． 57．（24-25高一下·贵州安顺·期末）如图，一同学想利用所学习的解三角形知识测量河对岸的塔高AB，他选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，，，，在点C处测得塔顶A的仰角为60°，则塔高为（   ） A． B． C． D． 58．（24-25高一下·安徽宿州·期末）某同学为测量学校附近山上信号塔的高度AB（塔底视为点B，塔顶视为点A），在山脚下选取了两点C，D（其中A，B，C，D四点在同一个铅垂平面内），在点C处测得点A的仰角为，在点D处测得点A、B的仰角分别为，测得米，则按此法测得的塔高为（   ） A．67米 B．72米 C．74米 D．76米 59．（24-25高一下·重庆·期末）如图，某校学生利用解三角形有关知识进行数学实践活动.A处有一栋大楼，某学生选B，C两处作为测量点，测得BC的距离为50m，，，在C处测得大楼楼顶D的仰角为.则大楼的高度为（    ）m. A． B． C． D． 60．（24-25高一下·浙江宁波·期末）某学生为测量宁波天封塔的高度，如图，选取了与天封塔底部D在同一水平面上的A，B两点，测得，在A，B两点观察塔顶C点，仰角分别为和，且，则宁波天封塔的高度是（   ） A．50m B． C． D． 61．（24-25高一下·广西柳州·期末）江西赣州慈云塔始建于北宋天圣元年，是古代慈云寺的附属建筑物，距今已有1000多年的历史，是一座典型的宋代高层楼阁式砖塔，是我国第六批全国重点文物保护单位.如图，某校高一年级数学实践小组为了测得其塔高，在点测得塔底位于北偏东方向上，塔顶的仰角为，在的正东方向且距点60米的点测得塔底位于北偏西方向上（，，在同一水平面），则塔的高度约为（    ）（参考数据：）    A．39米 B．46米 C．49米 D．52米 62．（24-25高一下·江苏南京·期末）公园内有一棵树，，是与树根处点在同一水平面内的两个观测点，树顶端为.如图，观测得，，，米，则该树的高度为（    ）米. A． B． C． D． 【题组九 正余弦定理的应用--角度】 63．（24-25浙江）某校学生参加课外实践活动，“测量一土坡的倾斜程度”．如图，在坡脚处测得坡顶一建筑物的顶端对于山坡的倾斜程度为，沿土坡前进50m到达处，测得对于山坡的倾斜度为，已知m，，设土坡对于平面的坡角为，则（    ） A． B． C． D． 64．（24-25高一下·湖北武汉·月考）已知甲船在海岛的正南A处，海里，甲船以每小时4海里的速度向正北航行，同时乙船自海岛出发以每小时6海里的速度向北偏东60°的方向驶去，当航行一小时后，甲船在乙船的（    ） A．北偏东30°方向 B．北偏东15°方向 C．南偏西30°方向 D．南偏西15°方向   65．（2025江苏南京·月考）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步轨道卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为，半径为的球，若地球表面上的观测者与某颗地球静止同步轨道卫星处于相同经度，且能直接观测到，设点的维度（与赤道平面所成角的度数）的最大值为，则（    ） A． B． C． D． 【题组十 三角形解的个数】 66．（25-26安徽·期中）在中，内角的对边分别为，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 67．（25-26海南·月考）在中，, ，则“”是“有两解”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 68．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，时，当角C有两解时，边a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 69．（24-25高一下·河北·期末）已知的内角的对边分别为，若有两解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 70．（24-25云南曲靖）（多选）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，分别根据下列条件解三角形，其中有唯一的解是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 1 学科网（北京）股份有限公司 $