15.2分式的加减-混合运算 精讲精练-2025-2026学年华东师大版八年级 数学下册寒假预习必备

15.2分式的加减-混合运算 一、精讲 分式的混合运算，先乘方，再算乘除，最后算加减．有括号的，先算括号里的．有理数的运算律可应用于分式计算中．对于分式的求值，一般先化简再代入。 【例】先化简，再从，1，2中选取一个适合的数代入求值． 【答案】，当时，原式 【分析】本题主要考查了分式的混合运算、分式的化简求值、分式有意义的条件等知识点，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 先根据分式的混合运算法则化简，然后选择一个分式有意义的a的值求解即可． 【详解】解： ， ∵当a取和2时，分式无意义， ∴a只能取1， 当时，原式． 二、精练 1．如果，那么的值等于（    ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查分式，由已知条件化简得到的值，再代入所求表达式计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ． ∴ ． ∴ ． 故选：D 2．若a为正整数，下列关于分式的值的结论正确的是（   ） A．有最大值是2 B．有最大值是 C．有最小值是1 D．有最小值，没有最大值 【答案】B 【分析】本题考查了分式的求值，先把化简，再根据分式的特点分析即可． 【详解】解：， 分式要有意义， ， 且， a为正整数， ∴a的最小值为2． 分式的值随着a的值的增大而减小， ∴当a取最小整数2时，原式有最大值，最大值，且原分式无最小值． 故选：B． 3．若，则的值为（   ） A．5 B．9 C．11 D．13 【答案】A 【分析】本题考查了分式的值，由已知条件得，代入 求解即可． 【详解】解：∵， ， ， ， 故选：A． 4．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的运算，掌握相关知识点并正确计算是解题的关键． 根据分式的运算法则，逐一验证每个选项的计算是否正确，即可求解． 【详解】解：A、，，故选项A错误，不符合题目要求； B、，故选项B错误，不符合题目要求； C、，故选项C错误，不符合题目要求； D、，计算正确.，故选项D正确，符合题目要求． 故选：D． 5．已知，且，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的化简求值，掌握基本概念是解题关键．由已知条件可求出，然后将第二个方程左边分式的分母和分子同时除以进行化简，利用已知值代入求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 6．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，先将除法运算转换为乘法运算，然后对括号内的代数式通分化简，利用完全平方公式，最后通过约分得到最简结果. 【详解】解：         ， 化简结果为 ． 故选： C． 7．计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的混合运算，正确计算是解题的关键． 先化简括号内的表达式，将其通分为一个分式，然后利用除以分数等于乘以倒数的性质，最后约分得到结果． 【详解】解：∵ 原式 = 故选： A． 8．已知为整数，且计算的结果为整数，则所有符合条件的的值的和为（   ） A．0 B．12 C．10 D．8 【答案】C 【分析】先对原式进行分式的混合运算，将其化简为最简形式，再根据结果为整数且为整数的条件，确定的取值，最后计算所有符合条件的的值之和． 【详解】解：∵ 原式 = = = = = ． 令（为整数），则， ∴ ． ∵ 为整数， ∴ 为整数，即为的因数：， ． 当时，；时，；时，；时，． 当时，原式无意义，舍去， ∴的值只能为，，． ∴ 所有值之和为． 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的混合运算、分式有意义的条件以及整数解的确定，解题关键是先化简分式，再根据整除性确定的取值，同时要排除使分母为的情况． 9．通常房屋的窗户面积小于房屋的地面面积．按采光标准，窗户面积与地面面积的比应不小于，并且这个比值越大，房屋的采光条件越好．若某房间的窗户面积为，地面面积为，则以下四个房间比该房间采光条件更好的是（    ） A．窗户面积为，地面面积为 B．窗户面积为，地面面积为 C．窗户面积为，地面面积为 D．窗户面积为，地面面积为 【答案】C 【分析】本题考查了分式的加减运算，通过作差法判断分式比值的大小是解题的关键． 分别计算各选项窗户面积与地面面积的比值，再与原房间窗户面积与地面面积的比值进行比较即可． 【详解】解：原房间的采光比值为：， A、采光比值为：，与原房间采光比值相同，故该选项不符合题意； B、采光比值为：，与原房间采光比值相同，故该选项不符合题意； C、采光比值为：，与原房间的采光比值作差得 ， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴C比原房间采光条件更好，故该选项符合题意； D、采光比值为：，与原房间的采光比值作差得 ， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴D比原房间采光条件更差，故该选项不符合题意． 故选：C． 10．给定，定义．例如．判断以下结论正确的个数有（   ） ①；②；③若的值为整数，则满足条件的整数共有12个． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了数学式子的规律，分式的整数解，因式分解，约分，分式的化简求值，熟练掌握规律的发现，分式的化简求值，求分式的整数解是解题的关键． 序列定义为周期函数，周期为，计算前几项可得模式；结论①直接计算验证；结论②利用周期性和乘积性质，每项，求和得；结论③化简表达式为多项式与分式，要求分式为整数，需为的约数，但排除后仅得个整数，与结论声称个不符. 【详解】解：∵ ，， ∴ ； ； ； ；故结论①正确， ，即， ，即， 故序列周期为6，即， ∵， ∴， ∴， 故结论②正确； ∵，，，， ∴， 要求值为整数，则需为的约数，即，，，，，， 得，，，，，，，，，，，， 由于， 故有个整数，与结论中个不符，故③错误； 综上，正确结论为①和②，共个， 故选C． 11．计算的结果是 ． 【答案】1 【分析】本题考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先将除法转化为乘法进行计算，再进行分式的减法运算，合并同分母分式即可． 【详解】解： ， 故答案为：1． 12．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，掌握分式的混合运算法则是解题关键．先对括号内的分式进行通分相加，再与后面的分式相乘，约分即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 13．若，则的值为 ． 【答案】2 【分析】先对等式右边进行通分，将其化为同分母的分式，再根据等式两边分子相等的原则，建立关于的表达式，进而求出的值． 【详解】解：先对等式右边变形： ∵， ∴． 通分后右边为，展开分子得：． 等式两边分母相同，分子相等，即：． 比较等式两边的系数和常数项： 的系数：； 常数项：，代入验证：，等式成立． ∴的值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的通分与恒等变形，解题关键是通过通分将等式两边化为同分母分式，再利用分子相等建立方程求解． 14．若实数和互为倒数，则代数式的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了分式的化简求值，因式分解，倒数的性质，掌握分式的化简步骤是解题的关键． 由和互为倒数，得；将代数式利用因式分解和分式运算化简后得到，从而求出值为 1． 【详解】解：原式 ． 因为和互为倒数，所以，因此代数式的值为1． 故答案为：1． 15．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如，，则和都是“和谐分式”． （1）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为： ； （2）分式的最小值为 ． 【答案】 3+ 3 【分析】此题考查分式的变形计算，分式的四则混合运算，同分母分式加法逆运算． （1）将分子化为分母的倍数与常数的和，然后拆分分式； （2）先将分式化为整式与常数分子的分式的和，再利用分母求最小值． 【详解】（1）解：； （2）解：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，分式取得最小值3． 16．已知实数x，y满足，则 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查分式的化简求值，将条件变形为，再代入要求代数式进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴．故答案为：9． 17．计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，掌握处理符号统一分母，合并后因式分解约分，再进行乘法运算是解题的关键． 先观察括号内的表达式，利用进行化简，合并分数后约分，再与前面的分数相乘，最后化简得到结果． 【详解】解：原式为，其中， 所以括号内化为（其中）， 然后与前面相乘：， 故答案为：． 18．已知，则分式的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的化简求值，正确化简分式是解题的关键． 先将括号内的表达式通分并利用完全平方公式化简，再将分式除法转化为乘法运算，最后代入已知条件求值． 【详解】解：原式 当 时，原式，故答案为：． 19．已知实数满足，则代数式 ． 【答案】 【分析】本题考查整式的化简计算，灵活运算是解题的关键． 由已知条件可得，由于，将方程变形为，进而求出，将所求代数式的分子和分母同时除以，代入计算即可． 【详解】解：由，得， 因为（若，代入方程不成立）， 所以将方程两边除以，得，即 则， 所求代数式为， 分子和分母同时除以， 得，故答案为：． 20．已知（为正整数，且则计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的运算，找规律及周期问题，根据题意分别求出，，，的值，发现，说明该组数列是以周期3为循环，，说明该乘积有675个的乘积，再乘以，将相乘得，即可解答．． 【详解】解：由题意知，前四项分别为，，，， ∴数列以周期3为循环， ∵周期为3，且， ∴该乘积可视为675组的乘积，再乘以， ∵， ∴． 故答案为：． 21．计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分式的混合运算，因式分解、通分和约分的综合应用，掌握先算乘除后算加减，有括号先算括号内，因式分解后约分简化的运算顺序和技巧是解题的关键． （1）先算分式乘法，对分子因式分解后约分，再算分式加法，通分合并； （2）先算括号内的加法，通分合并后，将除法转化为乘法，对分母因式分解再约分； （3）先算括号内的式子，通分合并成一个分式，再将除法转化为乘法，因式分解后约分． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 22．先化简，再求值：，其中从3、2、1、中选取一个合适的数代入求值． 【答案】化简结果为；当时，值为 【分析】本题考查分式的化简求值，关键是先因式分解、通分进行化简，再根据分母不为零的条件选择合适的代入计算． 【详解】解： ． 由分母不为零，得且，只能取， 代入得． 23．阅读下列材料，并解答问题： 【材料1】我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如：．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为真分式，如，，…这样的分式是假分式；如与…这样的分式是真分式．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和（差）的形式． 例如：将分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式． 方法1：； 方法2：由分母为，可设（a，b为待确定的系数）， ， 对于任意x，上述等式均成立， ，解得， ． ， 这样，分式就被化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式． 【材料2】对于式子，由知的最小值为1，所以的最大值为3，所以的最大值为5． (1)分式是 分式（填“真”或“假”）； (2)把分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式； (3)当时，求分式的最大值． 【答案】(1)真 (2) (3)最大为1 【分析】本题主要考查了分式的基本概念、分式的基本性质、分式的混合运算和化简，阅读材料获得信息再进行化简计算是解题的关键． （1）根据分子次数为0，分母次数为1，可作出判断． （2）利用已知分式，将其转化为整数与真分数的和的形式，可得答案． （3）先求出的最小值，进而可求出 的最大值． 【详解】（1）解：是真分式． （2）解：设， 则 ，解得， . （3）解：考虑，求其最小值， ∵，， 当时，最小为1 最大为1． 24．【阅读理解】已知，求的值． 解：由已知可得，则， ．① ，② ． （1）第②步运用了_____________公式；（A．平方差    B．完全平方） 【类比探究】 （2）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题： 已知，①求的值；②求的值． 【答案】（1）B；（2）①3，② 【分析】本题考查的是分式的化简求值，完全平方公式，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． （1）根据完全平方公式进行解答即可； （2）①根据题中给出的例子进行计算即可，②结合①的结论，再根据题中给出的例子进行计算即可． 【详解】解：（1）第②步运用了完全平方公式，故答案为：B； （2）①， ， ，即， ； ②由①知， ， ． 25．阅读下列材料： 定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如：这样的分式就是假分式；再如：这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（整式与真分式的和的形式）． 如：； 再如：． 解决下列问题： (1)下列各式：①；②；③；④是假分式的有_____（填序号）； (2)将假分式化为带分式的形式； (3)已知整数使分式的值为整数，求出满足条件的所有整数的值． 【答案】(1)①③④ (2) (3)满足条件的整数为 【分析】本题主要考查分式的定义和化简，熟练掌握分式的性质是解题的关键． （1）根据题中所给新定义进行判断即可； （2）由题中所给方法化为带分式的形式即可； （3）先把分式化为带分式的形式，然后问题即可求解． 【详解】（1）解：根据假分式的定义，分子的次数大于或等于分母的次数的分式为假分式， ①中分子次数为1，分母次数为1，是假分式； ②为整式，不是分式； ③中分子次数为1，分母次数为1，是假分式； ④中分子次数为2，分母次数为2，是假分式， 故答案为：①③④； （2）解：． （3）解：对分式进行变形： 要使分式为整数，则为整数，即是21的因数 21的因数有， 解得的值为， 因此，满足条件的整数为． 试卷第18页，共18页 试卷第17页，共18页 学科网（北京）股份有限公司 $ 15.2分式的加减-混合运算 一、精讲 分式的混合运算，先乘方，再算乘除，最后算加减．有括号的，先算括号里的．有理数的运算律可应用于分式计算中．对于分式的求值，一般先化简再代入。 【例】先化简，再从，1，2中选取一个适合的数代入求值． 【答案】，当时，原式 【详解】解： ， ∵当a取和2时，分式无意义， ∴a只能取1， 当时，原式． 二、精练 1．如果，那么的值等于（    ） A．3 B．2 C．1 D． 2．若a为正整数，下列关于分式的值的结论正确的是（   ） A．有最大值是2 B．有最大值是 C．有最小值是1 D．有最小值，没有最大值 3．若，则的值为（   ） A．5 B．9 C．11 D．13 4．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．已知，且，则的值是（   ） A． B． C． D． 6．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 7．计算：（   ） A． B． C． D． 8．已知为整数，且计算的结果为整数，则所有符合条件的的值的和为（   ） A．0 B．12 C．10 D．8 9．通常房屋的窗户面积小于房屋的地面面积．按采光标准，窗户面积与地面面积的比应不小于，并且这个比值越大，房屋的采光条件越好．若某房间的窗户面积为，地面面积为，则以下四个房间比该房间采光条件更好的是（    ） A．窗户面积为，地面面积为 B．窗户面积为，地面面积为 C．窗户面积为，地面面积为 D．窗户面积为，地面面积为 10．给定，定义．例如．判断以下结论正确的个数有（   ） ①；②；③若的值为整数，则满足条件的整数共有12个． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 11．计算的结果是 ． 12．计算： ． 13．若，则的值为 ． 14．若实数和互为倒数，则代数式的值为 ． 15．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如，，则和都是“和谐分式”． （1）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为： ； （2）分式的最小值为 ． 16．已知实数x，y满足，则 ． 17．计算的结果是 ． 18．已知，则分式的值是 ． 19．已知实数满足，则代数式 ． 20．已知（为正整数，且则计算的结果为 ． 21．计算： (1)． (2)． (3)． 22．先化简，再求值：，其中从3、2、1、中选取一个合适的数代入求值． 23．阅读下列材料，并解答问题： 【材料1】我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如：．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为真分式，如，，…这样的分式是假分式；如与…这样的分式是真分式．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和（差）的形式． 例如：将分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式． 方法1：； 方法2：由分母为，可设（a，b为待确定的系数）， ， 对于任意x，上述等式均成立， ，解得， ． ， 这样，分式就被化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式． 【材料2】对于式子，由知的最小值为1，所以的最大值为3，所以的最大值为5． (1)分式是 分式（填“真”或“假”）； (2)把分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式； (3)当时，求分式的最大值． 24．【阅读理解】已知，求的值． 解：由已知可得，则， ．① ，② ． （1）第②步运用了_____________公式；（A．平方差    B．完全平方） 【类比探究】 （2）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题： 已知，①求的值；②求的值． 25．阅读下列材料： 定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如：这样的分式就是假分式；再如：这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（整式与真分式的和的形式）． 如：； 再如：． 解决下列问题： (1)下列各式：①；②；③；④是假分式的有_____（填序号）； (2)将假分式化为带分式的形式； (3)已知整数使分式的值为整数，求出满足条件的所有整数的值． 试卷第2页，共6页 试卷第1页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $