6.4.3.4·余弦定理正弦定理应用举例【寒假预习讲义】-2025-2026学年高一数学人教A版必修第二册

2026年寒假高一数学下学期常考题型归纳 【6.4.3.4·余弦定理正弦定理应用举例】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 1.应用一：测量距离问题（高频基础题型） 知识点：核心是利用正弦定理、余弦定理，解决“不可到达两点间的距离”“可到达两点间的距离”问题，常见场景：①两点均可到达（已知两边及夹角、三边，用余弦定理；已知两角及一边，用正弦定理）；②一点可到达、一点不可到达（构造三角形，转化为“已知两角及一边”或“已知两边及其中一边的对角”，用正弦定理）；③两点均不可到达（构造两个相关三角形，分步求解，先求中间量，再求目标距离）；解题核心步骤：画图建模→确定已知量与未知量→选取合适定理→代入计算→验证结果 示例：已知A、B两点相距10km，C为异于A、B的点，∠BAC=60°，∠ABC=45°，求A、C间的距离；解：由内角和得∠ACB=75°，由正弦定理，代入得km 易错辨析：①画图建模错误，混淆“可到达”与“不可到达”场景，构造的三角形不符合实际情况；②方位角、视角判断错误，导致已知角的度数代入错误；③选取定理不当，已知两边及夹角误用水正弦定理，增加计算量且易出错；④忽略距离的实际意义，计算结果出现负值（距离为正，取算术平方根）；⑤分步求解时，中间量计算错误，导致最终目标距离出错 重点记忆：①核心口诀：“测量距离先建模，分清可达不可达，正弦余弦按需选，画图标角是关键”；②定理选用原则：已知两边及夹角、三边→余弦定理；已知两角及一边、两边及其中一边的对角→正弦定理；③关键步骤：先根据实际场景画出三角形，标注已知边、已知角，明确未知量，再选取对应定理；④常用技巧：不可到达点问题，优先构造“已知两角及一边”的三角形，简化计算；⑤注意事项：单位统一（如km、m），计算结果需贴合实际场景（保留最简根号或按题干要求近似） 常考结论：①两点均不可到达时，核心是“转化思想”，通过构造两个有公共边的三角形，先求公共边（中间量），再求目标距离；②若已知A、B两点距离为a，C为不可到达点，∠BAC=α，∠ABC=β，则，；③测量距离的误差控制：分步计算时，中间量保留两位小数，最终结果按要求取舍，减少误差 2.应用二：测量高度问题（高频基础题型） 知识点：核心是解决“底部可到达的物体高度”“底部不可到达的物体高度”问题，核心思路：构造直角三角形与斜三角形结合的模型，将高度转化为三角形的边，利用正弦定理、余弦定理求解；常见场景：①底部可到达（构造直角三角形，结合三角函数或正弦、余弦定理）；②底部不可到达（构造两个直角三角形，或一个直角三角形+一个斜三角形，分步求解）；解题核心步骤：画图建模→拆分三角形（直角+斜三角）→标注已知量→求中间边→求目标高度 示例：测量底部可到达的旗杆高度，测得观测点A到旗杆底部B的距离为10m，观测旗杆顶端C的仰角为60°，求旗杆BC的高度；解：△ABC为直角三角形（∠B=90°），由三角函数得，故m 易错辨析：①混淆“仰角”与“俯角”，仰角是视线在水平线以上，俯角在水平线以下，误将俯角当作仰角代入，导致角度错误；②底部不可到达时，构造的三角形无公共边，无法分步求解；③忽略观测点的高度，仅计算物体上方部分高度，未加观测点高度（实际高度=观测点高度+物体上方部分高度）；④直角三角形与斜三角形拆分错误，误用定理；⑤三角函数值计算错误（如误算为） 重点记忆：①核心口诀：“测量高度分两类，底部可达不可达，仰角俯角辨清楚，直角斜角相结合”；②关键概念：仰角（视线与水平线夹角，向上为正）、俯角（视线与水平线夹角，向下为正），二者均为锐角；③定理选用原则：直角三角形优先用三角函数（、、），斜三角形用正弦、余弦定理；④底部不可到达技巧：构造两个有公共仰角/俯角的三角形，求公共边，再转化为高度；⑤注意事项：需区分“物体顶端高度”与“物体实际高度”，若观测点有高度，需叠加观测点高度 常考结论：①底部可到达：设观测点到物体底部距离为a，仰角为α，物体高度h=a·（观测点高度为0时）；②底部不可到达：设观测点A、B间距离为a，观测物体顶端C的仰角分别为α、β，∠ABC=θ，则物体高度h=（简化公式，可直接套用）；③测量高度时，优先选择观测点与物体底部在同一水平面，减少误差；④若观测点高度为h₀，物体实际高度H=h₀+h（h为观测点到物体顶端的垂直高度） 3.应用三：测量角度问题（高频中档题型） 知识点：核心是利用正弦定理、余弦定理，解决实际场景中的“方位角”“视角”“两物体的夹角”问题，常见场景：航海、航空、地形勘测中，判断物体的方位、两物体的夹角大小；解题核心步骤：画图建模→明确方位角/视角的含义→标注已知边、已知角→选取合适定理→计算目标角度→验证角度范围（0°<角度<180°） 示例：在海上A点，测得灯塔B在A点的北偏东60°方向，测得灯塔C在A点的北偏西45°方向，已知AB=10nmile，AC=8nmile，求∠BAC及灯塔B、C间的夹角；解：∠BAC=60°+45°=105°，由余弦定理，先求BC=，再计算∠ABC≈38.2° 易错辨析：①方位角理解错误，混淆“北偏东”“东偏北”，或方位角的度数计算错误（如北偏东60°误算为30°）；②视角判断错误，误将两个方位角的和/差当作目标角度；③选取定理不当，已知三边求角误用正弦定理，导致角度判断错误；④忽略角度的实际范围，计算出的角度大于180°或为负角；⑤方位角的基准线错误，未以“正北/正南”为基准，导致角度标注错误 重点记忆：①核心口诀：“测量角度看方位，正北正南为基准，东偏北偏辨清楚，定理选用看条件”；②关键概念：方位角是从正北方向顺时针转到目标方向的角度（0°≤方位角<360°），视角是观测两个物体的视线夹角；③定理选用原则：已知两边及夹角、三边→余弦定理（求角更精准，可判断角的类型）；已知两角及一边→正弦定理；④解题技巧：先根据方位角画出准确图形，标注所有已知条件，再确定要求的角度，最后选取定理；⑤注意事项：方位角的度数需准确换算，视角为锐角或钝角（根据实际场景判断） 常考结论：①若A点观测B点的方位角为α，观测C点的方位角为β（α>β），则∠BAC=α−β（当α、β在同一侧时）或∠BAC=360°−α+β（当α、β在两侧时）；②航海问题中，常用“方位角+正弦、余弦定理”求解两船的夹角、航行距离；③测量角度时，用余弦定理求角更优（可直接判断角的类型，避免正弦定理的多解问题）；④视角的最大值/最小值问题，可结合三角形的边角关系求解（如两边固定，夹角随第三边变化） 4.应用四：判断三角形的形状（高频综合题型） 知识点：核心是结合正弦定理、余弦定理，将三角形的“边的关系”与“角的关系”相互转化，判断三角形的类型（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形、等腰三角形、等边三角形）；核心思路：①角化边（将角的正弦、余弦转化为边，利用边的关系判断）；②边化角（将边转化为角的正弦，利用角的关系判断）；解题核心步骤：确定已知条件→边角转化→判断边角关系→得出三角形形状 示例：已知△ABC中，，判断三角形形状；解：由余弦定理，代入得，又0°<C<180°，故C=60°，结合已知条件无法判断是否为等腰，需补充条件；若a=b，则为等边三角形，否则为锐角三角形 易错辨析：①边角转化错误，如将误转化为a=b（正确，但需注意A=B或A=180°−B，后者需结合三角形内角和排除）；②判断锐角三角形时，仅判断一个角为锐角，忽略“最大角为锐角”的核心条件；③混淆“等腰三角形”与“等边三角形”，误将等腰三角形当作等边三角形（等边三角形是特殊的等腰三角形）；④用正弦定理判断角的类型时，忽略多解问题，导致形状判断错误；⑤边角关系变形错误，如将误判断为锐角三角形（正确为钝角三角形） 重点记忆：①核心口诀：“判断形状边角转，角化边或边化角，最大角来定类型，等腰等边看特例”；②边角转化核心：、、（边化角）；、（角化边）；③形状判断核心：最大角的类型决定三角形类型（最大角为锐角→锐角三角形，直角→直角三角形，钝角→钝角三角形）；④特殊三角形判断：等腰三角形（a=b或A=B），等边三角形（a=b=c或A=B=C=60°）；⑤技巧：优先角化边（运算更简洁，不易出错），再判断边的关系 常考结论：①高频判断结论（可直接套用）：→直角三角形；（c为最大边）→锐角三角形；（c为最大边）→钝角三角形；②⇔⇔等腰三角形；⇔⇔等边三角形；③→A=B或A+B=90°（三角形为等腰或直角三角形）；④若，则三角形为锐角三角形（高频拓展结论） 5.应用五：三角形的面积求解（高频综合题型） 知识点：核心是结合正弦定理、余弦定理，灵活选用三角形面积公式，解决“已知边角求面积”“已知面积求边角”的问题，核心面积公式（适配不同条件）：①基础公式：（两边及夹角）；②结合正弦定理：（已知两角及一边）；③结合余弦定理：（海伦公式，p=，已知三边）；④结合外接圆半径：；解题核心步骤：确定已知条件→选取合适面积公式→代入计算→验证结果（面积为正） 示例：已知△ABC中，a=3，b=4，C=60°，求面积；解：选用基础公式，代入得 易错辨析：①面积公式选用不当，已知三边误用水基础公式，无法计算；②漏写面积公式中的系数，误记为；③混淆“夹角”，用基础公式时，误将非夹角的角代入（如用时，代入角A）；④结合正弦、余弦定理变形时，边角对应错误，导致计算错误；⑤海伦公式中，误将p算成，忽略除以2 重点记忆：①核心口诀：“面积公式多又多，按需选用不出错，两边夹角最基础，正弦余弦来拓展”；②公式选用原则（高频）：已知两边及夹角→基础公式；已知两角及一边→结合正弦定理的公式；已知三边→海伦公式；已知三边及外接圆半径→；③关键技巧：已知面积求边角时，优先选用基础公式，变形求解未知边或角；④注意事项：面积为正数，计算结果需保留最简根号或按题干要求近似；单位统一（如m²、km²）；⑤拓展技巧：可结合面积公式验证三角形解的合理性（面积为正，解有效） 常考结论：①高频拓展公式：（由边化角公式推导，已知外接圆半径和三角时可用）；②若△ABC为等腰三角形，a=b，顶角为C，则；③已知三角形面积和两边，可求夹角：；④海伦公式的简化应用：若三边为整数，优先用海伦公式，避免三角函数计算误差；⑤三角形的面积与外接圆半径、内切圆半径的关系：（r为内切圆半径，高频辅助公式） 6.应用六：正弦定理与余弦定理的综合应用（高频难点题型） 知识点：核心是结合正弦定理、余弦定理，解决“边角互求”“面积与边角结合”“与向量、三角恒等式结合”的综合题型，核心思想：灵活运用“边角转化”，根据题干条件，交替使用两个定理，分步求解未知量；常见场景：①已知一边及两角，求其余边、角及面积；②已知两边及其中一边的对角，求其余边、角、面积及三角形形状；③与向量数量积结合（如）；④与三角恒等式结合（如） 示例：已知△ABC中，，bc=12，B=45°，求a、C及面积；解：由向量数量积得，代入bc=12得，故A=60°，C=75°；由正弦定理，结合bc=12，解得a=3，面积 易错辨析：①定理交替使用时，边角对应错误，导致后续计算全部出错；②与向量结合时，混淆向量数量积公式（如误将写成）；③与三角恒等式结合时，误用公式（如误将写成）；④已知两边及其中一边的对角，跳过解的个数判断，导致漏解或多解；⑤综合题型中，思路混乱，未分步求解，盲目代入公式 重点记忆：①核心口诀：“综合题型分步走，边角转化是核心，正弦余弦交替用，向量三角巧结合”；②解题核心步骤：明确题干所有条件（边、角、向量、面积）→优先转化为三角形的边角关系→判断解的个数（若有必要）→分步求未知边、角→求面积、判断形状→验证结果；③关键技巧：与向量结合时，将向量表达式转化为余弦定理的形式（如）；与三角恒等式结合时，利用化简；④定理选用原则：优先用正弦定理求角、边化角，优先用余弦定理求边、判断角的类型；⑤注意事项：综合题型计算量大，分步计算时，保留中间量的精准值，避免误差累积 常考结论：①高频综合结论：若，则，结合余弦定理可求；②与三角恒等式结合：，，可用于化简角的表达式；③综合题型中，常考查“最值问题”（如边长的最值、面积的最值），可结合正弦定理转化为三角函数最值，或结合余弦定理用基本不等式求解；④若已知三角形的外接圆半径R和面积S，则（由变形，高频应用） 7.