6.4.3.2·正弦定理【寒假预习讲义】-2025-2026学年高一数学人教A版必修第二册

2026年寒假高一数学下学期常考题型归纳 【6.4.3.2·正弦定理】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 1.正弦定理的文字表述 知识点：在任意一个三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等，且这个比等于该三角形外接圆的直径；简言之，“边与其对角的正弦比相等，等于外接圆直径”；核心关联：三角形的三边与三角的正弦值对应，实现“边→角”“角→边”的双向转化，适用于任意三角形（锐角、直角、钝角三角形均成立） 易错辨析：①误将正弦定理局限于“锐角三角形”，忽略其对任意三角形的适用性（直角三角形中，直角的正弦值为1，正弦定理仍成立）；②文字表述遗漏“外接圆的直径”，误记为“各边和它所对角的正弦值的比相等”（缺少核心比值的几何意义，适配考试推导类题型）；③混淆“边与角的对应关系”，误说为“角与其对边的正弦比相等”（本质无错，但表述不规范，考试中需贴合教材原文）；④误将“外接圆直径”说成“外接圆半径”，混淆直径与半径的关系 重点记忆：①核心口诀：“边对对角正弦比，处处相等等直径”（精准对应公式与几何意义，易记不遗漏）；②关键前提：任意三角形均适用，无三角形类型限制，这是与余弦定理的共性特征；③核心规范：“边在前，正弦在后”，即“边a对应角A的正弦，边b对应角B的正弦”，贴合教材表述习惯；④比值意义：核心是“外接圆直径”，记为2R（R为三角形外接圆半径），是后续推导、计算的核心关键 常考结论：①若三角形为直角三角形，设C=90°，外接圆直径2R=c（斜边为外接圆直径），则正弦定理变为，即、，与直角三角形边角关系一致；②文字表述是公式记忆的基础，题干若出现“文字描述转化为公式”题型，需精准对应“边、对角、正弦比、外接圆直径”四大核心；③任意三角形中，三边与三角的正弦值必满足该比例关系，无例外情况 2.正弦定理的公式表示 知识点：设△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c（边角对应原则：角A对边a，角B对边b，角C对边c），R为△ABC外接圆的半径，则正弦定理的标准公式、变式公式、比例拓展公式如下，适配不同解题场景： ①标准公式（核心公式，必记）： ②变式公式（边与角互化专用，高频应用）： 边化角：，， 角化边：，， ③比例拓展公式（等式变形专用）： 易错辨析：①标准公式中，漏写“2R”，误记为（缺少核心比值，推导、计算均会出错）；②边角对应错误（高频易错点），如误将写成，混淆边与对角的对应关系；③比例拓展公式中，误将“”与“”的比写成“R”，忽略系数2；④字母书写不规范，如将边a写成大写A，角A写成小写a，或混淆外接圆半径R与边的符号；⑤变式公式中，漏写分母“2R”，误记为 重点记忆：①边角对应核心原则（必记，规避高频错误）：“边对应其对角的正弦”，即边a对应，边b对应，边c对应，贯穿所有公式；②公式书写规范：标准公式中，“2R”不可遗漏，是正弦定理的核心；变式公式分“边化角”（已知角求边）和“角化边”（已知边求角），按需选用；③优先记忆顺序：先记标准公式，再记边化角、角化边变式，最后记比例拓展公式，结合口诀辅助记忆；④公式适配场景：边化角适用于“已知角求边”，角化边适用于“已知边求角”，比例式适用于“求边的比例或角的正弦比例” 常考结论：①2R的几何意义（高频考点）：△ABC外接圆的直径，即2R=，可用于求三角形外接圆半径R（）；②比例式应用：若已知，则，可快速求边的比例关系；③公式逆用：由、，可推出，适配“已知两边比求对角正弦比”题型；④直角三角形中，2R=c（斜边），即，与直角三角形外接圆性质一致（斜边中点为外接圆圆心） 3.正弦定理的推导过程 知识点：正弦定理的推导方法有多种，教材重点讲解“向量法”（贴合本章向量知识点，高频考点），辅助讲解“几何法”（直观易懂，适配基础薄弱学生）、“外接圆法”（贴合比值2R的几何意义），三种推导均需掌握，核心推导过程如下： ①向量法（教材重点，必记推导逻辑）：在△ABC中，过点A作外接圆的直径AD，连接BD，则AD=2R，∠ABD=90°（直径所对的圆周角为直角）；由向量关系，，两边取模长并结合三角函数，或直接利用Rt△ABD中，且∠D=∠C（同弧所对的圆周角相等），得，即；同理可证、，故正弦定理成立 ②外接圆法（直观理解2R意义）：设△ABC外接圆的圆心为O，半径为R，作直径AD=2R，连接BD，同理可证，其余边同理，最终得出 ③几何法（辅助理解）：在△ABC中，过点C作CD⊥AB于点D，在Rt△ACD和Rt△BCD中，利用、，得CD=bsinA=asinB，即；同理可证，结合外接圆性质，得出比值为2R 易错辨析：①向量法推导中，误将“同弧所对的圆周角相等”记为“同弧所对的圆周角互补”，导致∠D与∠C的关系判断错误；②外接圆法推导中，漏作直径AD，无法关联2R与边、角的关系；③几何法推导中，仅证明，未证明与相等，推导不完整；④推导过程中，混淆“直角三角形的边角关系”，如在Rt△ABD中，误将写成；⑤忽略推导的核心结论，仅证明比值相等，未说明比值为2R 重点记忆：①向量法推导核心：构造外接圆直径，利用“直径所对的圆周角为直角”和“同弧所对的圆周角相等”，结合三角函数推导，贴合本章向量与三角的综合知识点，是考试中“推导类题型”的重点；②关键步骤：构造直径AD→证明∠ABD=90°、∠D=∠C→利用直角三角形边角关系得出→同理证明其余边；③外接圆法核心：聚焦2R的几何意义，直观关联边、角正弦与外接圆直径，帮助记忆公式；④推导结论：无论用哪种方法，最终均得到正弦定理的标准公式，且比值必为2R，可相互验证 常考结论：①向量法、外接圆法推导是高频推导题型，需熟练掌握完整步骤，尤其注意“直径所对的圆周角为直角”“同弧所对的圆周角相等”两个几何性质的应用；②推导过程中用到的几何性质、直角三角形边角关系，是连接几何与三角的核心，可结合本章前面知识点综合考查；③几何法推导仅能证明“边与对角的正弦比相等”，需结合外接圆性质才能得出“比值为2R”，不可遗漏关键步骤 4.正弦定理的核心应用（一）：已知两角及一边，求其余边和角 知识点：这是正弦定理最基础、最高频的应用，适配题型：已知△ABC中，任意两个角的大小及一条边的长度（两角及夹边、两角及其中一角的对边），求其余两边和剩余一个角；核心步骤：①利用三角形内角和为180°（），求出剩余一个角；②匹配正弦定理的边化角或标准公式，代入已知条件；③计算其余两边的长度，验证结果合理性（边长为正、角度在0°~180°之间） 示例：已知△ABC中，A=60°，B=45°，a=3，求B、C及边b、c；解：由内角和得C=180°-60°-45°=75°；由正弦定理，得；同理，化简得 易错辨析：①忽略三角形内角和为180°，未先求剩余角，直接代入正弦定理求边，导致思路混乱；②代入公式时，边角对应错误，如已知A、B及边a，误代入；③特殊角的正弦值计算错误，如将误算为，误算为；④计算过程中，根式化简错误，导致边长得数出错；⑤未验证结果合理性，如边长出现负值，或角度超出0°~180°范围 重点记忆：①解题核心口诀：“两角一边求边角，内角和先求余角，正弦定理套公式，代入计算验结果”；②关键步骤：先求角（利用内角和）→再求边（利用正弦定理边化角变式）→最后验证；③特殊角正弦值（必记，避免计算错误）：，，，，，，；④计算技巧：根式化简时，先约分再计算，减少运算量；角度计算时，注意内角和为180°，避免角度出错 常考结论：①已知两角及一边，三角形的解唯一（只有一种情况），无需判断解的个数；②若已知两角及夹边，可先求第三角，再利用正弦定理求另外两边；若已知两角及其中一角的对边，可直接利用正弦定理求另一角的对边，再求第三角；③计算结果若为无理数，需按教辅规范保留最简根号形式，非特殊角的正弦值可保留原式（如）；④可利用正弦定理求出2R，再用2R求其余边，简化计算 5.正弦定理的核心应用（二）：已知两边及其中一边的对角，求其余角和边 知识点：这是正弦定理的重点难点应用，适配题型：已知△ABC中，任意两边的长度及其中一边的对角（如已知a、b及角A，或已知a、c及角A），求其余两角和剩余一边；核心特点：三角形的解可能有1个、2个或0个（需判断解的个数），核心步骤：①利用正弦定理角化边变式，求出另一边所对的角的正弦值；②判断解的个数；③求出符合条件的角，再利用内角和求第三角；④利用正弦定理求第三边 解的个数判断（已知a、b及角A，R为外接圆半径，高频考点）：①当A为锐角（0°<A<90°）：b<a≤bsinA→0个解；a=bsinA→1个解（直角三角形）；bsinA<a<b→2个解；a≥b→1个解；②当A为直角（A=90°）：a>b→1个解；a≤b→0个解；③当A为钝角（90°<A<180°）：a>b→1个解；a≤b→0个解 易错辨析：①跳过“解的个数判断”，直接求出角的正弦值后，忽略三角形内角范围，得出两个不合理的角（如钝角三角形中出现两个钝角）；②解的个数判断错误，如已知A为锐角、bsinA<a<b时，误判为1个解；③已知a、b及角A，求角B时，误将写成，边角对应错误；④忽略“三角形内角和为180°”，求出的角与已知角之和大于180°，仍当作有效解；⑤解的个数判断时，混淆“a”与“b”的大小关系，或漏算“bsinA”的值 重点记忆：①解题核心口诀：“两边对角求边角，先判解数再求角，内角和定第三角，正弦定理求余边”；②解的个数判断核心（必记）：以“已知角A的类型（锐角、直角、钝角）”和“a与b、bsinA的大小关系”为核心，可结合口诀记忆：“锐角看bsinA，直角钝角看a、b”；③关键步骤：求sinB→判解数→定角B→求角C→求边c→验结果；④注意事项：若sinB=1，则B=90°（唯一解）；若sinB<1，则需结合角的范围和已知角，判断是1个解还是2个解；⑤避免漏解：当bsinA<a<b且A为锐角时，必有两个解（角B为锐角和钝角，且均满足内角和小于180°） 常考结论：①解的个数判断是高频考点，题干若未说明三角形类型，需先判断解的个数，再求解；②当A为锐角时，解的个数最多为2个，当A为直角或钝角时，解的个数最多为1个；③若sinB>1，则无实数解（三角形不存在）；④两个解的特点：角B1=θ，角B2=180°−θ，且均满足0°<B1<180°、0°<B2<180°，且A+B1<180°、A+B2<180°；⑤可利用余弦定理辅助验证解的个数（如联立余弦定理，判断方程是否有正根） 6.正弦定理的核心应用（三）：求三角形的外接圆半径R 知识点：由正弦定理的标准公式，可推导外接圆半径R的计算公式，适配题型：已知三角形的一边及该边所对的角，求外接圆半径；核心步骤：①确定已知条件（一边a及对角A，或一边b及对角B，或一边c及对角C）；②匹配R的计算公式；③代入数值，计算R的值（R>0，取正值） 核心公式： 易错辨析：①公式记忆错误，漏写分母“2”，误记为；②边角对应错误，如已知a及角B，误代入，未用对应角；③计算时，特殊角的正弦值出错，或边长代入错误；④忽略R的几何意义，得出R≤0的结果（外接圆半径为正数，需舍去负根）；⑤已知三边，未先求角，直接代入公式求R，导致思路混乱 重点记忆：①解题核心口诀：“一边对角求半径，正弦定理逆用行，边除以二倍正弦，结果为正才可行”；②关键步骤：确定“边与对角”的对应关系→代入R的计算公式→计算并验证R>0；③公式适配场景：已知一边及对角（直接用），已知三边（先用电余弦定理求一角，再用该公式），已知两角及一边（先求第三角，再用对应边求R）；④注意事项：计算时，先计算分母“2sinA”，再用边a除以该值，避免计算错误 常考结论：①外接圆半径R是三角形的重要几何量，常与三角形面积公式结合考查（面积S=）；②直角三角形的外接圆半径R=（c为斜边），与直角三角形外接圆性质一致；③等边三角形的外接圆半径R=（a为边长），因等边三角形各角均为60°，sin60°=，代入得R=；④若两个三角形的“边与对角”相等，则它们的外接圆半径相等 7.正弦定理的核心应用（四）：求三角形的面积 知识点：结合正弦定理和三角形面积的基础公式，可推导多种适配不同条件的面积公式，核心公式均基于“”（两边及夹角面积公式），结合正弦定理边化角、角化边变式，拓展出适配“已知两角及一边”“已知三边”“已知外接圆半径”的面积公式，高频应用于综合题型 核心面积公式（微软word兼容，美观规范）：①基础公式：（两边及夹角）；②结合正弦定理（已知两角及一边）：，；③结合外接圆半径：；④结合内切圆半径r：（辅助公式） 易错辨析：①基础面积公式中，漏写系数“”，误记为；②混淆“夹角”，如用时，误将角A当作夹角，代入；③结合正弦定理的面积公式中，边角对应错误，如误将写成；④代入时，漏写分母“4R”，或混淆外接圆半径R与内切圆半径r；⑤计算面积时，忽略边长、角度的合理性，得出负值（面积为正数，舍去负根） 重点记忆：①解题核心口诀：“三角形面积求法多，两边夹角最基础，正弦定理来拓展，外接内切皆可用”；②公式选用技巧：已知两边及夹角，用基础公式；已知两角及一边，用结合正弦定理的公式；已知三边及外接圆半径，用；③关键规范：所有面积公式中，“”“4R”等系数不可遗漏，夹角必须是“两边的夹角”；④综合应用：面积公式常与正弦定理、余弦定理结合考查，需灵活选用公式，优先选择计算简洁的公式 常考结论：①面积公式的本质的是“”，如中，可将a当作底，bsinC当作高；②若已知三角形的外接圆半径R和两角A、B，则（由边化角公式推导，高频拓展）；③等边三角形的面积公式：，可由基础公式推导（a=b=c，C=60°）；④三角形的面积可用于验证解的合理性（面积为正，解有效） 8.正弦定理的易错点汇总与解题技巧 知识点：整合前面所有知识点的易错点，结合网络名师解题技巧，提炼高频解题方法，帮助规避错误、提升解题效率，适配教辅书“易错总结”“解题技巧”模块，可直接复制使用 易错辨析：①通用易错：边角对应错误（高频中的高频）、公式漏写2R或系数、解的个数判断错误、忽略三角形内角范围（0°<θ<180°）、特殊角正弦值计算错误；②应用易错：已知两边及其中一边的对角，跳过解的个数判断、面积公式中混淆夹角、外接圆半径计算漏写分母2、根式化简错误；③推导易错：外接圆法推导漏作直径、混淆圆周角性质、几何法推导不完整 重点记忆：①解题技巧：“先定条件，再判场景，再套公式，最后验证”；先明确题干条件（两角及一边、两边及对角等），再判断适配的公式和解题步骤（如是否需要判断解的个数），代入公式时注意边角对应和系数，最后验证结果合理性（边长为正、角度合规、面积为正）；②规避易错的关键：牢记“边角对应原则”“解的个数判断方法”，熟练记忆公式和特殊角正弦值，计算时分步进行，避免一步到位出错；③题干隐含条件挖掘：题目中若出现“三角形”，默认内角和为180°、边长为正、外接圆半径R>0，可结合该隐含条件验证结果 常考结论：①高频解题技巧：已知两边及其中一边的对角，优先判断解的个数，再求解；已知三边，优先用电余弦定理求角，再用正弦定理求外接圆半径或面积；②正弦定理与余弦定理的综合应用：已知两边及夹角、三边，优先用余弦定理；已知两角及一边、两边及其中一边的对角，优先用正弦定理；③公式逆用技巧：灵活运用“边化角”“角化边”，将边的关系转化为角的关系，或反之，简化计算；④考试趋势：正弦定理常与向量、三角恒等式、外接圆、内切圆结合考查，核心仍是“边角转化”，需熟练掌握公式的灵活运用 二、高频易错+核心公式 核心易错点总览：1.公式错误：漏写2R、漏写面积公式系数、边角对应错误；2.应用错误：解的个数判断错误、面积公式混淆夹角、外接圆半径计算漏写分母；3.计算错误：特殊角正弦值、根式化简、边长/角度计算出错；4.概念错误：忽略三角形内角范围、混淆外接圆与内切圆半径 核心公式汇总：1.标准公式（核心）： （R为△ABC外接圆半径） 2.变式公式（边化角+角化边）： 边化角：，， 角化边：，， 3.比例拓展公式： ， 4.外接圆半径公式： 5.三角形面积公式（高频）： ， 6.辅助公式： ， 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：正弦定理解三角形基本元素】 （24-25高一·全国·课前预习）已知在△ABC中，角A，B，C的对应的边分别是a，b，c，且C＝2A，a＋c＝10，cos A＝，求b的值.经典例题1例题 【答案】b＝5. 【分析】利用正弦定理得到3a＝2c，又a＋c＝10，所以a＝4，c＝6，利用余弦定理求出b＝4或b＝5，检验b＝4不合题意，b＝5符合要求. 【详解】在△ABC中，由正弦定理得，， ∴3a＝2c.又a＋c＝10，所以a＝4，c＝6. 由余弦定理的推论得，， 代入数据化简得：b2－9b＋20＝0，∴b＝4或b＝5. 若b＝4，而在△ABC中，a＝4， ∴△ABC为等腰三角形，且A＝B， 又C＝2A，且A＋B＋C＝180°， ∴A＝B＝45°，C＝90°，△ABC为等腰直角三角形， 由勾股定理得， 这与已求出的c＝6相矛盾，故要舍去. 若b＝5，a＝4，c＝6.，经检验满足题意. 故b＝5 （24-25高一·湖南·课后作业）（1）已知，，，求的外接圆半径；经典例题2例题 （2）已知，的外接圆半径R＝1，求b． 【答案】（1）1；（2）1 【分析】（1）先求出角C，利用正弦定理求出外接圆半径；（2）利用正弦定理求解. 【详解】（1），由正弦定理得：，所以的外接圆半径； （2）由正弦定理得：，即. （24-25高一下·新疆乌鲁木齐·月考）在△中，已知，，，求边c和．小试牛刀1 【答案】，. 【分析】由正弦定理求边c，再应用三角形面积公式求即可. 【详解】由题设，，由正弦定理知：，故， ∴，又， ∴. （24-25高三下·上海·月考）在中，分别是角的对边. 若.小试牛刀2 (1)求的值； (2)求边长的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理及二倍角公式计算可得； （2）利用余弦定理计算可得. 【详解】（1）在中，由正弦定理，，，可得， 因为，所以，即， 显然，解得． （2）在中，由余弦定理， 得，解得或， 当时，又，所以，又，， 所以，则，与矛盾，所以舍去； 所以． （24-25高一下·全国·课堂例题）在中，已知，，，解这个三角形．（提示，）小试牛刀3 【答案】答案见解析 【分析】由正弦定理可得，可求，进而分类讨论可求，. 【详解】在中，由正弦定理可得，， ，或． 当时，，由正弦定理得； 当时，，由正弦定理得． ，，或，，． 【题型2：正弦定理判断三角形解的个数】 （24-25高一下·全国·课后作业）根据下列条件，判断有没有解？若有解，判断解的个数.经典例题1例题 (1)，，； (2)，，； (3)，，； (4)，，； (5)，，. 【答案】(1)一解 (2)一解 (3)一解 (4)两解 (5)无解 【分析】根据三角形中的边和角，结合三角形中大边对大角的关系以及利用正弦定理求出角的正弦值，即可判断三角形解的情况. 【详解】（1）因为，，， 则由正弦定理可得， 又，则，即B只能是锐角， 则只有一解，故有一解； （2）因为，，， 则由正弦定理可得， 又，则，即B只能是锐角， 则只有一解，故有一解； （3）因为，，， 则由正弦定理可得， 由于，故，故有一解； （4）因为，，， 则由正弦定理可得， 因为，故，而，则或， 故有两解； （5），，， 则由正弦定理可得， 故无解. （24-25高一·全国·课后作业）在①，，；②，，；③，，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题．经典例题2例题 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，________，判断三角形解的情况，并在三角形有两解的情况下解三角形． 【答案】答案见解析 【分析】根据正弦定理求得或，结合大角对大边即可判断结果． 【详解】若选择条件①： 由，得， 又，， ∴B只能为锐角，∴，∴该三角形只有一解． 若选择条件②： 由，得， ∵，∴或，∴该三角形有两解． 当时，，∴； 当时，，∴． 若选择条件③： 由，得． ∵，∴，∴该三角形只有一解． （24-25高一下·上海·课后作业）在中，，.小试牛刀1 （1）请你给出一个值，使该三角形有唯一解； （2）请你给出一个值，使该三角形有两解； （3）请你给出一个值，使该三角形无解. 【答案】（1）即可；（2）即可；（3）即可. 【分析】由正弦定理求得，再结合的取值范围或值，确定三角形解答个数，得到答案. 【详解】在中，，， 由正弦定理，可得， 因为，可得. （1）当时，，即，此时由唯一的解； 当时，可得，此时有唯一的解， 所以时，由唯一的解. （2）当时，由且，此时可能为锐角，也可能为钝角， 即角有两解，即当时，此时有两解解. （3）当时，此时，此时无解，即当时，此时无解. （24-25高一·全国·课后作业）下列三角形是否有解？有解的作出解答.小试牛刀2 （1）； （2）； （3）. 【答案】（1）无解；（2）一解，； （3）两解，或. 【分析】（1）由，得到，结合，可判定无解； （2）由，结合，可判定只有一解，结合正弦定理，即可求解； （3）由，结合且，可判定两解，利用正弦定理，分类讨论，即可求解. 【详解】（1）由，可得，所以， 又由，所以这样的三角形无解. （2）由，可得，所以， 又由，所以这样的三角形只有一解. 由正弦定理，可得，所以， 所以， 所以. （3）由，可得， 又由，且，所以， 所以这样的三角形有两解； 由正弦定理可得，所以或， 当时，，； 当时，，， 所以或. （24-25高一下·全国·课前预习） 在中，已知，，，则角有几个值？小试牛刀3 【答案】只有一个 【分析】利用正弦定理可得答案. 【详解】，． ，． 为小于的锐角，且正弦值为，这样的角只有一个． 【题型3：用正弦定理边角互化】 （2025·福建莆田·模拟预测）已知的内角，，所对的边分别为，，，，，则 .经典例题1例题 【答案】/ 【分析】设，利用余弦定理求出，再结合正弦定理即可求得答案. 【详解】由于，设， 由可得，即， 解得（负值舍）， 故， 故答案为： （24-25高一下·广西南宁·月考）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则的值为 ．经典例题2例题 【答案】/0.125 【分析】利用正弦定理可得，根据题意设三边长，结合余弦定理运算求解即可. 【详解】因为，由正弦定理可得， 又因为，可得， 可设，则， 所以. 故答案为：. （2025·河北保定·一模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正弦定理边角互化以及和差角公式可得，即可求解. 【详解】由可得, 由于， 故， 故， 由于中，，故， ，故， 故选：D （2025·广东佛山·二模）已知的内角的对边分别为，面积为，若，则 ．小试牛刀2 【答案】 【分析】根据三角形的面积公式及正弦定理化边为角，计算即可得解. 【详解】由，得， 又因为，所以， 由正弦定理得， 由，则， 解得或， 因为，所以. 故答案为：. （24-25高一下·全国·课后作业）在中，角，，的对边分别为，，，已知，，求的值．小试牛刀3 【答案】 【分析】由条件边化角得到，再结合三角形内角和及，得到，进而可求解； 【详解】∵，， ∴，， ∴，且． ∵，由正弦定理，得， ∴，即， ∴， 即， ∴． ∵， ∴，． ∴； 【题型4：正弦定理判断三角形形状】 （24-25高一下·全国·课后作业）的内角，，的对边分别为，，，若，则为（   ）经典例题1例题 A．等腰直角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 【答案】C 【分析】由正弦定理及两角和的正弦公式化简即可得解. 【详解】因为，所以． 在中，， 故， 因为，所以． 因为，所以，故为直角三角形． 故选：C. （24-25高一下·全国·课后作业）（1）若，则是 三角形；经典例题2例题 （2）若，则是 三角形． 【答案】 等腰 等腰或直角 【分析】先应用正弦定理边角互换，再结合两角差正弦公式及二倍角公式计算求解即可. 【详解】由正弦定理，得． 又，所以，所以， 所以， 即，故． 因为A，B是三角形内角，所以，则，故是等腰三角形． 由正弦定理，得． 又，所以，所以， 所以， 所以，即． 因为A，B为三角形内角，所以或， 得或，故是等腰三角形或直角三角形． （24-25高一下·全国·课后作业）在中，已知，试判断的形状．小试牛刀1 【答案】等腰三角形或直角三角形 【分析】先应用正弦定理边角互化再结合二倍角公式的正弦化简计算判断即可. 【详解】 由已知得， 由正弦定理得，（为的外接圆半径）， 得，， ，即或， 或． 为等腰三角形或直角三角形． （24-25高一上·浙江杭州·期末）在中，（分别为角的对边），则的形状为（        ）小试牛刀2 A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】B 【分析】根据条件，利用倍角公式得到，再利用正弦定理角转边即可得出结果. 【详解】因为，所以，整理得到， 又由正弦定理，得到， 所以，得到， 又，所以，得到，又，所以， 故选：B. （24-25高一·山西太原·月考）在中，角的对边分别为，若，，则的形状为（    ）小试牛刀3 A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】利用正弦定理将边化角，即可求出，再由求出，即可得解. 【详解】因为，由正弦定理可得. 因为，所以，所以，又， 所以或， 又因为，所以，故为等边三角形. 故选：C 【题型5：正弦定理余弦定理综合计算】 （24-25高一下·湖北·月考）在中，内角的对边分别为，已知，，则的面积为 .经典例题1例题 【答案】 【分析】根据正弦定理化边为角，结合两角和的正弦公式，由求得角，由，结合余弦定理求得，从而可得角B，由正弦定理可得，然后利用三角形的面积公式求出结果. 【详解】由，根据正弦定理得：， 因为， 所以， 即， 因为，所以，所以，即， 又，所以， 由，结合余弦定理， 可得， 又，所以， 因为，’所以， 由正弦定理，可得， 因为 ， 所以， 所以三角形的面积为 . 故答案为：． （24-25高二上·河南郑州·期末）在中，，，其面积为，则等于（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角形面积公式可得，由余弦定理得，结合正弦定理即可求解. 【详解】由题意知，，即，解得， 由余弦定理得，即， 由正弦定理（为三角形外接圆半径），可得： ， 故选：C. 【多选题】（24-25高一下·江苏·月考）在中，角的对边分别为，，，且，则（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由已知和余弦定理可求得，进而求得，即可判断A，B；利用三角形面积公式可求得，判断C；由已知和可得，再由可求得，判断D. 【详解】在中，因为，即， 由余弦定理， 又，所以，，故A错误，B正确； 因为，则，所以，故C正确； 因为， ，， 则， 所以， 因为，所以，故D正确. 故答案为：BCD. （24-25高三上·青海·期末）在中，，点在线段上，，则（   ）小试牛刀2 A．3 B． C． D．6 【答案】C 【分析】利用余弦定理结合同角三角函数的基本关系得到，再利用正弦定理求解边长即可. 【详解】在中，因为，， 所以由余弦定理可得， 而，则，由同角三角函数的基本关系得， 在中，由正弦定理可得，解得，故C正确. 故选：C （25-26高三上·江苏南通·月考）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，.小试牛刀3 (1)求A； (2)若，，求c. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理和余弦定理可得，即； （2）法1：根据三角形中角的关系由已知条件可得，再由正弦定理计算可得; 法2：利用正弦定理将问题转化为边的关系，利用余弦定理联立方程组解得即可. 【详解】（1）因为，依据正弦定理， 可得，即. 由余弦定理得，， 因为， 所以. （2）法1：因为，在三角形中，， 所以，即， 所以，所以. 因为，所以，即， 所以，即， 所以，所以. 由正弦定理得， 即. 法2：由正弦定理， 所以，即①； 由（1），即. 所以②； 联立①②，， 解得. 因为，所以取两根中的较小者，即. 【题型6：正弦定理与余弦定理计算周长面积】 （25-26高三上·广东·月考）记的内角，，的对边分别为，，，分别以，，为边长的三个正三角形的面积依次为，，.已知，.经典例题1例题 (1)求的面积； (2)若，求 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先表示出，再由求得，结合余弦定理及平方关系求得，再由面积公式求解即可； （2）由正弦定理得，即可求解. 【详解】（1）由题意得，则， 即，由余弦定理得，整理得，则，又，则，，则； （2）由正弦定理得：，则， 则，. （25-26高二上·河南许昌·月考）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，.经典例题2例题 (1)求角C； (2)若的周长为，求的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用正弦定理以及两角和差的正弦公式得出，进而求出角，得出角； （2）由正弦定理求出，再结合周长即可求出. 【详解】（1）由以及正弦定理可得，， 又， 所以， 即， 又，所以，则， 因为，所以， 因为，所以， 又，则，则； （2）， 由（1）以及由正弦定理可得，，即， 则， 则的周长为，得. （25-26高三上·贵州贵阳·月考）在中，角的对边分别是，且.小试牛刀1 (1)求角B的大小； (2)若且的面积为为边上的中点，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角函数恒等变换得到，从而求出； （2）由余弦定理得，再根据的面积得，进而有，由中线向量形式得，利用数量积的运算律即可求解. 【详解】（1）因为，可得， 故，故，可得， 因为，所以，所以，则. （2）在中，由余弦定理得， 又，所以， 又的面积为，所以， 所以，所以， 因为为线段的中点，所以， 所以， 则， 所以. （2026·吉林长春·一模）在中，角，，的对边分别为，，，若，且的面积为.小试牛刀2 (1)求的值； (2)若，求边上的高. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由平方关系求得，结合三角形面积公式求解； （2）由已知条件结合正弦定理求得，再根据余弦定理求得，利用三角形面积公式求得答案. 【详解】（1）因为，，所以， 又的面积，所以， 所以. （2）由正弦定理得，则，所以， 由余弦定理，，解得， 即，又的面积， 解得，即边上的高为. （25-26高三上·湖南长沙·月考）在中，角，，所对的边分别为，，，，.小试牛刀3 (1)求角； (2)若，求的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知等式利用诱导公式和正弦定理化简，得，可得角； （2）由已知条件中得到，余弦定理得，可求的周长. 【详解】（1）由得， 由正弦定理得：， 又，，则有，即， 又，所以. （2）由且，则有， 由余弦定理得， 即， 由，解得， 所以周长为. 【题型7：角平分线有关计算】 （24-25高一下·江苏常州·月考）在中，角，，所对的边分别为，，，，的平分线交于点，且，则 .经典例题1例题 【答案】/0.5 【分析】过点作，垂足为，结合已知求得，再根据等面积法即可求解． 【详解】过点作，垂足为，如图所示， 因为，平分， 所以，则， 又，所以， ，， 所以， 故答案为：． （2025·北京·三模）在锐角中，，，，的角平分线交于D，则 ； .经典例题2例题 【答案】 2 【分析】根据正弦定理解三角形，根据三角形边角关系判断三角形形状，求得边长. 【详解】 如图所示，在根据正弦定理可得，即，解得， 因为为锐角三角形，所以，可知， 已知是的角平分线，所以,根据三角形外角性质得, 所以是等腰三角形，. 故答案为：；2. （24-25高一下·山东·期中）在中，，，，的平分线交于，则的长度为 ．小试牛刀1 【答案】 【分析】先求出，再利用等积法可求的长度. 【详解】由余弦定理可得即， 故或（舍）， 由可得， 故， 故答案为： （24-25高一下·江苏南京·月考）在中，角､､所对的边分别为､､，，的平分线交于点，且，则的最小值为 .小试牛刀2 【答案】18 【分析】先根据三角形面积公式得出，再利用基本不等式求最值. 【详解】在中，由的平分线交于点，得， 而且，则， 化简得，即，因此 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为18. 故答案为：18 （24-25高一下·山东菏泽·月考）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知的平分线交AC于点D，且，则的最小值＝ ．小试牛刀3 【答案】 【分析】先根据题意求出角的大小，再结合角平分线的长度得到的关系，再结合基本不等式求出的最小值 【详解】因为，由正弦定理得， 因为，所以，故， 则的面积为， 即即， 所以，当且仅当时取等号， 所以，的最小值为． 故答案为：． 【题型8：正弦定理综合题型】 【多选题】（25-26高三上·河南·月考）在斜三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则下列正确的有（    ）经典例题1例题 A． B．角B为钝角 C． D． 【答案】ABD 【分析】由题干等式结合两角和公式和诱导公式可验证A，B，C选项；通过正弦定理可验证D选项. 【详解】由，得，得， 对于A，B，由，可得，因为， 且均不为，则，且不为，则或， 即或，因为为斜三角形，故，即角为钝角， 故A，B均正确； 对于C，由A项已得角为钝角，则，因为，故，故C错误； 对于D，由正弦定理，，又，将代入得，故D正确. 故选ABD. 【多选题】（25-26高三上·陕西咸阳·月考）在中，，，分别是角，，的对边．若，，且，边上的高为，则（    ）经典例题2例题 A． B．是钝角 C． D． 【答案】ACD 【分析】先由求出，借助正弦定理判断选项A；利用余弦定理列方程求解边长判断选项C；通过余弦定理计算的符号判断选项B；结合三角形面积公式的两种表达形式求出BC边上的高，判断选项D. 【详解】，则为锐角，所以，. 由正弦定理得，故选项A正确. 由余弦定理，代入、， 得，整理得. 解得，舍去负根得，故选项C正确. ， 由余弦定理， 故角为锐角，选项B错误. 三角形面积. 边上的高为，则， 得，故选项D正确. 故选：ACD 【多选题】（25-26高三上·湖北·月考）已知的内角的对边分别为，满足且，则下面说法正确的是（   ）小试牛刀1 A． B． C．的面积为 D．的外接圆的半径与内切圆的半径之比为8：3 【答案】ACD 【分析】根据题意，由正弦定理求得，可判定A正确；根据三角函数的基本关系式和正切的倍角公式，可判定B不正确；由余弦定理求得，联立方程组，求得，结合面积公式，可判定C正确；利用正弦定理和面积相等法，求得外接圆和内切圆的半径，可判定D正确. 【详解】对于，因为，由正弦定理得， 可得，即，所以A正确； 对于B，因为，且，可得， 所以，则，所以B不正确； 对于C，因为，由余弦定理得， 又由A知：，因此，即， 联立方程组，解得， 所以的面积为，所以C正确． 对于D，设外接圆的半径为，内切圆的半径为， 由正弦定理可得外接圆半径， 因为的面积为，且周长为， 所以，解得，所以，所以D正确. 故选：ACD. 【多选题】（25-26高三上·山东青岛·期中）已知的面积为，则（　　）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】利用二倍角公式将展开，判断B选项，根据B选项用特殊情况法和排除法验证其他选项. 【详解】利用二倍角公式，将展开： 代入已知条件， 化简得：，选项B正确； 令，则， 因为，则， 若为锐角三角形，则，即，则， 所以，矛盾，故，即， 三角形面积，故，由，得， 而，平方得：， 故，选项A正确； 由勾股定理，，结合（），得：， 代入，解得，即，选项C错误； 由，得，选项D错误. 故选：AB. 【多选题】（25-26高三上·黑龙江·月考）已知中，，且周长等于，面积等于，则（ ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据正弦、余弦的和差角公式判断A；根据二倍角公式结合分类讨论得，进而判断B；再根据面积，周长，结合基本不等式求解判断CD. 【详解】由已知得， 整理得， 所以．故A正确． 由二倍角公式，， 整理可得， ， 若，则可知等式成立； 若，即，由诱导公式和正弦函数的单调性可知，， 同理， 又，于是， 与条件不符，则不成立； 若，即，故，同理得， 故，则不成立． 综上讨论可知，，即． 所以，所以．故B错误． 由面积等于，故， 因为周长等于，，当且仅当时取等号， 所以．故C正确，D错误． 故选：AC． 课后针对训练 一、单选题 1．（24-25高三上·贵州遵义·月考）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则为（   ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】将代入，化简即可. 【详解】由已知条件得， 代入余弦定理公式化简得，即， ， . 故选：B 2．（25-26高三上·甘肃·月考）已知的三边长分别为，则的外接圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设最大边的对角为,利用余弦定理求出,进而求出，再利用正弦定理就可以求出外接圆半径,所以外接圆的面积为. 【详解】记长为4的边的对角为,则由余弦定理可以知道, 所以, 设的外接圆半径为,则由正弦定理,得,所以, 所以外接圆的面积为. 故选：A. 3．（25-26高三上·重庆·月考）在 中，角 的对边分别为 ，已知角 的内角平分线长为 ，若 ，则 的最小值为 （   ） A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据三角形面积公式求出，然后利用基本不等式的性质求出最小值即可. 【详解】根据三角形面积公式可得： ， 则有，化简得 ，即. 所以， 当且仅当即时等号成立， 此时取最小值为. 故选：C.    4．（25-26高三上·湖北·月考）在中，角的对边分别为．已知，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，利用正弦定理，得到，求得，再由余弦定理，求得，结合三角形的面积公式，即可求解. 【详解】因为，由正弦定理得，， 又因为，可得，所以，即， 因为，则， 由余弦定理得， 所以的面积为． 故选：A. 5．（25-26高三上·贵州·月考）已知的面积为2，其外接圆半径为，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】方法一：由三角形面积、正弦定理及条件中的等式，结合基本不等式求得，即可求得； 方法二：由三角形面积、余弦定理、正弦定理及条件中的等式得到的方程，解得. 【详解】方法一：由条件知 ， 而由正弦定理得， 而， 此时必有，. 方法二：由条件知， 由余弦定理和正弦定理有 ， 于是，由得. 故选：D. 6．（25-26高三上·江西·月考）在锐角中，角的对边分别为，是的中点，满足，，的面积为，则（   ） A．5 B．6 C．7 D． 【答案】C 【分析】根据题意，求得且，由余弦定理得，联立方程组，求得的值，分别代入验证，即可求解. 【详解】在锐角中，由，得，解得， 因为的面积为，可得，解得， 在中，由余弦定理得， 联立方程组，解得，或， 当时，可得，此时，与题设矛盾，舍去； 当时，可得，此时，符合题意． 故选：C． 7．（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知内角、、的对边分别为，，，且，则的值为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】先由倍角公式转化题设所给条件，再结合正弦定理角化边得到，接着对所求进行切化弦，再由正余弦定理进行角化边化简即可得解. 【详解】因为， 所以，即， 则由正弦定理得， 所以. 故选：A 8．（25-26高三上·河北秦皇岛·月考）已知的内角 的对边分别为 .若，，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理边化角，再利用和差角的正弦公式及二倍角的正弦公式求解. 【详解】在中，由及正弦定理，得， 即，则， 而，于是，即， 又，因此，， 所以. 故选：C 二、多选题 9．（25-26高三上·江苏盐城·月考）在中，角、、所对的边分别为、、，，，若满足条件的三角形有且只有一个，则边的长可以是（   ） A．1 B． C． D．4 【答案】ABD 【分析】根据不同条件下三角形的解的个数分析判断即得. 【详解】在中，当已知边和锐角，判断三角形的个数时，若，有且只有一个解； 当时，有两个解；当时，有且只有一个解；当时，无解. 因为. 由，即，解得，故D正确； 由，可得，选项中，满足此条件，故A，B正确； 对于C，，此时三角形无解， 故C错误. 故选：ABD 三、填空题 10．（25-26高三上·山东枣庄·月考）在中，已知，，，则 ． 【答案】 【分析】根据题目条件，利用正弦定理求出的值，再结合角的范围，即可得解. 【详解】已知，，， 所以由正弦定理可得，解得. 因为，所以. 故答案为： 11．（23-24高一下·天津武清·月考）在中，角所对的边分别为，若，则 . 【答案】 【分析】利用正弦定理将角化边，将用表示出来，用余弦定理，即可求得 【详解】因为，故可得； 因为，故可得； 将代入中，得，解得, 由余弦定理可得. 又因为，故可得. 故答案为：. 12．（25-26高三上·山东菏泽·月考）记的内角，，的对边分别为，，，若，则 ． 【答案】 【分析】根据，利用正弦定理得到，再利用余弦定理求得. 【详解】因为，由正弦定理得 ， 所以， 因为， 所以. 故答案为： 四、解答题 13．（25-26高二上·云南曲靖·月考）在中，角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若，，求的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理对给定式子合理变形，再结合同角三角函数的基本关系求解即可. （2）结合题意得到，再利用同角三角函数的基本关系得到，最后结合余弦定理与三角形的周长公式求解即可. 【详解】（1）在中，因为， 所以由正弦定理得， 而，则，得到， 结合同角三角函数的基本关系可得. （2）因为，所以， 联立方程组，解得（负根舍去）， 由题意得，，由余弦定理得，解得（负根舍去）， 则的周长为. 14．（25-26高二上·广东·月考）已知中，，，的对边分别为，，，且的面积. (1)求的外接圆半径； (2)若，，且为锐角，求边上的高. 【答案】(1)7 (2) 【分析】（1）利用三角形面积公式和正弦定理可得答案； （2）先求，再利用等面积法得出高与的关系可求答案. 【详解】（1）设的外接圆半径为.由三角形面积公式有， 故， 则. 又， 故，即.故的外接圆半径为7. （2）设在边上的高为，由（1）可得，， 因为，所以.因为为锐角，所以必为锐角. 从而， 且， 由面积公式， 得， ， 所以边上高的长. 15．（25-26高三上·江苏淮安·月考）在中，角，，所对的边分别为，，，且，，． (1)求的面积； (2)求边长及的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）利用同角三角函数关系求出的值，再由三角形面积公式即可求得； （2）由余弦定理求出边的值，再由正弦定理即可求得的值. 【详解】（1）由，且，则， 所以． （2）由余弦定理，，则， 又由正弦定理，则．. 16．（25-26高三上·湖南·月考）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为S，. (1)证明：； (2)若，求内角A的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意结合面积公式可得，运算求解即可； （2）根据题意结合余弦定理可得，即可得角A的大小. 【详解】（1）在中，， 因为，即， 且，则， 则，即， 又因为，则，即. （2）若，则，且， 由余弦定理可得， 且，所以. 17．（25-26高三上·云南楚雄·月考）在中，内角的对边分别为，已知． (1)若，求； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理列式计算即可； （2）由余弦定理可得，根据三角形面积公式计算即可求解. 【详解】（1）由正弦定理得， 所以； （2）由余弦定理得，， 因为， 所以，所以． 所以的面积为． 18．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）中，内角A，B，C所对的边为，，边上的高为，. (1)求角； (2)求边. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理求角； （2）由三角形面积公式可得，又，利用等式，可求边. 【详解】（1）已知，由余弦定理有， 得 ，故， 又，所以. （2）设边上的高为，则三角形面积， 面积也可表示为， 联立得，即， 由，得， 代入题目条件，得， 将代入上式，得，即， 得，解得. 19．（25-26高三上·四川泸州·月考）在中，内角，，所对的边分别为，，，且． (1)求； (2)已知为边上的一点，且．若，，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理边化角，根据和角公式以及正切函数的公式，可得答案. （2）利用余弦定理解三角形，根据直角三角函数，可得答案. 【详解】（1）已知，由正弦定理可得， 由，所以，代入上式： ， 化简可得，由，则， 上式两边除以可得：，即， 由，则. （2）在中，已知，，，由余弦定理可得： ， 即，再由余弦定理可得： ， 由，则，即， 可得，在中，. 20．（25-26高三上·海南海口·月考）已知的内角，，所对的边分别为，，，且． (1)求； (2)若的面积为，证明：为等腰三角形． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据正弦定理与两角和差公式进行化简即可； （2）根据三角形的面积公式，可求得，，的关系，再结合余弦定理即可证明. 【详解】（1）由 及正弦定理，得 ， 即 ，又, 所以 ． 因为 ，所以 ． 因为 ，所以 ． （2）证明：由题意得， 故 ． ① 由余弦定理，得 ， ② 由①②，得 ，即 ， 所以 ， 所以 为等腰三角形． 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年寒假高一数学下学期常考题型归纳 【6.4.3.2·正弦定理】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 1.正弦定理的文字表述 知识点：在任意一个三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等，且这个比等于该三角形外接圆的直径；简言之，“边与其对角的正弦比相等，等于外接圆直径”；核心关联：三角形的三边与三角的正弦值对应，实现“边→角”“角→边”的双向转化，适用于任意三角形（锐角、直角、钝角三角形均成立） 易错辨析：①误将正弦定理局限于“锐角三角形”，忽略其对任意三角形的适用性（直角三角形中，直角的正弦值为1，正弦定理仍成立）；②文字表述遗漏“外接圆的直径”，误记为“各边和它所对角的正弦值的比相等”（缺少核心比值的几何意义，适配考试推导类题型）；③混淆“边与角的对应关系”，误说为“角与其对边的正弦比相等”（本质无错，但表述不规范，考试中需贴合教材原文）；④误将“外接圆直径”说成“外接圆半径”，混淆直径与半径的关系 重点记忆：①核心口诀：“边对对角正弦比，处处相等等直径”（精准对应公式与几何意义，易记不遗漏）；②关键前提：任意三角形均适用，无三角形类型限制，这是与余弦定理的共性特征；③核心规范：“边在前，正弦在后”，即“边a对应角A的正弦，边b对应角B的正弦”，贴合教材表述习惯；④比值意义：核心是“外接圆直径”，记为2R（R为三角形外接圆半径），是后续推导、计算的核心关键 常考结论：①若三角形为直角三角形，设C=90°，外接圆直径2R=c（斜边为外接圆直径），则正弦定理变为，即、，与直角三角形边角关系一致；②文字表述是公式记忆的基础，题干若出现“文字描述转化为公式”题型，需精准对应“边、对角、正弦比、外接圆直径”四大核心；③任意三角形中，三边与三角的正弦值必满足该比例关系，无例外情况 2.正弦定理的公式表示 知识点：设△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c（边角对应原则：角A对边a，角B对边b，角C对边c），R为△ABC外接圆的半径，则正弦定理的标准公式、变式公式、比例拓展公式如下，适配不同解题场景： ①标准公式（核心公式，必记）： ②变式公式（边与角互化专用，高频应用）： 边化角：，， 角化边：，， ③比例拓展公式（等式变形专用）： 易错辨析：①标准公式中，漏写“2R”，误记为（缺少核心比值，推导、计算均会出错）；②边角对应错误（高频易错点），如误将写成，混淆边与对角的对应关系；③比例拓展公式中，误将“”与“”的比写成“R”，忽略系数2；④字母书写不规范，如将边a写成大写A，角A写成小写a，或混淆外接圆半径R与边的符号；⑤变式公式中，漏写分母“2R”，误记为 重点记忆：①边角对应核心原则（必记，规避高频错误）：“边对应其对角的正弦”，即边a对应，边b对应，边c对应，贯穿所有公式；②公式书写规范：标准公式中，“2R”不可遗漏，是正弦定理的核心；变式公式分“边化角”（已知角求边）和“角化边”（已知边求角），按需选用；③优先记忆顺序：先记标准公式，再记边化角、角化边变式，最后记比例拓展公式，结合口诀辅助记忆；④公式适配场景：边化角适用于“已知角求边”，角化边适用于“已知边求角”，比例式适用于“求边的比例或角的正弦比例” 常考结论：①2R的几何意义（高频考点）：△ABC外接圆的直径，即2R=，可用于求三角形外接圆半径R（）；②比例式应用：若已知，则，可快速求边的比例关系；③公式逆用：由、，可推出，适配“已知两边比求对角正弦比”题型；④直角三角形中，2R=c（斜边），即，与直角三角形外接圆性质一致（斜边中点为外接圆圆心） 3.正弦定理的推导过程 知识点：正弦定理的推导方法有多种，教材重点讲解“向量法”（贴合本章向量知识点，高频考点），辅助讲解“几何法”（直观易懂，适配基础薄弱学生）、“外接圆法”（贴合比值2R的几何意义），三种推导均需掌握，核心推导过程如下： ①向量法（教材重点，必记推导逻辑）：在△ABC中，过点A作外接圆的直径AD，连接BD，则AD=2R，∠ABD=90°（直径所对的圆周角为直角）；由向量关系，，两边取模长并结合三角函数，或直接利用Rt△ABD中，且∠D=∠C（同弧所对的圆周角相等），得，即；同理可证、，故正弦定理成立 ②外接圆法（直观理解2R意义）：设△ABC外接圆的圆心为O，半径为R，作直径AD=2R，连接BD，同理可证，其余边同理，最终得出 ③几何法（辅助理解）：在△ABC中，过点C作CD⊥AB于点D，在Rt△ACD和Rt△BCD中，利用、，得CD=bsinA=asinB，即；同理可证，结合外接圆性质，得出比值为2R 易错辨析：①向量法推导中，误将“同弧所对的圆周角相等”记为“同弧所对的圆周角互补”，导致∠D与∠C的关系判断错误；②外接圆法推导中，漏作直径AD，无法关联2R与边、角的关系；③几何法推导中，仅证明，未证明与相等，推导不完整；④推导过程中，混淆“直角三角形的边角关系”，如在Rt△ABD中，误将写成；⑤忽略推导的核心结论，仅证明比值相等，未说明比值为2R 重点记忆：①向量法推导核心：构造外接圆直径，利用“直径所对的圆周角为直角”和“同弧所对的圆周角相等”，结合三角函数推导，贴合本章向量与三角的综合知识点，是考试中“推导类题型”的重点；②关键步骤：构造直径AD→证明∠ABD=90°、∠D=∠C→利用直角三角形边角关系得出→同理证明其余边；③外接圆法核心：聚焦2R的几何意义，直观关联边、角正弦与外接圆直径，帮助记忆公式；④推导结论：无论用哪种方法，最终均得到正弦定理的标准公式，且比值必为2R，可相互验证 常考结论：①向量法、外接圆法推导是高频推导题型，需熟练掌握完整步骤，尤其注意“直径所对的圆周角为直角”“同弧所对的圆周角相等”两个几何性质的应用；②推导过程中用到的几何性质、直角三角形边角关系，是连接几何与三角的核心，可结合本章前面知识点综合考查；③几何法推导仅能证明“边与对角的正弦比相等”，需结合外接圆性质才能得出“比值为2R”，不可遗漏关键步骤 4.正弦定理的核心应用（一）：已知两角及一边，求其余边和角 知识点：这是正弦定理最基础、最高频的应用，适配题型：已知△ABC中，任意两个角的大小及一条边的长度（两角及夹边、两角及其中一角的对边），求其余两边和剩余一个角；核心步骤：①利用三角形内角和为180°（），求出剩余一个角；②匹配正弦定理的边化角或标准公式，代入已知条件；③计算其余两边的长度，验证结果合理性（边长为正、角度在0°~180°之间） 示例：已知△ABC中，A=60°，B=45°，a=3，求B、C及边b、c；解：由内角和得C=180°-60°-45°=75°；由正弦定理，得；同理，化简得 易错辨析：①忽略三角形内角和为180°，未先求剩余角，直接代入正弦定理求边，导致思路混乱；②代入公式时，边角对应错误，如已知A、B及边a，误代入；③特殊角的正弦值计算错误，如将误算为，误算为；④计算过程中，根式化简错误，导致边长得数出错；⑤未验证结果合理性，如边长出现负值，或角度超出0°~180°范围 重点记忆：①解题核心口诀：“两角一边求边角，内角和先求余角，正弦定理套公式，代入计算验结果”；②关键步骤：先求角（利用内角和）→再求边（利用正弦定理边化角变式）→最后验证；③特殊角正弦值（必记，避免计算错误）：，，，，，，；④计算技巧：根式化简时，先约分再计算，减少运算量；角度计算时，注意内角和为180°，避免角度出错 常考结论：①已知两角及一边，三角形的解唯一（只有一种情况），无需判断解的个数；②若已知两角及夹边，可先求第三角，再利用正弦定理求另外两边；若已知两角及其中一角的对边，可直接利用正弦定理求另一角的对边，再求第三角；③计算结果若为无理数，需按教辅规范保留最简根号形式，非特殊角的正弦值可保留原式（如）；④可利用正弦定理求出2R，再用2R求其余边，简化计算 5.正弦定理的核心应用（二）：已知两边及其中一边的对角，求其余角和边 知识点：这是正弦定理的重点难点应用，适配题型：已知△ABC中，任意两边的长度及其中一边的对角（如已知a、b及角A，或已知a、c及角A），求其余两角和剩余一边；核心特点：三角形的解可能有1个、2个或0个（需判断解的个数），核心步骤：①利用正弦定理角化边变式，求出另一边所对的角的正弦值；②判断解的个数；③求出符合条件的角，再利用内角和求第三角；④利用正弦定理求第三边 解的个数判断（已知a、b及角A，R为外接圆半径，高频考点）：①当A为锐角（0°<A<90°）：b<a≤bsinA→0个解；a=bsinA→1个解（直角三角形）；bsinA<a<b→2个解；a≥b→1个解；②当A为直角（A=90°）：a>b→1个解；a≤b→0个解；③当A为钝角（90°<A<180°）：a>b→1个解；a≤b→0个解 易错辨析：①跳过“解的个数判断”，直接求出角的正弦值后，忽略三角形内角范围，得出两个不合理的角（如钝角三角形中出现两个钝角）；②解的个数判断错误，如已知A为锐角、bsinA<a<b时，误判为1个解；③已知a、b及角A，求角B时，误将写成，边角对应错误；④忽略“三角形内角和为180°”，求出的角与已知角之和大于180°，仍当作有效解；⑤解的个数判断时，混淆“a”与“b”的大小关系，或漏算“bsinA”的值 重点记忆：①解题核心口诀：“两边对角求边角，先判解数再求角，内角和定第三角，正弦定理求余边”；②解的个数判断核心（必记）：以“已知角A的类型（锐角、直角、钝角）”和“a与b、bsinA的大小关系”为核心，可结合口诀记忆：“锐角看bsinA，直角钝角看a、b”；③关键步骤：求sinB→判解数→定角B→求角C→求边c→验结果；④注意事项：若sinB=1，则B=90°（唯一解）；若sinB<1，则需结合角的范围和已知角，判断是1个解还是2个解；⑤避免漏解：当bsinA<a<b且A为锐角时，必有两个解（角B为锐角和钝角，且均满足内角和小于180°） 常考结论：①解的个数判断是高频考点，题干若未说明三角形类型，需先判断解的个数，再求解；②当A为锐角时，解的个数最多为2个，当A为直角或钝角时，解的个数最多为1个；③若sinB>1，则无实数解（三角形不存在）；④两个解的特点：角B1=θ，角B2=180°−θ，且均满足0°<B1<180°、0°<B2<180°，且A+B1<180°、A+B2<180°；⑤可利用余弦定理辅助验证解的个数（如联立余弦定理，判断方程是否有正根） 6.正弦定理的核心应用（三）：求三角形的外接圆半径R 知识点：由正弦定理的标准公式，可推导外接圆半径R的计算公式，适配题型：已知三角形的一边及该边所对的角，求外接圆半径；核心步骤：①确定已知条件（一边a及对角A，或一边b及对角B，或一边c及对角C）；②匹配R的计算公式；③代入数值，计算R的值（R>0，取正值） 核心公式： 易错辨析：①公式记忆错误，漏写分母“2”，误记为；②边角对应错误，如已知a及角B，误代入，未用对应角；③计算时，特殊角的正弦值出错，或边长代入错误；④忽略R的几何意义，得出R≤0的结果（外接圆半径为正数，需舍去负根）；⑤已知三边，未先求角，直接代入公式求R，导致思路混乱 重点记忆：①解题核心口诀：“一边对角求半径，正弦定理逆用行，边除以二倍正弦，结果为正才可行”；②关键步骤：确定“边与对角”的对应关系→代入R的计算公式→计算并验证R>0；③公式适配场景：已知一边及对角（直接用），已知三边（先用电余弦定理求一角，再用该公式），已知两角及一边（先求第三角，再用对应边求R）；④注意事项：计算时，先计算分母“2sinA”，再用边a除以该值，避免计算错误 常考结论：①外接圆半径R是三角形的重要几何量，常与三角形面积公式结合考查（面积S=）；②直角三角形的外接圆半径R=（c为斜边），与直角三角形外接圆性质一致；③等边三角形的外接圆半径R=（a为边长），因等边三角形各角均为60°，sin60°=，代入得R=；④若两个三角形的“边与对角”相等，则它们的外接圆半径相等 7.正弦定理的核心应用（四）：求三角形的面积 知识点：结合正弦定理和三角形面积的基础公式，可推导多种适配不同条件的面积公式，核心公式均基于“”（两边及夹角面积公式），结合正弦定理边化角、角化边变式，拓展出适配“已知两角及一边”“已知三边”“已知外接圆半径”的面积公式，高频应用于综合题型 核心面积公式（微软word兼容，美观规范）：①基础公式：（两边及夹角）；②结合正弦定理（已知两角及一边）：，；③结合外接圆半径：；④结合内切圆半径r：（辅助公式） 易错辨析：①基础面积公式中，漏写系数“”，误记为；②混淆“夹角”，如用时，误将角A当作夹角，代入；③结合正弦定理的面积公式中，边角对应错误，如误将写成；④代入时，漏写分母“4R”，或混淆外接圆半径R与内切圆半径r；⑤计算面积时，忽略边长、角度的合理性，得出负值（面积为正数，舍去负根） 重点记忆：①解题核心口诀：“三角形面积求法多，两边夹角最基础，正弦定理来拓展，外接内切皆可用”；②公式选用技巧：已知两边及夹角，用基础公式；已知两角及一边，用结合正弦定理的公式；已知三边及外接圆半径，用；③关键规范：所有面积公式中，“”“4R”等系数不可遗漏，夹角必须是“两边的夹角”；④综合应用：面积公式常与正弦定理、余弦定理结合考查，需灵活选用公式，优先选择计算简洁的公式 常考结论：①面积公式的本质的是“”，如中，可将a当作底，bsinC当作高；②若已知三角形的外接圆半径R和两角A、B，则（由边化角公式推导，高频拓展）；③等边三角形的面积公式：，可由基础公式推导（a=b=c，C=60°）；④三角形的面积可用于验证解的合理性（面积为正，解有效） 8.正弦定理的易错点汇总与解题技巧 知识点：整合前面所有知识点的易错点，结合网络名师解题技巧，提炼高频解题方法，帮助规避错误、提升解题效率，适配教辅书“易错总结”“解题技巧”模块，可直接复制使用 易错辨析：①通用易错：边角对应错误（高频中的高频）、公式漏写2R或系数、解的个数判断错误、忽略三角形内角范围（0°<θ<180°）、特殊角正弦值计算错误；②应用易错：已知两边及其中一边的对角，跳过解的个数判断、面积公式中混淆夹角、外接圆半径计算漏写分母2、根式化简错误；③推导易错：外接圆法推导漏作直径、混淆圆周角性质、几何法推导不完整 重点记忆：①解题技巧：“先定条件，再判场景，再套公式，最后验证”；先明确题干条件（两角及一边、两边及对角等），再判断适配的公式和解题步骤（如是否需要判断解的个数），代入公式时注意边角对应和系数，最后验证结果合理性（边长为正、角度合规、面积为正）；②规避易错的关键：牢记“边角对应原则”“解的个数判断方法”，熟练记忆公式和特殊角正弦值，计算时分步进行，避免一步到位出错；③题干隐含条件挖掘：题目中若出现“三角形”，默认内角和为180°、边长为正、外接圆半径R>0，可结合该隐含条件验证结果 常考结论：①高频解题技巧：已知两边及其中一边的对角，优先判断解的个数，再求解；已知三边，优先用电余弦定理求角，再用正弦定理求外接圆半径或面积；②正弦定理与余弦定理的综合应用：已知两边及夹角、三边，优先用余弦定理；已知两角及一边、两边及其中一边的对角，优先用正弦定理；③公式逆用技巧：灵活运用“边化角”“角化边”，将边的关系转化为角的关系，或反之，简化计算；④考试趋势：正弦定理常与向量、三角恒等式、外接圆、内切圆结合考查，核心仍是“边角转化”，需熟练掌握公式的灵活运用 二、高频易错+核心公式 核心易错点总览：1.公式错误：漏写2R、漏写面积公式系数、边角对应错误；2.应用错误：解的个数判断错误、面积公式混淆夹角、外接圆半径计算漏写分母；3.计算错误：特殊角正弦值、根式化简、边长/角度计算出错；4.概念错误：忽略三角形内角范围、混淆外接圆与内切圆半径 核心公式汇总：1.标准公式（核心）： （R为△ABC外接圆半径） 2.变式公式（边化角+角化边）： 边化角：，， 角化边：，， 3.比例拓展公式： ， 4.外接圆半径公式： 5.三角形面积公式（高频）： ， 6.辅助公式： ， 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：正弦定理解三角形基本元素】 （24-25高一·全国·课前预习）已知在△ABC中，角A，B，C的对应的边分别是a，b，c，且C＝2A，a＋c＝10，cos A＝，求b的值.经典例题1例题 （24-25高一·湖南·课后作业）（1）已知，，，求的外接圆半径；经典例题2例题 （2）已知，的外接圆半径R＝1，求b． （24-25高一下·新疆乌鲁木齐·月考）在△中，已知，，，求边c和．小试牛刀1 （24-25高三下·上海·月考）在中，分别是角的对边. 若.小试牛刀2 (1)求的值； (2)求边长的值. （24-25高一下·全国·课堂例题）在中，已知，，，解这个三角形．（提示，）小试牛刀3 【题型2：正弦定理判断三角形解的个数】 （24-25高一下·全国·课后作业）根据下列条件，判断有没有解？若有解，判断解的个数.经典例题1例题 (1)，，； (2)，，； (3)，，； (4)，，； (5)，，. （24-25高一·全国·课后作业）在①，，；②，，；③，，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题．经典例题2例题 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，________，判断三角形解的情况，并在三角形有两解的情况下解三角形． （24-25高一下·上海·课后作业）在中，，.小试牛刀1 （1）请你给出一个值，使该三角形有唯一解； （2）请你给出一个值，使该三角形有两解； （3）请你给出一个值，使该三角形无解. （24-25高一·全国·课后作业）下列三角形是否有解？有解的作出解答.小试牛刀2 （1）； （2）； （3）. （24-25高一下·全国·课前预习） 在中，已知，，，则角有几个值？小试牛刀3 【题型3：用正弦定理边角互化】 （2025·福建莆田·模拟预测）已知的内角，，所对的边分别为，，，，，则 .经典例题1例题 （24-25高一下·广西南宁·月考）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则的值为 ．经典例题2例题 （2025·河北保定·一模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （2025·广东佛山·二模）已知的内角的对边分别为，面积为，若，则 ．小试牛刀2 （24-25高一下·全国·课后作业）在中，角，，的对边分别为，，，已知，，求的值．小试牛刀3 【题型4：正弦定理判断三角形形状】 （24-25高一下·全国·课后作业）的内角，，的对边分别为，，，若，则为（   ）经典例题1例题 A．等腰直角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 （24-25高一下·全国·课后作业）（1）若，则是 三角形；经典例题2例题 （2）若，则是 三角形． （24-25高一下·全国·课后作业）在中，已知，试判断的形状．小试牛刀1 （24-25高一上·浙江杭州·期末）在中，（分别为角的对边），则的形状为（        ）小试牛刀2 A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 （24-25高一·山西太原·月考）在中，角的对边分别为，若，，则的形状为（    ）小试牛刀3 A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【题型5：正弦定理余弦定理综合计算】 （24-25高一下·湖北·月考）在中，内角的对边分别为，已知，，则的面积为 .经典例题1例题 （24-25高二上·河南郑州·期末）在中，，，其面积为，则等于（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【多选题】（24-25高一下·江苏·月考）在中，角的对边分别为，，，且，则（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （24-25高三上·青海·期末）在中，，点在线段上，，则（   ）小试牛刀2 A．3 B． C． D．6 （25-26高三上·江苏南通·月考）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，.小试牛刀3 (1)求A； (2)若，，求c. 【题型6：正弦定理与余弦定理计算周长面积】 （25-26高三上·广东·月考）记的内角，，的对边分别为，，，分别以，，为边长的三个正三角形的面积依次为，，.已知，.经典例题1例题 (1)求的面积； (2)若，求 （25-26高二上·河南许昌·月考）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，.经典例题2例题 (1)求角C； (2)若的周长为，求的值. （25-26高三上·贵州贵阳·月考）在中，角的对边分别是，且.小试牛刀1 (1)求角B的大小； (2)若且的面积为为边上的中点，求. （2026·吉林长春·一模）在中，角，，的对边分别为，，，若，且的面积为.小试牛刀2 (1)求的值； (2)若，求边上的高. （25-26高三上·湖南长沙·月考）在中，角，，所对的边分别为，，，，.小试牛刀3 (1)求角； (2)若，求的周长. 【题型7：角平分线有关计算】 （24-25高一下·江苏常州·月考）在中，角，，所对的边分别为，，，，的平分线交于点，且，则 .经典例题1例题 （2025·北京·三模）在锐角中，，，，的角平分线交于D，则 ； .经典例题2例题 （24-25高一下·山东·期中）在中，，，，的平分线交于，则的长度为 ．小试牛刀1 （24-25高一下·江苏南京·月考）在中，角､､所对的边分别为､､，，的平分线交于点，且，则的最小值为 .小试牛刀2 （24-25高一下·山东菏泽·月考）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知的平分线交AC于点D，且，则的最小值＝ ．小试牛刀3 【题型8：正弦定理综合题型】 【多选题】（25-26高三上·河南·月考）在斜三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则下列正确的有（    ）经典例题1例题 A． B．角B为钝角 C． D． 【多选题】（25-26高三上·陕西咸阳·月考）在中，，，分别是角，，的对边．若，，且，边上的高为，则（    ）经典例题2例题 A． B．是钝角 C． D． 【多选题】（25-26高三上·湖北·月考）已知的内角的对边分别为，满足且，则下面说法正确的是（   ）小试牛刀1 A． B． C．的面积为 D．的外接圆的半径与内切圆的半径之比为8：3 【多选题】（25-26高三上·山东青岛·期中）已知的面积为，则（　　）小试牛刀2 A． B． C． D． 【多选题】（25-26高三上·黑龙江·月考）已知中，，且周长等于，面积等于，则（ ）小试牛刀3 A． B． C． D． 课后针对训练 一、单选题 1．（24-25高三上·贵州遵义·月考）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则为（   ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 2．（25-26高三上·甘肃·月考）已知的三边长分别为，则的外接圆的面积为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·重庆·月考）在 中，角 的对边分别为 ，已知角 的内角平分线长为 ，若 ，则 的最小值为 （   ） A．6 B． C． D． 4．（25-26高三上·湖北·月考）在中，角的对边分别为．已知，则的面积为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·贵州·月考）已知的面积为2，其外接圆半径为，，则（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·江西·月考）在锐角中，角的对边分别为，是的中点，满足，，的面积为，则（   ） A．5 B．6 C．7 D． 7．（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知内角、、的对边分别为，，，且，则的值为（    ） A． B．3 C． D． 8．（25-26高三上·河北秦皇岛·月考）已知的内角 的对边分别为 .若，，则 （    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高三上·江苏盐城·月考）在中，角、、所对的边分别为、、，，，若满足条件的三角形有且只有一个，则边的长可以是（   ） A．1 B． C． D．4 三、填空题 10．（25-26高三上·山东枣庄·月考）在中，已知，，，则 ． 11．（23-24高一下·天津武清·月考）在中，角所对的边分别为，若，则 . 12．（25-26高三上·山东菏泽·月考）记的内角，，的对边分别为，，，若，则 ． 四、解答题 13．（25-26高二上·云南曲靖·月考）在中，角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若，，求的周长. 14．（25-26高二上·广东·月考）已知中，，，的对边分别为，，，且的面积. (1)求的外接圆半径； (2)若，，且为锐角，求边上的高. 15．（25-26高三上·江苏淮安·月考）在中，角，，所对的边分别为，，，且，，． (1)求的面积； (2)求边长及的值． 16．（25-26高三上·湖南·月考）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为S，. (1)证明：； (2)若，求内角A的大小. 17．（25-26高三上·云南楚雄·月考）在中，内角的对边分别为，已知． (1)若，求； (2)若，求的面积． 18．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）中，内角A，B，C所对的边为，，边上的高为，. (1)求角； (2)求边. 19．（25-26高三上·四川泸州·月考）在中，内角，，所对的边分别为，，，且． (1)求； (2)已知为边上的一点，且．若，，求． 20．（25-26高三上·海南海口·月考）已知的内角，，所对的边分别为，，，且． (1)求； (2)若的面积为，证明：为等腰三角形． 1 学科网（北京）股份有限公司 $