第06讲 余弦定理 寒假自学讲义-2025-2026学年高一数学人教A版必修第二册

2025-2026学年高一数学寒假自学讲义 余弦定理 教学目标 1．能灵活使用余弦定理，对边角转换内容熟练掌握； 2．经历自主探究的过程，提高计算能力，分析和解决问题的能力，渗透数形结合，转化的思想； 3．体验数学学科的特点，提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心。 教学重难点 重点：余弦定理的边角转换； 难点：利用余弦定理求范围问题。 教学内容 余弦定理 知识点一：余弦定理及其推导 1、余弦定理及其推论的表示 文字表述 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. 公式表述 a2=b2+c2-2bccosA，b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC. 推论 2、余弦定理的推导示例： 在中，内角，，所对的边分别为，， 如图，因为， ∴ 即 从而 同理，根据，， 可以得到， 3、常见结论 ①，其变式有，等． ②三角形中的三角函数关系： 知识点二：解三角形 1、解三角形：一般地，三角形的三个角，，和她们的对边，，叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 2、余弦定理在解三角形中的应用 （1）类型1：已知两边及一角，解三角形 方法概要：先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路： 一是利用余弦定理的推论求出其余角； 二是利用正弦定理（已知两边和一边的对角）求解； （2）类型2：已知三边解三角形 法一：已知三边求角的基本思路是：利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为负，角为钝角，其思路清晰，结果唯一 法二：若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质，转化为已知三边求解 题型一：已知三边解三角形 【例1】在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．在中，角，，所对的边分别为，，．若，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．在中，若，，，则的最小角为 ． 题型二：已知两边及一角解三角形 【例2-1】 △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知，，，则b=（ ） A． B． C．2 D．3 【例2-2】已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝10，b＝15，C＝60°，则cos B＝（ ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．的内角，，的对边分别为，，.已知，，，则 . 2．在中，若，则 ． 3．的内角的对边分别为，已知，，，则 ． 题型三：余弦定理边角互化的应用 【例3-1】在中，记内角所对的边分别为.若，则（    ） A． B． C． D． 【例3-2】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则（    ） A． B． C． D． 【例3-3】在中，内角，，的对边分别为，，.若，，且，则（    ） A． B． C． D．2 【变式训练】 1．已知的内角所对的边分别为，，，若，则（    ） A． B． C． D． 2．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则角B的大小是（ ） A．45° B．60° C．90° D．135° 3．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 题型四：余弦定理在平面图形中的考查 【例4】如图，在△ABC中，G为△ABC的重心，若，，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．如图，P为内一点，，则（   ） A． B． C． D． 2．如图，在，已知，则为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，. （1）若，求； （2）若，且，求AB. 题型五：判断三角形的形状 【例5】在中，内角的对边分别为.若，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【变式训练】 1．已知在中，，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 2．在中，角的对边分别为，若，则的形状是（ ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 3．（多选题）的内角所对的边分别是，，，则下列命题正确的是（    ） A．若，则是钝角三角形 B．若，则是锐角三角形 C．若，则是等腰三角形 D．若，则是直角三角形 1．设分别为内角的对边，则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 2．已知中，，则角A等于（    ） A． B． C． D． 3．在中，已知，则三角形的周长是（    ） A．2 B．6 C．8 D．10 4．在中，角，，的对边分别是，，，，则角（   ） A． B． C． D． 5．在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则（    ） A．25 B．5 C．4 D． 6．在中，其内角A，B，C的对边分别为，，，若，则的形状是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 7．在中，，则 . 8．在中，、、分别为角、、的对边，若，则 ． 9．已知△ABC内角A， B， C的对边分别为a， b，c．已知则 ． 10．如图，已知的内角的对边分别为，. （1）求； （2）若边上的中线，且，求的周长. 