6.4 .1 平面向量的应用讲义-2025-2026学年高一数学人教A版必修第二册

6.4.1 平面向量的应用 知识点一：向量在平面几何中的应用 （1） 证明线段相等、平行：常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则 （2）证明线段平行、三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行：常运用向量平行（共线）的条件：（或）． （3）证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线（线段）是否垂直等，常运用向量垂直的条件：（或）． （4）求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式． （5）向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题． 知识点二：向量在解析几何中的应用 （1）斜率相等：向量平行． （2）垂直：转化为向量垂直，然后构造向量数量积为零的等式 （3）定比分点问题：转化为三点共线及向量共线的等式条件． （4）夹角问题：利用公式． 知识点三：向量在物理中的应用 （1） 明确用向量研究物理问题的相关知识： ①力、速度、位移都是向量； ②力、速度、位移的合成与分解就是向量的加减法； ③动量mv是数乘向量； ④功即是力F与所产生位移s的数量积． （2）用向量方法解决物理问题的步骤： ①是把物理问题中的相关量用向量表示； ②是转化为向量问题的模型，通过向量运算解决问题； 考向一 平面几何中的向量方法---线段长 【例1】（2025·山东临沂）在平行四边形中，，，，为边上一点，若，则线段的长为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【解析】设，如图， 因为， 所以, 即，解得， 所以， ， 故选：A 【一隅三反】 1．（24-25江苏）在ABC中，，，，与BE的交点为，若，则的长为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【解析】令，，由，， 则，， 则， 由、、三点共线，故，即， 即，则 ， 解得，即的长为. 故选：C. 2.（24-25高一下·河北沧州·阶段练习）如图，在中，. (1)求的长； (2)求的长. 【答案】见解析 【解析】（1）； ， ，故， . （2）， . 3.（23-24浙江·期末）如图，在中，已知，，，，分别为，上的两点，，，相交于点．    (1)求的值； (2)求证：． 【解题思路】（1）用、表示，再根据数量积的定义及运算律计算可得； （2）用、表示、，根据数量积的运算律求出，即可得证. 【解答过程】（1）因为， 所以， 所以， 所以； （2）因为， 所以， 所以， 所以，即，所以． 考向二 平面几何中的向量方法--夹角 【例2-1】（2025·四川）在中，，，，，，CN与BM交于点P，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】建立如图直角坐标系，则, 得, 所以， 故选：D. 【例2-2】（24-25高一下·湖南·期末）如图，在中，，，，D是BC的中点，，AD与CE交于点F.则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，则， 且，得， 又是的中点，即是中线，则， 则，得， 所以 故选：D． 【一隅三反】 1.（23-24高一下·山东菏泽·期末）如图，在中，已知，，，且.求. 【解题思路】根据向量线性运算结合已知可得故，，平方后利用数量积的运算法则求得，再利用向量的夹角公式即可求得答案. 【解答过程】由题意得，的夹角为， ，则， 又，所以， 故，同理 于是 ， ， ， . 2.（24-25广西）如图，在中，已知边上的两条中线AM，BN相交于点.    (1)求AM的长度； (2)求∠MPB的正弦值. 【解题思路】（1）根据AM是中线，由求解； （2）易知为向量的夹角，然后利用平面向量的夹角公式求解. 【解答过程】（1）解：因为AM是中线， 所以， 所以， 则； （2）由图象知：为向量的夹角， 因为， 所以， ，则， 又 ， ， 所以， 因为， 所以. 3.（2026广西）在四边形中，，，，其中，为不共线的向量． (1)判断四边形的形状，并给出证明； (2)若，，与的夹角为，为中点，求． 【解题思路】（1）根据向量线性运算判断的关系即可； （2）利用向量数量积先求，和，然后由向量夹角公式可得. 【解答过程】（1）因为，， 所以， 又因为，所以， 又因为四点不共线，所以且，所以四边形为梯形． （2）因为， 所以， 因为为中点，所以， 所以，所以， 所以， 因为，所以． 考向三 平面几何中的向量方法---垂直 【例3-1】（24-25海南）如图所示，已知在正方形中，E，F分别是边，的中点，与交于点M.    (1)设，，用，表示，； (2)猜想与的位置关系，写出你的猜想并用向量法证明你的猜想. 【答案】(1)， (2)，证明见解析 【解析】（1）， ； （2），证明如下： 由（1）知，， 所以， 设，则， 所以，所以，得证. 【例3-2】（24-25四川）已知平面四边形中，，向量的夹角为. (1)求证：； (2)点是线段中点，求的值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【解析】（1）根据题意，画出示意图如下图所示 由题意可知， ， 所以三角形ABD为等边三角形， 则，又 ， 所以， 即为直角三角形，且 ， 所以， 所以 ； （2）根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，因为点是线段中点，所以， 则 ，所以， 【一隅三反】 1．（24-25高一下·河南信阳·期中）已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点在边上，且，设与相交于点．记，．    (1)请用，表示向量； (2)若，设，的夹角为，若，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【解析】（1），由题意得， 所以． （2）由题意，． ∵，，∴． ∴， ∴． 2．（25-26高一下·山东济南·月考）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，(且)，D为AB的中点，E为的重心，F为的外心． (1)求重心E的坐标； (2)用向量法证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【解析】（1）如图， ∵，，， ∴，则由重心坐标公式，得； （2）． 易知的外心F在y轴上，可设为． 