专题01 排列、组合的综合应用大题（35题）（举一反三专项训练）高二数学苏教版选择性必修第二册

专题01 排列、组合的综合应用大题（35题）（举一反三专项训练） 【苏教版】 姓名：___________班级：___________考号：___________ 题型一 元素（位置）有限制的排列问题 1．（24-25高二上·上海浦东新·期中）3名男生和4名女生站成一排拍照，在下列要求下分别求不同排列方法的数目. (1)学生甲不在最左边； (2)3名男生必须排在一起. 2．（24-25高二下·湖北孝感·月考）用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字的五位数． (1)比20000大的五位偶数共有多少个； (2)从小到大排列所有的五位数，问35214是第几位？ (3)能被6整除的五位数有多少个． 3．（24-25高二下·全国·课后作业）让6名学生排成一排，按下列条件，求分别有多少种不同的排法． (1)甲必须在排头； (2)甲不在排头也不在排尾； (3)甲不在排头，乙不在排尾． 4．（24-25高二下·江苏无锡·期中）3名男生与4名女生，按照下列不同的要求，求不同的方案的方法总数．按要求列出式子，再计算结果，用数字作答． (1)从中选出1名男生和3名女生排成一列； (2)全体站成一排，男生必须站一起； (3)全体站成一排，甲不站排头，乙站在排尾． 5．（24-25高二下·河南洛阳·期中）用0，1，2，3，4组成无重复数字的五位数． (1)偶数共有多少个？ (2)比30000大的偶数共有多少个？ (3)1，2相邻的偶数共有多少个？ 题型二 相邻、不相邻排列问题 6．（24-25高二下·山东·月考）甲、乙、丙等7名同学站成一排照相． (1)甲、乙、丙3名同学相邻的排法共有多少种？ (2)甲、乙、丙3名同学不相邻的排法共有多少种？ 7．（24-25高二下·云南昭通·期中）某种产品的加工需要经过6道工序． (1)若其中某2道工序不能放在最前面也不能放在最后面，其他道工序没有加工顺序，问有多少种加工顺序？ (2)若其中某3道工序必须相邻，其他道工序没有加工顺序，问有多少种加工顺序？ (3)若其中某3道工序两两不能相邻，其他道工序没有加工顺序，问有多少种加工顺序？ 8．（24-25高二下·陕西榆林·月考）某班进行“数学与生活”演讲，有4名男生和3名女生参加，现要排出一个演讲次序．（结果用数字作答） (1)若4名男生相邻，共有多少种不同的排法？ (2)若3名女生不相邻，共有多少种不同的排法？ (3)若男生甲不排中间，女生乙不排第一名，共有多少种不同的排法？ 9．（24-25高二下·安徽池州·期中）贵池某中学在2025年距离高考倒计时100天当天，为高三学生举办高考百日誓师大会，用以激励正在备考的高三学生.学校共准备了四首励志歌曲和三个发言（一个教师代表发言，一个往届优秀学生视频发言，一个应届学生代表发言）.根据不同的要求，求本次活动的安排方法. (1)往届优秀学生视频发言和应届学生代表发言必须相邻，有多少种安排方法？ (2)三个发言不能相邻，有多少种安排方法？ (3)励志歌曲甲不排在第一个，励志歌曲乙不排在最后一个，有多少种安排方法？（结果用数字作答） 10．（24-25高二下·河北保定·期中）为庆祝校庆，5名同学（3男2女）相约观看《哪吒之魔童降世》，他们的座位在同一排且连在一起．（列出算式并计算结果） (1)若男生必须坐在一起，女生必须坐在一起，共有多少种不同坐法？ (2)若所有男生互不相邻，且所有女生也互不相邻，共有多少种不同坐法？ (3)同学甲和同学乙必须相邻，且他们都不与同学丙相邻，共有多少种不同坐法？ 题型三 定序问题 11．（24-25高二下·江苏盐城·期中）身高各不相同的六位同学站成一排照相， (1)A与同学不相邻，共有多少种站法？（结果用数字作答） (2)三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有多少种站法？（结果用数字作答） 12．（24-25高二下·陕西安康·月考）某校将举行新学期的迎新晚会，已知初三､高一､高二分别选送了3､5､4个节目，现回答以下问题：（用排列组合数表示，不需要合并化简） (1)若初三的节目彼此都不相邻，共计有多少种出场顺序； (2)若高二的节目出场顺序固定，共计有多少种出场顺序； (3)高一的节目不能排最先出场且初三的节目不能最后出场，共计有多少种出场顺序. 13．（24-25高二下·山东泰安·月考）4名男生和3名女生站成一排，分别有多少种不同的站法？ (1)3名女生不相邻. (2)男生甲不在排头，女生乙不在排尾. (3)甲、乙两人中间必须有2人. (4)甲、乙、丙三人从左到右的顺序不变. 14．（24-25高三·上海·课堂例题）（1）用1、2、3、4、5、6、7组成没有重复数字的七位数，若1、3、5、7的顺序一定，则有多少个七位数符合条件？ （2）将A，B，C，D，E这5个字母排成一列，要求A，B，C在排列中的顺序为“A，B，C”或“C，B，A”（可以不相邻）.这样的排列方法有多少种（用数字作答）？ 15．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·月考）在2024年宾县一中纪念“五四”活动中，获得一等奖的某节目参演人员合影留念．3名男生和4名女生站成一排．（最后答案用数字作答） (1)甲不在中间也不在两端的站法有多少种？ (2)男、女相间的站法有多少种？ (3)甲、乙、丙三人从左到右顺序一定的站法有多少种？ 题型四 组合计数问题 16．（25-26高二上·北京·月考）从男女共名志愿者中，选出人参加社会实践活动． (1)共有多少种不同的选择方法? (2)若要求选出的三人中既有男生又有女生，求共有多少种选择方法? (3)若要求选出的名志愿者中有男女，且他们分别从事经济、文化和民生方面的问卷调查工作，求共有多少种不同的选派方法? 17．（2025高二·全国·专题练习）用0，1，2，3，4，5这6个数字，可以组成多少个分别符合下列条件的无重复数字的四位数？ (1)四位数是奇数； (2)四位数大于3125． 18．（24-25高二·全国·课堂例题）四面体的一个顶点为，从其他顶点和各棱中点中取3个点，使它们和点在同一平面上，有多少种不同的取法？ 19．（24-25高二下·河南郑州·期中）现有如下定义：除最高数位上的数字外，其余每一个数字均比其左边的数字大的正整数叫“幸福数”（如3467和1579都是四位“幸福数”）． (1)求四位“幸福数”的个数； (2)如果把所有的四位“幸福数”按照从小到大的顺序排列，求第125个四位“幸福数”． 20．（24-25高二下·广东清远·月考）某医院有内科医生10名，外科医生6名，现选派5名参加新冠肺炎医疗队. (1)某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？ (2)甲､乙均不能参加，有多少种选法？ (3)甲､乙2人至少有1人参加，有多少种选法？ (4)医疗队中至少有1名内科医生和1名外科医生，有多少种选法？ 题型五 分组分配问题 21．（25-26高二上·北京·月考）现有6本不同的书，分给甲乙丙三人.按以下要求，各有几种分法？