应用七：实际场景中的综合建模问题（拓展高频题型） 知识点：核心是将航海、航空、地形勘测、建筑测量等实际场景，转化为三角形模型，利用正弦定理、余弦定理求解，核心是“建模能力”；常见场景：航海中的航行路线、建筑中的高度/距离测量、地形中的坡度/坡角问题；解题核心步骤：审题（明确实际场景）→画图建模（转化为三角形）→标注已知量、未知量→选取定理→计算求解→回归实际场景（验证结果合理性） 示例：一艘船从A点出发，沿北偏东30°方向航行10nmile到达B点，再沿北偏西60°方向航行10nmile到达C点，求A、C间的距离；解：画图建模得△ABC中，AB=BC=10nmile，∠ABC=90°（30°+60°），由勾股定理得AC=10nmile（或用余弦定理求解） 易错辨析：①审题不清，无法将实际场景转化为三角形模型（如坡度、坡角问题，无法构造直角三角形）；②方位角、坡度、坡角理解错误，导致已知条件标注错误；③建模时忽略实际约束条件（如航行路线的方向、地形的坡度限制），导致模型不符合实际；④计算结果未回归实际场景，如距离、高度出现不合理数值；⑤坡度与坡角混淆（坡度i=垂直高度/水平宽度，坡角α是坡面与水平面的夹角，i=） 重点记忆：①核心口诀：“实际问题先审题，转化三角是关键，方位坡度辨清楚，建模计算回实际”；②关键概念：坡度i=h/l（h为垂直高度，l为水平宽度），坡角α=；方位角以正北为基准，顺时针计算；③建模技巧：优先构造直角三角形与斜三角形结合的模型，简化计算；实际场景中，优先考虑特殊三角形（等腰、直角三角形），减少运算量；④解题核心：“转化思想”，将实际问题中的距离、高度、角度，转化为三角形的边、角，再用正弦、余弦定理求解；⑤注意事项：计算结果需贴合实际，单位统一，必要时进行近似处理（如保留一位小数） 常考结论：①航海问题中，若船沿两个垂直方向航行（方位角夹角90°），则航行的总距离为直角三角形的斜边；②坡度问题中，设坡角为α，坡面长度为l，则垂直高度h=l·，水平宽度l=l·；③实际建模问题中，常考查“最短距离”“最短时间”，可结合正弦、余弦定理与基本不等式求解；④建筑测量中，底部不可到达的物体高度，常用“两次仰角”建模，分步求解 二、高频易错+核心公式 核心易错点总览：1.建模错误：方位角、仰角俯角、坡度坡角理解错误，无法转化为三角形模型；2.定理选用错误：已知条件与定理不匹配，增加计算量且易出错；3.边角对应错误：正弦、余弦定理代入时，边与对角对应错误（高频中的高频）；4.计算错误：公式漏写系数（、2R）、三角函数值、根式化简、单位不统一；5.综合错误：解的个数判断遗漏、与向量/三角恒等式结合时公式误用、结果未回归实际场景 核心公式汇总：1.核心定理： 正弦定理：（R为外接圆半径） 余弦定理：，（其余两角同理） 2.三角形面积公式（高频）： ，，（p=） 3.辅助公式/结论： ，， 坡度i=（α为坡角）， 4.解的个数判断（已知a、b及角A）： A为锐角：b<a≤bsinA→0解；a=bsinA→1解；bsinA<a<b→2解；a≥b→1解 A为直角/钝角：a>b→1解；a≤b→0解 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：距离测量问题】 （2026·重庆·一模）如图所示，一艘海轮在海面上的处发现两座小岛，测得小岛在的北偏东的方向上，小岛在的北偏东的方向上，海轮从处向正东方向航行海里后到达处，测得小岛在的北偏西的方向上，小岛在的北偏东的方向上.经典例题1例题    (1)求处与小岛之间的距离； (2)求两座小岛之间的距离. （25-26高三上·河北·月考）某勘测队在河岸的一侧隔河进行测绘工作，河岸一侧两地相距50米，河对岸有两地，测得米，.经典例题2例题 (1)求的值； (2)若测量后发现，求两地的距离. （25-26高三上·广西南宁·月考）猫儿山位于广西桂林，是南岭山脉越城岭主峰、广西第一高峰，因峰顶巨石形似卧猫得名，它是漓江发源地，也是国家级自然保护区，生物多样性丰富，有“华南之巅”的美誉．如图，计划在猫儿山的两个山顶间架设一条索道．为测量间的距离，工作人员在同一水平面选取三个观测点，在处测得山顶的仰角分别为和，测得两个山顶的高分别为，且测得，则间的距离为（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高二上·北京·期中）A市为进一步缓解交通压力，现经过甲公路和乙公路，分别修建新地铁线和快速通道，如图已知S小区在两条公路汇合处，两条公路夹角为60°，为了便于施工拟在两条公路之间的区域内建一混凝土搅拌站P，并分别在两条公路边上建两个中转站M、N（异于点S），要求（单位：千米）．设．小试牛刀2 (1)用表示SN并写出的范围； (2)当搅拌站P与小区S的距离最远时，求的值． （25-26高三上·河南南阳·期中）某班数学老师组织本班学生开展课外实地测量活动时，需要测量某河流同侧的，两点之间的距离，该班学生在这条河流另一侧的点处测得点在点的北偏东30°方向上，点在点的北偏东60°方向上，从点出发，沿正东方向走2千米，到达点，在点处测得点在点的北偏西15°方向上，点在点的北偏东15°方向上，则，两点之间的距离（   ）小试牛刀3 A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 【题型2:高度测量问题】 （25-26高三上·甘肃酒泉·期末）“年度十大最美桥梁”评选结果在广州揭晓，由甘肃公交建集团投资建设的线清傅公路桑园子黄河大桥凭借卓越的工程品质、独特的美学设计与突出的创新价值，获“全国最美桥梁提名奖”，为本次评选中西北地区唯一入选的桥梁.数学兴趣小组想要测量桑园子黄河大桥北塔的高度，但不能直接测量，现采用以下方案：假定大桥北塔垂直于桥面，一辆小汽车在行驶过程中，车内观测员两次仰望塔顶的仰角分别为，（如图），设乘客眼睛离地面的距离为，.若在同一水平高度，且，，在同一竖直平面内，则北塔高为（    ）经典例题1例题    A． B． C． D． （2025高三上·河南鹤壁·专题练习）年月日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为单位：，三角高度测量法是珠峰高程测量方法之一．下图是三角高程测量法的一个示意图，现有，，三点，且，，在同一水平面上的投影满足，由点测得点的仰角为，与的差为；由点测得点的仰角为，则，两点到水平面的高度差约为（     ）．经典例题2例题 A． B． C． D． （2025·山东聊城·模拟预测）山东文旅宣传片以“东来山东，有山有水有风景”为主题，通过融合地域特色与人文风情，展现山东的自然景观与文化底蕴.诗人李白的“日观东北倾，两崖夹双石”，描写的正是山东众多闻名山水之一的泰山.如图，某游客为了测量泰山主峰玉皇顶的高度AB（单位：米），在地面上选择一个观测点，在附近的山峰顶端选择另一个测量点，在处测得处的仰角为，测得主峰玉皇顶最高点的仰角为山峰的高度CD为772.5米，且在处测得点的仰角为，点B，P，D在同一水平面的一条直线上，则玉皇顶的高度AB为（   ）小试牛刀1 A．1030米 B．1545米 C．米 D．米 （25-26高三上·山东青岛·期中）如图所示，为测量一棵树的高度，在地面上选取A，B两点（A，B，H三点共线），从A，B两点分别测得树尖P的仰角为，，且A，B两点之间的距离为，则树的高度为（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高三上·吉林四平·期中）如图，为了测量河对岸的塔高，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与.现测得，在点测得塔顶的仰角为，则 ，塔高 .小试牛刀3    【题型3：角度测量问题】 （24-25高二上·浙江·开学考试）某校学生参加课外实践活动，“测量一土坡的倾斜程度”．如图，在坡脚处测得坡顶一建筑物的顶端对于山坡的倾斜程度为，沿土坡前进50m到达处，测得对于山坡的倾斜度为，已知m，，设土坡对于平面的坡角为，则（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （24-25高一下·浙江温州·期中）一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东30°，距离为6海里，灯塔在的北偏东60°，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西30°方向，则此时灯塔位于渔船的（   ）经典例题2例题 A．北偏东60°方向 B．北偏西30°方向 C．北偏西60°方向 D．北偏东30°方向 （24-25高一下·安徽安庆·月考）为丰富学生课余活动，体育组陈老师和学生们一起做游戏：陈老师站在处，让甲同学站在处北偏东方向，距离处km的处，并让站在处北偏西75°的方向，距离处 2 km的处的乙同学以km/h的速度去追甲同学．此时，甲同学正以10 km/h的速度从处向北偏东30°方向奔跑，问乙同学沿什么方向能最快追上甲同学？小试牛刀1 （24-25高一下·全国·课堂例题）某货船在索马里海域航行中遭海盗袭击，发出呼叫信号，如图，我海军护航舰在处获悉后，立即测出该货船在方位角为，距离为10海里的处，并测得货船正沿方位角为的方向，以10海里／小时的速度向前行驶，我海军护航舰立即以海里／小时的速度前去营救，求护航舰的航向和靠近货船所需的时间．小试牛刀2 （2024高一·全国·专题练习）与江苏省首批高品质示范高中江苏省常州高级中学毗邻的天宁宝塔，是世界第一高佛塔，是常州标志性建筑之一，也是该校师生喜欢的摄影取景胜地.该校高一某研究性学习小组去测量天宁宝塔的高度，该小组同学在塔底的东南方向上选取两个测量点与，测得米，在、两处测得塔顶的仰角分别为，（如图），已知.小试牛刀3 (1)请计算天宁宝塔的高度（四舍五入保留整数）； (2)为庆祝某重大节日，在塔上A到处设计特殊的“灯光秀”以烘托节日气氛.知米，塔高直接取（1）的整数结果，市民在塔底B的东南方向的处欣赏“灯光秀”（如图），请问当为多少米时，欣赏“灯光秀”的视角最大?（结果保留根式） 【题型4：正余弦定理其他实际应用题】 （23-24高一下·上海奉贤·期中）某公园拟建造一个四边形的露营基地，如图所示．为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形区域中，将三角形区域设立成花卉观赏区，三角形区域设立成烧烤区，边修建观赏步道，边修建隔离防护栏，其中米，米，．经典例题1例题 (1)若米，求角的余弦值； (2)如果烧烤区是一个占地面积为9600平方米的钝角三角形，那么需要修建多长的隔离防护栏（精确到0.1米）？ (3)考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形区域时，首先保证烧烤区的占地面积最大时，再使得花卉观赏区的面积尽可能大，则应如何设计观赏步道？ （23-24高一下·内蒙古赤峰·月考）某海域的东西方向上分别有两个观测点（如图），它们相距海里.现有一艘轮船在点发出求救信号，经探测得知点位于点北偏东，点北偏西，这时，位于点南偏西且与点相距海里的点有一救援船，其航行速速为海里/小时.经典例题2例题 (1)求点到点的距离； (2)若命令处的救援船立即前往点营救，求该救援船到达点需要的时间. （23-24高一下·河北·期末）如图，甲船在点处通过雷达发现在其南偏东方向相距20海里的处有一艘货船发出供油补给需求，该货船正以15海里/时的速度从处向南偏西的方向行驶．甲船立即通知在其正西方向且相距海里的处的补给船，补给船立刻以25海里/时的速度与货船在处会合．小试牛刀1 (1)求的长； (2)试问补给船至少应行驶几小时，才能与货船会合？ （23-24高一下·山东青岛·期中）如图，游客从崂山的景点处至处有两种路径，一种是从沿直线步行到，另一种是先从乘景区观光车到，然后从沿直线步行到．现有甲、乙两位游客从处到处，甲沿匀速步行，乙从乘观光车到，再从匀速步行到．假设山路长为1890米，经测量，，．小试牛刀2 (1)求观光车路线的长； (2)若甲的速度为，观光车匀速直线运行的速度为．在甲出发2分钟后，乙乘上观光车出发，问：乙出发多少分钟后，乙在观光车上与甲的距离最短？ （23-24高一下·福建厦门·月考）为改进城市旅游景观面貌､提高市民的生活幸福指数，城建部门拟在以水源为圆心的空地上，规划一个形状为四边形的动植物园．如图：四边形内接于圆为动物园区，为植物园区（为了方便植物园的浇水灌溉，水源必须在植物园区的内部或边界上）．又根据规划已知千米，千米．小试牛刀3 (1)若，且，求边的长？ (2)若千米，求该动植物园区面积的最大值？ 【题型5：正余弦定理在几何中的计算】 （25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，一艘船向正东航行，顺次经过观测点B，M，N，C，船航行到B处，在B处观测灯塔A在船的北偏东的方向上，船航行到C处，在C处观测灯塔在船的北偏西的方向上，已知B，C相距6海里，．经典例题1例题    (1)若，求的距离； (2)求面积的最小值． （25-26高三上·四川成都·月考）在中，角的对边分别为，在BC边上取一点D，使得，则线段DC的长度为 .经典例题2例题 （24-25高一下·吉林松原·期末）在中，已知，是边上一点，如图，，，，则（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高三上·山东德州·期中）如图，在中，角，，的对边分别为，，，且，，为内一点，．小试牛刀2 (1)求角的大小； (2)若，求； (3)若，求 （25-26高三上·山东·期中）如图所示，在平面四边形中，，，，，则的长度为（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型6：正余弦定理求周长最值】 （25-26高三上·贵州黔西南·月考）已知的内角的对边分别为，且满足.经典例题1例题 (1)求； (2)若，求锐角周长的取值范围. （25-26高三上·安徽阜阳·期末）在锐角中，角所对的边分别是，已知.经典例题2例题 (1)求； (2)记的面积为，周长为，求的取值范围. （25-26高一上·湖南邵阳·期末）已知在中，内角，，的对边分别为，，，的外接圆的直径为，为锐角，.小试牛刀1 (1)求的面积的最大值； (2)若点为的内切圆的圆心，求的周长的最大值. （2025高三上·河南南阳·专题练习）已知中，内角、、所对的边分别为、、，且，．小试牛刀2 (1)求； (2)若内心为，求的周长范围． （25-26高三上·甘肃兰州·期末）在中，角所对的边分别为，且满足．小试牛刀3 (1)求角的大小； (2)若，求的周长的最大值． 【题型7：正余弦定理求面积最值】 （2026·湖南湘潭·二模）在中，角，，的对边分别为，，．已知，且，则面积的最大值为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （24-25高二上·贵州遵义·月考）已知的内角所对的边分别为，，且满足：.经典例题2例题 (1)当_____时，从条件：①，②的面积为；中选择一个条件填到横线上，求c的值； (2)若D是边AC上一点，且，求面积的最大值及此时线段BD的长度. （25-26高三上·宁夏·月考）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知小试牛刀1 (1)求角的大小； (2)若为的角平分线，且，，求角平分线的长度； (3)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. （25-26高三上·辽宁·期中）在中，分别为内角的对边，且.小试牛刀2 (1)若，求的面积； (2)若在边上且，求证：； (3)求面积的最大值. （25-26高三上·安徽·期中）在中，，分别为，的中点，与交于点，记，．小试牛刀3 (1)若，，，求； (2)若，，求面积的最大值． 【题型8：正余弦定理与三角函数的性质综合】 （25-26高三上·云南曲靖·期中）在直角梯形ABCD中，，，，边BC的长度为定值a，其余三边的长度可变．经典例题1例题 (1)当为等边三角形时，，求a的值； (2)设，求AD的最大值． （25-26高三上·河南周口·月考）在中，，则的取值范围为 ．经典例题2例题 （2025·湖南益阳·模拟预测）已知的内角所对的边分别为，且.小试牛刀1 (1)求； (2)若，求的取值范围. （2025高三·全国·专题练习）在锐角三角形中，角的对边分别为，．小试牛刀2 (1)求； (2)若，求内切圆半径的取值范围． （24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期末）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则 ，的取值范围为 ．小试牛刀3 课后针对训练 一、单选题 1．（23-24高一下·北京·月考）如图,甲船以每小时海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于处时,乙船位于甲船的北偏西方向的处,此时两船相距海里,当甲船航行分钟到达处时,乙船航行到甲船的北偏西方向的处,此时两船相距海里,则乙船每小时航行（    ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 2．（25-26高二上·湖南衡阳·月考）如图，施工队计划在一座大山中挖通一条隧道，需要确定隧道的长度，工程人员测得隧道两端的A,B两点到C点的距离分别为，，且，则隧道的长度为（   ） A．km B．km C．km D．km 3．（24-25高一下·浙江衢州·期中）灵山江畔的龙洲塔，有“人文荟萃，学养深厚”的福地一说.如图，某同学为了测量龙洲塔的高度，在地面处测得塔在南偏东的方向上，向正南方向行走后到达D处，测得塔在南偏东的方向上，处测得塔尖的仰角为，则可得龙洲塔高度为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·陕西商洛·月考）如图，在倾斜角为的山坡上有一根垂直于水平面的旗杆，当太阳光线的仰角是时，旗杆在山坡上的影子的长度是，则旗杆的高为（    ）    A． B． C． D． 5．（25-26高三上·福建·月考）如图，某施工队将从到修建一条隧道，为确定、之间的距离，测得了以下数据：，，，，则、间的距离为（   ） A．3 B． C． D． 6．（25-26高三上·山东·月考）某公司工程师需要在河岸边测量对岸一座垂直于地面的信号塔的高度，由于河流无法直接跨越，工程师在岸边选取了相距80米的（与该信号塔的塔底在同一水平面上）两个测量点：从点观测该信号塔塔顶的仰角为，从点观测该信号塔塔顶的仰角为，且，则这座信号塔的高度（    ） A．米 B．米 C．40米 D．80米 二、填空题 7．（25-26高三上·湖南长沙·月考）在中，，则的周长的取值范围为 ． 8．（23-24高一下·浙江宁波·期末）已知海岛在海岛的北偏东的方向上，且两岛的直线距离为. 一艘海盗船以的速度沿着北偏东方向从海岛出发，同时海警船以的速度从海岛进行追赶，经过小时后两船相遇，则海警船的航行方向是北偏东 . 9．（25-26高二上·贵州铜仁·月考）为加快推进“光网”双千兆城市建设，如图，在东北某地地面有四个基站，，，.已知，两个基站建在松花江的南岸，距离为；基站，在江的北岸，测得 ， ， ， ，则，两个基站之间的距离为 .    参考数据:. 三、解答题 10．（24-25高一下·河北石家庄·月考）在中，角所对的边分别为，已知且． (1)求角的大小． (2)若的面积为，求的周长． (3)若为锐角三角形，求的取值范围． 11．（25-26高三上·安徽·月考）在锐角中，内角所对的边分别为．在下面所给的三个条件中任选一个完成题目的解答： ①；②；③． (1)求的值； (2)若为延长线上一点，且，求的取值范围． 注：若多选，则按所选第一个计分． 12．（25-26高二上·浙江·期中）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 (1)求角的大小； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 13．（2025·山东·三模）在中，、、所对应的边分别为、、，已知，，点在线段上，且. (1)当时，求的长； (2)当时，求的面积. 14．（25-26高三上·江西南昌·月考）如图，在中，，，点在上，， . (1)求； (2)求. 15．（25-26高三上·安徽阜阳·月考）在锐角三角形 中，角 的对边分别为 ，且 . (1)求角 的大小； (2)若 ，求 的取值范围. 16．（25-26高三上·陕西·月考）如图，在四边形中，O为对角线的交点，，，，且．    (1)求的长. (2)设若 且，求的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年寒假高一数学下学期常考题型归纳 【6.4.3.4·余弦定理正弦定理应用举例】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 1.