由，得， ∴，即． ∴． ∴， ∴，即． 3．（24-25北京）如图，在正方形中，P是对角线AC上一点，垂直于点E，垂直于点F．求证：．    【答案】证明见解析 【解析】设，由为正方形，则有，， 则， ， 故 ，故. 考向四 向量在物理中的应用---力问题 【例4-1】（25-26 河北秦皇岛·月考）已知平面上两个力同时作用于某质点上，其中，若对该质点再施加一个力，使该质点恰好处于平衡状态，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 所以， 则. 故选：C. 【例4-2】（24-25高一下·陕西咸阳·期中）如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子与铅垂线的夹角均为．已知礼物的质量为1kg，每根绳子的拉力大小相同，则降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小最接近（   ） （重力加速度取）    A．1.8N B．1.6N C．1.5N D．1.4N 【答案】D 【解析】设每根绳子上的拉力大小为，则根据平衡条件可得，, 解得．所以降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小约为1.41N． 故选：D. 【一隅三反】 1．（24-25高一下·甘肃白银·期末）已知三个力，，同时作用于某质点上，若对该质点再施加一个力，该质点恰好达到平衡状态（合力为零），则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，作用在该质点上的三个力，，， 则． 想要该质点恰好达到平衡状态，只需． 故选：C. 2．（2024·山西长治 ）平面上的三个力作用于一点，且处于平衡状态.若与的夹角为45°，则与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵三个力平衡，∴， ∴. 设与的夹角为，则， 即，解得故选：A 3．（25-26高一上·全国·期末）在日常生活中，我们会看到两个人共提一桶水或者共提一个行李包这样的情景．假设行李包或者水桶所受重力为，作用在行李包或者水桶上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为，下列结论中正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时，有最小值 D．越小越费力，越大越省力 【答案】A 【解析】设，，，    由题意可得：四边形为菱形且，， 因为与的夹角为，， 则， 即. 对于，当时，， 则，即正确； 对于，当时，， 则，即错误； 对于，，当取最大值时，有最小值， 又，即当时，取不到最小值，即错误； 对于，越小，越大，越小，越大，越小，越大，即错误． 故选： 考向五 向量在物理中的应用---河流问题 【例5-1】（24-25高一下·福建福州·期末）一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行．已知船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为，那么当航程最短时，这艘船到达河对岸行驶时间为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设航船方向与河岸夹角为， 所以，所以， ， 分钟. 故选：C. 【例5-2】（24-25高一下·福建福州·期中）已知一条河的两岸平行，一艘船从河的岸边处出发，向对岸航行，若船的速度，水流速度，且船实际航行的速度的大小为9，则（    ） A．3 B． C． D．12 【答案】A 【解析】    设船实际航行的速度为，则， 又，所以，解得（负值舍去）. 故选：A 【例5-3】（25-26湖北武汉·月考）如图，一条河两岸平行，河的宽度为，一艘船从河岸边的地出发，向河对岸航行．已知船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为．设这艘船行驶方向与水流方向的夹角为，行驶完全程需要的时间为，若船的航程最短，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，设，要使船的航程最短，则船的实际航行方向与岸边垂直， 由图可知，所以，故， 所以，又因为，所以， 所以（），故. 故选：D. 【一隅三反】 1．（25-26湖北）如图，一条河的两岸平行，河面宽度为1km.一艘轮船从河岸边的A点出发，向河对岸航行.已知轮船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为.设，的夹角为，当轮船的航程最短时，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图所示，当与的合速度垂直于河岸时，轮船的航程最短， 则， 又，故，. 故选：C 2．（2025·福建泉州）一条河两岸平行，河的宽度为，一艘船从河岸边的某地出发，向河对岸航行．已知船在静水的速度大小为，且船在航行过程中受水流的影响．当船以路程最短的方式航行到对岸时，所需时间为6分钟，则水流速度的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图： 船的实际过河速度为：.即. 又，即. 所以， 所以， 所以. 即水流速度为：. 故选：B 3．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·月考）如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为400米，一艘船从河岸的地出发，向河对岸航行．已知船在静水中的航行速度的大小为，水流速度的大小为，船的速度与水流速度的合速度为，那么当航程最短时，下列说法正确的是（    ） A．船头方向与水流方向垂直 B． C． D．该船到达对岸所需时间为3分钟 【答案】C 【解析】当航程最短时，船的实际航线应垂直河岸，此时船在静水中的速度应斜向上游，船头方向与水流方向不垂直，所以A选项错误. 设船在静水中的速度与水流速度的夹角为，因为船的实际航线垂直河岸，所以、与合速度构成直角三角形，根据三角函数关系可得. 已知，，则，即，根据诱导公式，可得，所以，即，B选项错误. 由、与合速度构成直角三角形，根据勾股定理可得. 将，代入，可得，C选项正确. 河宽米千米，合速度，可得. 将换算为分钟，所以分钟分钟，D选项错误. 故选：C. 4．（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考）某人在静水中游泳，速度为km/h．