（用数字作答） (1)甲得1本，乙得1本，丙得4本； (2)一人得1本，一人得1本，一人得4本； (3)平均分给甲､乙､丙三人； (4)一人得1本，一人2本，另外一人3本. 22．（24-25高二下·广东深圳·期中）某高校就业指导中心安排甲、乙、丙、丁等6名同学去四家不同公司实习，每名同学只去一家公司，每家公司至少去1人． (1)若甲、乙在同一家公司，丙、丁在同一家公司，求有多少种不同的分配方法？ (2)若甲、乙不在同一家公司，求有多少种不同的分配方法？ 23．（24-25高二下·山东临沂·期中）学校有一队含有2名教师、3名高一学生、3名高二学生和2名高三学生的志愿者队伍，现从这10名志愿者中选调6名志愿者平均分配到、两个社区作宣传活动.求： (1)若选调的志愿者中必须有教师，则有多少种选调方法（不需要分配到社区）？ (2)若每个社区必须有教师带队，且不含高三学生，则有多少种分配方法？ (3)若选调的志愿者中高一与高二学生选调人数相等，则有多少种分配方法？ 24．（24-25高二下·湖北宜昌·期中）实施乡村振兴战略，优先发展教育事业.教育既承载着传播知识、塑造文明乡风的功能，更为乡村建设提供了人才支撑，为了补齐落后地区教育发展的短板，解决落后地区优秀教师资源匮乏的问题，某教育局抽调6名优秀教师按照以下要求分配到3所乡村学校去任教. (1)若三所学校中甲学校1人、乙学校2人、丙学校3人，有多少种分配方法？ (2)若三所学校中一学校4人，另外两校各1人，有多少种分配方法？ (3)若三所学校每所学校至少一人，有多少种分配方法？ 25．（24-25高二下·湖北·期中）2025武汉马拉松于3月23日鸣枪开跑，4万名跑者踏上一条串联历史与诗意、自然与繁华的赛道，感受这座“每天不一样”的城市的蓬勃心跳．本次赛事设置全程马拉松、半程马拉松和13公里跑3个项目，社会各界踊跃参加志愿服务，现有甲、乙等5名大学生志愿者拟安排在三个项目进行志愿者活动，求 (1)若将这5人分配到三个比赛项目，每个比赛项目至少安排1人，有多少种不同的分配方案？ (2)若全程马拉松项目安排3人，其余两项各安排1人，且甲乙不能安排在同一项目，则有多少种不同的分配方案？ 题型六 涂色问题 26．（2025高三·全国·专题练习）用五种不同的颜色给下图中的四块区域涂色，要求相邻的区域颜色不同，则一共有多少种不同的涂色方法？ 27．（2025高三·全国·专题练习）如图，用四种不同的颜色给三棱柱的六个顶点涂色，要求每个点涂一种颜色．    (1)若每个底面的顶点涂色所使用的颜色不相同，则不同的涂色方法共有多少种？ (2)若每条棱的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有多少种？ 28．（2025高二·全国·专题练习）将四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色，则不同的涂色方法共有多少种？ 29．（24-25高二下·江苏无锡·期中）如图，四边形的两条对角线，相交于，现用五种颜色（其中一种为红色）对图中四个三角形，，，进行染色，且每个三角形用一种颜色染． (1)若必须使用红色，求四个三角形，，，中有且只有一组相邻三角形同色的染色方法的种数； (2)若不使用红色，求四个三角形，，，中所有相邻三角形都不同色的染色方法的种数. 30．（24-25高二下·河北邢台·月考）如图，某心形花坛中有A，B，C，D，E5个区域，每个区域只种植一种颜色的花． (1)要把5种不同颜色的花种植到这5个区域中，每种颜色的花都必须种植，共有多少种不同的种植方案？ (2)要把4种不同颜色的花种植到这5个区域中，每种颜色的花都必须种植，共有多少种不同的种植方案？ (3)要把红、黄、蓝、白4种不同颜色的花种植到这5个区域中，每种颜色的花都必须种植，要求相同颜色的花不能相邻种植，且有两个相邻的区域种植红、黄2种不同颜色的花，共有多少种不同的种植方案？ 题型七 排列组合综合 31．（24-25高二下·山西·期末）某校高二年级安排6名优秀学生按照以下要求报名参加数学、物理、化学竞赛，每名学生限报一科竞赛. (1)若三科竞赛均有2人报名参加，有多少种不同的报名方法？ (2)若4人报名参加数学竞赛，另外两科竞赛各1人报名参加，有多少种不同的报名方法？ (3)若三科竞赛均有人报名参加，有多少种不同的报名方法？ 32．（24-25高二下·陕西西安·月考）一组学生共有6人，其中3名男生和3名女生． (1)如果从中选出3人参加一项活动，共有多少种选法？ (2)如果从中选出4人分别参加数学、物理、化学、生物学科竞赛，共有多少种选法？ (3)如果从中选出男生2人，女生2人，参加四项不同的活动，要求每人参加一项且每项活动都有人参加的选法有多少种？ 33．（24-25高二下·山东临沂·月考）中华文化源远流长，为了让青少年更好地了解中国的传统文化，某培训中心计划利用暑期开设“围棋”、“武术”、“书法”、“剪纸”、“京剧”、“刺绣”六门体验课程． (1)现有甲、乙、丙三名学生报名参加暑期的体验课程，每人都选两门课程，甲和乙有一门共同的课程，丙和甲、乙的课程都不同，求所有选课的种数； (2)计划安排五名教师教这六门课程，每门课程只由一名教师任教，每名教师至少任教一门课程，教师不任教“围棋”课程，教师只能任教一门课程，求所有课程安排的种数． 34．（2025高二·江苏·专题练习）将4个编号为1，2，3，4的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子中. (1)有多少种放法？ (2)每盒至多一球，有多少种放法？ (3)恰好有一个空盒，有多少种放法？ (4)把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？ 35．（24-25高二上·湖北武汉·期中）为庆祝3.8妇女节，东湖中学举行了教职工气排球比赛，赛制要求每个年级派出十名成员分为两支队伍，每支队伍五人，并要求每支队伍至少有两名女老师，现高二年级共有4名男老师，6名女老师报名参加比赛. (1)一共有多少不同的分组方案？ (2)在进入决赛后，每个年级只派出一支队伍参加决赛，在比赛时须按照1、2、3、4、5号位站好，为争取最好成绩，高二年级选择了、、、、、六名女老师进行训练，经训练发现不能站在5号位，若、同时上场，必须站在相邻的位置，则一共有多少种排列方式？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 排列、组合的综合应用大题（35题）（举一反三专项训练） 【苏教版】 姓名：___________班级：___________考号：___________ 题型一 元素（位置）有限制的排列问题 1．（24-25高二上·上海浦东新·期中）3名男生和4名女生站成一排拍照，在下列要求下分别求不同排列方法的数目. (1)学生甲不在最左边； (2)3名男生必须排在一起. 【答案】(1)4320 (2)720 【解题思路】（1）特殊位置用优先法，先排最左边，再排余下位置． （2）相邻问题用捆绑法，将男生看成一个整体，进行全排列，再与其他元素进行全排列 【解答过程】（1）先排最左边，除去甲外有种排法，余下的6个位置全排列有种排法， 则符合条件的排法共有种. （2）将男生看成一个整体，进行全排列，有种排法，与其他元素进行全排列，有种排法， 则符合条件的排法共有种. 