应用一：测量距离问题（高频基础题型） 知识点：核心是利用正弦定理、余弦定理，解决“不可到达两点间的距离”“可到达两点间的距离”问题，常见场景：①两点均可到达（已知两边及夹角、三边，用余弦定理；已知两角及一边，用正弦定理）；②一点可到达、一点不可到达（构造三角形，转化为“已知两角及一边”或“已知两边及其中一边的对角”，用正弦定理）；③两点均不可到达（构造两个相关三角形，分步求解，先求中间量，再求目标距离）；解题核心步骤：画图建模→确定已知量与未知量→选取合适定理→代入计算→验证结果 示例：已知A、B两点相距10km，C为异于A、B的点，∠BAC=60°，∠ABC=45°，求A、C间的距离；解：由内角和得∠ACB=75°，由正弦定理，代入得km 易错辨析：①画图建模错误，混淆“可到达”与“不可到达”场景，构造的三角形不符合实际情况；②方位角、视角判断错误，导致已知角的度数代入错误；③选取定理不当，已知两边及夹角误用水正弦定理，增加计算量且易出错；④忽略距离的实际意义，计算结果出现负值（距离为正，取算术平方根）；⑤分步求解时，中间量计算错误，导致最终目标距离出错 重点记忆：①核心口诀：“测量距离先建模，分清可达不可达，正弦余弦按需选，画图标角是关键”；②定理选用原则：已知两边及夹角、三边→余弦定理；已知两角及一边、两边及其中一边的对角→正弦定理；③关键步骤：先根据实际场景画出三角形，标注已知边、已知角，明确未知量，再选取对应定理；④常用技巧：不可到达点问题，优先构造“已知两角及一边”的三角形，简化计算；⑤注意事项：单位统一（如km、m），计算结果需贴合实际场景（保留最简根号或按题干要求近似） 常考结论：①两点均不可到达时，核心是“转化思想”，通过构造两个有公共边的三角形，先求公共边（中间量），再求目标距离；②若已知A、B两点距离为a，C为不可到达点，∠BAC=α，∠ABC=β，则，；③测量距离的误差控制：分步计算时，中间量保留两位小数，最终结果按要求取舍，减少误差 2.应用二：测量高度问题（高频基础题型） 知识点：核心是解决“底部可到达的物体高度”“底部不可到达的物体高度”问题，核心思路：构造直角三角形与斜三角形结合的模型，将高度转化为三角形的边，利用正弦定理、余弦定理求解；常见场景：①底部可到达（构造直角三角形，结合三角函数或正弦、余弦定理）；②底部不可到达（构造两个直角三角形，或一个直角三角形+一个斜三角形，分步求解）；解题核心步骤：画图建模→拆分三角形（直角+斜三角）→标注已知量→求中间边→求目标高度 示例：测量底部可到达的旗杆高度，测得观测点A到旗杆底部B的距离为10m，观测旗杆顶端C的仰角为60°，求旗杆BC的高度；解：△ABC为直角三角形（∠B=90°），由三角函数得，故m 易错辨析：①混淆“仰角”与“俯角”，仰角是视线在水平线以上，俯角在水平线以下，误将俯角当作仰角代入，导致角度错误；②底部不可到达时，构造的三角形无公共边，无法分步求解；③忽略观测点的高度，仅计算物体上方部分高度，未加观测点高度（实际高度=观测点高度+物体上方部分高度）；④直角三角形与斜三角形拆分错误，误用定理；⑤三角函数值计算错误（如误算为） 重点记忆：①核心口诀：“测量高度分两类，底部可达不可达，仰角俯角辨清楚，直角斜角相结合”；②关键概念：仰角（视线与水平线夹角，向上为正）、俯角（视线与水平线夹角，向下为正），二者均为锐角；③定理选用原则：直角三角形优先用三角函数（、、），斜三角形用正弦、余弦定理；④底部不可到达技巧：构造两个有公共仰角/俯角的三角形，求公共边，再转化为高度；⑤注意事项：需区分“物体顶端高度”与“物体实际高度”，若观测点有高度，需叠加观测点高度 常考结论：①底部可到达：设观测点到物体底部距离为a，仰角为α，物体高度h=a·（观测点高度为0时）；②底部不可到达：设观测点A、B间距离为a，观测物体顶端C的仰角分别为α、β，∠ABC=θ，则物体高度h=（简化公式，可直接套用）；③测量高度时，优先选择观测点与物体底部在同一水平面，减少误差；④若观测点高度为h₀，物体实际高度H=h₀+h（h为观测点到物体顶端的垂直高度） 3.应用三：测量角度问题（高频中档题型） 知识点：核心是利用正弦定理、余弦定理，解决实际场景中的“方位角”“视角”“两物体的夹角”问题，常见场景：航海、航空、地形勘测中，判断物体的方位、两物体的夹角大小；解题核心步骤：画图建模→明确方位角/视角的含义→标注已知边、已知角→选取合适定理→计算目标角度→验证角度范围（0°<角度<180°） 示例：在海上A点，测得灯塔B在A点的北偏东60°方向，测得灯塔C在A点的北偏西45°方向，已知AB=10nmile，AC=8nmile，求∠BAC及灯塔B、C间的夹角；解：∠BAC=60°+45°=105°，由余弦定理，先求BC=，再计算∠ABC≈38.2° 易错辨析：①方位角理解错误，混淆“北偏东”“东偏北”，或方位角的度数计算错误（如北偏东60°误算为30°）；②视角判断错误，误将两个方位角的和/差当作目标角度；③选取定理不当，已知三边求角误用正弦定理，导致角度判断错误；④忽略角度的实际范围，计算出的角度大于180°或为负角；⑤方位角的基准线错误，未以“正北/正南”为基准，导致角度标注错误 重点记忆：①核心口诀：“测量角度看方位，正北正南为基准，东偏北偏辨清楚，定理选用看条件”；②关键概念：方位角是从正北方向顺时针转到目标方向的角度（0°≤方位角<360°），视角是观测两个物体的视线夹角；③定理选用原则：已知两边及夹角、三边→余弦定理（求角更精准，可判断角的类型）；已知两角及一边→正弦定理；④解题技巧：先根据方位角画出准确图形，标注所有已知条件，再确定要求的角度，最后选取定理；⑤注意事项：方位角的度数需准确换算，视角为锐角或钝角（根据实际场景判断） 常考结论：①若A点观测B点的方位角为α，观测C点的方位角为β（α>β），则∠BAC=α−β（当α、β在同一侧时）或∠BAC=360°−α+β（当α、β在两侧时）；②航海问题中，常用“方位角+正弦、余弦定理”求解两船的夹角、航行距离；③测量角度时，用余弦定理求角更优（可直接判断角的类型，避免正弦定理的多解问题）；④视角的最大值/最小值问题，可结合三角形的边角关系求解（如两边固定，夹角随第三边变化） 4.应用四：判断三角形的形状（高频综合题型） 知识点：核心是结合正弦定理、余弦定理，将三角形的“边的关系”与“角的关系”相互转化，判断三角形的类型（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形、等腰三角形、等边三角形）；核心思路：①角化边（将角的正弦、余弦转化为边，利用边的关系判断）；②边化角（将边转化为角的正弦，利用角的关系判断）；解题核心步骤：确定已知条件→边角转化→判断边角关系→得出三角形形状 示例：已知△ABC中，，判断三角形形状；解：由余弦定理，代入得，又0°<C<180°，故C=60°，结合已知条件无法判断是否为等腰，需补充条件；若a=b，则为等边三角形，否则为锐角三角形 易错辨析：①边角转化错误，如将误转化为a=b（正确，但需注意A=B或A=180°−B，后者需结合三角形内角和排除）；②判断锐角三角形时，仅判断一个角为锐角，忽略“最大角为锐角”的核心条件；③混淆“等腰三角形”与“等边三角形”，误将等腰三角形当作等边三角形（等边三角形是特殊的等腰三角形）；④用正弦定理判断角的类型时，忽略多解问题，导致形状判断错误；⑤边角关系变形错误，如将误判断为锐角三角形（正确为钝角三角形） 重点记忆：①核心口诀：“判断形状边角转，角化边或边化角，最大角来定类型，等腰等边看特例”；②边角转化核心：、、（边化角）；、（角化边）；③形状判断核心：最大角的类型决定三角形类型（最大角为锐角→锐角三角形，直角→直角三角形，钝角→钝角三角形）；④特殊三角形判断：等腰三角形（a=b或A=B），等边三角形（a=b=c或A=B=C=60°）；⑤技巧：优先角化边（运算更简洁，不易出错），再判断边的关系 常考结论：①高频判断结论（可直接套用）：→直角三角形；（c为最大边）→锐角三角形；（c为最大边）→钝角三角形；②⇔⇔等腰三角形；⇔⇔等边三角形；③→A=B或A+B=90°（三角形为等腰或直角三角形）；④若，则三角形为锐角三角形（高频拓展结论） 5.应用五：三角形的面积求解（高频综合题型） 知识点：核心是结合正弦定理、余弦定理，灵活选用三角形面积公式，解决“已知边角求面积”“已知面积求边角”的问题，核心面积公式（适配不同条件）：①基础公式：（两边及夹角）；②结合正弦定理：（已知两角及一边）；③结合余弦定理：（海伦公式，p=，已知三边）；④结合外接圆半径：；解题核心步骤：确定已知条件→选取合适面积公式→代入计算→验证结果（面积为正） 示例：已知△ABC中，a=3，b=4，C=60°，求面积；解：选用基础公式，代入得 易错辨析：①面积公式选用不当，已知三边误用水基础公式，无法计算；②漏写面积公式中的系数，误记为；③混淆“夹角”，用基础公式时，误将非夹角的角代入（如用时，代入角A）；④结合正弦、余弦定理变形时，边角对应错误，导致计算错误；⑤海伦公式中，误将p算成，忽略除以2 重点记忆：①核心口诀：“面积公式多又多，按需选用不出错，两边夹角最基础，正弦余弦来拓展”；②公式选用原则（高频）：已知两边及夹角→基础公式；已知两角及一边→结合正弦定理的公式；已知三边→海伦公式；已知三边及外接圆半径→；③关键技巧：已知面积求边角时，优先选用基础公式，变形求解未知边或角；④注意事项：面积为正数，计算结果需保留最简根号或按题干要求近似；单位统一（如m²、km²）；⑤拓展技巧：可结合面积公式验证三角形解的合理性（面积为正，解有效） 常考结论：①高频拓展公式：（由边化角公式推导，已知外接圆半径和三角时可用）；②若△ABC为等腰三角形，a=b，顶角为C，则；③已知三角形面积和两边，可求夹角：；④海伦公式的简化应用：若三边为整数，优先用海伦公式，避免三角函数计算误差；⑤三角形的面积与外接圆半径、内切圆半径的关系：（r为内切圆半径，高频辅助公式） 6.应用六：正弦定理与余弦定理的综合应用（高频难点题型） 知识点：核心是结合正弦定理、余弦定理，解决“边角互求”“面积与边角结合”“与向量、三角恒等式结合”的综合题型，核心思想：灵活运用“边角转化”，根据题干条件，交替使用两个定理，分步求解未知量；常见场景：①已知一边及两角，求其余边、角及面积；②已知两边及其中一边的对角，求其余边、角、面积及三角形形状；③与向量数量积结合（如）；④与三角恒等式结合（如） 示例：已知△ABC中，，bc=12，B=45°，求a、C及面积；解：由向量数量积得，代入bc=12得，故A=60°，C=75°；由正弦定理，结合bc=12，解得a=3，面积 易错辨析：①定理交替使用时，边角对应错误，导致后续计算全部出错；②与向量结合时，混淆向量数量积公式（如误将写成）；③与三角恒等式结合时，误用公式（如误将写成）；④已知两边及其中一边的对角，跳过解的个数判断，导致漏解或多解；⑤综合题型中，思路混乱，未分步求解，盲目代入公式 重点记忆：①核心口诀：“综合题型分步走，边角转化是核心，正弦余弦交替用，向量三角巧结合”；②解题核心步骤：明确题干所有条件（边、角、向量、面积）→优先转化为三角形的边角关系→判断解的个数（若有必要）→分步求未知边、角→求面积、判断形状→验证结果；③关键技巧：与向量结合时，将向量表达式转化为余弦定理的形式（如）；与三角恒等式结合时，利用化简；④定理选用原则：优先用正弦定理求角、边化角，优先用余弦定理求边、判断角的类型；⑤注意事项：综合题型计算量大，分步计算时，保留中间量的精准值，避免误差累积 常考结论：①高频综合结论：若，则，结合余弦定理可求；②与三角恒等式结合：，，可用于化简角的表达式；③综合题型中，常考查“最值问题”（如边长的最值、面积的最值），可结合正弦定理转化为三角函数最值，或结合余弦定理用基本不等式求解；④若已知三角形的外接圆半径R和面积S，则（由变形，高频应用） 7.应用七：实际场景中的综合建模问题（拓展高频题型） 知识点：核心是将航海、航空、地形勘测、建筑测量等实际场景，转化为三角形模型，利用正弦定理、余弦定理求解，核心是“建模能力”；常见场景：航海中的航行路线、建筑中的高度/距离测量、地形中的坡度/坡角问题；解题核心步骤：审题（明确实际场景）→画图建模（转化为三角形）→标注已知量、未知量→选取定理→计算求解→回归实际场景（验证结果合理性） 示例：一艘船从A点出发，沿北偏东30°方向航行10nmile到达B点，再沿北偏西60°方向航行10nmile到达C点，求A、C间的距离；解：画图建模得△ABC中，AB=BC=10nmile，∠ABC=90°（30°+60°），由勾股定理得AC=10nmile（或用余弦定理求解） 易错辨析：①审题不清，无法将实际场景转化为三角形模型（如坡度、坡角问题，无法构造直角三角形）；②方位角、坡度、坡角理解错误，导致已知条件标注错误；③建模时忽略实际约束条件（如航行路线的方向、地形的坡度限制），导致模型不符合实际；④计算结果未回归实际场景，如距离、高度出现不合理数值；⑤坡度与坡角混淆（坡度i=垂直高度/水平宽度，坡角α是坡面与水平面的夹角，i=） 重点记忆：①核心口诀：“实际问题先审题，转化三角是关键，方位坡度辨清楚，建模计算回实际”；②关键概念：坡度i=h/l（h为垂直高度，l为水平宽度），坡角α=；方位角以正北为基准，顺时针计算；③建模技巧：优先构造直角三角形与斜三角形结合的模型，简化计算；实际场景中，优先考虑特殊三角形（等腰、直角三角形），减少运算量；④解题核心：“转化思想”，将实际问题中的距离、高度、角度，转化为三角形的边、角，再用正弦、余弦定理求解；⑤注意事项：计算结果需贴合实际，单位统一，必要时进行近似处理（如保留一位小数） 常考结论：①航海问题中，若船沿两个垂直方向航行（方位角夹角90°），则航行的总距离为直角三角形的斜边；②坡度问题中，设坡角为α，坡面长度为l，则垂直高度h=l·，水平宽度l=l·；③实际建模问题中，常考查“最短距离”“最短时间”，可结合正弦、余弦定理与基本不等式求解；④建筑测量中，底部不可到达的物体高度，常用“两次仰角”建模，分步求解 二、高频易错+核心公式 核心易错点总览：1.建模错误：方位角、仰角俯角、坡度坡角理解错误，无法转化为三角形模型；2.定理选用错误：已知条件与定理不匹配，增加计算量且易出错；3.边角对应错误：正弦、余弦定理代入时，边与对角对应错误（高频中的高频）；4.计算错误：公式漏写系数（、2R）、三角函数值、根式化简、单位不统一；5.综合错误：解的个数判断遗漏、与向量/三角恒等式结合时公式误用、结果未回归实际场景 核心公式汇总：1.核心定理： 正弦定理：（R为外接圆半径） 余弦定理：，（其余两角同理） 2.三角形面积公式（高频）： ，，（p=） 3.辅助公式/结论： ，， 坡度i=（α为坡角）， 4.解的个数判断（已知a、b及角A）： A为锐角：b<a≤bsinA→0解；a=bsinA→1解；bsinA<a<b→2解；a≥b→1解 A为直角/钝角：a>b→1解；a≤b→0解 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：距离测量问题】 （2026·重庆·一模）如图所示，一艘海轮在海面上的处发现两座小岛，测得小岛在的北偏东的方向上，小岛在的北偏东的方向上，海轮从处向正东方向航行海里后到达处，测得小岛在的北偏西的方向上，小岛在的北偏东的方向上.经典例题1例题    (1)求处与小岛之间的距离； (2)求两座小岛之间的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中利用正弦定理计算可得； （2）在中利用余弦定理求出，再在中利用余弦定理求出； 【详解】（1）由题可知在中，，，所以， 由正弦定理可得：，及， 所以（海里）． （2）由题可知在中：，，所以． 所以（海里）， 由余弦定理可得： ， 所以（海里）， 由题意可知，在中，， 由余弦定理可得： ， 所以（海里）. （25-26高三上·河北·月考）某勘测队在河岸的一侧隔河进行测绘工作，河岸一侧两地相距50米，河对岸有两地，测得米，.经典例题2例题 (1)求的值； (2)若测量后发现，求两地的距离. 【答案】(1) (2)米 【分析】（1）先利用三角函数的二倍角公式求出，然后求出，进而根据正弦定理求出结果即可. （2）先根据余弦定理求出，然后根据余弦定理求出，最后根据余弦定理求出结果. 【详解】（1）因为，所以. 所以，所以. 在中，根据正弦定理，，即， 解得. （2）在中，根据余弦定理，， 化简得，由于，所以解得米. 因为，在中，根据余弦定理， 化简得，解得米. 在中，根据余弦定理， 化简得，解得米. （25-26高三上·广西南宁·月考）猫儿山位于广西桂林，是南岭山脉越城岭主峰、广西第一高峰，因峰顶巨石形似卧猫得名，它是漓江发源地，也是国家级自然保护区，生物多样性丰富，有“华南之巅”的美誉．如图，计划在猫儿山的两个山顶间架设一条索道．为测量间的距离，工作人员在同一水平面选取三个观测点，在处测得山顶的仰角分别为和，测得两个山顶的高分别为，且测得，则间的距离为（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件先求出中的两边，再利用余弦定理求即可. 【详解】由题意，可得， 且，在中，可得， 在中，可得， 在中，由余弦定理得： 所以． 故选：D． （25-26高二上·北京·期中）A市为进一步缓解交通压力，现经过甲公路和乙公路，分别修建新地铁线和快速通道，如图已知S小区在两条公路汇合处，两条公路夹角为60°，为了便于施工拟在两条公路之间的区域内建一混凝土搅拌站P，并分别在两条公路边上建两个中转站M、N（异于点S），要求（单位：千米）．设．小试牛刀2 (1)用表示SN并写出的范围； (2)当搅拌站P与小区S的距离最远时，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）在中利用正弦定理即可； （2）在中利用余弦定理，再利用辅助角公式和二倍角公式化简，结合三角函数的最值求解. 【详解】（1）在中利用正弦定理可得，， 因，，，则， 则，； （2）因，，则， 在中利用余弦定理可得， ， 因，则， 则当，即时，有最大值，有最大值千米， 故当搅拌站P与小区S的距离最远时. （25-26高三上·河南南阳·期中）某班数学老师组织本班学生开展课外实地测量活动时，需要测量某河流同侧的，两点之间的距离，该班学生在这条河流另一侧的点处测得点在点的北偏东30°方向上，点在点的北偏东60°方向上，从点出发，沿正东方向走2千米，到达点，在点处测得点在点的北偏西15°方向上，点在点的北偏东15°方向上，则，两点之间的距离（   ）小试牛刀3 A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 【答案】A 【分析】在中，由余弦定理求解. 【详解】如图，由题意可得，，，，，千米. 在中，由正弦定理可得，则千米. 在中，由正弦定理可得，则千米. 在中，由余弦定理可得，则千米. 故选：A. 【题型2:高度测量问题】 （25-26高三上·甘肃酒泉·期末）“年度十大最美桥梁”评选结果在广州揭晓，由甘肃公交建集团投资建设的线清傅公路桑园子黄河大桥凭借卓越的工程品质、独特的美学设计与突出的创新价值，获“全国最美桥梁提名奖”，为本次评选中西北地区唯一入选的桥梁.数学兴趣小组想要测量桑园子黄河大桥北塔的高度，但不能直接测量，现采用以下方案：假定大桥北塔垂直于桥面，一辆小汽车在行驶过程中，车内观测员两次仰望塔顶的仰角分别为，（如图），设乘客眼睛离地面的距离为，.若在同一水平高度，且，，在同一竖直平面内，则北塔高为（    ）经典例题1例题    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则，，利用的长即可求出的值，进而求得. 【详解】由题知，设， 则，， 所以， 解得. 所以. 故选：B （2025高三上·河南鹤壁·专题练习）年月日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为单位：，三角高度测量法是珠峰高程测量方法之一．下图是三角高程测量法的一个示意图，现有，，三点，且，，在同一水平面上的投影满足，由点测得点的仰角为，与的差为；由点测得点的仰角为，则，两点到水平面的高度差约为（     ）．经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出辅助线，，求出各角，在和中，利用正弦定理得到方程，求出，，，从而得到答案. 【详解】过点作垂线，交于点，过点作垂线，交于点， 如图所示， 在中，，则， 由正弦定理得，即， 由点测得点的仰角为，故， 与的差为，故， 在中，， 由正弦定理得，即， 其中 ， ， 所以，解得， 故， ， 又， 故 m， 又，解得， 由点测得点的仰角为，故， 在中，，则， 可得、两点到水平面的高度差m． 故选：B （2025·山东聊城·模拟预测）山东文旅宣传片以“东来山东，有山有水有风景”为主题，通过融合地域特色与人文风情，展现山东的自然景观与文化底蕴.诗人李白的“日观东北倾，两崖夹双石”，描写的正是山东众多闻名山水之一的泰山.如图，某游客为了测量泰山主峰玉皇顶的高度AB（单位：米），在地面上选择一个观测点，在附近的山峰顶端选择另一个测量点，在处测得处的仰角为，测得主峰玉皇顶最高点的仰角为山峰的高度CD为772.5米，且在处测得点的仰角为，点B，P，D在同一水平面的一条直线上，则玉皇顶的高度AB为（   ）小试牛刀1 A．1030米 B．1545米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】根据题意，得到，在直角中，求得米，在中，由正弦定理求得米，再在直角中，结合，即可求解. 【详解】由题意知，， 在直角中，，，可得米， 在中，由正弦定理，可得米， 在直角中，可得米. 故选：B. （25-26高三上·山东青岛·期中）如图所示，为测量一棵树的高度，在地面上选取A，B两点（A，B，H三点共线），从A，B两点分别测得树尖P的仰角为，，且A，B两点之间的距离为，则树的高度为（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图形和角边关系求出结果即可. 【详解】设树的高度为，由已知，得， 在中，. 化简得，解得. 所以树的高度为m. 故选：C. （25-26高三上·吉林四平·期中）如图，为了测量河对岸的塔高，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与.现测得，在点测得塔顶的仰角为，则 ，塔高 .小试牛刀3    【答案】 【分析】利用正弦定理解三角形得出，再解直角三角形即可得. 【详解】在中，易知， 由正弦定理可知：， 即米， 且米， 因为，则，所以米. 故答案为：， 【题型3：角度测量问题】 （24-25高二上·浙江·开学考试）某校学生参加课外实践活动，“测量一土坡的倾斜程度”．如图，在坡脚处测得坡顶一建筑物的顶端对于山坡的倾斜程度为，沿土坡前进50m到达处，测得对于山坡的倾斜度为，已知m，，设土坡对于平面的坡角为，则（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件得到为等腰三角形，得出，根据正弦定理得出，因为，所以为直角三角形，所以. 【详解】已知，则. 