一、本节课我们学习的知识点有哪些： 二、本章重难点有： 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学寒假自学讲义 余弦定理 教学目标 1．能灵活使用余弦定理，对边角转换内容熟练掌握； 2．经历自主探究的过程，提高计算能力，分析和解决问题的能力，渗透数形结合，转化的思想； 3．体验数学学科的特点，提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心。 教学重难点 重点：余弦定理的边角转换； 难点：利用余弦定理求范围问题。 教学内容 余弦定理 知识点一：余弦定理及其推导 1、余弦定理及其推论的表示 文字表述 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. 公式表述 a2=b2+c2-2bccosA，b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC. 推论 2、余弦定理的推导示例： 在中，内角，，所对的边分别为，， 如图，因为， ∴ 即 从而 同理，根据，， 可以得到， 3、常见结论 ①，其变式有，等． ②三角形中的三角函数关系： 知识点二：解三角形 1、解三角形：一般地，三角形的三个角，，和她们的对边，，叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 2、余弦定理在解三角形中的应用 （1）类型1：已知两边及一角，解三角形 方法概要：先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路： 一是利用余弦定理的推论求出其余角； 二是利用正弦定理（已知两边和一边的对角）求解； （2）类型2：已知三边解三角形 法一：已知三边求角的基本思路是：利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为负，角为钝角，其思路清晰，结果唯一 法二：若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质，转化为已知三边求解 题型一：已知三边解三角形 【例1】在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用余弦定理即可求解. 【解答过程】由余弦定理知， 因为，所以，故C正确. 故选：C. 【变式训练】 1．在中，角，，所对的边分别为，，．若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】在中，直接利用余弦定理求解，即可得答案. 【解答过程】因为，可设，，，， 利用余弦定理. 故选：D. 2．在中，若，，，则的最小角为 ． 【答案】 【分析】根据边长分析可知最小内角为角，利用余弦定理运算求解即可. 【详解】因为，，，则， 可知，即最小内角为角， 且， 又因为，所以.故答案为：. 题型二：已知两边及一角解三角形 【例2-1】 △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知，，，则b=（ ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【解析】由余弦定理得，解得（舍去），故选D. 【例2-2】已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝10，b＝15，C＝60°，则cos B＝（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 由余弦定理得， 故， 所以. 故选：A. 【变式训练】 1．的内角，，的对边分别为，，.已知，，，则 . 【答案】 【分析】由余弦定理即可求得结果. 【详解】∵，，， ∴由余弦定理可得：， ∴解得：. 故答案为：. 2．在中，若，则 ． 【答案】 【分析】根据余弦定理解三角形，求出边长即可. 【详解】由余弦定理得，代入得， 计算得； 故答案为： 3．的内角的对边分别为，已知，，，则 ． 【答案】 【分析】利用已知条件先求的值，再根据余弦定理求解即可. 【详解】因为， 所以， 又，， 则， 所以，即， 故答案为：. 题型三：余弦定理边角互化的应用 【例3-1】在中，记内角所对的边分别为.若，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意可得，结合余弦定理计算即可求解. 【解答过程】由，得， 由余弦定理得， 又，所以. 故选：C. 【例3-2】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据余弦定理边角互化即可求解. 【解答过程】由得， 由于，所以，故， 故选：B. 【例3-3】在中，内角，，的对边分别为，，.若，，且，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】利用余弦定理表示出，利用条件变换求解即可. 【详解】因为， 由余弦定理知，， 解得. 故选：D. 【变式训练】 1．已知的内角所对的边分别为，，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据余弦定理和特殊角的三角函数值解出答案； 【详解】因为，余弦定理可得 ， 解得. 故选：C. 2．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则角B的大小是（ ） A．45° B．60° C．90° D．135° 【答案】A 【详解】 中，， 可得：， 由余弦定理可得： ， ， ， 故选：A. 3．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【解析】由余弦定理可得， 又因为，所以.因为，所以.故选：B 题型四：余弦定理在平面图形中的考查 【例4】在△ABC中，G为△ABC的重心，若，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】应用已知边长关系及重心性质结合余弦定理求解即可. 【解答过程】 连接，因为G是重心，所以E是中点， 连接，同理D是中点，又因为，所以， 设， 因为G是重心，所以， 在中，由余弦定理得 . 故选：A. 【变式训练】 1．如图，P为内一点，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作于点，设，利用条件，求出，由余弦定理求出，勾股定理求出即得. 【详解】 如图，作于点，设，因， 可得，因则， 在中，由余弦定理，， 即，解得， 在中，，解得， 故. 故选：A. 2．如图，在，已知，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用余弦定理求出再求出，结合两角和的余弦公式即可求得答案. 【详解】在中，由余弦定理：， 所以为锐角且， 所以． 故选：A. 3．如图，在中，，. （1）若，求； （2）若，且，求AB. 【答案】（1）（2）2 【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理列式求解. （2）根据给定条件，利用余弦定理列出方程求解即得. 【详解】（1）在中，，由，得，又， 在中，由余弦定理得， 因此，所以. （2）令，则，因此，， 在中，由余弦定理得， 则，解得， 所以. 题型五：判断三角形的形状 【例5】在中，内角的对边分别为.若，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【答案】B 【分析】根据余弦定理把题中条件化为边的关系式，即可判定. 【详解】根据余弦定理知， ， 所以，则, 故三角形为直角三角形， 故选： 【变式训练】 1．已知在中，，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 【答案】B 【分析】根据题意，结合三角形的性质和余弦定理，求得和，即可得到答案. 【详解】因为，且，可得, 由余弦定理，可得， 所以，即，解得， 所以为等边三角形. 故选：B. 2．在中，角的对边分别为，若，则的形状是（ ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】B 【知识点】正、余弦定理判定三角形形状、余弦定理边角互化的应用、正弦定理边角互化的应用 【分析】由已知条件即结合余弦定理和即可得解. 【详解】因为， 所以，且， 所以由余弦定理得，整理得，又， 所以，故是等边三角形. 故选：B. 3．（多选题）的内角所对的边分别是，，，则下列命题正确的是（    ） A．若，则是钝角三角形 B．若，则是锐角三角形 C．若，则是等腰三角形 D．若，则是直角三角形 【答案】AD 【知识点】正、余弦定理判定三角形形状、余弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、cos2x的降幂公式及应用 【分析】由余弦定理易得A项正确；通过举反例，可迅速排除B,C 项，对于D，则先用降幂公式，再用余弦定理，化简后即可判定直角三角形. 【详解】对于A，由余弦定理，，因，故角为钝角， 则是钝角三角形，故A正确； 对于B，若，,显然满足，但此时是直角三角形，故B错误； 对于C，若，显然满足，但此时是直角三角形，故C错误； 对于D，由可得，，即得，， 由余弦定理，，整理得，，故是直角三角形，即D正确. 故选：AD. 1．设分别为内角的对边，则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】余弦定理及辨析 【分析】根据余弦定理，即可求解. 【详解】根据余弦定理可知，. 故选：B 2．已知中，，则角A等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由中，可得 ，由于 ，故 ，故选：A 3．在中，已知，则三角形的周长是（    ） A．2 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【解析】 因为，所以又，所以故选：D 4．在中，角，，的对边分别是，，，，则角（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据正弦定理，结合三角恒等变化，将题中条件化为，从而可求出结果. 【解答过程】由得， 则，所以，即， 因为为三角形内角，所以，，则，所以； 故选：B. 5．在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则（    ） A．25 B．5 C．4 D． 【答案】B 【分析】根据余弦定理，通过对进行变形，从而求出边的长度. 【详解】已知余弦定理，因为， 所以，那么. 又因为完全平方公式，可得， 将其代入中，就得到. 已知，，将其代入可得：， 所以. 故选：B. 6．在中，其内角A，B，C的对边分别为，，，若，则的形状是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】B 【知识点】正、余弦定理判定三角形形状、余弦定理边角互化的应用 【分析】由已知条件，利用余弦定理角化边即可得到关系式. 【详解】因为，由余弦定理知， 所以， 整理得， 即的形状是直角三角形. 故选：B. 7．在中，，则 . 【答案】 【分析】根据余弦定理计算即可求解. 【详解】在中，由余弦定理可得 ， 故答案为：. 8．在中，、、分别为角、、的对边，若，则 ． 【答案】或 【分析】利用余弦定理可得，求解即可. 【详解】在中，由余弦定理可得， 又，所以， 所以，解得或. 经检验，，均符合题意. 故答案为：或. 9．已知△ABC内角A， B， C的对边分别为a， b，c．已知则 ． 【答案】3 【分析】先得到，再利用余弦定理求解. 【详解】由，故， 则，故． 故答案为：3 10．如图，已知的内角的对边分别为，. （1）求； （2）若边上的中线，且，求的周长. 【解题思路】（1）根据余弦定理以及向量数量积的定义列出方程组即可求解； （2）由，在与中结合余弦定理求解即可得出结果. 【解答过程】（1）因为，即， 又，所以， 可得，又， 因此； （2）由（1）可得，又， 由余弦定理可得，所以； 在中，，由余弦定理可得， 在中，由余弦定理可得； 又因为，可得， 联立，解得； 又，可得， 所以的周长为. 一、本节课我们学习的知识点有哪些： 二、本章重难点有： 1 学科网（北京）股份有限公司 $