若此人沿垂直于水流的方向游向河对岸，水的流速为4km/h，则此人实际沿与水流方向成 （填弧度数）方向前进，速度为 km/h 【答案】 8 【解析】将此人的游泳速度与水的流速平移至共同起点，作出其和速度， 由此人的游泳速度为km/h，水的流速为4km/h， 可得此人实际速度为 km/h，且与水流方向成. 故答案为： ；8. 5．（24-25高一下·江苏淮安·月考）长江流域内某地南北两岸平行，已知游船在静水中的航行速度的大小，水流的速度 的大小为，如图，设和所成的角为，若游船从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则等于 .    【答案】 【解析】解：设船的实际速度为，   因为与所成的角为，北岸的点B在A的正北方向， 所以游船正好到达B处，则， 所以故答案为： 考向六 向量在物理中的应用---功、动量 【例6】（23-24高一下·四川绵阳·期中）已知力作用于一物体，使物体从点处移动到点处，则力对物体所做的功为 焦耳. 【答案】21 【解析】因为力，位移，所以力对物体所做的功为焦耳， 故答案为：21 【一隅三反】 1．（24-25高一下·宁夏银川·期中）利用向量的数量积可以定义物理中的功：，是物体所受的作用力，是物体的位移．已知力作用于一物体，使物体从点处移动到点处，则力对物体所做的功为 焦耳． 【答案】21 【解析】因为力，位移， 所以力对物体所做的功为焦耳． 故答案为：21． 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知，作用于同一质点，由移动到点，合力对质点所做的功为 . 【答案】111 【解析】合力， ， 合力对质点所做的功为：． 故答案为：111 3．（24-25云南）如图，一个力作用于小车G，使小车G发生了40米的位移，的大小为50N，且与小车的位移方向的夹角为，是与小车位移方向相同的单位向量，则在小车位移上的投影向量为 ，力做的功为 .    【答案】 1000J 【解析】因为，且与小车的位移方向的夹角为， 所以在小车位移上的投影向量为. 又力作用于小车G，使小车G发生了40米的位移， 所以力做的功. 故答案为：；1000J. 【题组一 平面几何中的向量方法---线段长】 1．（2026·云南）已知为的边的中点，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由已知得， 所以 ， 因为，则， 所以，即. 故选：D. 2．（24-25江苏苏州·开学考试）中，AD为中线，AD = 4，BC = 6，作，则等于（    ） A．7 B． C． D．9 【答案】A 【解析】在中，由， 则， 由三点共线， 则 ， 设， 则，且， 则. 故，即. 所以. 故选：A. 3．（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考）起点重合，，则的最大值为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【解析】由题意， ，则， 因为， 所以， 所以， 所以， 因为，所以， 整理得且（恒成立）， 解得，即的最大值为. 故选：D 【题组二 平面几何中的向量方法--夹角】 4．（23-24高一下·广西河池·月考）如图，在中，已知边上的两条中线AM，BN相交于点.    (1)求AM的长度； (2)求∠MPB的正弦值. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解：因为AM是中线， 所以， 所以， 则； （2）由图象知：为向量的夹角， 因为， 所以， ，则， 又， ， 所以， 因为， 所以. 5．（23-24河南新乡·月考）如图，在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点P， (1)求； (2)求的正弦值. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）由是上的中线，所以， 设，则， 又三点共线，所以，解得，所以， 因为是上的中线，所以， 所以， 所以，故. （2）为与夹角，且， 因为是BC上的中线，所以， 所以 ，所以， 又 ， 所以， 所以. 6．（2026山东菏泽·期末）如图，在中，已知，，，且.求. 【答案】 【解析】由题意得，的夹角为， ，则， 又，所以， 故，同理 于是 ， ， ， . 7．（2025福建福州·期中）已知梯形中，，，E为的中点，F为与的交点，． (1)求和的值； (2)若，，，求与所成角的余弦值． 【答案】(1)， (2) 【解析】（1）根据题意，梯形中，，，E为的中点 则 又由可得， （2）是与所成的角，设向量与所成的角为 ，则 ，则 则， 因为 所以 所以与所成角的余弦值为. 【题组三 平面几何中的向量方法---垂直】 8．（2026上海）如图，正方形ABCD的边BC在正方形BEFG的边BG上，联结AG、CE，AG交DC于H． （1）证明：； （2）当点C在BG的什么位置时，最小？ 【答案】（1）证明见解析；（2）点C在BG的中点. 【解析】以B为原点，BE所在所在直线为x轴，以BG所在直线为y轴，建立直角坐标系．设，，且a<b， ∴、、，，∴，， ∴，∴，即． （2）易知，， ∴，当且仅当时取等号， ∴点C在BG的中点时，最小． 9.（24-25高一下·山东济南·阶段练习）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，(且)，D为AB的中点，E为的重心，F为的外心． (1)求重心E的坐标； (2)用向量法证明：． 【解题思路】（1）求出D的坐标，根据重心坐标公式即可求出E的坐标； （2）求出F的坐标，证明即可． 【解答过程】（1）如图， ∵，，， ∴，则由重心坐标公式，得； （2）． 易知的外心F在y轴上，可设为． 由，得， ∴，即． ∴． ∴， ∴，即． 【题组四 向量在物理中的应用---力问题】 10．（24-25高一下·江苏连云港·期中）一个物体在三个力，，的作用下，处于静止状态，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可得， 所以. 故选：D 11．（24-25高一下·广东惠州·期中）已知物体受平面内的三个力作用于同一点，且该物体处于平衡状态，若，，且的夹角为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因，则，则， 又三个力作用于同一点，且该物体处于平衡状态， 则，即， 则. 故选：A 12．（24-25高一下·广西河池·期末）（多选）在日常生活中，向量无处不在，如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为.给出以下结论，其中正确的是（   ）    A．