专题10分式与分式方程（2）(知识点梳理+14大题型精析+强化巩固专练+寒假预习讲义) 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

专题10分式与分式方程（2） · 记住分式乘除、乘方、加减运算法则，类比分数理解规则 · 熟练对分式约分、通分，会找公因式与最简公分母 · 掌握混合运算顺序：先乘方→再乘除→最后加减，有括号先算括号内 · 会先化简分式再求值，牢记分母不能为 0 的隐含条件 · 规避符号、漏乘、未化最简分式等常见运算错误 预习必备 知识点梳理 1.分式的基本性质 2.分式的约分与通分 3.分式的乘除运算 4.分式的乘方运算 5.分式的加减运算 6.运算核心注意事项 常考题型 精讲精炼 1.分式乘法 2.分式除法 3.分式乘除混合运算 4.分式乘方 5.含乘方的分式乘除混合运算 6.同分母分式加减法 7.最简公分母 8.通分 9.异分母分式加减法 10.整式与分式的加减运算 11.已知恒等式.确定分子分母 12.分式加减混合运算 13.分式加减的实际应用 14.分式加减乘除混合运算 15.分式化简求值 强化巩固 (解答题5题) 知识点01:分式的基本性质（运算基础） 核心内容：分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于 0 的整式，分式的值不变。 字母表示：，（B，C0） 应用：分式的约分和通分的依据。 知识点02:分式的约分与通分 1. 约分 定义：把分式分子与分母的公因式约去，化为最简分式或整式。 最简分式：分子与分母没有公因式的分式。 步骤：① 分解分子、分母的因式；② 找出公因式；③ 约去公因式。 2. 通分 定义：把几个异分母分式化为同分母分式，且不改变分式的值。 关键：确定最简公分母① 取各分母系数的最小公倍数；② 凡出现的字母（或因式）都取最高次幂；③ 所得乘积即为最简公分母。 知识点03:分式的乘除运算 1. 乘法法则 文字：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母。 字母：（b0,d0） 2. 除法法则 文字：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 字母：== (b.c d0) 3. 运算步骤 ① 先分解因式；② 约分；③ 再计算，结果化为最简分式 / 整式。 知识点04:分式的乘方运算 法则：分式的乘方，把分子、分母分别乘方。 字母：()n=bnan（b0，n为正整数） 注意：先定符号，负数的偶次幂为正，奇次幂为负。 知识点05:分式的加减运算 1. 同分母分式加减 法则：分母不变，分子相加减。 字母：±（c0） 注意：分子相加减时要添括号，最后约分。 2. 异分母分式加减 法则：先通分，化为同分母分式，再按同分母法则计算。 字母：±=（b0,d0） 知识06:分式的混合运算 运算顺序：先乘方→再乘除→最后加减；有括号先算括号内。 运算技巧：① 灵活运用因式分解、约分简化计算；② 整式可看作分母为 1的分式；③ 结果必须化为最简分式或整式。 知识07:运算核心注意事项 1.分式运算前提：所有分母不能为 0，除式分子不能为 0。 2.分子是多项式时，加减运算务必加括号，避免符号错误。 3.结果必须是最简分式（无公因式）或整式。 4.符号法则：=，灵活处理分式符号。 【题型1.分式乘法】 【典例】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是分式的乘法运算，直接根据乘法法则运算即可． 【详解】解：， 故选：B 【跟踪专练1】化简： 的结果为 ． 【答案】 【分析】此题是分式的乘法运算．先把分子分母能因式分解的进行因式分解，再进行约分化简． 【详解】解： ． 故答案为：． 【跟踪专练2】下列关于分式的计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的运算，根据分式的加、减、乘法运算，分式的约分逐一排除即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，原选项计算错误，不符合题意； 、 ，原选项计算正确，符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 故选：． 【题型2.分式除法】 【典例】 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的除法，除法变乘法，约分化简即可． 【详解】解：原式； 故答案为：． 【跟踪专练1】若的计算结果是整式，则“□”中的式子可能是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的除法运算；设“□”中的式子为，把除法运算化为乘法运算，约分得到原式，然后把各选项的式子分别代入即可得到答案． 