第07讲 正弦定理 寒假自学讲义-2025-2026学年高一数学人教A版必修第二册

2025-2026学年高一数学寒假自学讲义 正弦定理 教学目标 1．能灵活使用正弦定理，对边角转换内容熟练掌握； 2．经历自主探究的过程，提高计算能力，分析和解决问题的能力，渗透数形结合，转化的思想； 3．体验数学学科的特点，提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心。 教学重难点 重点：正弦定理的边角转换； 难点：利用正弦定理求范围、最值问题，以及正余弦定理的综合问题。 教学内容 正弦定理 知识点一：正弦定理 1、公式表示：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 2、正弦定理推论：在中，内角，，所对的边分别为，，，外接圆半径为 ① ② ③，， ④，，（实现边和角的互相转化） 3、正弦定理的推导示例： 当△ABC是锐角三角形时，设边AB的高是CD．根据三角函数的定义， CD＝asinB，CD＝bsinA， 所以asinB＝bsinA，得到＝. 同理，在△ABC中＝. 从以上的讨论和探究可得：＝＝ 知识点二：三角形面积公式 在中，内角，，所对的边分别为，，，边，，边上的高分别记作，，，为内切圆半径，为外接圆半径，为内切圆心。 （1） （2） 证明：当为锐角三角形时，作于点， 设的面积为，则； 当为钝角三角形时，作边长的高， 则， ∴； 当为直角三角形时，上述结论依然成立。 （3） 证明： （4） 证明： 题型一：利用正弦定理解三角形 【例1-1】已知三角形中，，，，则（ ） A.2 B. C. D. 【答案】B 【解析】因为，所以，又由正弦定理，知，得. 【例1-2】在△ABC中，，c=4，，则b=（　　） A． B．3 C． D． 【答案】B 【解析】∵，c=4，， ∴ ， ∴由正弦定理 ，可得：，解得：b=3． 故选：B． 【例1-3】在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二倍角公式和诱导公式得到，解得，由同角三角函数关系得到，由正弦定理得到方程，求出答案. 【详解】因为，所以. 因为，所以，可得，解得. 因为，，所以. 由正弦定理得，故，解得. 故选：C 【变式训练】 1．在三角形ABC中,,则（ ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【解析】由正弦定理得或，选D. 2．在中，，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得，，AC， 由正弦定理得，，则sinB， 所以B＝或， 因为AB＞AC，所以C＞B，则B＝， 则A= 故选：C． 题型二：正弦定理结合余弦定理解三角形 【例2】在中，，，，点D在边上靠近B点的三等分点处，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件求出，，在中由余弦定理求出，再在中由正弦定理计算作答. 【详解】 在中，， ，可得则， 因，则， 在中，由余弦定理得：，即， 在中，由正弦定理得：， 所以. 故选：D 【变式训练】 1．在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且则 sin A=（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据余弦定理求出边的值，再根据正弦定理求出的值. 【详解】在中，，，， 所以，所以. 因为，，， 所以 故选：D. 2．在中，，是边上一点，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用余弦定理求出， ，利用正弦定理即可求出的长. 【详解】由题意，在中，，，， 由余弦定理得， ， ∴， ∴， 在中, 由正弦定理得， ， 故选：C. 3．在中，已知，是边上一点，如图，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在中用余弦定理，求出，之后在中，用正弦定理计算的长度. 【详解】在中，,所以,. 在中, ，，由余弦定理可得， 代入数值：,整理得，解得（舍去负根）； 在中，,根据正弦定理：代入数值：. 故答案为：C 题型三：正弦定理边角互化的应用 【例3-1】在中，角A，B，C对边分别为a，b，c．若，，，则实数a的值为（   ） A．6 B．3 C． D． 【解题思路】由正弦定理和题设条件，化简得，进而求得，利用正弦定理求得. 【解答过程】因为，由正弦定理得， ，化简得， 因为，所以， 可得，又，所以， 由正弦定理得，. 故选：C. 【例3-2】在中，角的对边分别是，且满足． （1）求C； （2）若，的面积为，求边长c的值． 【答案】（1） （2） 【小问1详解】 解：因为， 由正弦定理得，即，即， 由余弦定理得， 又因为，所以． 【小问2详解】 解：由的面积为， 所以，可得 又由，所以． 【变式训练】 1．在锐角中，角所对的边分别为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用正弦定理边转角得到，即可求解. 【详解】由，得到，又是锐角三角形， 所以，则，得到， 故选：A. 2．的三内角A，B，C所对边长分别是a，b，c，若，则角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正弦定理将角转化为边，可得，然后利用余弦定理可知结果. 【详解】在中，由正弦定理，可得：，， ，可得：，整理可得：， 由余弦定理可得：， . 故选：A. 题型四：三角形的面积公式 【例4】的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由给定条件，利用正弦定理边化角求出，再利用余弦定理求出即可求出三角形面积. 【解答过程】在中，由及正弦定理，得， 而，则，由及余弦定理得，， 因此，，则， 所以的面积为. 故选：B. 【变式训练】 1．在中，，，，则的面积为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】由余弦定理求出长，由求得，代入三角形面积公式计算即得. 【详解】因为，角是锐角，所以， 由余弦定理，，解得， 所以的面积. 故选：B. 2．在中，角所对的边分别为，且，的面积，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】利用三角形的面积公式和余弦定理计算易得. 【详解】由题意，，可得； 由余弦定理，， 代入条件，可得，解得. 故选：B. 题型五：正、余弦定理判定三角形形状 【例5】在中，已知，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰或直角三角形 D．等边三角形 【解题思路】利用余弦定理边化角化简等式，再利用二倍角的正弦及正弦函数性质推理判断即可. 【解答过程】在中，由及余弦定理，得， 整理得，即， 而，因此或， 所以或，即为等腰三角形或直角三角. 故选：C. 【变式训练】 1．设中的内角，，所对的边分别为，，，若，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．等腰直角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 【答案】D 【分析】由正弦定理整理等式，解得角，可得答案. 【详解】由，根据正弦定理可得， 则，由，则， 可得，由，解得. 故选：D. 2．在中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若，则的形状一定是（    ） A．等腰直角三角形 B．等腰或直角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】由正弦定理边角互化，倍角公式结合三角函数性质可判断选项正误. 【详解】， 则或，则是等腰或直角三角形. 故选：B. 1．在中，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由已知利用余弦定理可求的值，根据正弦定理可求的值． 【解答过程】∵， ∴由余弦定理， 则得， ∴解得：，或（舍去）， ∴由正弦定理可得：． 故选：B. 2．在中，角，，的对边分别是，，，，则角（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据正弦定理，结合三角恒等变化，将题中条件化为，从而可求出结果. 【解答过程】由得， 则，所以，即， 因为为三角形内角，所以，，则，所以； 故选：B. 3．在中，角的对边分别为，，，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用正弦定理及二倍角公式可得，再由余弦定理可得，得，利用平方关系可计算的值，再由三角形面积公式即可求解. 【解答过程】因为，， 所以 即， ，解得， ， ， ， . 故选：C. 4．在中，若内角的对边分别为，，则的形状为（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 【解题思路】根据二倍角公式可得，即可利用余弦定理化简得求解. 【解答过程】在中，由已知得，所以， 根据余弦定理，得 所以，即， 因此是直角三角形. 故选：B. 5．已知分别为三个内角的对边，且，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由正弦定理得：， ，，，即，，.故选：D. 6．已知的内角所对的边分别为，，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【分析】根据正弦定理化边为角，然后化简可判断三角形的形状. 【详解】根据正弦定理可得：. 因为，所以. 所以或者. 即或者. 所以该三角形为等腰三角形或直角三角形. 故选：D. 7．（多选）在中，，，，则（    ） A．的周长是 B．边上的中线长 C．边上的角平分线长 D．边上的高长 【解题思路】由题意利用余弦定理可得的值，即可判断A；，两边平方，利用平面向量数量积的运算可求，即可判断B；由以及正弦定理形式的面积公式即可判断C；设边上的高为，利用三角形的面积公式即可判断D. 【解答过程】因为在中，，，， 所以由余弦定理得， 所以的周长是，故A正确； 设边上的中线为，则，两边平方， 可得，解得，故B错误； 设边上的角平分线为，则， 则由得， 所以，解得，故C正确； 设边上的高为，因为，，，， 所以，解得，故D正确. 故选：ACD. 8．在中，若，则_____． 【答案】 【解析】由正弦定理可得，即故答案为: 9．中，角所对的边分别为.且满足，则此三角形的形状是_____. 【答案】等腰三角形 【解析】因为，所以由正弦定理可得， 又在中, 所以， 所以即， 由，故，则此三角形的形状是等腰三角形， 故答案为：等腰三角形 10．在中，角、、的对边分别为、、，已知 （1）求角的大小； （2）若，试判断的形状并给出证明. 【解题思路】（1）由余弦定理求出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）解法一：利用正弦定理得出，推导出，求出的值，结合角的值，可得出结论； 解法二：利用正弦定理和余弦定理可得出，化简该等式，结合角的值，可得出结论. 【解答过程】（1）由，可得， 因为，所以. （2）解法一：为等边三角形，证明如下： 由三角形内角和定理得，， 故，由已知条件，可得， 整理得，所以， 因为、，则，所以， 又由（1）知，所以为等边三角形； 解法二：为等边三角形，证明如下： 因为，由正弦定理和余弦定理，得， 整理得，即.又由（1）知，所以为等边三角形. 一、本节课我们学习的知识点有哪些： 二、本章重难点有： 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学寒假自学讲义 正弦定理 教学目标 1．能灵活使用正弦定理，对边角转换内容熟练掌握； 2．经历自主探究的过程，提高计算能力，分析和解决问题的能力，渗透数形结合，转化的思想； 3．体验数学学科的特点，提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心。 教学重难点 重点：正弦定理的边角转换； 难点：利用正弦定理求范围、最值问题，以及正余弦定理的综合问题。 教学内容 正弦定理 知识点一：正弦定理 1、公式表示：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 2、正弦定理推论：在中，内角，，所对的边分别为，，，外接圆半径为 ① ② ③，， ④，，（实现边和角的互相转化） 3、正弦定理的推导示例： 当△ABC是锐角三角形时，设边AB的高是CD．根据三角函数的定义， CD＝asinB，CD＝bsinA， 所以asinB＝bsinA，得到＝. 同理，在△ABC中＝. 从以上的讨论和探究可得：＝＝ 知识点二：三角形面积公式 在中，内角，，所对的边分别为，，，边，，边上的高分别记作，，，为内切圆半径，为外接圆半径，为内切圆心。 （1） （2） 证明：当为锐角三角形时，作于点， 设的面积为，则； 当为钝角三角形时，作边长的高， 则， ∴； 当为直角三角形时，上述结论依然成立。 （3） 证明： （4） 证明： 题型一：利用正弦定理解三角形 【例1-1】已知三角形中，，，，则（ ） A.2 B. C. D. 【例1-2】在△ABC中，，c=4，，则b=（　　） A． B．3 C． D． 【例1-3】在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．在三角形ABC中,,则（ ） A． B．或 C． D．或 2．在中，，，，则（ ） A． B． C． D． 题型二：正弦定理结合余弦定理解三角形 【例2】在中，，，，点D在边上靠近B点的三等分点处，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且则 sin A=（    ） A． B． C． D． 2．在中，，是边上一点，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．在中，已知，是边上一点，如图，，，，则（    ） A． B． C． D． 题型三：正弦定理边角互化的应用 【例3-1】在中，角A，B，C对边分别为a，b，c．若，，，则实数a的值为（   ） A．6 B．3 C． D． 【例3-2】在中，角的对边分别是，且满足． （1）求C； （2）若，的面积为，求边长c的值． 【变式训练】 1．在锐角中，角所对的边分别为，若，则（   ） A． B． C． D． 2．的三内角A，B，C所对边长分别是a，b，c，若，则角的大小为（    ） A． B． C． D． 题型四：三角形的面积公式 【例4】的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．在中，，，，则的面积为（    ） A． B． C． D．1 2．在中，角所对的边分别为，且，的面积，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型五：正、余弦定理判定三角形形状 【例5】在中，已知，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰或直角三角形 D．等边三角形 【变式训练】 1．设中的内角，，所对的边分别为，，，若，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．等腰直角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 2．在中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若，则的形状一定是（    ） A．等腰直角三角形 B．等腰或直角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 1．在中，，则（    ） A． B． C． D． 2．在中，角，，的对边分别是，，，，则角（   ） A． B． C． D． 3．在中，角的对边分别为，，，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 4．在中，若内角的对边分别为，，则的形状为（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 5．已知分别为三个内角的对边，且，则为（    ） A． B． C． D． 6．已知的内角所对的边分别为，，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 7．（多选）在中，，，，则（    ） A．的周长是 B．边上的中线长 C．边上的角平分线长 D．边上的高长 8．在中，若，则_____． 9．中，角所对的边分别为.且满足，则此三角形的形状是_____. 10．在中，角、、的对边分别为、、，已知 （1）求角的大小； （2）若，试判断的形状并给出证明. 一、本节课我们学习的知识点有哪些： 二、本章重难点有： 1 学科网（北京）股份有限公司 $