所以，即为等腰三角形. 所以. 根据正弦定理：. 因为，所以，为直角三角形. 所以. 故选：D. （24-25高一下·浙江温州·期中）一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东30°，距离为6海里，灯塔在的北偏东60°，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西30°方向，则此时灯塔位于渔船的（   ）经典例题2例题 A．北偏东60°方向 B．北偏西30°方向 C．北偏西60°方向 D．北偏东30°方向 【答案】D 【分析】由正弦定理可得，由余弦定理得，由正弦定理得，即可求. 【详解】如图， 由题意，在中，，，， 则为正三角形，则， 在中，因为，， 由余弦定理得， 所以，故， 此时灯塔C位于渔船的北偏东方向. 故选：D. （24-25高一下·安徽安庆·月考）为丰富学生课余活动，体育组陈老师和学生们一起做游戏：陈老师站在处，让甲同学站在处北偏东方向，距离处km的处，并让站在处北偏西75°的方向，距离处 2 km的处的乙同学以km/h的速度去追甲同学．此时，甲同学正以10 km/h的速度从处向北偏东30°方向奔跑，问乙同学沿什么方向能最快追上甲同学？小试牛刀1 【答案】沿北偏东60°方向能最快追上. 【分析】根据题意作出示意图，利用正弦定理和余弦定理解三角形即可. 【详解】如图，设乙同学需要用时在处追上甲同学，则，， 在△ABC中，，，， 由余弦定理，得， ，由正弦定理可得， ，则与正北方向成90°角． 在中，,由正弦定理， 得， ,即乙同学沿北偏东60°方向能最快追上甲同学． （24-25高一下·全国·课堂例题）某货船在索马里海域航行中遭海盗袭击，发出呼叫信号，如图，我海军护航舰在处获悉后，立即测出该货船在方位角为，距离为10海里的处，并测得货船正沿方位角为的方向，以10海里／小时的速度向前行驶，我海军护航舰立即以海里／小时的速度前去营救，求护航舰的航向和靠近货船所需的时间．小试牛刀2 【答案】护航舰航行的方位角为，靠近货船需要1小时. 【分析】根据给定的图形，利用余弦定理列式求出靠近货船所需的时间，再求出即可得解. 【详解】设护航舰靠近货船所用时间为小时， 在中，由余弦定理有， 则，整理得， 而，解得，所以护航舰靠近货船需要1小时； 此时海里，海里，又海里，则， 所以护航舰航行的方位角为. （2024高一·全国·专题练习）与江苏省首批高品质示范高中江苏省常州高级中学毗邻的天宁宝塔，是世界第一高佛塔，是常州标志性建筑之一，也是该校师生喜欢的摄影取景胜地.该校高一某研究性学习小组去测量天宁宝塔的高度，该小组同学在塔底的东南方向上选取两个测量点与，测得米，在、两处测得塔顶的仰角分别为，（如图），已知.小试牛刀3 (1)请计算天宁宝塔的高度（四舍五入保留整数）； (2)为庆祝某重大节日，在塔上A到处设计特殊的“灯光秀”以烘托节日气氛.知米，塔高直接取（1）的整数结果，市民在塔底B的东南方向的处欣赏“灯光秀”（如图），请问当为多少米时，欣赏“灯光秀”的视角最大?（结果保留根式） 【答案】(1)159米 (2)米 【分析】（1）分别在和中，利用正切函数表示出，结合图形列方程可求出结果. （2）由图，将表示为，设米，对取正切并化简，结合均值不等式可求得最大值. 【详解】（1）在中，，得， 在中，，得， 因为， 所以， 解得米. （2）由图可知，设米， 则，， ， 当且仅当，即时等号成立. 根据题意，对于锐角越大，则越大，反之亦然， 显然，可得最大时最大. 答：当为米时，欣赏“灯光秀”的视角最大. 【题型4：正余弦定理其他实际应用题】 （23-24高一下·上海奉贤·期中）某公园拟建造一个四边形的露营基地，如图所示．为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形区域中，将三角形区域设立成花卉观赏区，三角形区域设立成烧烤区，边修建观赏步道，边修建隔离防护栏，其中米，米，．经典例题1例题 (1)若米，求角的余弦值； (2)如果烧烤区是一个占地面积为9600平方米的钝角三角形，那么需要修建多长的隔离防护栏（精确到0.1米）？ (3)考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形区域时，首先保证烧烤区的占地面积最大时，再使得花卉观赏区的面积尽可能大，则应如何设计观赏步道？ 【答案】(1) (2)米 (3)米，米， 【分析】（1）由余弦定理即可求解； （2）由三角形面积公式及余弦定理即可求解； （3）由三角形面积公式，正弦定理，三角恒等变换得面积表达式，再结合余弦函数的性质即可求最大值． 【详解】（1）由余弦定理得，． （2），解得， 又为钝角，所以， 由余弦定理得， 米． （3），当且仅当时等号成立， 此时，， 设， 在中，由正弦定理得，， 则 ， 当且仅当，即时等号成立， 此时，， 所以应设计米，米，． （23-24高一下·内蒙古赤峰·月考）某海域的东西方向上分别有两个观测点（如图），它们相距海里.现有一艘轮船在点发出求救信号，经探测得知点位于点北偏东，点北偏西，这时，位于点南偏西且与点相距海里的点有一救援船，其航行速速为海里/小时.经典例题2例题 (1)求点到点的距离； (2)若命令处的救援船立即前往点营救，求该救援船到达点需要的时间. 【答案】(1) (2)2小时 【分析】（1）在中利用正弦定理，求出； （2）在中，利用余弦定理求出，根据速度求出时间． 【详解】（1）由题意知海里， ， ， 在中，由正弦定理得， ， （海里）. （2）在中，， （海里），由余弦定理得 ， （海里），则需要的时间（小时）． 答：救援船到达点需要2小时． （23-24高一下·河北·期末）如图，甲船在点处通过雷达发现在其南偏东方向相距20海里的处有一艘货船发出供油补给需求，该货船正以15海里/时的速度从处向南偏西的方向行驶．甲船立即通知在其正西方向且相距海里的处的补给船，补给船立刻以25海里/时的速度与货船在处会合．小试牛刀1 (1)求的长； (2)试问补给船至少应行驶几小时，才能与货船会合？ 【答案】(1)70海里 (2)2小时 【分析】（1）由题可得，利用余弦定理即可求解； （2）由余弦定理可得，根据几何关系结合两角和的余弦公式求出，再在中，利用余弦定理即可求出时间. 【详解】（1）根据题意可得． 因为海里，海里， 所以根据余弦定理可得海里． （2）由余弦定理可得，则， 所以 ． 设当补给船与货船会合时，补给船行驶的最少时间为小时，则海里，海里． 在中，解得或（舍去）， 故当补给船与货船会合时，补给船行驶的时间至少为2小时． （23-24高一下·山东青岛·期中）如图，游客从崂山的景点处至处有两种路径，一种是从沿直线步行到，另一种是先从乘景区观光车到，然后从沿直线步行到．现有甲、乙两位游客从处到处，甲沿匀速步行，乙从乘观光车到，再从匀速步行到．假设山路长为1890米，经测量，，．小试牛刀2 (1)求观光车路线的长； (2)若甲的速度为，观光车匀速直线运行的速度为．在甲出发2分钟后，乙乘上观光车出发，问：乙出发多少分钟后，乙在观光车上与甲的距离最短？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中，由和可得和，从而得，由正弦定理，可得AB； （2）假设乙出发分钟后，通过余弦定理算出此时甲乙之间的距离，结合二次函数即可得最值. 【详解】（1）由题意得：， 所以， 由正弦定理得即， 所以. （2）设乙出发（）后到达点，此时甲到达点，如图所示， 则，， 由余弦定理得： ， 所以当时，最小，此时乙在缆车上与甲的距离最短. （23-24高一下·福建厦门·月考）为改进城市旅游景观面貌､提高市民的生活幸福指数，城建部门拟在以水源为圆心的空地上，规划一个形状为四边形的动植物园．如图：四边形内接于圆为动物园区，为植物园区（为了方便植物园的浇水灌溉，水源必须在植物园区的内部或边界上）．又根据规划已知千米，千米．小试牛刀3 (1)若，且，求边的长？ (2)若千米，求该动植物园区面积的最大值？ 【答案】(1)千米 (2) 【分析】（1）根据题意在由余弦定理可求出AC，再在中由正弦定理求DC即可. （2）根据已知条件、两个三角形和边角的联系建立需求量之间的等量关系，再由面积公式进行推算即可. 【详解】（1），则， 在中，，即， 在中，， 由正弦定理知；，即， 则千米. （2）设，则，在中：， 在中：， 则，得， 因为，故，当且仅当时等号成立， 故，故，故， 故，故， 所以 ， 当等号成立时，，， 此时，故此时为锐角三角形， 即圆心在的内部或边界， 所以. 【点睛】思路点睛：解决本题关键在于熟练掌握正余弦定理及其面积公式基础上抓住已知量和需求量的联系建立等量关系；解决三角形问题核心思想是边角互化，最值或取值范围问题常用理论：基本不等式或边化角利用三角函数值的有界性去解决. 【题型5：正余弦定理在几何中的计算】 （25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，一艘船向正东航行，顺次经过观测点B，M，N，C，船航行到B处，在B处观测灯塔A在船的北偏东的方向上，船航行到C处，在C处观测灯塔在船的北偏西的方向上，已知B，C相距6海里，．经典例题1例题    (1)若，求的距离； (2)求面积的最小值． 【答案】(1)（海里） (2)（平方海里）． 【分析】（1）在和中反复使用正弦定理，用角度表示边长、、、，代入求值即可； （2）将面积表达式化简为关于的三角函数，利用和角公式、二倍角公式进行变形，通过三角函数的范围求解面积的最小值. 【详解】（1）因为，，所以， 又因为，所以，， 又，设， ∴，，． 在和中由正弦定理可得， ， 即，， ， ． 当时，则，， ∴，， ∴（海里）． （2） 令 ， ∴． 因为，∴，∴， 所以当时，（平方海里）． （25-26高三上·四川成都·月考）在中，角的对边分别为，在BC边上取一点D，使得，则线段DC的长度为 .经典例题2例题 【答案】 【分析】根据题意，利用正弦定理、余弦定理列式求解即可. 【详解】由，得，    在中，由正弦定理得，解得， 在中，由余弦定理得， 即，而，解得， 所以线段的长为. 故答案为： （24-25高一下·吉林松原·期末）在中，已知，是边上一点，如图，，，，则（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在中用余弦定理，求出，之后在中，用正弦定理计算的长度. 【详解】在中，,所以,. 在中, ，，由余弦定理可得， 代入数值：,整理得，解得(舍去负根)； 在中，,根据正弦定理：代入数值： . 故答案为：C （25-26高三上·山东德州·期中）如图，在中，角，，的对边分别为，，，且，，为内一点，．小试牛刀2 (1)求角的大小； (2)若，求； (3)若，求 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）首选由，得：，将角化边可得：，将其代入中并利用余弦定理可求得角，进而求解角； （2）首先设，在中，由正弦定理得，然后根据同角三角函数的基本关系求角的正切值； （3）首先，在中，由余弦定理得：即得：，然后解方程求得的值，进而求得. 【详解】（1）因为，所以， 即. 又因为，所以 由余弦定理， 所以，又，所以. （2）在中，因为， 所以，，设，易知,故， 在中，由正弦定理得， 化简得， 所以，即. （3）设， 在中，由余弦定理得： 即，所以， 由，得：， 解得：或， 若，得：，由，则，所以 若，得：，由，则，所以. （25-26高三上·山东·期中）如图所示，在平面四边形中，，，，，则的长度为（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在中，由余弦定理求得，从而求得，设，由正弦定理求得，然后在中，用余弦定理求解． 【详解】在中，由余弦定理得， 即，则， 又，，所以， 设，由正弦定理得，即， 从而， 在中，由余弦定理得：， 即，则． 故选：A． 【题型6：正余弦定理求周长最值】 （25-26高三上·贵州黔西南·月考）已知的内角的对边分别为，且满足.经典例题1例题 (1)求； (2)若，求锐角周长的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【分析】利用正弦定理边化角，再利用三角恒等变形即可求解角； 利用正弦定理边化角，再借助三角恒等变形转化为正切函数的取值范围，最后可求周长的取值范围. 【详解】（1）由， 因为在中有，所以上式可化为， 又因为，所以，又因为，所以； （2）由正弦定理得：， 可得， 所以的周长为， 因为锐角，可知， 可得，则周长可化为：， ， 由，且， 所以，即， 故锐角周长的取值范围为. （25-26高三上·安徽阜阳·期末）在锐角中，角所对的边分别是，已知.经典例题2例题 (1)求； (2)记的面积为，周长为，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理即可求解； （2）由余弦定理得，进而得，又，由正弦定理得，利用锐角三角形求的范围，进而求解. 【详解】（1）由正弦定理得： ， 又. 又为锐角三角形，. （2）由余弦定理可知，，即， . . 由正弦定理得，又， 所以. 又，，可得， 则. （25-26高一上·湖南邵阳·期末）已知在中，内角，，的对边分别为，，，的外接圆的直径为，为锐角，.小试牛刀1 (1)求的面积的最大值； (2)若点为的内切圆的圆心，求的周长的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理可得，再由余弦定理得，结合基本不等式可得，结合即可求解； （2）根据题意可得，设，，在中，利用余弦定理得，结合基本不等式得到即可求解． 【详解】（1）解：在中，由正弦定理得：，， 所以，又，所以， 由余弦定理得：，即， 又，所以，. 所以，当且仅当时，等号成立， 故的面积的最大值； （2）因为点为的三个内角的角平分线的交点， 所以. 设，， 在中，由余弦定理得：， 即，所以， 又，所以， 所以，所以， 所以的周长的最大值为，当且仅当时，等号成立， 故周长的最大值为． （2025高三上·河南南阳·专题练习）已知中，内角、、所对的边分别为、、，且，．小试牛刀2 (1)求； (2)若内心为，求的周长范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二倍角的余弦公式以及正弦定理化简得出，结合余弦定理可求出的值，再由角的取值范围可得出角的值； （2）解法一：求出，利用余弦定理结合基本不等式可求出的最大值，再利用三角形三边关系可得出的取值范围，即可得出周长的取值范围； 解法二：求出，设，求出的取值范围，利用正弦定理结合三角恒等变换化简得出，利用正弦函数的基本性质可求出的取值范围，进而可得出周长的取值范围. 【详解】（1）因为， 整理可得， 由正弦定理可得， 由余弦定理可得， 因为，故. （2）方法一：因为的内心为，所以和分别平分和， 可得，则，    设，，在中，由余弦定理得， 即，即，整理得， 因为且，由基本不等式可得， 可得，即， 当且仅当时，即时等号成立， 又因为，所以，故， 综上所述，的周长的取值范围为； 方法二：因为的内心为，所以和分别平分和， 可得，则， 设，则有，则，， 由，可得， 在中，，由正弦定理得， 则，， 可得 ， 根据，，所以， 可得，所以， 所以的周长范围为． （25-26高三上·甘肃兰州·期末）在中，角所对的边分别为，且满足．小试牛刀3 (1)求角的大小； (2)若，求的周长的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，利用正弦定理得到，再利用辅助角法求解； （2）由，结合余弦定理得到，再利用基本不等式得到求解. 【详解】（1）因为， 所以， 因为，所以， 即，即， 所以， 因为，所以，； （2）由余弦定理及， 得，即， 即，又，即， 所以，即，当且仅当时，等号成立， 所以周长， 所以周长最大值为． 【题型7：正余弦定理求面积最值】 （2026·湖南湘潭·二模）在中，角，，的对边分别为，，．已知，且，则面积的最大值为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由余弦定理和均值不等式运算，再通过三角形面积公式计算即可. 【详解】因为，所以， 所以．因为，所以， 当且仅当时，等号成立， 则的面积， 则面积的最大值为． 故选：A. （24-25高二上·贵州遵义·月考）已知的内角所对的边分别为，，且满足：.经典例题2例题 (1)当_____时，从条件：①，②的面积为；中选择一个条件填到横线上，求c的值； (2)若D是边AC上一点，且，求面积的最大值及此时线段BD的长度. 【答案】(1)所选条件见解析，； (2)面积的最大值，此时. 【分析】（1）由正弦定理化边为角可得，即可求出，选择①求得，利用余弦定理即可求出；选择②由三角形面积公式得，再由余弦定理即可求出； （2）应用三角形面积公式、余弦定理及基本不等式求三角形面积最大值，进而确定中相关线段长度，再应用余弦定理求线段长. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得， 即，而， 所以，则，又，所以， 选择①，由，得，而， 由余弦定理得，即，解得或（舍）， 当时，，是钝角三角形，符合题意，所以. 选择②，因为，则， 由余弦定理可得，即， 所以，解得， 所以是的两个根，故； （2）由（1）知， 当且仅当时取等号，则， 由题设，在中， 所以， 所以面积的最大值，此时，则， 所以， 所以， 综上，面积的最大值，此时. （25-26高三上·宁夏·月考）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知小试牛刀1 (1)求角的大小； (2)若为的角平分线，且，，求角平分线的长度； (3)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理角化边，结合余弦定理求出，然后可得角； （2）根据给定条件，利用三角形面积公式建立方程求解； （3）利用正弦定理，结合角的范围求出的范围，然后由面积公式可得. 【详解】（1），， ，， 由余弦定理得， 又，； （2）由的角平分线将的面积分为两部分， 则，， 于是， 即，解得， 所以的长为； （3）由三角形面积公式得， 由正弦定理得 ， 三角形为锐角三角形，，得，， ，，，. （25-26高三上·辽宁·期中）在中，分别为内角的对边，且.小试牛刀2 (1)若，求的面积； (2)若在边上且，求证：； (3)求面积的最大值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由余弦定理求得，由三角形的面积公式即可求得结果； （2）由三个三角形面积关系建立等式，然后化简即可得证； （3）由余弦定理求得，然后得到三角形的面积，令函数，由三角函数辅助角公式化简得，由三角函数的最值得到不等式，从而求得的范围，即求出三角形的面积的最大值. 【详解】（1）， 由余弦定理：， 可得，； 而. （2）， 即：， 化简得：. （3）由余弦定理：且， 可得，， 而， 令，则，即， 可得，，其中，的终边经过点， 因此，取为锐角，所以，解得. 最大值为. （25-26高三上·安徽·期中）在中，，分别为，的中点，与交于点，记，．小试牛刀3 (1)若，，，求； (2)若，，求面积的最大值． 【答案】(1) (2)16. 【分析】（1）根据题意得是的重心，再根据余弦定理求解； （2）设，根据余弦定理得出，及，，再求出三角形的面积，根据三角恒等变换和均值定理求解即可. 【详解】（1）由题意知是的重心， 所以， 在中，由余弦定理得， 所以； （2）因为，所以，设，则. 在中，由余弦定理可得， 即，得 又，， 所以 记，则， 则， 当且仅当时等号成立， 故面积的最大值为16. 【题型8：正余弦定理与三角函数的性质综合】 （25-26高三上·云南曲靖·期中）在直角梯形ABCD中，，，，边BC的长度为定值a，其余三边的长度可变．经典例题1例题 (1)当为等边三角形时，，求a的值； (2)设，求AD的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解直角三角形结合等边三角形的性质计算即可； （2）利用正弦定理与三角恒等变换、三角函数的性质计算即可. 【详解】（1）当为等边三角形时，因为，所以， 则在中，， 故，即； （2）设，则，． 在中，由正弦定理可得， 则， 则在中， ， 因为，所以， 所以当时上式取得最大值， 即AD的最大值为． （25-26高三上·河南周口·月考）在中，，则的取值范围为 ．经典例题2例题 【答案】 【分析】先由两角差的正弦公式化简等式，再分和两种情况结合余弦函数的单调性得到，进而有，然后利用换元法结合辅助角公式和二次函数的性质以及正弦函数的取值可得. 【详解】因为，所以， 则有，即． 因为在中，，则． 当时，，所以， 因为在上单调递减，所以，则，所以不成立； 当时，，所以， 而，即，所以不成立； 因此，则， 令，则，则， 因为在中，，则，则， 所以， 令，对称轴为， 所以函数在上单调递增， 所以． 故答案为：. （2025·湖南益阳·模拟预测）已知的内角所对的边分别为，且.小试牛刀1 (1)求； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意利用正弦定理结合三角恒等变换可得，即可得角C； （2）利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得，再根据正弦函数有界性运算求解. 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 化简得， 又因为，则，可得，即， 且，所以. （2）因为，，由正弦定理得， 则，， 可得， 因为，则， 可得，所以. （2025高三·全国·专题练习）在锐角三角形中，角的对边分别为，．小试牛刀2 (1)求； (2)若，求内切圆半径的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）应用正弦边角关系化简已知条件为，结合三角形内角的性质得，即可求其大小； （2）利用等面积法得到内切圆半径的表达式，利用余弦定理转化的表达式，运用正弦定理及三角函数的图象与性质求解. 【详解】（1）由正弦定理得， 则，得， 易知，所以，又，所以． （2）设内切圆的半径为，则，得． 由余弦定理得，整理得， 所以． 由正弦定理得，所以，， 则 ． 因为为锐角三角形，所以，得， 所以，则，所以， 故， 所以内切圆半径的取值范围为． （24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期末）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则 ，的取值范围为 ．小试牛刀3 【答案】 【分析】由正弦定理得到，由三角恒等变换得到，结合角的范围，得到，并利用三角恒等变换化简得到，根据为锐角三角形，求出，从而得到的取值范围. 【详解】， 由正弦定理得， 又， 故， 即， 为锐角三角形，，故，所以， 故，， 又，故，故， 解得， ， 因为为锐角三角形，且， 解得，故， ，， 故. 故答案为：， 【点睛】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题， 常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案； ②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法； ③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值. 课后针对训练 一、单选题 1．（23-24高一下·北京·月考）如图,甲船以每小时海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于处时,乙船位于甲船的北偏西方向的处,此时两船相距海里,当甲船航行分钟到达处时,乙船航行到甲船的北偏西方向的处,此时两船相距海里,则乙船每小时航行（    ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【答案】D 【分析】先根据已知条件得到和的长,在利用已知条件和余弦定理求出的长即可得到结果. 【详解】连接,如图: 由已知条件得:, 因为甲船的速度是每小时海里, 所以, 则是等边三角形, 所以, 因为当甲船位于处时,乙船位于甲船的北偏西方向的处, 所以, 则, 即, 所以乙船航行的速度是海里/小时, 即乙船每小时航行海里. 故选:D. 2．（25-26高二上·湖南衡阳·月考）如图，施工队计划在一座大山中挖通一条隧道，需要确定隧道的长度，工程人员测得隧道两端的A,B两点到C点的距离分别为，，且，则隧道的长度为（   ） A．km B．km C．km D．km 【答案】D 【分析】由余弦定理计算可得结果. 【详解】由余弦定理可知，，则隧道的长度为km. 故选：D. 3．（24-25高一下·浙江衢州·期中）灵山江畔的龙洲塔，有“人文荟萃，学养深厚”的福地一说.如图，某同学为了测量龙洲塔的高度，在地面处测得塔在南偏东的方向上，向正南方向行走后到达D处，测得塔在南偏东的方向上，处测得塔尖的仰角为，则可得龙洲塔高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据题意得到角度和边，则在中，由正弦定理可求得， 而塔是垂直于地面的，故在中，结合仰角和可算得龙洲塔高度. 【详解】由题意可知，所以， 在中，由正弦定理可得， 因为处测得塔尖的仰角为，即， 则在中，龙洲塔高度为. 故选：C. 4．（25-26高三上·陕西商洛·月考）如图，在倾斜角为的山坡上有一根垂直于水平面的旗杆，当太阳光线的仰角是时，旗杆在山坡上的影子的长度是，则旗杆的高为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理计算可得. 【详解】如图   ，，则，，米， 由正弦定理， 即， 解得. 故选：C 5．（25-26高三上·福建·月考）如图，某施工队将从到修建一条隧道，为确定、之间的距离，测得了以下数据：，，，，则、间的距离为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，求出，，即可求出，再由余弦定理计算可得. 【详解】连接，因为，，所以为等腰直角三角形， 所以，， 又，所以， 又，在中由余弦定理， 即. 故选：C 6．（25-26高三上·山东·月考）某公司工程师需要在河岸边测量对岸一座垂直于地面的信号塔的高度，由于河流无法直接跨越，工程师在岸边选取了相距80米的（与该信号塔的塔底在同一水平面上）两个测量点：从点观测该信号塔塔顶的仰角为，从点观测该信号塔塔顶的仰角为，且，则这座信号塔的高度（    ） A．米 B．米 C．40米 D．80米 【答案】C 【分析】根据题意画出图形，进而利用余弦定理求解即可. 【详解】根据题意画出图形，如下图所示：    设米，则米，米，米， 在中，由余弦定理可得， 即，即， 解得或（舍去），则米. 故选：C 二、填空题 7．（25-26高三上·湖南长沙·月考）在中，，则的周长的取值范围为 ． 【答案】 【分析】设外接圆的半径为，求得，且，化简得到，由，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】设外接圆的半径为， 因为，可得，则，且 所以 ， 因为，可得，可得，所以， 所以，即的周长的取值范围为. 故答案为：. 8．（23-24高一下·浙江宁波·期末）已知海岛在海岛的北偏东的方向上，且两岛的直线距离为. 一艘海盗船以的速度沿着北偏东方向从海岛出发，同时海警船以的速度从海岛进行追赶，经过小时后两船相遇，则海警船的航行方向是北偏东 . 【答案】 【分析】设海警船的航行方向是北偏东，根据条件，利用正弦定理得到，即可求解. 【详解】设海警船的航行方向是北偏东， 由题知，，， 在中，由正弦定理得到，得到， 又，所以，得到， 故答案为：. 9．（25-26高二上·贵州铜仁·月考）为加快推进“光网”双千兆城市建设，如图，在东北某地地面有四个基站，，，.已知，两个基站建在松花江的南岸，距离为；基站，在江的北岸，测得 ， ， ， ，则，两个基站之间的距离为 .    参考数据:. 【答案】 【分析】根据题意可得， ，利用正弦定理求出，进而结合余弦定理即可求出. 【详解】在中， ， ，所以 ， 则有，所以. 又 ，所以 ， 在中， ， 由正弦定理得. 在中，由余弦定理得 ， 所以，即，两个基站之间的距离为. 故答案为：. 三、解答题 10．（24-25高一下·河北石家庄·月考）在中，角所对的边分别为，已知且． (1)求角的大小． (2)若的面积为，求的周长． (3)若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）由正弦边角关系及和角正弦公式得，再由三角形内角的性质及辅助角公式得，即可得； （2）由三角形面积公式得，再应用余弦定理求边长，即可得； （3）由题设得、，再应用三角恒等变换有，最后由正弦型函数的性质求范围. 【详解】（1）由题设及正弦边角关系，知， 又， 所以，又， 则，即， 因为，所以，所以，即； （2）由题设，则， 所以， 所以三角形周长为； （3）由（1）知，则，而，得， 所以， 而，故，则的范围为. 11．（25-26高三上·安徽·月考）在锐角中，内角所对的边分别为．在下面所给的三个条件中任选一个完成题目的解答： ①；②；③． (1)求的值； (2)若为延长线上一点，且，求的取值范围． 注：若多选，则按所选第一个计分． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）选①，由正弦定理及二倍角公式，可得，即可得答案；选②，由正弦定理及两角和差公式可得，即可得答案；选③，由正弦定理、两角和差公式及诱导公式可得，即可得答案； （2）由题意可得，在和中，由正弦定理及，从而可得，求出的范围，即可得答案. 【详解】（1）若选①，因为； 由正弦定理得， 又， 所以， 因为， 所以； 若选②，因为， 由正弦定理得， 又， 所以， 又， 所以， 因为， 所以； 若选③，， 由正弦定理可得， 因为， 所以， 又因为， 所以， 所以， 即 因为，所以， 因为， 故， 所以. （2）在中，， 由正弦定理可得， 所以， 在中，， 所以， 所以， 则， 因为为锐角三角形，， 所以， 即，解得， 所以， 从而， 所以， 所以的取值范围是. 12．（25-26高二上·浙江·期中）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 (1)求角的大小； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理角化边，结合余弦定理求出，然后可得角； （2）利用正弦定理，结合角的范围求出的范围，然后由面积公式可得. 【详解】（1），， ，， 由余弦定理得， 又，. （2）由三角形面积公式得， 由正弦定理得 ， 三角形为锐角三角形，，得，， ，，，. 13．（2025·山东·三模）在中，、、所对应的边分别为、、，已知，，点在线段上，且. (1)当时，求的长； (2)当时，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将利用正弦定理边化角求得，由，求得； （2）由题可得，平方结合数量积运算求得，利用三角形面积公式得解. 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理可得， 又， 所以，因为为三角形内角，， 所以，可得， 因为，所以， 由，可得， 代入，，， 得，即.    （2）因为，所以， 所以， 两边平方得， 即，解得， 又，所以. 14．（25-26高三上·江西南昌·月考）如图，在中，，，点在上，， . (1)求； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用两角和差余弦公式可求得，根据余弦定理可求得结果； （2）利用两角和差正弦公式可求得，采用面积桥，结合三角形面积公式可构造方程求得结果. 【详解】（1），，， ， . （2）由（1）得： ； ，， 即，解得：. 15．（25-26高三上·安徽阜阳·月考）在锐角三角形 中，角 的对边分别为 ，且 . (1)求角 的大小； (2)若 ，求 的取值范围. 【答案】(1). (2). 【分析】（1）利用正弦定理将已知条件转化为，结合锐角三角形限制求出角； （2）利用正弦定理将，表示为角的函数，结合和锐角三角形限制，将表达为，再根据余弦函数的区间取值范围求得的取值范围. 【详解】（1）在锐角三角形中，角的对边分别为，且满足： ①, 利用正弦定理，①式化为, 因为，所以, 又因为,所以. （2）因为，,所以, 利用正弦定理可得： 化简可得：, 因为三角形是锐角三角形，所有角都小于,所以, , 得到：, 则, 所以, 所以的取值范围是： 16．（25-26高三上·陕西·月考）如图，在四边形中，O为对角线的交点，，，，且．    (1)求的长. (2)设若 且，求的长． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）在 与 中，根据余弦定理结合题设条件列式求解即得的长； （2）由+=，得到，代入求得 ；在 与 中，由正弦定理得，得到，进而得的长. 【详解】（1）设,,，， 在 与 中，，且， 由余弦定理得， 所以， 化简，得，即. （2） +=， ∴ ， 在中，， ∴，， 由，得， 即，， 解得或（舍去）， 所以，则， , 在 与 中，由正弦定理得，, 结合（1），则，即 ，所以. 1 学科网（北京）股份有限公司 $