【详解】解：设“口”中的式子为， 原式 ， 所以当时， 原式1，结果为整式． 故选：C． 【跟踪专练2】在化简后，要求在，1，0，2中取一个数再求值，只能取 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 先对分式进行化简，再根据分式有意义的条件进行分析求解即可． 【详解】解： ∵， ∴， 在化简过程中，消去了， 因此． 因此，只能取2． 故答案为：2． 【题型3.分式乘除混合运算】 【典例】已知，能使等式恒成立的运算符号是（    ） A．＋ B．－ C．· D．÷ 【答案】D 【分析】本题考查的是分式的乘除法，掌握分式的除法法则是解题的关键． 根据分式的除法法则计算，判断即可． 【详解】解：∵， ∴能使等式恒成立的运算符号是， 故选：D． 【跟踪专练1】计算的结果等于 ． 【答案】/ 【分析】此题主要考查了分式的乘除运算，正确化简分式是解题关键．直接利用分式的乘除运算法则化简得出答案． 【详解】解： ． 故答案为：． 【跟踪专练2】化简后的结果为，则“△”所表示的代数式是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】先对原式括号内的部分通分合并，再将除法转化为乘法，然后把每个选项代入“”的位置，化简后检验结果是否为． 【详解】解：∵ 原式 = = 又 ∵ ∴ 原式 = = = ． 又 ∵ 化简结果为 ． ∴ ∴ ． 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，解题关键是熟练掌握分式的通分、约分及乘除运算法则，通过化简原式建立关于“”的等式来求解． 【题型4.分式乘方】 【典例】计算：的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘方； 分式的分子、分母分别进行乘方运算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【跟踪专练1】下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的乘方运算，根据分式的乘方法则，分子分母分别乘方，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，计算正确，符合题意； B、，原题计算错误，不符合题意； C、，原题计算错误，不符合题意； D、，原题计算错误，不符合题意； 故选：A． 【跟踪专练2】计算的结果是 ． 【答案】 【分析】先算乘方，再算乘除即可得到答案． 【详解】解： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查分式的化简求值，属于基础题． 【题型5.含乘方的分式乘除混合运算】 【典例】计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了积的乘方和分式乘法，解题的关键是正确运用法则进行化简和计算．直接利用积的乘方运算法则化简，再利用分式乘法运算法则即可得到答案． 【详解】解：， 故选：C． 【跟踪专练1】化简： ． 【答案】 【分析】先算分式的乘方，再把除法转化为乘法，最后约分即可． 【详解】解：， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查分式乘方乘除混合运算，掌握分式的运算法则即运算顺序，先乘方再乘除，最后分式的加减运算是解题关键． 【跟踪专练2】下列计算不正确的题是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的乘除混合运算法则以及分式的乘方逐一化简，即可判断答案． 【详解】解：A、，原计算正确，本选项不符合题意； B、，原计算正确，本选项不符合题意； C、，原计算错误，本选项符合题意； D、，原计算正确，本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了含乘方的分式的乘除混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 【题型6.同分母分式加减法】 【典例】化简的结果为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了同分母分式的加法，分式变形后变为同分母分式的加法，按照同分母分式的加法相加即可． 【详解】解： ． 故答案为：1． 【跟踪专练1】某同学计算的过程如下，他开始出现错误的一步是（   ） A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步 【答案】B 【分析】本题考查同分母分式的加减法，解题关键是熟练掌握分式的基本性质． 按正常计算步骤计算，对比题干找出错误的步骤． 【详解】解： 由此可知，第二步计算错误， 故选：B． 【跟踪专练2】对于正数，规定，例如，则的值是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了运算的规律、分式的混合运算等知识点，发现的规律成为解题的关键． 先发现，然后代入化简求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【题型7.最简公分母】 【典例】式子的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查最简公分母，确定最简公分母的方法是：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．据此求解即可． 【详解】解：式子的最简公分母是． 故选：D． 【跟踪专练1】分式，，的最简公分母是 ． 【答案】． 【分析】本题考查了最简公分母，理解最简公分母的定义是解题的关键． 先对分式的分母因式分解，然后确定最简公分母． 【详解】解：， ， ， ∴最简公分母是：． 故答案为：． 【跟踪专练2】下列关于分式的说法正确的是（    ） A．约分的结果是 B．分式与的最简公分母是 C． D．化简的结果是 【答案】C 【分析】本题考查了分式的基本性质和分式的加减运算，解决本题的关键是根据分式的基本性质把分式进行变形即可． 【详解】解：A选项：，故A选项错误； B选项：，与的最简公分母是，故B选项错误； C选项：，故C选项正确； D选项：，故D选项错误． 故选： C． 【题型8.通分】 【典例】分式，，－的最简公分母是 ． 【答案】 【分析】先根据最简公分母的定义求解即可． 【详解】解：三个分式的分母分别为：2a，，， ∴最简公分母是， 故答案为：． 【点睛】此题考查的是最简公分母的确定，掌握最简公分母的定义是解决此题的关键． 【跟踪专练1】已知，，则的值 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的求值，解题的关键是熟练掌握异分母分式相加减就，先通分，变为同分母的分式，再加减． 根据分式的加减法则“异分母分式相加减就，先通分，变为同分母的分式，再加减”得原式等于，再根据进行完全平方即可得，进行计算即可得． 【详解】解：∵， ∴ ∴ ． 故选C． 【跟踪专练2】已知，，，则的值为 ． 【答案】 【分析】先对已知的三个等式的左边通分，再进行适当地变形，可分别求得，，，再将这三个式子相加，即可求出的值． 本题主要考查了分式的通分、约分等知识，熟练掌握分式的通分和月份，将原来三个式子变形成同分母的式子是解题的关键． 【详解】由得，， ∴①； 由得， ， ②； 由得， ∴③； ，得， ∴， ∴． 故答案为：． 【题型9异分母分式加减法】 【典例】已知， 与的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的加减法，用作差法，可以比较大小，用作差法是解本题的关键． 【详解】解：， ， ，， ，即：， ， 故选：C． 【跟踪专练1】若，则 ． 【答案】 2 【分析】本题考查分式的通分与等式求解，解决本题的关键是先对等式右边进行通分，然后根据等式两边分子相等来确定的值． 将右边通分后比较分子，得到关于和的方程组，解方程组求得即可． 【详解】解：∵， ∵， 即， ∴． 即， 则有，解得， 综上，的值为． 故答案为：． 【跟踪专练2】已知，，，则的值为（　　） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】此题考查了异分母分式加法，求代数式的值，设，根据已知结合异分母分式加法的运算法则求出，，即可求出答案． 【详解】解：设， ∵， ∴，即， ∴， 同理得， ∴． 故选：A． 【题型10.整式与分式的加减运算】 【典例】计算： ． 【答案】 【分析】本题考查分式的加法，根据分式的加法运算法则求解即可． 【详解】解： 故答案为：． 【跟踪专练1】已知，则的取值范围为（　　） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式的化简，根据题意表示出，，，，即可求得每个数为一个循环，进而根据分式有意义的条件得出的取值范围，即可求解． 【详解】解：，，，， ∴且，，即且 故选：D 【跟踪专练2】规定：在平面直角坐标系中，如果一个点的横、纵坐标均为正整数，那么称这个点为“正整点”．函数图像上“正整点”的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的值、分式的加减法、新定义等知识点，掌握新定义成为解题的关键． 由题意可得，为正整数，然后分、、三种情况分别代入计算即可解答． 【详解】解：∵函数图像上“正整点”， ∴，为正整数， 当时，无意义，不符合题意； 当时，，即“正整点”的坐标为． 当时，为小于1的正分数，不可能为整数，不符合题意． 综上，函数图像上“正整点”的坐标为． 故答案为：． 【题型11.已知恒等式,确定分子分母】 【典例】若的值为，则的值为（　　） A． B． C． D．． 【答案】D 【分析】根据条件先求出的值，然后整体代入求解即可． 【详解】由题意可得，，则， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查分式求值问题，灵活根据条件变形，并熟练运用整体思想是解题关键． 【跟踪专练1】已知，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查了分式的加减法、解二元一次方程组，熟练掌握相关知识点是解题的关键．先利用异分母分式的加减法计算得到，从而得到关于的方程组，求解方程即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， 解得：， ． 故答案为：5． 【跟踪专练2】如果，，那么，的值为（    ） A．36 B．16 C．14 D．3 【答案】A 【分析】利用完全平方公式，得，利用这个公式变形即可得出答案． 【详解】解：由，去分母，得 ， 则 ∵， ∴原式． 故选：A． 【点睛】本题主要考查完全平方公式，熟记公式的几个变形公式是解题的关键． 【题型12.分式加减混合运算】 【典例】化简： 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减运算，将异分母化为同分母得，将结果化为最简分式或整式，即可求解；掌握分式加减的步骤是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 【跟踪专练1】已知，，用含的代数式表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查代数式运算，根据题意，将代入，化简即可得到答案，熟练掌握代数式运算是解决问题的关键． 【详解】解：，， ， 故选：A． 【跟踪专练2】已知非零实数x，y满足，则的值等于 ． 【答案】6 【分析】本题考查的是分式的加减法和求值，根据分式的加减法运算法则计算并代入求值即可． 【详解】解：∵非零实数x，y满足， ∴ ， 故答案为：6． 【题型13.分式加减的实际应用】 【典例】甲乙两个码头相距s千米，某船在静水中的速度为a千米/时，水流速度为b千米/时，则船一次往返两个码头所需的时间为（    ）小时 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了分式的运用，列代数式，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．船只往返两个码头一次，会有一次顺流、一次逆流，顺流速度静水速度水流速度，逆流速度静水速度水流速度，据此可以列出关系式． 【详解】解：船一次往返两个码头所需的时间为小时， 故选：D． 【跟踪专练1】照相机成像应用了一个重要原理，用公式表示，其中表示照相机镜头的焦距，表示物体到镜头的距离，表示胶片（像）到镜头的距离．若，，则 ． 【答案】12 【分析】本题考查了分式的应用．将，直接代入公式，再进行分式的计算即可． 【详解】解：把，代入，得， 解得， 故答案为：12． 【跟踪专练2】有两条长度相同的路：①为一条平坦的道路；②前一半路程为上坡，后一半路程为下坡，已知小明上坡平均速度为，下坡平均速度为，在平坦的道路上的平均速度为，则这两条路用时较少的是（   ） A．①路 B．②路 C．用时一样 D．无法判断 【答案】A 【分析】本题考查了分式运算的实际应用，分别表示出这两条路的时间，再利用作差法比较分式大小即可． 【详解】解：设两条路的长度为S， 在①路用时为， 在②路用时为， ， ∵， ∴， 由题意可知S、x、y都大于0， ∴，即， ∴， ∴①路用时较小． 故选：A． 【题型14.分式加减乘除混合运算】 【典例】计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键． 先算分式的乘法，再算加法，即可求解． 【详解】解：原式 故答案为： 【跟踪专练1】下面计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的运算，根据分式的乘法、除法，约分，分式加法逐一验证即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算正确，符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 故选：． 【跟踪专练2】已知代数式满足．若，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算与代数式求值，解题关键是通过因式分解和通分化简分式，再求出的表达式． 先根据分式的运算求出的表达式，再代入计算即可． 【详解】解：由已知方程，右边化简： ， 所以， 则， 当时，． 故答案为：． 【题型15.分式化简求值】 【典例】已知：，则代数式的值是（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查分式的化简求值，设，则，，再代入求值化简即可． 【详解】解：设，则，， 所以， 故选：B． 【跟踪专练1】若实数和互为倒数，则代数式的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了分式的化简求值，因式分解，倒数的性质，掌握分式的化简步骤是解题的关键． 由和互为倒数，得；将代数式利用因式分解和分式运算化简后得到，从而求出值为 1． 【详解】解：原式 ． 因为和互为倒数，所以，因此代数式的值为1． 故答案为：1． 【跟踪专练2】当时，化简的结果是（ ） A．0 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的性质，分式的化简，正确去掉绝对值符号是解决本题的关键． 根据正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，去掉式子中的绝对值符号，即可对原式进行化简． 【详解】解：， ， 原式． 故选：D． 1．（1）约分： ①； ②． （2）通分：，． 【答案】（1）①②（2）， 【分析】本题主要考查了分式的约分，通分，正确找到分子和分母的公因式是解题的关键． （1）分子分母同时约去公因式即可得到①的答案；分子和分母分别利用完全平方公式和平方差公式分解因式，然后约分即可得到②的答案； （2）将两分式的分母中的系数取各系数的最小公倍数，相同因式的次数取最高次幂，即可作答． 【详解】解：（1）①， ②； （2）依题意，，． 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)1 (2) (3) (4)2 【分析】本题主要考查分式的运算，熟练掌握分式的运算是解题的关键； （1）根据分式的加法运算可进行求解； （2）根据分式的除法运算可进行求解； （3）根据分式的乘法可进行求解； （4）根据分式的乘除法可进行求解． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 3．（1）约分： ①； ②． （2）通分：，． 【答案】（1）①②（2）， 【分析】本题主要考查了分式的约分，通分，正确找到分子和分母的公因式是解题的关键． （1）分子分母同时约去公因式即可得到①的答案；分子和分母分别利用完全平方公式和平方差公式分解因式，然后约分即可得到②的答案； （2）将两分式的分母中的系数取各系数的最小公倍数，相同因式的次数取最高次幂，即可作答． 【详解】解：（1）①， ②； （2）依题意，，． 4．数学上常用“作差法”来比较两个式子的大小，即：若，则；若，则；若，则． (1)若，试比较与的大小，并说明理由； (2)某水果店用相同重量的包装盒包装了两款苹果礼盒，售价如表： 连盒重量 售价 甲款礼盒 50元 乙款礼盒 100元 请判断哪款礼盒的苹果单价更合算？并说明理由． 【答案】(1) (2)乙款礼盒的苹果单价更合算，理由见解析 【分析】本题考查了不等式： （1）用“作差法”来比较两个式子的大小即可； （2）分别计算甲和乙的单价再用“作差法”比较即可． 【详解】（1）解： （2）乙款礼盒的苹果单价更合算． 设包装盒的重量为 甲款礼盒的苹果单价：（元/千克） 乙款礼盒的苹果单价：（元/千克） 即： 答：乙款礼盒的苹果单价更合算． 5．阅读下面的解题过程： 已知，求的值． 解：由知，所以，即． 所以．故的值为． 该题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解下面的题目： (1)已知，求的值． (2)已知，，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了新的解题方法—“倒数法”，正确理解题意是解题关键． （1）首先利用“倒数法”可得，然后将整理为，代入数值计算，进一步求解即可获得答案； （2）首先利用“倒数法”可得，，，易知，然后将整理为，代入数值计算，进一步求解即可获得答案． 【详解】（1）解：由知， 所以，即， ∴， ∴， ∴； （2）∵，，， ∴， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $专题10分式与分式方程(2) 1 预习目标 ·记住分式乘除、乘方、加减运算法则，类比分数理解规则 。熟练对分式约分、通分，会找公因式与最简公分母 ·掌握混合运算顺序：先乘方→再乘除→最后加减，有括号先算括号内 ·会先化简分式再求值，牢记分母不能为0的隐含条件 ·规避符号、漏乘、未化最简分式等常见运算错误 预习内容概览 1.分式的基本性质 2.分式的约分与通分 预习必备 3.分式的乘除运算 4.分式的乘方运算 知识点梳理 5.分式的加减运算 6运算核心注意事项 1.分式乘法 2.分式除法 3.分式乘除混合运算 4.分式乘方 5.含乘方的分式乘除混合运算 6.同分母分式加减法 常考题型 7.最简公分母 8.通分 精讲精炼 9.异分母分式加减法 10.整式与分式的加减运算 11.已知恒等式.确定分子分母 12.分式加减混合运算 13.分式加减的实际应用 14.分式加减乘除混合运算 15.分式化简求值 强化巩固 (解答题5题) 5 知识点梳理 知识点01：分式的基本性质（运算基础） 核心内容：分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的 值不变。 字母表示： 台总合=B*0,C≠0> B 试卷第1页，共9页 应用：分式的约分和通分的依据。 知识点02：分式的约分与通分 1.约分 定义：把分式分子与分母的公因式约去，化为最简分式或整式。 最简分式：分子与分母没有公因式的分式。 步骤：①分解分子、分母的因式；②找出公因式；③约去公因式。 2。通分 定义：把几个异分母分式化为同分母分式，且不改变分式的值。 关键：确定最简公分母①取各分母系数的最小公倍数；②凡出现的字母（或 因式)都取最高次幂；③所得乘积即为最简公分母。 知识点03：分式的乘除运算 1.乘法法则 文字：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母。 字母：后后=器b≠0d≠0) 2.除法法则 文字：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 字母：8+8熙b≠0e+0d≠0) 3.运算步骤 ①先分解因式；②约分；③再计算，结果化为最简分式/整式。 知识点04：分式的乘方运算 法则：分式的乘方，把分子、分母分别乘方。 字母：（始）=ba"(b≠0，n为正整数) 注意：先定符号，负数的偶次幂为正，奇次幂为负。 知识点05：分式的加减运算 1.同分母分式加减 法则：分母不变，分子相加减。 字母：+会=(0≠0) 注意：分子相加减时要添括号，最后约分。 试卷第2页，共9页 2.异分母分式加减 法则：先通分，化为同分母分式，再按同分母法则计算。 字母：号陆 (b≠0，d≠0) 知识06：分式的混合运算 运算顺序：先乘方→再乘除→最后加减；有括号先算括号内。 运算技巧：①灵活运用因式分解、约分简化计算；②整式可看作分母为1的 分式；③结果必须化为最简分式或整式。 知识07：运算核心注意事项 1.分式运算前提：所有分母不能为0，除式分子不能为0。 2分子是多项式时，加减运算务必加括号，避免符号错误。 3结果必须是最简分式（无公因式）或整式。 4符号法则：合=。台灵活处理分式符号。 常考题型精讲精练 【题型1.分式乘法】 【典例】计算 3x-y的结果是（） x-y 3y A.y B. C._ D. y 【跟踪专练1】化简： 16-m.m+3的结果为 m2+6m+94-m 【跟踪专练2】下列关于分式的计算正确的是() 11x-y a A. B.、b =-1 x y xy a-bb-a C.a-11 D.a-1.1 a2-1a+1 =-1 aa+1 【题型2.分式除法】 【典例】2÷3m mn n 【跟踪专练1】若+l+的计算结果是整式，则口中的式子可能是() x-10 1 A. x2-1 B.x2-1 C.x2-x D.x-1 试卷第3页，共9页 2名后，要泉在-11,02中取个数再求，只 【跟踪专练2】在化简+x 能取· 【题型3.分式乘除混合运算】 【臭例1己知÷}，能做式恒成立的运浆符号足() A.+ B.- C. D,÷ 【跟踪专练1】计算12a2b4. ab 的结果等于 【跟踪专练2】 。十+1化简后的集为。则△所表示的代数式是《) 1 1 A.1 B.a C. D. 2a a2-1 【题型4.分式乘方】 【典例】计算： 2x 的结果是一 【跟踪专练1】下列计算正确的是() -b)2 B. .-b 6a 2x -3y -9y D x-a x2-a2 【跟踪专练2】计算 3)3 4x2 的结果是 2x 3 【题型5.含乘方的分式乘除混合运算】 【典例】计算(2如六的结果为（) A.xy B.2y C.y D. y 【跟踪专练1】化简： 【跟踪专练2】下列计算不正确的题是() 试卷第4页，共9页 xy A. xy+x'y 1 3x 22y= 2y x2-2y+y2x2-y2 x-y -2y-3x 3x C. x+x x-1 x2+2x+1x-1 =x(x+1) D. x2 y 【题型6.同分母分式加减法】 【典例】化简a,+ a-11- 一的结果为一。 【跟踪专练1】某同学计算-1+x-3 的过程如下，他开始出现错误的一步是() x-44-x 4+3 -1 x-3 1-x+3 4-x x-4 x-4 x-4 x-4 第一步 第二步 第三步第四步 A.第一步 B.第二步 C. 第三步 D.第四步 【舆家专练】对于正数，规定四产例如f②)品2子则 fa+0-)+2o2)的值是 【题型7.最简公分母】 【典例】式 111 2xy'3x'6的最简公分母是（) A.36x2y2 B.24x2y2 C.12x2y2 D.6xy2 【跟踪专练1】分式。-2b+b’ a b b a-b’a+2ab+b 的最简公分母 是 【跟踪专练2】下列关于分式的说法正确的是() A.1 1 x2- 约分的结果是」 1与 B.分式-i与x- 的最简公分母是x-1 C. D.化简x,1的结果是1 -x+y x-y x2-11-x 【题型8.通分】 7c 典分式。，g0,2网的最简公分母是一 【跟踪专练1】己知a+b=5,b=3,则+的值（) a b .9 c号 D. 25 【医专维引已子女子，子期空的位为 X+y+2 试卷第5页，共9页 【题型9异分母分式加减法】 【典例】已知0>a>b, 与的大小是() 1.1 B.11 c.1< 11 A. D.≤ a b a b a b 3x-4AB 【跟踪专练1】若(x-x-2)xx-2,则B=一 【跟踪专练2】已知，+1，上11 +3?+y4则+3+4的值为( x y Z A.2 B2 C.3 D. 【题型10.整式与分式的加减运算】 【典例】计算： 1 +1= a-1 1 (跟踪专练1】已知a=出，a=1- 1 —,43= 1-a2 一，则x的取值范围为() A.x≠0 B.x≠1 C.x≠-1且x≠1 D.x≠0且x≠1 【跟踪专练2】规定：在平面直角坐标系中，如果一个点的横、纵坐标均为正整数，那么称 这个点为正整点，函数)y-3x-2图像上“正整点”的坐标为 x-1 【题型11.已知恒等式，确定分子分母】 【奥1若2分+3+7的值为行则4+6-9的值为() 1 1 A. B.2 1 c D.- > 3x-22 a b 【跟踪专练1】已知(x+2(x-5)x+2x-5,则a+b= 【跟踪专练2】如果a+b+c=0,】+1,+1,=0,那么，(a+1+6+2+c+3 a+1b+2c+3 的值为() A.36 B.16 C.14 D.3 【题型12.分式加减混合运算】 【典例】化简： 8a,16 a-22-a 【跟踪专练1】己知5=1-1 6,4=1-1 ,用含的代数式表示为() A高 B.5=-1 t 4-1 D.5=15 试卷第6页，共9页 【跟踪专练2】已知非零实数x,y满足二 1=2,则x+4灯的值等于 xy 【题型13.分式加减的实际应用】 【典例】甲乙两个码头相距s干米，某船在静水中的速度为α千米/时，水流速度为b千米/ 时，则船一次往返两个码头所需的时间为()小时 A.、2 B.2s C. D.5 a+b a-b a b atb a-b 111 【跟踪专练】照相机成像应用了一个重要原理，用公式子”十≠)表示，其中了表 示照相机镜头的焦距，表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离.若 f=3,1=4,则v=· 【跟踪专练2】有两条长度相同的路：①为一条平坦的道路；②前一半路程为上坡，后一 半路程为下坡，已知小明上坡平均速度为x,下坡平均速度为y(x≠y),在平坦的道路上的 平均速度为，则这两条路用时较少的是() A.①路 B.②路 C.用时一样 D.无法判断 【题型14.分式加减乘除混合运算】 【典例】计算：+(c-y)》 x+v x2-y2 【跟踪专练1】下面计算中，正确的是() A.y= 灯2x B.2 C. D.= 【跟踪专练2】己知代数式A满足+14= 7x2-11 x2-2.x+1x-1 若x=3,则代数式A的值 x-1 为 【题型15.分式化简求值】 【典例】已知：；0，则代数式3的值是《) 3 3 A.16 B13 C.1 D.2 【跟踪专练1】若实数x和)y互为倒数，则代数式+2gy+广÷1+】 的值为 x+y x y 试卷第7页，共9页 【跟踪专练2】当a<0时，化简回-“的结果是（) A.0 B.1 C.-1 D.-2 0 强化巩固通关 1. (1)约分： ①-24y2 82 ②4-2a+1 a2-1 1 1 (2)通分：x-y’x+y 2.计算： ①4+ba-b 2a+2a ②y÷y xx ③)02-4a+3 a+6a+9a+2 ，3 y x 3.(1)约分： ①-24ry2 8y-z ②0-2a+1 a2-1 11 (2)通分：-y少’x+y 4.数学上常用“作差法”来比较两个式子的大小，即：若m-n>0,则m>n;若m-n=0, 则m=n;若m-n<0,则m<n. ()若m>0,试比较”+1与”+2 的大小，并说明理由； n n+1 (②)某水果店用相同重量的包装盒包装了两款苹果礼盒，售价如表： 连盒重量 售价 甲款礼盒 5kg 50元 乙款礼盒 10kg 100元 试卷第8页，共9页 请判断哪款礼盒的苹果单价更合算？并说明理由， 5.阅读下面的解题过程： 已知日宋的信 x4+1 解：由x= x2+13 知x≠0，所以+1=3，即x+1-3. x -2=-2=7.故的值为) x4+1 该题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解下面的题目： ()已知，x-1 -3+15,求 的值 x4+x2+1 2已知少=，=1，”=1 +y2,y+23”x+4’求一的 xy+y+xZ 试卷第9页，共9页