2．（24-25高二下·湖北孝感·月考）用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字的五位数． (1)比20000大的五位偶数共有多少个； (2)从小到大排列所有的五位数，问35214是第几位？ (3)能被6整除的五位数有多少个． 【答案】(1)240 (2)352 (3)108 【解题思路】（1）分首位是2，4，3，5四种情况，得到每种情况下的结果数，相加即可； （2）分首位数字为1、2和3，求出相应的比35214小的个数，从而得到答案； （3）能被3整除，则各位数字之和必须能被3整除，分2种情况，结合须为偶数，分类讨论，求出每种情况下的个数，相加即可. 【解答过程】（1）根据题意，符合题意的五位数的首位只能是2，3，4，5，共4种可能， 末位数字必须是0、2或4； 当首位是2时，末位是4或0，有种结果，当首位是4时，同样有48种结果， 当首位是3或5时，末位数字必须是0、2或4，共有种结果， 综上，可知共有种结果，即比20000大的五位偶数有个； （2）根据题意，当五位数首位数字为1、2时，有个数， 当首位数字为3，第2位数字为0、1、2、4时，有个数， 当首位数字为3，第2位数字为，第3位数字为0、1时，有个数， 当首位数字为3，第2位数字为5，第3位数字为2，十位数字为0时，有2个数， 当首位数字为3，第2位数字为5，第3位数字为2，十位数字为1时，比35214小的还有35210，1个数； 则比35214小的五位数有个，故35214是第位； （3）根据题意，被6整除的数必须是既能被2整除，也能被3整除， 若能被3整除，则各位数字之和必须能被3整除，有2种情况， ①当五个数字由、、、、组成时，其末位数字为、，有个， ②当五个数字由、、、、组成时，首位数字为或时，末位有种选择，共有个， 首位数字为或时，末位有种选择，共有个，此时共有个， 则被整除的五位数有个． 3．（24-25高二下·全国·课后作业）让6名学生排成一排，按下列条件，求分别有多少种不同的排法． (1)甲必须在排头； (2)甲不在排头也不在排尾； (3)甲不在排头，乙不在排尾． 【答案】(1)120 (2)480 (3)504 【解题思路】（1）甲必须在排头，其他人全排即可； （2）方法一：甲不在排头也不在排尾，甲有种排法，其他全排即可；方法二：先排排头和排尾，其他全排即可； （3）分甲在排尾和甲不在排尾进行讨论排列即可. 【解答过程】（1）先排甲，有1种排法，再排其他5人，有种排法，所以共有（种）排法． （2）方法一：特殊元素法：先排甲，有种排法，再排其他5人，有种排法， 所以共有（种）排法． 方法二：特殊位置法：先排排头和排尾，有种排法，再排其他4个位置，有种排法， 所以共有（种）排法． （3）对甲进行分类，第一类，甲在排尾，有（种）排法； 第二类，甲不在排尾，有（种）排法， 所以共有（种）排法． 4．（24-25高二下·江苏无锡·期中）3名男生与4名女生，按照下列不同的要求，求不同的方案的方法总数．按要求列出式子，再计算结果，用数字作答． (1)从中选出1名男生和3名女生排成一列； (2)全体站成一排，男生必须站一起； (3)全体站成一排，甲不站排头，乙站在排尾． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）从男生中任选1名有种选法，从女生中任选3名有种选法，再将4个人全排列即可求解； （2）利用捆绑法即可求解 （3）先安排甲，再全排列即可求解， 【解答过程】（1）从3名男生中任选1名有种选法，从4名女生中任选3名有种选法， 再将选取的4人全排列有种排法，由分步乘法计数原理可得共有种排法． （2）将3个男生看作一个整体，然后与4个女生全排有种， 再将3个男生全排列有种，由分步乘法计数原理可得共有种排法． （3）乙站在排尾，对于甲有种排法，其他人有种排法， 由分步乘法计数原理可得共有种排法． 5．（24-25高二下·河南洛阳·期中）用0，1，2，3，4组成无重复数字的五位数． (1)偶数共有多少个？ (2)比30000大的偶数共有多少个？ (3)1，2相邻的偶数共有多少个？ 【答案】(1)60 (2)30 (3)24 【解题思路】（1）根据特殊元素0是否在个位分成两类，再根据分类加法计数原理相加即可； （2）根据特殊位置，即万位是3或4分类，再根据分类加法计数原理相加即可； （3）根据特殊位置，即个位是0或2或4分类，其中个位是4的情况可以用剔除法解决，再根据分类加法计数原理相加即可； 【解答过程】（1）当个位是0时，共有种情况； 当个位是2或4时，共有种情况； 根据分类加法计数原理得：符合题意的偶数有个. （2）当万位是3时，共有种情况； 当万位是4时，共有种情况； 根据分类加法计数原理得：符合题意的偶数有个. （3）当个位是0时，共有种情况； 当个位是2时，则十位是1，共有种情况； 当个位是4时，共有种情况； 根据分类加法计数原理得：符合题意的偶数有个. 题型二 相邻、不相邻排列问题 6．（24-25高二下·山东·月考）甲、乙、丙等7名同学站成一排照相． (1)甲、乙、丙3名同学相邻的排法共有多少种？ (2)甲、乙、丙3名同学不相邻的排法共有多少种？ 【答案】(1)720 (2)1440 【解题思路】（1）将相邻同学看成一个整体进行排列，再与其他4人进行排列，结合分布乘法计算即可求解； （2）先排其余4人，形成空位后，接着选出其中三个空给甲、乙、丙3名同学进行排列，再结合分布乘法计算即可求解. 【解答过程】（1）根据题意，甲、乙、丙3名同学相邻，先将3人看成一个整体有种排法， 接着将这个整体与其他4人进行排列共有种排法， 所以甲、乙、丙3名同学相邻的排法共有种排法. （2）甲、乙、丙3名同学不相邻的排法分两步， 第一步先将其余4人进行全排有种排法， 第二步从上述4人隔开的5个空中选出其中三个空给甲、乙、丙3名同学进行排列有种排法， 故甲、乙、丙3名同学不相邻的排法共有种排法. 7．（24-25高二下·云南昭通·期中）某种产品的加工需要经过6道工序． (1)若其中某2道工序不能放在最前面也不能放在最后面，其他道工序没有加工顺序，问有多少种加工顺序？ (2)若其中某3道工序必须相邻，其他道工序没有加工顺序，问有多少种加工顺序？ (3)若其中某3道工序两两不能相邻，其他道工序没有加工顺序，问有多少种加工顺序？ 【答案】(1)288 (2)144 (3)144 【解题思路】（1）根据给定条件，利用有限制条件的排列问题，结合分步乘法计数原理计算即得. （2）根据给定条件，利用相邻问题，结合分步乘法计数原理计算即得. （3）根据给定条件，利用不相邻问题，结合分步乘法计数原理计算即得. 【解答过程】（1）先从另外4道工序中任选2道工序放在最前面与最后面， 有种不同的排法， 再将其余的4道工序全排列，有种不同的排法， 由分步乘法计数原理可得，共有种加工顺序． （2）先排这3道工序，有种不同的排法， 再将它们看作一个整体，与其余的3道工序全排列，有种不同的排法， 由分步乘法计数原理可得，共有种加工顺序． （3）先排其余的3道工序，有种不同的排法，有4个空档， 再将这3道工序插入空档，有种不同的排法， 由分步乘法计数原理可得，共有种加工顺序. 8．（24-25高二下·陕西榆林·月考）某班进行“数学与生活”演讲，有4名男生和3名女生参加，现要排出一个演讲次序．（结果用数字作答） (1)若4名男生相邻，共有多少种不同的排法？ (2)若3名女生不相邻，共有多少种不同的排法？ (3)若男生甲不排中间，女生乙不排第一名，共有多少种不同的排法？ 【答案】(1)种 (2)种 (3)种 【解题思路】（1）利用“元素相邻捆绑法”求排法种数. （2）利用“元素不相邻插空法”求排法种数. （3）方法一：利用“特殊元素（位置）优先法”求排法种数；方法二：利用“间接法”求排法种数. 【解答过程】（1）若4名男生相邻，有种情况， 将4名男生看为一个整体，和3名女生进行排列，有种情况． 所以共有种不同的排法． （2）若3名女生不相邻，先安排4名男生，有种情况， 再将3名女生插入到4名男生形成的5个空中，有种， 所以共有种情况． （3）方法一：男生甲排第一名时，其他人可全排，有种排法； 男生甲不排第一名时，可从余下不含中间的5个位置任选1个，有种， 而女生乙可从除去第一名和男生甲的位置后剩下的5个中任选1个，有种， 其他人全排列，只有种不同排法， 共有种排法． 综上所述，男生甲不排中间，女生乙不排第一名，共有种不同的排法. 方法二：7名学生全排列，有种排法， 其中男生甲排中间，有种排法， 女生乙排第一名，有种排法， 其中都包含了男生甲排中间且女生乙排第一名的情形，有种， 所以男生甲不排中间，女生乙不排第一名，共有种不同的排法． 9．（24-25高二下·安徽池州·期中）贵池某中学在2025年距离高考倒计时100天当天，为高三学生举办高考百日誓师大会，用以激励正在备考的高三学生.学校共准备了四首励志歌曲和三个发言（一个教师代表发言，一个往届优秀学生视频发言，一个应届学生代表发言）.根据不同的要求，求本次活动的安排方法. (1)往届优秀学生视频发言和应届学生代表发言必须相邻，有多少种安排方法？ (2)三个发言不能相邻，有多少种安排方法？ (3)励志歌曲甲不排在第一个，励志歌曲乙不排在最后一个，有多少种安排方法？（结果用数字作答） 【答案】(1)1440种 (2)1440种 (3)3720种 【解题思路】（1）利用捆绑可求解； （2）利用插空法可求解； （3）利用间接法可求解. 【解答过程】（1）根据题意，分两步分析 ①先将往届优秀学生视频发言和应届学生代表发言捆绑，有种情况 ②捆绑后，与其他5个节目全排列，有种情况 共有的方法数：种 （2）分两步进行分析： ①先排列三个发言以外节目，全排列，有种情况，排好后有5个空位， ②在5个空位中任选3个，安排三个发言节目，有种情况， 则三个发言不能相邻的排法有种； （3）如果没有条件限制，方法数为：种情况， 励志歌曲甲排在第一个，方法数有：种情况， 励志歌曲乙排在最后一个，方法数有：种情况， 励志歌曲甲排在第一个且乙排在最后一个，方法数有：种情况， 共有：种. 10．（24-25高二下·河北保定·期中）为庆祝校庆，5名同学（3男2女）相约观看《哪吒之魔童降世》，他们的座位在同一排且连在一起．（列出算式并计算结果） (1)若男生必须坐在一起，女生必须坐在一起，共有多少种不同坐法？ (2)若所有男生互不相邻，且所有女生也互不相邻，共有多少种不同坐法？ (3)同学甲和同学乙必须相邻，且他们都不与同学丙相邻，共有多少种不同坐法？ 【答案】(1)种 (2)种 (3)种 【解题思路】（1）利用捆绑法，将男生、女生分别捆绑在一起，求出各自的排列数，然后将捆绑后的男生、女生视为一个整体进行排列，最后根据分步乘法计数原理得到结果. （2）利用插空法，先求出3名男生的排列种数，然后利用插空法，将女生插入男生之间，进行排列，最后利用分步乘法计数原理求得答案. （3）先将甲乙丙以外的其余2人排好,然后根据题意将甲乙、丙排好，最后利用分步乘法计数原理求出答案. 【解答过程】（1）先将3名男生排在一起，有种排法， 再将2名女生排在一起，有种排法， 将排好的男生、女生分别视为一个整体，再进行排列，共有种排法， 由分步乘法计数原理可知，共有种排法． （2）先将3名男生排好，共有种排法， 再在这3名男生中间的2个空位中插入2名女生，共有种排法， 再由分步乘法计数原理，共有种排法． （3）先将甲乙丙以外的其余2人排好，共有种排法， 由于甲乙相邻，则有种排法， 最后将排好的甲乙这个整体与丙分别插入原先排好的2人的中间及两边共3个空位中，共有种排法， 由分步计数原理，共有种排法． 题型三 定序问题 11．（24-25高二下·江苏盐城·期中）身高各不相同的六位同学站成一排照相， (1)A与同学不相邻，共有多少种站法？（结果用数字作答） (2)三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有多少种站法？（结果用数字作答） 【答案】(1)480 (2)120 【解题思路】（1）先排其余4人，再利用插空法分析运算； （2）先对人全排列，再根据部分定序问题运算求解. 【解答过程】（1）先排列除A与外的4个人，有种方法，4个人排列共有5个空， 利用插空法将A和插入5个空，有种方法， 所以共有种方法. （2）对6个人全排列有种方法，全排列有种方法， 则从左到右按高到矮的排列有种方法. 12．（24-25高二下·陕西安康·月考）某校将举行新学期的迎新晚会，已知初三､高一､高二分别选送了3､5､4个节目，现回答以下问题：（用排列组合数表示，不需要合并化简） (1)若初三的节目彼此都不相邻，共计有多少种出场顺序； (2)若高二的节目出场顺序固定，共计有多少种出场顺序； (3)高一的节目不能排最先出场且初三的节目不能最后出场，共计有多少种出场顺序. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】(1)用插空法解决不相邻问题； (2)用消序法解决定序问题； (3)用分类分步讨论法解决带限制条件的问题. 【解答过程】（1）由于初三的3个节目彼此都不相邻，则先安排高一和高二的9个节目，再用插空法安排初三的3个节目，所以共有：种出场顺序； （2）若高二的出场顺序固定，则用消序法，即共有种出场顺序； （3）第一类：在最后出场，则共有种； 第二类：既不在最先，也不在最后出场，则共有种； 所以根据分类加法原理共计有种出场顺序. 13．（24-25高二下·山东泰安·月考）4名男生和3名女生站成一排，分别有多少种不同的站法？ (1)3名女生不相邻. (2)男生甲不在排头，女生乙不在排尾. (3)甲、乙两人中间必须有2人. (4)甲、乙、丙三人从左到右的顺序不变. 【答案】(1)1440 (2)3720 (3)960 (4)840 【解题思路】（1）先安排男生，再插空法求解，得到答案； （2）正难则反的方法，先全排列，再求出男生甲在排头，女生乙在排尾及两者同时发生的情况数，列式计算； （3）先确定甲乙两人可以站的位置有4种，再利用排列知识进行求解； （4）用定序倍缩法进行求解 【解答过程】（1）先安排男生，有种可能，再将3名女生插空，有种可能， 故3名女生不相邻的站法有种； （2）4名男生和3名女生站成一排，共有种情况， 其中男生甲在排头的情况有种情况，女生乙在排尾的情况有种情况， 男生甲在排头的同时，女生乙在排尾的情况有种情况， 所以男生甲不在排头，女生乙不在排尾的情况有种； （3）先将位置从左到右排号为1,2,3,4,5,6,7， 故甲乙两人可以站的位置有1,4或2,5或3,6或4,7，当然甲乙可以调换位置， 其余的人进行排列， 故甲、乙两人中间必须有2人的站法有种； （4）甲、乙、丙三人从左到右的顺序不变，可以用定序倍缩法进行求解， 即站法有种. 14．（24-25高三·上海·课堂例题）（1）用1、2、3、4、5、6、7组成没有重复数字的七位数，若1、3、5、7的顺序一定，则有多少个七位数符合条件？ （2）将A，B，C，D，E这5个字母排成一列，要求A，B，C在排列中的顺序为“A，B，C”或“C，B，A”（可以不相邻）.这样的排列方法有多少种（用数字作答）？ 【答案】（1）210；（2）40 【解题思路】（1）定序问题，利用倍缩除序法可得； （2）5个元素无约束条件的全排列有种排法，再消去A，B，C不符合的排列顺序即可求解． 【解答过程】（1）若1，3，5，7的排列顺序，有(种)排法， 所以1，3，5，7的顺序一定的排法数只占总排法数的， 所以共有个符合条件的七位数； （2）5个元素无约束条件的全排列有种排法， 由于字母A，B，C的排列顺序为A，B，C或C，B，A， 因此，在上述的全排列中恰好符合A，B，C或C，B，A的排列方法有种. 15．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·月考）在2024年宾县一中纪念“五四”活动中，获得一等奖的某节目参演人员合影留念．3名男生和4名女生站成一排．（最后答案用数字作答） (1)甲不在中间也不在两端的站法有多少种？ (2)男、女相间的站法有多少种？ (3)甲、乙、丙三人从左到右顺序一定的站法有多少种？ 【答案】(1)2880 (2)144 (3)840 【解题思路】（1）特殊元素优先排列即可得； （2）不相邻问题用插空法排列即可得， （3）定序问题用倍缩法排列即可得. 【解答过程】（1）甲不在中间也不在两端，故甲可选个位置，其余六人可排除种， 故共有种； （2）先排男生，共有种，则女生可在男生排完后的四个空中选择四个，即有种， 故共有种； （3）全部排好共有种，由甲、乙、丙三人顺序一定，共有故种. 题型四 组合计数问题 16．（25-26高二上·北京·月考）从男女共名志愿者中，选出人参加社会实践活动． (1)共有多少种不同的选择方法? (2)若要求选出的三人中既有男生又有女生，求共有多少种选择方法? (3)若要求选出的名志愿者中有男女，且他们分别从事经济、文化和民生方面的问卷调查工作，求共有多少种不同的选派方法? 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）利用组合进行计数，可求结果； （2）先计算出选出的三人都是男生、都是女生的选法数，然后利用选法总数减去都是男生、都是女生的选法数可求结果； （3）根据分步乘法计数原理，结合组合数和排列数的计算，可求解出结果. 【解答过程】（1）从男女共名志愿者中，选出人参加社会实践活动， 其方法数为种； （2）若选的三人都是男生，有种选法， 若选的三人都是女生，有种选法， 所以既有男生又有女生的选法有种； （3）根据题意，分步进行分析： ①从名男志愿者和名女志愿者中选出男女，选择方法数共有种， ②安排选出的人分别从事经济、文化和民生方面的问卷调查工作，有种情况， 故不同选派方法数为种． 17．（2025高二·全国·专题练习）用0，1，2，3，4，5这6个数字，可以组成多少个分别符合下列条件的无重复数字的四位数？ (1)四位数是奇数； (2)四位数大于3125． 【答案】(1)144 (2)162 【解题思路】（1）结合排列数和组合数的应用，利用分步乘法原理求解即可； （2）结合排列数和组合数的应用，利用分类加法原理求解即可. 【解答过程】（1）第一步，从1．3．5这3个奇数中选择1个放在个位，有种； 第二步，从余下的除0外的4个数中选择1个放在千位上，有种； 第三步，从剩下的4个数中选择2个放在百位和土位，有种． 由分步乘法计数原理可得，共有个满足条件的四位数． （2）第一类，在千位和百位不变的情况下，十位可以是4或者5，共有6个； 第二类，在千位不变的情况下，需要百位大于1，则从2，4，5这3个数中任选1个，有种， 再从剩下的4个数中任选2个放在十位和个位，有种，故共有个； 第三类，千位是4或5，有种，再从余下的5个数中选出3个放在百位、十位和个位上，有种，则共有个． 由分类加法计数原理可得，满足条件的四位数有个． 18．（24-25高二·全国·课堂例题）四面体的一个顶点为，从其他顶点和各棱中点中取3个点，使它们和点在同一平面上，有多少种不同的取法？ 【答案】 【解题思路】如图，分两种情况：含顶点的四面体的3个面上，从每个面上任取3个点，另一种是含顶点的三条棱上各有三个点与对棱的中点，然后利用分类加法原理可求得结果. 【解答过程】如图，含顶点的四面体的3个面上，除点外每个面上都有5个点，从中取出3个点必与点共面，共有种取法； 含顶点的三条棱上各有三个点，它们与所对的棱的中点共面，共有3种取法． 根据分类加法计数原理，与顶点共面的三点的取法有（种）． 19．（24-25高二下·河南郑州·期中）现有如下定义：除最高数位上的数字外，其余每一个数字均比其左边的数字大的正整数叫“幸福数”（如3467和1579都是四位“幸福数”）． (1)求四位“幸福数”的个数； (2)如果把所有的四位“幸福数”按照从小到大的顺序排列，求第125个四位“幸福数”． 【答案】(1)个； (2)5789 【解题思路】（1）由幸福数的定义结合组合公式求解即可； （2）分类讨论最高位数字，由组合公式结合分类加法计数原理得出第125个四位“幸福数”. 【解答过程】（1）根据题意，四位“幸福数”中不能有0， 故只需在数字1，2，3，…，9中任取4个，将其从小到大排列，即可得到一个四位“幸福数”， 每种取法对应1个“幸福数”，则四位“幸福数”共有个. （2）对于所有的四位“幸福数”，1在最高数位上的有个，2在最高数位上的有个， 3在最高数位上的有个，4在最高数位上的有个，5在最高数位上的有个. 因为， 所以第125个四位“幸福数”是最高数位为5的最大的四位“幸福数”，为5789. 20．（24-25高二下·广东清远·月考）某医院有内科医生10名，外科医生6名，现选派5名参加新冠肺炎医疗队. (1)某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？ (2)甲､乙均不能参加，有多少种选法？ (3)甲､乙2人至少有1人参加，有多少种选法？ (4)医疗队中至少有1名内科医生和1名外科医生，有多少种选法？ 【答案】(1)364 (2)2002 (3)2366 (4)4110 【解题思路】（1）从余下人中任选3人即可； （2）从余下人中任选5人即可； （3）分类讨论甲乙参加人数计算即可； （4）法一、直接分类讨论内外科参加人数计算即可；法二、间接法，计算只有内科5人或外科5人的总数，用16人选5人的方法数减去即可. 【解答过程】（1）只需从其他14人中选3人即可，共有（种）选法. （2）只需从其他14人中选5人即可，共有（种）选法. （3）分两类：甲､乙中有1人参加；甲､乙都参加. 则共有（种）选法. （4）方法一（直接法）至少有1名内科医生和1名外科医生的选法可分4类： 内科1人，外科4人；内科2人，外科3人；内科3人，外科2人；内科4人，外科1人. 所以共有（种）选法. 方法二（间接法）从无限制条件的选法总数中减去5名都是内科医生和5名都是外科医生的选法种数所得的结果即为所求，即共有（种）选法. 题型五 分组分配问题 21．（25-26高二上·北京·月考）现有6本不同的书，分给甲乙丙三人.按以下要求，各有几种分法？（用数字作答） (1)甲得1本，乙得1本，丙得4本； (2)一人得1本，一人得1本，一人得4本； (3)平均分给甲､乙､丙三人； (4)一人得1本，一人2本，另外一人3本. 【答案】(1)30 (2)90 (3)90 (4)360 【解题思路】（1）根据排列组合的分组和分配进行求解即可. （2）在（1）的基础上根据排列组合的分组和分配对甲､乙､丙三人进行分类求解即可. （3）根据排列组合的分组和分配进行求解即可. （4）根据排列组合的分组和分配先把书分三堆，再分给三个人进行求解即可. 【解答过程】（1）（1）甲､乙､丙依次选书，得； （2）在（1）的基础上，得4本书的可以是甲､乙､丙三人的任何一个，共； （3）甲､乙､丙依次选书，得； （4）先把书分三堆，再分给三个人：. 22．（24-25高二下·广东深圳·期中）某高校就业指导中心安排甲、乙、丙、丁等6名同学去四家不同公司实习，每名同学只去一家公司，每家公司至少去1人． (1)若甲、乙在同一家公司，丙、丁在同一家公司，求有多少种不同的分配方法？ (2)若甲、乙不在同一家公司，求有多少种不同的分配方法？ 【答案】(1)种 (2)种 【解题思路】（1）应用排列数公式计算求解； （2）应用分组分类结合排列数及组合数公式计算解题. 【解答过程】（1）由题知，甲、乙在同一家公司，丙、丁在同一家公司，则另两名同学各在一家公司， 所以共有种不同的分配方法． （2）6名同学去四家不同的公司，每家公司至少1人，先将6名同学分组，有两种分法：2、2、1、1；3、1、1、1；再分配去4家不同的公司， 则有种不同的分配方法． 若甲、乙在同一家公司，其他4人按2、1、1分去其他三家公司，或1、1、1、1去四家公司， 则有种不同的分配方法， 所以甲、乙不在同一家公司共有种不同的分配方法． 23．（24-25高二下·山东临沂·期中）学校有一队含有2名教师、3名高一学生、3名高二学生和2名高三学生的志愿者队伍，现从这10名志愿者中选调6名志愿者平均分配到、两个社区作宣传活动.求： (1)若选调的志愿者中必须有教师，则有多少种选调方法（不需要分配到社区）？ (2)若每个社区必须有教师带队，且不含高三学生，则有多少种分配方法？ (3)若选调的志愿者中高一与高二学生选调人数相等，则有多少种分配方法？ 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）分恰有1名教师和恰有2名教师两种情况讨论，利用组合数公式计算可得； （2）从高一、高二6名学生中选4人，然后在进行平均分配，其中两名教师有两种分配方法； （3）分高一高二各选1、、名学生三种情况讨论，先选人，再平均分配到社区. 【解答过程】（1）选调的志愿者中恰有1名教师，先选1名教师，再从剩余8人中选5人，共有种选法． 选调的志愿者中恰有2名教师，先选2名教师，再从8人中选4人，共有种选法． 所以志愿者中有教师的选调方法为：种． （2）若每个社区中必有教师，则2名教师均需选用， 再从高一、高二6名学生中选4人，然后在进行分配，共有种分配方法． （3）选调的志愿者中高一与高二学生选调人数相等，有分配时有三种情况： 当高一高二各选1名学生时，种分配方法； 当高一高二各选2名学生时，种分配方法； 当高一高二各选3名学生时，种分配方法； 则共有种分配方法. 24．（24-25高二下·湖北宜昌·期中）实施乡村振兴战略，优先发展教育事业.教育既承载着传播知识、塑造文明乡风的功能，更为乡村建设提供了人才支撑，为了补齐落后地区教育发展的短板，解决落后地区优秀教师资源匮乏的问题，某教育局抽调6名优秀教师按照以下要求分配到3所乡村学校去任教. (1)若三所学校中甲学校1人、乙学校2人、丙学校3人，有多少种分配方法？ (2)若三所学校中一学校4人，另外两校各1人，有多少种分配方法？ (3)若三所学校每所学校至少一人，有多少种分配方法？ 【答案】(1)60 (2)90 (3)540 【解题思路】（1）按照分步乘法计数原理计算可得结果； （2）按照分组分配的方式计算可得结果； （3）可分为三类，在每一类中再利用分步乘法计数原理计算可得结果. 【解答过程】（1）6名教师选1名到甲学校任教有种方法， 从剩余的5名教师中选2名到乙学校有种方法， 剩余3名教师都分配到丙学校去任教有种方法， 则三所学校中甲学校1人、乙学校2人、丙学校3人共有种分配方法； （2）6名教师按，，分为三个组，有种方法， 则三所学校中一校4人，另外两校各1人共有种分配方法. （3）由题可得教师的分配方案可以是：①，，；②1，1，4；③2，2，2， ①6名教师按，，分为三个组有种方法， 则6人分配到三所学校共有种分配方法； ②6名教师按，，分为三个组有种分法， 则6人分配到三所学校共有种分配方法； ③6名教师平均分配到3所学校有种方法 则6人分配到三所学校每所学校至少一人一共有：种方法. 25．（24-25高二下·湖北·期中）2025武汉马拉松于3月23日鸣枪开跑，4万名跑者踏上一条串联历史与诗意、自然与繁华的赛道，感受这座“每天不一样”的城市的蓬勃心跳．本次赛事设置全程马拉松、半程马拉松和13公里跑3个项目，社会各界踊跃参加志愿服务，现有甲、乙等5名大学生志愿者拟安排在三个项目进行志愿者活动，求 (1)若将这5人分配到三个比赛项目，每个比赛项目至少安排1人，有多少种不同的分配方案？ (2)若全程马拉松项目安排3人，其余两项各安排1人，且甲乙不能安排在同一项目，则有多少种不同的分配方案？ 【答案】(1)150 (2)14 【解题思路】（1）按照1，1，3或1，2，2两种方式，先分组再分配即可； （2）先考虑5人中选3人安排到全程马拉松项目的所有情况，再计算甲乙两人在同一个项目的情况，利用间接法即可. 【解答过程】（1）将5个人分成3组，且每组至少1人，有两种分法， 若为1，1，3，则有种分组方式， 再将分好的组进行分配，则不同的分配方案有共有种； 若为1，2，2，则有种分组方式， 再将分好的组进行分配，则不同的分配方案有共有种， 所以由分类加法计数原理可知，共有种不同的分配方案. （2）先从5人中选3人安排到全程马拉松项目，有种方法， 然后剩下2人安排到其余两个项目，每个项目安排1人，有种， 则共有种分配方案， 若甲乙两人在同一个项目，则甲乙只能安排到全程马拉松项目，则剩下的3人每个项目安排1人即可，有种分配方案， 最后共有种分配方案. 题型六 涂色问题 26．（2025高三·全国·专题练习）用五种不同的颜色给下图中的四块区域涂色，要求相邻的区域颜色不同，则一共有多少种不同的涂色方法？ 【答案】180 【解题思路】分选择四种颜色和选择三种颜色两种情况分别求出涂色方法即可. 【解答过程】若选择四种颜色，则有种不同的涂色方法； 若选择三种颜色，则有种不同的涂色方法， 故一共有种不同的涂色方法. 27．（2025高三·全国·专题练习）如图，用四种不同的颜色给三棱柱的六个顶点涂色，要求每个点涂一种颜色．    (1)若每个底面的顶点涂色所使用的颜色不相同，则不同的涂色方法共有多少种？ (2)若每条棱的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有多少种？ 【答案】(1)576 (2)264 【解题思路】（1）第一步，、、三点所涂颜色各不相同，第二步，、、三点所涂颜色各不相同，结合分步乘法即可求得结果. （2）分别研究用四种颜色或三种颜色或两种颜色涂色方法，结合分类计数、分步计数原理计算即可. 【解答过程】（1）由题得每个底面的顶点涂色所使用的颜色不相同，第一步，、、三点所涂颜色各不相同的方法有（种），第二步，、、三点所涂颜色各不相同的方法有（种）， 所以由分步计数原理，不同的涂色方法共有（种）. （2）若用四种颜色，即，，，各涂一种颜色，与同色，与同色，所以有（种）； 若用三种颜色，即第一类： 与同色、、各涂一种颜色，则只能涂剩余那种颜色，可以与或同色，所以有（种）， 第二类：与同色、、各涂一种颜色，则只能涂剩余那种颜色，可以与或同色，所以有（种）， 第三类：与同色、、各涂一种颜色，则可以涂剩余那种颜色或与同色，可以与同色或涂剩余那种颜色，所以有（种）， 所以用三种颜色，有（种）； 若用两种颜色，即与同色、与同色各涂一种颜色，可以涂剩余剩余两种颜色，也可以涂剩余剩余两种颜色，所以有（种）． 所以由分类加法计数原理，共有（种）． 28．（2025高二·全国·专题练习）将四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色，则不同的涂色方法共有多少种？ 【答案】种 【解题思路】利用分类计数加法原理和排列数即可求解. 【解答过程】依题意必须4种颜色全用上，要分五类： （1）②与⑤同色、④与⑥同色，有种； （2）③与⑤同色、④与⑥同色，有种； （3）②与⑤同色、③与⑥同色，有种； （4）③与⑤同色、②与④同色，有种； （5）②与④同色、③与⑥同色，有种； 根据分类加法计数原理得不同的涂色方法共有种． 故答案为：. 29．（24-25高二下·江苏无锡·期中）如图，四边形的两条对角线，相交于，现用五种颜色（其中一种为红色）对图中四个三角形，，，进行染色，且每个三角形用一种颜色染． (1)若必须使用红色，求四个三角形，，，中有且只有一组相邻三角形同色的染色方法的种数； (2)若不使用红色，求四个三角形，，，中所有相邻三角形都不同色的染色方法的种数. 【答案】(1)种 (2)种 【解题思路】（1）根据题意，假设为，，同色，再分2种情况讨论：①若，，同时染红色与，②若，，同时染的不是红色，求出每种情况的染色方法数目，由加法原理计算可得答案； （2）根据题意，分3种情况讨论：①、若一共使用了四种颜色，②、若只使用了三种颜色，则必有一种颜色使用了两次，且染在对顶的区域，③、若只使用了两种颜色，则两种颜色都使用了两次，且各自染在一组对顶区域，求出每种情况的染色方法数目，由加法原理计算可得答案． 【解答过程】（1）解：根据题意，要求四个三角形，，，中有且只有一组相邻三角形同色， 而同色的相邻三角形共有4种，不妨假设为，同色， ①若，同时染红色，则另外两个三角形共有种染色方法，因此这种情况共有种染色方法； ②若，同时染的不是红色，则它们的染色有4种，另外两个三角形一个必须染红色，所以这两个三角形共有，因此这种情况共有种染色方法． 综上可知有且只有一组相邻三角形同色的染色方法的种数为种； （2）解：根据题意，因为不用红色，则只有四种颜色可选， 分3种情况讨论： ①、若一共使用了四种颜色，则共有种染色方法； ②、若只使用了三种颜色，则必有一种颜色使用了两次，且染在对顶的区域，所以一共有种染色方法； ③、若只使用了两种颜色，则两种颜色都使用了两次，且各自染在一组对顶区域，所以共有种染色方法． 综上可知所有相邻三角形都不同色的染色方法的种数为种． 30．（24-25高二下·河北邢台·月考）如图，某心形花坛中有A，B，C，D，E5个区域，每个区域只种植一种颜色的花． (1)要把5种不同颜色的花种植到这5个区域中，每种颜色的花都必须种植，共有多少种不同的种植方案？ (2)要把4种不同颜色的花种植到这5个区域中，每种颜色的花都必须种植，共有多少种不同的种植方案？ (3)要把红、黄、蓝、白4种不同颜色的花种植到这5个区域中，每种颜色的花都必须种植，要求相同颜色的花不能相邻种植，且有两个相邻的区域种植红、黄2种不同颜色的花，共有多少种不同的种植方案？ 【答案】(1)种 (2)种 (3)种 【解题思路】（1）由全排列公式求出答案； （2）先选出两个区域种植同一种颜色的花，再考虑其他三种颜色的花，利用分步乘法计数原理得到答案； （3）对区域种植的花的颜色分类讨论，求出各种情况的种植方案数，相加后得到答案. 【解答过程】（1）由全排列可得，共有种不同的种植方案． （2）第一步，先将5个区域选出2个区域种植一种相同颜色的花，共有种方案； 第二步，再将剩余的3种颜色的花种植到剩下的3个区域，共有种方案． 所以共有种不同的种植方案． （3）要把4种不同颜色的花分别种植到这5个区域中，则必然有2个区域种植相同颜色的花． 第一类，区域种植红色的花，4个区域中有2个区域种植其他相同颜色的花， 则相同颜色的花必然种植在或区域，共有种方案． 第二类，区域种植黄色的花，同理可得，共有种方案． 第三类，区域种植蓝色的花，若有2个区域种植白色的花， 则没有两个相邻的区域种植红、黄2种不同颜色的花，所以不可能有2个区域种植白色的花， 故2个区域种植的相同颜色的花是红色或黄色的花，共有种方案． 第四类，区域种植白色的花，同理可得，共有种方案． 综上，共有种不同的种植方案． 题型七 排列组合综合 31．（24-25高二下·山西·期末）某校高二年级安排6名优秀学生按照以下要求报名参加数学、物理、化学竞赛，每名学生限报一科竞赛. (1)若三科竞赛均有2人报名参加，有多少种不同的报名方法？ (2)若4人报名参加数学竞赛，另外两科竞赛各1人报名参加，有多少种不同的报名方法？ (3)若三科竞赛均有人报名参加，有多少种不同的报名方法？ 【答案】(1)90 (2)30 (3)540 【解题思路】（1）利用分步乘法计数原理、组合计数问题列式计算. （2）利用组合计数问题、排列计数问题列式计算. （3）将学生人数按分组，财利用排列组合综合问题列式计算. 【解答过程】（1）若三科竞赛均有2人报名参加，则报名方法有种. （2）若4人报名参加数学竞赛，另外两科竞赛各1人报名参加，则报名方法有种. （3）由题可得报名人数的分配方案可以是，，或，，或，，. 若三科竞赛的报名人数为，，，则报名方法有种； 若三科竞赛的报名人数为，，，则报名方法有种； 若三科竞赛的报名人数为，，，则报名方法有种. 所以三科竞赛均有人报名参加，报名方法共有种. 32．（24-25高二下·陕西西安·月考）一组学生共有6人，其中3名男生和3名女生． (1)如果从中选出3人参加一项活动，共有多少种选法？ (2)如果从中选出4人分别参加数学、物理、化学、生物学科竞赛，共有多少种选法？ (3)如果从中选出男生2人，女生2人，参加四项不同的活动，要求每人参加一项且每项活动都有人参加的选法有多少种？ 【答案】(1)20； (2)360； (3)216. 【解题思路】（1）根据题意利用组合数计算即可； （2）根据题意利用排列数计算即可； （3）先利用组合数求出从6个学生中选2名男生和2名女生的选法，再利用排列数计算出将4人安排到四个不同活动的方法数，再由分步乘法计数原理求解. 【解答过程】（1）由题意，从6人中选出3人参加一项活动，共有种选法. （2）从6人中选出4人分别参加数学、物理、化学、生物学科竞赛，共有种选法. （3）由题意，先从中3名男生和3名女生中选出男生2人，女生2人，有种选法； 再将4人安排参加四项不同的活动，要求每人参加一项且每项活动都有人参加，有种方法， 所以，总共有种选法. 33．（24-25高二下·山东临沂·月考）中华文化源远流长，为了让青少年更好地了解中国的传统文化，某培训中心计划利用暑期开设“围棋”、“武术”、“书法”、“剪纸”、“京剧”、“刺绣”六门体验课程． (1)现有甲、乙、丙三名学生报名参加暑期的体验课程，每人都选两门课程，甲和乙有一门共同的课程，丙和甲、乙的课程都不同，求所有选课的种数； (2)计划安排五名教师教这六门课程，每门课程只由一名教师任教，每名教师至少任教一门课程，教师不任教“围棋”课程，教师只能任教一门课程，求所有课程安排的种数． 【答案】(1)360 (2)1140 【解题思路】（1）首先确定甲和乙的相同课程、不同的课程，最后再确定丙的课程，按照分步乘法计数原理计算可得； （2）分A只任教1科和任教2科两种情况讨论，按照分类加法计数原理计算可得. 【解答过程】（1）第一步，将甲和乙的相同课程选好，有种情况；                 第二步，再将甲和乙的不同课程选好，有种情况；                 第三步，因为丙和甲、乙的课程都不同，所以丙的选法种情况；                 因此，所有选课种数为种． （2）①当只任教1科时：先排任教科目，有种，                 再从剩下5科中排的任教科目，有种，                 接下来剩余4科中必有2科为同一名老师任教，分三组全排列，共有种，         所以当只任教1科时，共有种．       ②当任教2科时：先选任教的2科，有种，                 这样6科分为4组共有种，                 综上，所有课程安排方案有种． 34．（2025高二·江苏·专题练习）将4个编号为1，2，3，4的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子中. (1)有多少种放法？ (2)每盒至多一球，有多少种放法？ (3)恰好有一个空盒，有多少种放法？ (4)把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？ 【答案】(1)256(种) (2)24(种) (3)144(种) (4)12(种) 【解题思路】（1）由分步乘法计数原理求解即可； （2）根据排列的定义求解即可； （3）（方法1）先将4个小球分为三组，再将三组小球投入四个盒子中的三个盒子，结合排列组合知识求解；（方法2）利用捆绑法结合排列组合知识求解； （4）（方法1）先从四个盒子中选出三个盒子，再从三个盒子中选出一个盒子放入两个球，余下两个盒子各放一个结合组合知识求解；（方法2）根据隔板法求解. 【解答过程】（1）每个小球都可能放入4个盒子中的任何一个，将小球一个一个放入盒子，共有种放法. （2）这是全排列问题，共有(种)放法. （3）（方法1）先将4个小球分为三组，有种方法，再将三组小球投入四个盒子中的三个 盒子，有种投放方法，故共有(种)放法. （方法2）先取4个球中的两个“捆”在一起，有种选法， 把它与其他两个球共3个元素分别放入4个盒子中的3个盒子，有种投放方法， 所以共有(种)放法. （4）（方法1）先从四个盒子中选出三个盒子，再从三个盒子中选出一个盒子放入两个球， 余下两个盒子各放一个.由于球是相同的即没有顺序，所以属于组合问题， 故共有(种)放法. （方法2）恰有一个空盒子，第一步先选出一个盒子，有种选法， 第二步在小球之间的3个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，有种方法， 由分步计数原理得，共有(种)放法. 35．（24-25高二上·湖北武汉·期中）为庆祝3.8妇女节，东湖中学举行了教职工气排球比赛，赛制要求每个年级派出十名成员分为两支队伍，每支队伍五人，并要求每支队伍至少有两名女老师，现高二年级共有4名男老师，6名女老师报名参加比赛. (1)一共有多少不同的分组方案？ (2)在进入决赛后，每个年级只派出一支队伍参加决赛，在比赛时须按照1、2、3、4、5号位站好，为争取最好成绩，高二年级选择了、、、、、六名女老师进行训练，经训练发现不能站在5号位，若、同时上场，必须站在相邻的位置，则一共有多少种排列方式？ 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）分成两组，根据是否平均分组分别写出即可； （2）首先讨论有限制的、、有哪些人上场，其次若、同时上场，则利用捆绑法，求解即可. 【解答过程】（1）队伍分配方案可分为：①两组都是3女2男；②一组是1男4女，另一组是3男2女， ①若两组都是3女2男， 则先将6女平均分成两组共种方式， 再将4男平均分成两组共种方式， 所以两组都是3女2男的情况有种； ②一组是1男4女，另一组是3男2女的情况有种， 所以总情况数为种. 故一共有种不同的分组方案； （2）总共可分为三种情况，如下： ①若上场且不上场： 先将全排列，共有种方式， 再把捆绑后和全排列共有种方式， 所以上场且不上场共有种不同的排列方式； ②若上场且也上场： （i）若在1号位，先将全排列，共有种方式， 再从中选两人，有种方式， 则捆绑后和中的两人全排列，有种方式， 所以在1号位共有种不同的方式； （ii）若在2号位， 再将全排列，且可位于3，4号位或4，5号位，共有种方式， 再从中选两人进行排列，有种方式， 所以在2号位或3号位共有种不同的方式； （iii）若在3号位， 再将全排列，且可位于1，2号位或4，5号位，共有种方式， 再从中选两人进行排列，有种方式， 所以在2号位或3号位共有种不同的方式； （iiii）若在4号位， 将全排列，且可位于1，2号位或2，3号位，共有种方式， 再从中选两人进行排列，有种方式， 所以在4号位共有种不同的方式. 所以上场且也上场共有种不同的方式； ③若中有一人上场且上场： 上场且不在5号位，则可位于1，2，3，4号位，有种方式， 再从中选一人，有种方式， 中的一人和共4人全排列，共种方式， 所以中有一人上场且上场共有种不同的排列方式. 综上所述，共有种排列方式. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $