用计算器探索规律（教学设计）2025-2026学年数学五年级上册人教版

课题：用计算器探索规律 提供者： 单位： 教学内容分析 （1）本节课的主要教学内容是通过计算器计算 1÷11、2÷11 等小数除法算式，观察商的循环节特征，总结 “循环节是被除数 9 倍” 的规律，并应用规律快速写出后续算式的商，同时通过拓展探究发现规律的适用边界。 （2）本节课主要介绍的知识点包括：用计算器准确计算小数除法的方法；观察循环小数的循环节长度与被除数的关系；理解规律 “循环节 = 被除数 ×9” 的推导过程；以及在思维拓展中发现当被除数为 11 时规律失效的特殊情况。 （3）通过学习本节课，学生能够借助计算器自主探索数学规律，提升观察对比和逻辑分析能力，掌握用规律简化计算的技巧；在发现规律的过程中体会数学的趣味性，增强对数字特征的敏感度，同时培养严谨验证的学习习惯，为后续复杂规律的探索奠定基础。 教学目标 （1）会用数学的眼光观察现实世界：能借助计算器计算小数除法算式，观察并发现商的循环规律及相关特征，提升从计算结果中感知数学规律的能力。 （2）会用数学的思维思考现实世界：能通过对比、分析计算结果，归纳推理出小数除法中存在的规律，运用逻辑思维验证规律的适用性，培养分析和解决问题的思维能力。 （3）会用数学的语言表达现实世界：能清晰描述发现的小数除法计算规律，运用规律用数学语言或符号解释计算过程，并在交流中准确表达规律的内涵，提高数学语言的表达与应用能力。 教学方法 情境导入法、自主探究法、讨论法、引导发现法、实践操作法、练习法、总结归纳法 教学重点及难点 （1）通过计算器计算与观察数据特征，自主发现商的循环规律，培养初步的推理意识和数据意识。 （2）能运用探索出的规律解决小数乘除计算问题，提升运算能力和应用意识。 （3）在真实情境中验证规律的适用性，理解规律的局限性，发展模型思想和严谨思维。 教学过程 师生活动设计 二次备课 一、复习导入 （师： 同学们，上周我们在超市购物时用计算器快速算出了总花费，在数学作业中用计算器验算过复杂的算式。谁能说说，用计算器计算时，除了 “输入准确”，还有什么要特别注意的？） （生： 要看清 “小数点的位置”！比如 3.25 和 32.5 输入时不能点错小数点！） （生： “运算符号” 不能输反！比如 + 和 × 要分清！） （师： 非常棒！计算器确实是我们的 “计算小帮手”，但它不仅仅能帮我们算结果，还能帮我们发现数学的 “隐藏在算式里的规律”！比如今天我们要研究的 ——用计算器探索隐藏在算式里的规律。） （板书课题： 用计算器探索规律） 二、探究新知 （1）探索规律 （师： 请同学们翻开教材第 35 页，我们先来看例 9。课件出示题目：计算下面各题，看看你能发现什么规律。） （课件动态展示题目： 1÷9=？2÷9=？3÷9=？4÷9=？5÷9=？6÷9=？7÷9=？8÷9=？9÷9=？） （师： 请大家拿出计算器，用 “先输入被除数，再按 ÷，输入除数，最后按 =” 的步骤计算。注意哦，计算时眼睛盯着屏幕，别按错数字！） （生： 学生分组操作计算器，教师巡视指导个别学生（如小 A：“小 A，你刚才按成 1÷9 = 了吗？对，就是这样，小数点别漏了！”）。） （师： 好，算完的同学请举手！我们先核对前两题：1÷9=0.111…，2÷9=0.222…，没错吧？那 3÷9=？） （生： 0.333…！） （师： 现在请大家把所有结果写在练习本上，然后和同桌比一比：你们写的循环节和被除数有什么关系？） （学生： 同桌间快速核对，有的用手指着计算器屏幕上的循环节说：“1÷9 的循环节是 1，2÷9 是 2！” 有的在练习本上画箭头：“被除数是 3，循环节就是 3！”） （师： 谁愿意把你的发现说给全班听？） （生 1： 我发现 1 到 8 除以 9，商都是循环小数，9÷9 的商是整数 1！） （师： 观察得很细致！那这些循环小数的循环节有什么特别之处呢？） （生 2： 1÷9=0.111…，循环节是 “1”；2÷9=0.222…，循环节是 “2”；3÷9=0.333…，循环节是 “3”…… 所以循环节就是被除数本身！） （师： 那我们来验证：4÷9=0.444…（循环节 4），5÷9=0.555…（循环节 5），6÷9=0.666…（循环节 6），7÷9=0.777…（循环节 7），8÷9=0.888…（循环节 8）！完全正确！那 9÷9 为什么是 1 呢？） （生 3： 因为 9 里面有 9 个 1，所以商是 1，没有小数部分！） （师： 太精彩了！我们来总结规律：当被除数是 1-8 时，除以 9 的商是循环小数，循环节等于被除数；当被除数是 9 时，商是整数 1。） （2）应用规律 （师： 现在我们来 “挑战” 一下！不计算，直接写出下面算式的商。课件出示：10÷9=？11÷9=？12÷9=？） （师： 请大家独立思考，把 10、11、12 分别看作 “9+1”“9+2”“9+3”，想一想它们除以 9 的商和前面的规律有什么关系？） （生： 10÷9=（9+1）÷9=1+1/9=1.111…！循环节是 1！） （师： 为什么是 1.111…？） （生： 因为 1/9 是 0.111…，所以 1+0.111…=1.111…！） （师： 那 11÷9 呢？） （生： 11=9+2，所以 11÷9=1+2/9=1.222…，循环节 2！） （师： 没错！12÷9=1+3/9=1.333…，循环节 3！） （师： 如果是 13÷9 呢？） （生： 13=9+4，所以 13÷9=1.444…！） （师： 看来大家已经掌握 “被除数 = 9× 商的整数部分 + 余数” 的方法了！） （3）思维拓展 （师： 刚才我们发现的规律在所有除法中都适用吗？我们来试试新题目！课件出示：10÷11=？11÷11=？） （师： 请大家用计算器计算这两道题，看看结果和我们刚才的规律有什么不同。） （生： 快速操作计算器，有的惊讶地举手：“老师！10÷11=0.909090…，循环节是 90！” 有的疑惑：“11÷11=1，没有循环节！”） （师： 现在请大家把这两个商和之前的规律对比，有什么发现？） （生 1： 10÷11 的循环节是 90，不是 10 本身！） （生 2： 11÷11=1，和被除数 9 无关了！） （师： 这说明什么？） （生 3： 规律不是万能的，要看被除数和除数的关系！） （师： 非常好！当被除数和除数的 “大小关系” 变化时，规律可能会失效。那我们再来试一道：12÷11=？） （生： 用计算器算：12÷11=1.090909…，循环节是 09！） （师： 现在谁能总结 “规律适用的前提”？） （生： 当除数是 9，被除数小于 10 时，规律成立；当除数变化时，要重新观察！） （师： 太棒了！这就是 “具体问题具体分析” 的数学思维！） （4）跟踪训练 （师： 我们教材第 35 页 “做一做” 有这样一组题，我们来用今天学的方法解决它们！课件出示：1÷11=？2÷11=？3÷11=？4÷11=？5÷11=？6÷11=？） （师： 请大家先独立计算前 4 题，再观察商的小数部分，看看能不能找到规律。） （生： 计算：1÷11=0.090909…，2÷11=0.181818…，3÷11=0.272727…，4÷11=0.363636…。） （师： 观察循环节，你发现了什么？） （生： 0.09、0.18、0.27、0.36…，都是 “9” 的倍数！） （师： 9×1=9，9×2=18，9×3=27，9×4=36！所以循环节是 9×n（n=1,2,3,4）！那 5÷11 的循环节应该是 9×5=45，所以 5÷11=0.454545…！） （生： 对！6÷11=0.545454…，循环节是 9×6=54！） （师： 没错！这种 “循环节 = 9×n” 的规律，让我们能快速写出结果！） 三、巩固运用 （1）教材 “练习八” 第 12 题 （师： 我们来看看练习八第 12 题，题目是：先用计算器计算前三题，再根据规律写出后面三题的结果。课件出示：1÷3=？2÷3=？3÷3=？4÷3=？5÷3=？6÷3=？） （师： 计算时注意循环小数的表示方法。算完后观察商的整数部分和小数部分，比如 1÷3=0.333…，整数部分是 0，小数部分是 0.333…；2÷3=0.666…，整数部分 0，小数部分 0.666…；3÷3=1，整数部分 1，没有小数部分。） （生： 计算后分组讨论：“4÷3=1.333…”，“5÷3=1.666…”，“6÷3=2”！） （师： 规律是：当被除数是 3 的倍数时，商是整数；当被除数不是 3 的倍数时，商是整数 + 循环小数，循环节是 3 或 6！对吗？） （生： 对！4=3+1，所以 1+0.333…=1.333…；5=3+2，所以 1+0.666…=1.666…；6=3×2，商是 2！） （师： 用计算器验证：4÷3=1.333…，正确！5÷3=1.666…，正确！） （2）教材 “练习八” 第 13 题 （师： 接下来是第 13 题，这是一道关于 “乘法规律” 的题目！课件出示：1×1=？11×11=？111×111=？） （师： 请大家用计算器计算前三题，注意观察结果的数字排列！） （生： 计算：1×1=1，11×11=121，111×111=12321。） （师： 把结果写在练习本上，观察它们的 “形状”！） （生： 1 是 “1”，121 是 “1-2-1”，12321 是 “1-2-3-2-1”！） （师： 这种 “中间数字依次增加 1，两边对称减少 1” 的规律，叫 “对称数规律”！那 1111×1111 的结果应该是？） （生： 1-2-3-4-3-2-1，也就是 1234321！） （师： 用计算器验证！） （生： 计算 1111×1111=1234321，正确！） （师： 如果是 11111×11111 呢？） （生： 123454321！） （3）教材 “练习八” 第 14 题 （师： 最后一道题，我们来探索 “循环节的秘密”！课件出示：1÷7=？2÷7=？3÷7=？4÷7=？5÷7=？6÷7=？） （师： 请用计算器计算这六道题，注意记录循环节！） （生： 计算后汇报：1÷7=0.142857142857…，2÷7=0.285714285714…，3÷7=0.428571428571…，4÷7=0.571428571428…，5÷7=0.714285714285…，6÷7=0.857142857142…。） （师： 把循环节写在黑板上对比：142857、285714、428571、571428、714285、857142。你们发现了什么？） （生： 都是 “142857” 这六个数字，只是顺序不同！） （师： 这是因为 7 是一个特殊的数，它的倍数除以 7，循环节会按 “旋转” 方式排列，这种现象叫 “循环数”！） 四、课堂小结 （师： 这节课我们用计算器探索了三类规律：① 当除数是 9 时，被除数小于 10 的除法规律；② 当除数是 11 时，被除数小于 12 的除法规律；③ 对称数规律和循环数规律。在探索过程中，我们用了哪些方法？） （生： 计算 — 观察 — 验证 — 应用！） （师： 非常好！比如探索 1÷9 的规律时，先计算，再观察循环节，然后验证规律，最后应用到 10÷9 等题目中。） （师： 但要记住，规律不是一成不变的，当除数变化时，要重新观察！这就是数学的 “灵活性”。希望大家今后遇到新问题时，能像今天一样，用计算器做工具，用观察做眼睛，用验证做方法，发现更多数学奥秘！） 课后作业 （1）用计算器计算 /、/、/，观察商的循环节与被除数的关系，直接写出 / 和 / 的商。 （2）完成教材练习八第 12 题：先用计算器计算前 3 题，找出商的规律后，直接写出后 3 题的结果，并验算。 学科网（北京）股份有限公司 $