越大越费力，越小越省力 B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】AD 【解析】对于A，由为定值， 所以， 解得； 由题意知时，单调递减，且为定值，由符合函数的单调性可得单调递增， 即越大越费力，越小越省力，故A正确； 对于B，当时，，故B错误 对于C，当时，，所以，故C错误； 对于D，当时，，所以，故D正确. 故选：AD. 13．（24-25高一下·广东东莞·期中）（多选）在日常生活中，我们会看到这样的情境：两个人共提一个行李包．假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，且与的夹角为，则下列结论中正确的是（   ） A． B．越小越费力，越大越省力 C．当时， D．的范围为 【答案】AC 【解析】 因为，所以平行四边形法则为菱形，故，即，故A正确； 根据向量加法的平行四边形法则越小越省力，越大越费力，故B错误； 当时，，又，所以为等边三角形，即，故C正确； 若，则，与矛盾，所以，故D错误； 故选：AC. 14．（24-25高一下·全国·课后作业）（多选）如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列四个选项中，其中正确的是（    ） A．绳子的拉力不断增大 B．绳子的拉力不断变小 C．船的浮力不断变小 D．船的浮力保持不变 【答案】AC 【解析】设水的阻力为，绳的拉力为， 绳与水平方向的夹角为， 则， . 增大，减小， 增大， 增大， 船的浮力减小. 故选：AC. 15．（25-26高一上·辽宁·期末）如图所示，把一个物体放在倾斜角为的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力G，沿着斜面向上的摩擦力，垂直斜面向上的弹力，已知那么 N.（）    【答案】100 【解析】以平行于斜坡方向为x轴，垂直于斜坡方向为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，    则，设，， 所以，，， 由题意可得， 所以，即， 解得，. 故答案为：100 16．（2026高三·全国·专题练习）平面上的三个力作用于一点，且处于平衡状态．若，，与的夹角为45°，则与夹角的余弦值为 ． 【答案】 【解析】∵三个力平衡， ∴， ∴. 设与的夹角为，则， 即，解得. 故答案为： 17．（2025高一·全国·专题练习）如图所示，支座受两个力的作用，已知，与水平线成角，，沿水平方向，两个力的合力的大小，则 . 【答案】 【解析】依题意，，则， 即，解得. 故答案为：. 18．（2025·四川成都）如图，无弹性细绳，一端分别固定在A，B处，在同样的细绳的下端吊一重物，要保持此状态，对细绳的耐力性要求最高的是 (三条绳本身质量忽略不计，横线上填或或)．    【答案】 【解析】设三条绳受的力分别为，则， 合力为，， 如图，在平行四边形中， ∵，    ∴， 即，故细绳OA受力最大，即对OA绳的耐力性要求最高． 故答案为： 19．（24-25高一下·江苏无锡·期中）若平面上的三个力、、作用于一点，且处于平衡状态.已知，，与的夹角为，则与夹角的大小为 ． 【答案】 【解析】作，，，以、为邻边作平行四边形， 则，    由题意可得，，， ， ， ， 所以，， 因为，故，则， 因此，与夹角的大小为. 故答案为：. 20．（24-25高一下·重庆万州·月考）如图，一滑轮组中有两个定滑轮A，B，在从连接点O出发的三根绳的端点处挂着三个重物，它们所受的重力分别为4N，4N，7N，此时整个系统处于平衡状态，则 . 【答案】 【解析】依题意，，则， 即，解得， 所以. 故答案为： 21．（23-24高一下·山东青岛·期末）如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为60°．已知礼物重量为2kg，每根绳子的拉力大小相同.则降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小为 N．（重力加速度g取） 【答案】 【解析】设水平面的单位法向量为，其中每一根绳子的拉力均为， 因为，所以在上的投影向量为， 所以8根绳子拉力的合力为， 又因为降落伞匀速下落，所以， 所以，，所以. 故答案为：. 【题组五 向量在物理中的应用---河流】 22．（25-26广东·月考）某河段南北两岸平行，一艘船从南岸码头A点出发航行到北岸，已知船在静水中的航行速度的大小为km/h，水流速度的大小为km/h．设和的夹角，当船的航行距离最短时，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】要使船的航行距离最短，只需，合速度垂直于两岸，如图所示， 所以，其中，所以． 故选：C． 23．（25-26 山东泰安·开学考试）如图，飞机飞行中的地面速度（GS）是指飞机相对于地面的实际速度，由飞机相对于周围空气的实际运动速度（TAS）向量加减风速（WS）向量得出，其中风速顺风为正，逆风为负，DA为偏流角. 已知某飞机逆风飞行，在某时刻测得风速对应向量为，地面速度对应的向量为，则飞机在该时刻的实际飞行速度（单位：）为（    ） （参考数据：，，） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设飞机的地面速度向量为，实际运动速度向量和风速向量分别为， 由已知可得，且，， 所以， 故. 故选：B. 24．（2025·广东广州 ）某货船执行从港口到港口的航行任务，港口在港口的正北方向，已知河水的速度为向东．若货船在静水中的航速为，船长调整船头方向航行，使得实际路程最短．则该船完成此段航行的实际速度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设船在静水中的速度为，水流速度为，船实际航行速度为，则， 且，设，由船需要准确到达正北方向的B点，得， 则，解得，而，于是， ， 所以该船完成此段航行的实际速度为. 故选：B 25．（2026山东潍坊·期末）如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为400米，一艘船从河岸的A地出发，向河对岸航行．已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，船的速度与水流速度的合速度为，那么当航程最短时，下列说法正确的是（     ） A．船头方向与水流方向垂直 B． C． D．该船到达对岸所需时间为3分钟 【答案】B 【解析】如图， 是河对岸一点，且与河岸垂直，那么当这艘船实际沿方向行驶时船的航程最短， ，，故C错误； 设船头方向与的夹角为，则，则船头方向与水流方向不垂直，故A错误； ，故B正确； 该船到达对岸的时间为分钟，故D错误． 故选：B. 26．（24-25高一下·河南·期中）长江某段南北两岸平行，如图，江面宽度.一艘游船从南岸码头点出发航行到北岸.已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流速度的大小为.设和的夹角为，当船的航行距离最短时下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】要使船的航行距离最短，只需合成速度垂直于两岸， 所以，即. 故选：C 27．（2025·安徽黄山 ）（多选）如图，一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河岸边的地出发，向河对岸航行，已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，设和的夹角为，则下列说法正确的为（   ） A．当船的航行时间最短时， B．当船的航行距离最短时， C．当时，船的航行时间为6分钟 D．当时，船的航行距离为 【答案】AC 【解析】对于A，将船的速度和水流速度进行合成，船垂直河岸方向的分速度， 河宽，则渡河时间 ， 当，即，取得最小值，所以当船的航行时间最短时，，故A正确； 对于B，当船的航行距离最短时，合速度方向垂直河岸，如图， 则，所以，故B错误； 对于C，当时，船垂直河岸方向的分速度， 船的航行时间，即6分钟，故C正确； 对于D，将船的速度和水流速度进行合成，则， 当时，， 所以， 因为船垂直河岸方向的分速度， 所以船的航行时间， 所以船的航行距离为，故D错误. 故选：AC. 28．（24-25高一下·云南曲靖·开学考试）一条渔船距对岸3km，以2km/h的速度向垂直于对岸的方向划去，到达对岸时，船的实际航程为6km，则河水的流速为 km/h． 【答案】 【解析】如图，用表示河水的流速，表示船的速度， 则为船的实际航行速度． 由图知，，，则． 又， 所以． 即河水的流速是 km/h． 故答案为： 29．（25-26 江苏南通 ）一支长的队伍以的速度匀速前进．队尾的传令兵因传达命令以的速度赶赴队首，到达后立即返回队尾，往返速度的大小不变．记传令兵从队尾到队首所用的时间为，从队首到队尾所用的时间为，则 ，传令兵所走的路程为 ． 【答案】 2 /2.25 【解析】传令兵从队尾到队首与队伍的相对速度为， 根据路程与速度和时间的关系可得， 传令兵从队首到队尾与队伍的相对速度为， 根据路程与速度和时间的关系可得， 则，传令兵所走的路程为. 故答案为：；. 30．（24-25高一上·河北·月考）一艘船以4的速度沿着与水流方向成120°的方向航行，已知水流速度为2，则经过，船的实际航程为 . 【答案】 【解析】解析设船的速度为，水流速度为，则船的实际航行速度为， 于是有， 所以，则经过2h，船的实际航程为. 故答案为：. 31．（23-24高一下·山东菏泽·月考）长江流域内某段南北两岸平行，如图，一艘游船从南岸码头出发航行到北岸．已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，设与所成的角为，若游船要从航行到正北方向上位于北岸的码头处，则 ． 【答案】/ 【解析】由题意，游船要从航行到正北方向上位于北岸的码头处，即航行的方向垂直河岸，由向量加法的几何意义可知，即 所以，解得， 故答案为：. 32．（24-25高一下·四川成都·期中）一艘船从码头A出发，计划向正北方向直线航行到对岸的B点，AB距离为100公里.船在静水中的航速为50公里/小时，但河流以25公里/小时的速度持续向东流动. (1)若船头始终指向正北方向，求船到达对岸时实际停靠点与B点的偏离距离； (2)若船需要准确到达正北方向的B点，求船头应调整的方向（即船头方向与正北方向的夹角），以及到达B点所需时间. 【答案】(1)50公里； (2)，小时. 【解析】（1）设船在静水中的速度为，水流速度为，船实际航行速度为，则， 由船头始终指向正北方向，得，而，向量的夹角为， 于是， 所以船到达对岸时实际停靠点与B点的偏离距离为（公里）. （2）由（1）知，，，， 由船需要准确到达正北方向的B点，得， 则，解得， 而，于是，， ，， 所以船头应调整的方向，到达B点所需时间为小时. 33．（24-25高一下·福建三明·月考）设河宽，水流的速度，船在静水中的速度，则船必须朝哪个方向开，才能保证： (1)所走的路程最短？ (2)所用的时间最短？ 【答案】(1)船朝着与水流方向成角的方向开，才能保证所走的路程最短； (2)船朝着与河岸垂直的方向开，才能保证所用的时间最短. 【解析】（1）根据题意，船在静水中的速度为，水流的速度为，设船的实际速度为，则. 如图1，在直角三角形中，，所以.此时，船的实际速度的方向与河岸垂直，路程最短. 所以，船朝着与水流方向成角的方向开，才能保证所走的路程最短. （2）如图2，当船头方向与河岸垂直时，行驶时间为为最短. 所以，船朝着与河岸垂直的方向开，才能保证所用的时间最短. 【题组六 向量在物理中的应用---功、动量】 34．（24-25 甘肃定西·期末）共点力作用在物体上，产生位移，则这两个共点力对物体做的功为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得，共点力的合力为， 对物体做的功为. 故选：B. 35．（25-26 浙江温州·月考）冰球运动是一种以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的相互对抗的集体性竞技运动．在冰球运动中冰球运动员脚穿冰鞋，身着防护装备，以球杆击球，球入对方球门，多者为胜．小华同学在练习冰球的过程中，以力，作用于冰球，使冰球从点移动到点，则力对冰球所做的功的最大值为（   ）（动力做的功） A． B．3 C．4 D．5 【答案】D 【解析】由题，可得，又， ，其中， 当且仅当，时，取得最大值5. 故选：D. 36．（24-25高一下·陕西榆林·期中）一物体在力的作用下，由点移动到点，若，则对物体所做的功为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可得， 又因为，所以对物体所做的功为. 故选：A. 37．（2026·浙江）物理学中，如果一个物体受到力的作用，并在力的方向上发生了一段位移，我们就说这个力对物体做了功，功的计算公式：（其中是功，是力，是位移）一物体在力和的作用下，由点移动到点，在这个过程中这两个力的合力对物体所作的功等于（    ） A．25 B．5 C． D． 【答案】A 【解析】因为，，所以，又，，所以，故. 故选：A. 38．（2025湖南长沙·期中）如图，某人用长的绳索，施力，把重物沿着坡度为30°的斜面向上拖了，拖拉点在竖直方向距离斜面的高度为，则此人对该物体所做的功为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在中，由正弦定理， ， ∴. 故选：B 39．（24-25高一下·福建福州·期中）一质点在力的共同作用下，由点移动到点，则的合力对该质点所做的功为 ． 【答案】6 【解析】由题意得：， ， 则合力对该质点所做的功为. 故答案为：6. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.4.1 平面向量的应用 知识点一：向量在平面几何中的应用 （1） 证明线段相等、平行：常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则 （2）证明线段平行、三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行：常运用向量平行（共线）的条件：（或）． （3）证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线（线段）是否垂直等，常运用向量垂直的条件：（或）． （4）求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式． （5）向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题． 知识点二：向量在解析几何中的应用 （1）斜率相等：向量平行． （2）垂直：转化为向量垂直，然后构造向量数量积为零的等式 （3）定比分点问题：转化为三点共线及向量共线的等式条件． （4）夹角问题：利用公式． 知识点三：向量在物理中的应用 （1） 明确用向量研究物理问题的相关知识： ①力、速度、位移都是向量； ②力、速度、位移的合成与分解就是向量的加减法； ③动量mv是数乘向量； ④功即是力F与所产生位移s的数量积． （2）用向量方法解决物理问题的步骤： ①是把物理问题中的相关量用向量表示； ②是转化为向量问题的模型，通过向量运算解决问题； 考向一 平面几何中的向量方法---线段长 【例1】（2025·山东临沂）在平行四边形中，，，，为边上一点，若，则线段的长为（    ） A． B． C．3 D． 【一隅三反】 1．（24-25江苏）在ABC中，，，，与BE的交点为，若，则的长为（   ） A． B． C．2 D． 2.（24-25高一下·河北沧州·阶段练习）如图，在中，. (1)求的长； (2)求的长. 3.（23-24浙江·期末）如图，在中，已知，，，，分别为，上的两点，，，相交于点．    (1)求的值； (2)求证：． 考向二 平面几何中的向量方法--夹角 【例2-1】（2025·四川）在中，，，，，，CN与BM交于点P，则的值为（    ） A． B． C． D． 【例2-2】（24-25高一下·湖南·期末）如图，在中，，，，D是BC的中点，，AD与CE交于点F.则（   ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1.（23-24高一下·山东菏泽·期末）如图，在中，已知，，，且.求. 2.（24-25广西）如图，在中，已知边上的两条中线AM，BN相交于点.    (1)求AM的长度； (2)求∠MPB的正弦值. 3.（2026广西）在四边形中，，，，其中，为不共线的向量． (1)判断四边形的形状，并给出证明； (2)若，，与的夹角为，为中点，求． 考向三 平面几何中的向量方法---垂直 【例3-1】（24-25海南）如图所示，已知在正方形中，E，F分别是边，的中点，与交于点M.    (1)设，，用，表示，； (2)猜想与的位置关系，写出你的猜想并用向量法证明你的猜想. 【例3-2】（24-25四川）已知平面四边形中，，向量的夹角为. (1)求证：； (2)点是线段中点，求的值. 【一隅三反】 1．（24-25高一下·河南信阳·期中）已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点在边上，且，设与相交于点．记，．    (1)请用，表示向量； (2)若，设，的夹角为，若，求证：． 2．（25-26高一下·山东济南·月考）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，(且)，D为AB的中点，E为的重心，F为的外心． (1)求重心E的坐标； (2)用向量法证明：． 3．（24-25北京）如图，在正方形中，P是对角线AC上一点，垂直于点E，垂直于点F．求证：．    考向四 向量在物理中的应用---力问题 【例4-1】（25-26 河北秦皇岛·月考）已知平面上两个力同时作用于某质点上，其中，若对该质点再施加一个力，使该质点恰好处于平衡状态，则（   ） A． B． C． D． 【例4-2】（24-25高一下·陕西咸阳·期中）如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子与铅垂线的夹角均为．已知礼物的质量为1kg，每根绳子的拉力大小相同，则降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小最接近（   ） （重力加速度取）    A．1.8N B．1.6N C．1.5N D．1.4N 【一隅三反】 1．（24-25高一下·甘肃白银·期末）已知三个力，，同时作用于某质点上，若对该质点再施加一个力，该质点恰好达到平衡状态（合力为零），则（   ） A． B． C． D． 2．（2024·山西长治 ）平面上的三个力作用于一点，且处于平衡状态.若与的夹角为45°，则与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·全国·期末）在日常生活中，我们会看到两个人共提一桶水或者共提一个行李包这样的情景．假设行李包或者水桶所受重力为，作用在行李包或者水桶上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为，下列结论中正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时，有最小值 D．越小越费力，越大越省力 考向五 向量在物理中的应用---河流问题 【例5-1】（24-25高一下·福建福州·期末）一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行．已知船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为，那么当航程最短时，这艘船到达河对岸行驶时间为（    ）． A． B． C． D． 【例5-2】（24-25高一下·福建福州·期中）已知一条河的两岸平行，一艘船从河的岸边处出发，向对岸航行，若船的速度，水流速度，且船实际航行的速度的大小为9，则（    ） A．3 B． C． D．12 【例5-3】（25-26湖北武汉·月考）如图，一条河两岸平行，河的宽度为，一艘船从河岸边的地出发，向河对岸航行．已知船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为．设这艘船行驶方向与水流方向的夹角为，行驶完全程需要的时间为，若船的航程最短，则（    ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（25-26湖北）如图，一条河的两岸平行，河面宽度为1km.一艘轮船从河岸边的A点出发，向河对岸航行.已知轮船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为.设，的夹角为，当轮船的航程最短时，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·福建泉州）一条河两岸平行，河的宽度为，一艘船从河岸边的某地出发，向河对岸航行．已知船在静水的速度大小为，且船在航行过程中受水流的影响．当船以路程最短的方式航行到对岸时，所需时间为6分钟，则水流速度的大小为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·月考）如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为400米，一艘船从河岸的地出发，向河对岸航行．已知船在静水中的航行速度的大小为，水流速度的大小为，船的速度与水流速度的合速度为，那么当航程最短时，下列说法正确的是（    ） A．船头方向与水流方向垂直 B． C． D．该船到达对岸所需时间为3分钟 4．（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考）某人在静水中游泳，速度为km/h．若此人沿垂直于水流的方向游向河对岸，水的流速为4km/h，则此人实际沿与水流方向成 （填弧度数）方向前进，速度为 km/h 5．（24-25高一下·江苏淮安·月考）长江流域内某地南北两岸平行，已知游船在静水中的航行速度的大小，水流的速度 的大小为，如图，设和所成的角为，若游船从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则等于 .    考向六 向量在物理中的应用---功、动量 【例6】（23-24高一下·四川绵阳·期中）已知力作用于一物体，使物体从点处移动到点处，则力对物体所做的功为 焦耳. 【一隅三反】 1．（24-25高一下·宁夏银川·期中）利用向量的数量积可以定义物理中的功：，是物体所受的作用力，是物体的位移．已知力作用于一物体，使物体从点处移动到点处，则力对物体所做的功为 焦耳． 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知，作用于同一质点，由移动到点，合力对质点所做的功为 . 3．（24-25云南）如图，一个力作用于小车G，使小车G发生了40米的位移，的大小为50N，且与小车的位移方向的夹角为，是与小车位移方向相同的单位向量，则在小车位移上的投影向量为 ，力做的功为 .    【题组一 平面几何中的向量方法---线段长】 1．（2026·云南）已知为的边的中点，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25江苏苏州·开学考试）中，AD为中线，AD = 4，BC = 6，作，则等于（    ） A．7 B． C． D．9 3．（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考）起点重合，，则的最大值为（   ） A． B．3 C． D． 【题组二 平面几何中的向量方法--夹角】 4．（23-24高一下·广西河池·月考）如图，在中，已知边上的两条中线AM，BN相交于点.    (1)求AM的长度； (2)求∠MPB的正弦值. 5．（23-24河南新乡·月考）如图，在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点P， (1)求； (2)求的正弦值. 6．（2026山东菏泽·期末）如图，在中，已知，，，且.求. 7．（2025福建福州·期中）已知梯形中，，，E为的中点，F为与的交点，． (1)求和的值； (2)若，，，求与所成角的余弦值． 【题组三 平面几何中的向量方法---垂直】 8．（2026上海）如图，正方形ABCD的边BC在正方形BEFG的边BG上，联结AG、CE，AG交DC于H． （1）证明：； （2）当点C在BG的什么位置时，最小？ 9.（24-25高一下·山东济南·阶段练习）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，(且)，D为AB的中点，E为的重心，F为的外心． (1)求重心E的坐标； (2)用向量法证明：． 【题组四 向量在物理中的应用---力问题】 10．（24-25高一下·江苏连云港·期中）一个物体在三个力，，的作用下，处于静止状态，则（   ） A． B． C． D． 11．（24-25高一下·广东惠州·期中）已知物体受平面内的三个力作用于同一点，且该物体处于平衡状态，若，，且的夹角为，则（   ） A． B． C． D． 12．（24-25高一下·广西河池·期末）（多选）在日常生活中，向量无处不在，如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为.给出以下结论，其中正确的是（   ）    A．越大越费力，越小越省力 B．当时， C．当时， D．当时， 13．（24-25高一下·广东东莞·期中）（多选）在日常生活中，我们会看到这样的情境：两个人共提一个行李包．假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，且与的夹角为，则下列结论中正确的是（   ） A． B．越小越费力，越大越省力 C．当时， D．的范围为 14．（24-25高一下·全国·课后作业）（多选）如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列四个选项中，其中正确的是（    ） A．绳子的拉力不断增大 B．绳子的拉力不断变小 C．船的浮力不断变小 D．船的浮力保持不变 15．（25-26高一上·辽宁·期末）如图所示，把一个物体放在倾斜角为的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力G，沿着斜面向上的摩擦力，垂直斜面向上的弹力，已知那么 N.（）    16．（2026高三·全国·专题练习）平面上的三个力作用于一点，且处于平衡状态．若，，与的夹角为45°，则与夹角的余弦值为 ． 17．（2025高一·全国·专题练习）如图所示，支座受两个力的作用，已知，与水平线成角，，沿水平方向，两个力的合力的大小，则 . 18．（2025·四川成都）如图，无弹性细绳，一端分别固定在A，B处，在同样的细绳的下端吊一重物，要保持此状态，对细绳的耐力性要求最高的是 (三条绳本身质量忽略不计，横线上填或或)．    19．（24-25高一下·江苏无锡·期中）若平面上的三个力、、作用于一点，且处于平衡状态.已知，，与的夹角为，则与夹角的大小为 ． 20．（24-25高一下·重庆万州·月考）如图，一滑轮组中有两个定滑轮A，B，在从连接点O出发的三根绳的端点处挂着三个重物，它们所受的重力分别为4N，4N，7N，此时整个系统处于平衡状态，则 . 21．（23-24高一下·山东青岛·期末）如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为60°．已知礼物重量为2kg，每根绳子的拉力大小相同.则降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小为 N．（重力加速度g取） 【题组五 向量在物理中的应用---河流】 22．（25-26广东·月考）某河段南北两岸平行，一艘船从南岸码头A点出发航行到北岸，已知船在静水中的航行速度的大小为km/h，水流速度的大小为km/h．设和的夹角，当船的航行距离最短时，则（    ） A． B． C． D． 23．（25-26 山东泰安·开学考试）如图，飞机飞行中的地面速度（GS）是指飞机相对于地面的实际速度，由飞机相对于周围空气的实际运动速度（TAS）向量加减风速（WS）向量得出，其中风速顺风为正，逆风为负，DA为偏流角. 已知某飞机逆风飞行，在某时刻测得风速对应向量为，地面速度对应的向量为，则飞机在该时刻的实际飞行速度（单位：）为（    ） （参考数据：，，） A． B． C． D． 24．（2025·广东广州 ）某货船执行从港口到港口的航行任务，港口在港口的正北方向，已知河水的速度为向东．若货船在静水中的航速为，船长调整船头方向航行，使得实际路程最短．则该船完成此段航行的实际速度为（   ） A． B． C． D． 25．（2026山东潍坊·期末）如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为400米，一艘船从河岸的A地出发，向河对岸航行．已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，船的速度与水流速度的合速度为，那么当航程最短时，下列说法正确的是（     ） A．船头方向与水流方向垂直 B． C． D．该船到达对岸所需时间为3分钟 26．（24-25高一下·河南·期中）长江某段南北两岸平行，如图，江面宽度.一艘游船从南岸码头点出发航行到北岸.已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流速度的大小为.设和的夹角为，当船的航行距离最短时下列正确的是（    ） A． B． C． D． 27．（2025·安徽黄山 ）（多选）如图，一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河岸边的地出发，向河对岸航行，已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，设和的夹角为，则下列说法正确的为（   ） A．当船的航行时间最短时， B．当船的航行距离最短时， C．当时，船的航行时间为6分钟 D．当时，船的航行距离为 28．（24-25高一下·云南曲靖·开学考试）一条渔船距对岸3km，以2km/h的速度向垂直于对岸的方向划去，到达对岸时，船的实际航程为6km，则河水的流速为 km/h． 29．（25-26 江苏南通 ）一支长的队伍以的速度匀速前进．队尾的传令兵因传达命令以的速度赶赴队首，到达后立即返回队尾，往返速度的大小不变．记传令兵从队尾到队首所用的时间为，从队首到队尾所用的时间为，则 ，传令兵所走的路程为 ． 30．（24-25高一上·河北·月考）一艘船以4的速度沿着与水流方向成120°的方向航行，已知水流速度为2，则经过，船的实际航程为 . 31．（23-24高一下·山东菏泽·月考）长江流域内某段南北两岸平行，如图，一艘游船从南岸码头出发航行到北岸．已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，设与所成的角为，若游船要从航行到正北方向上位于北岸的码头处，则 ． 32．（24-25高一下·四川成都·期中）一艘船从码头A出发，计划向正北方向直线航行到对岸的B点，AB距离为100公里.船在静水中的航速为50公里/小时，但河流以25公里/小时的速度持续向东流动. (1)若船头始终指向正北方向，求船到达对岸时实际停靠点与B点的偏离距离； (2)若船需要准确到达正北方向的B点，求船头应调整的方向（即船头方向与正北方向的夹角），以及到达B点所需时间. 33．（24-25高一下·福建三明·月考）设河宽，水流的速度，船在静水中的速度，则船必须朝哪个方向开，才能保证： (1)所走的路程最短？ (2)所用的时间最短？ . 【题组六 向量在物理中的应用---功、动量】 34．（24-25 甘肃定西·期末）共点力作用在物体上，产生位移，则这两个共点力对物体做的功为（　　） A． B． C． D． 35．（25-26 浙江温州·月考）冰球运动是一种以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的相互对抗的集体性竞技运动．在冰球运动中冰球运动员脚穿冰鞋，身着防护装备，以球杆击球，球入对方球门，多者为胜．小华同学在练习冰球的过程中，以力，作用于冰球，使冰球从点移动到点，则力对冰球所做的功的最大值为（   ）（动力做的功） A． B．3 C．4 D．5 36．（24-25高一下·陕西榆林·期中）一物体在力的作用下，由点移动到点，若，则对物体所做的功为（   ） A． B． C． D． 37．（2026·浙江）物理学中，如果一个物体受到力的作用，并在力的方向上发生了一段位移，我们就说这个力对物体做了功，功的计算公式：（其中是功，是力，是位移）一物体在力和的作用下，由点移动到点，在这个过程中这两个力的合力对物体所作的功等于（    ） A．25 B．5 C． D． 38．（2025湖南长沙·期中）如图，某人用长的绳索，施力，把重物沿着坡度为30°的斜面向上拖了，拖拉点在竖直方向距离斜面的高度为，则此人对该物体所做的功为（    ） A． B． C． D． 39．（24-25高一下·福建福州·期中）一质点在力的共同作用下，由点移动到点，则的合力对该质点所做的功为 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $