第七讲：定义、命题、定理（寒假预习衔接讲义）（知识总结梳理+3大考点典例精讲+变式训练+高频精炼）-2025-2026学年七年级数学下册人教

【寒假预习衔接讲义】2025-2026学年人教版七年级数学下册 第七讲：定义、命题、定理 （知识总结梳理+3大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：定义与命题 这样的描述称为数学对象的定义.一个数学对象的定义揭示了它的本质特征，能够帮助我们准确地理解它，并作出准确的判断. 像这样可以判断为正确（或真）或错误（或假）的陈述语句，叫作命题.被判断为正确（或真）的命题叫作真命题，被判断为错误（或假）的命题叫作假命题. 知识点02：定理与证明 在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫作证明. 知识点03：知识结构 考点1：判断是否是命题 【典型例题】 下列语句中是命题的是（  ） A．作线段的垂直平分线 B．三角形三个内角的和等于 C．美丽的月亮湖 D．你的寒假想好怎么过了吗？ 【答案】B 【分析】本题考查了命题，熟练掌握命题的定义是解题的关键．根据命题是可以判断真假的陈述句的定义进行判断即可． 【详解】解：A．作线段的垂直平分线，为指令句，故不是命题； B．三角形三个内角的和等于，为陈述句，故是命题； C．美丽的月亮湖，为短语，故不是命题； D．你的寒假想好怎么过了吗？为疑问句，故不是命题； 故选：B． 【变式训练1】 下列不属于命题的是（   ） A．取任何数时的值都是正数 B．对顶角相等 C．作线段的垂直平分线 D．如果，那么 【答案】C 【分析】本题主要考查了命题的判断，熟练掌握命题的定义，是解题的关键．命题是能判断真假的陈述句，C项为作图指令，不是陈述句，因此不是命题． 【详解】解：A．取任何数时的值都是正数，是命题，故A不符合题意； B．对顶角相等，是命题，故B不符合题意； C．作线段的垂直平分线，是作图指令，非陈述句，不是命题，故C符合题意； D．如果，那么，是命题，故D不符合题意． 故选：C． 考点2：判断命题的真假 【典型例题】 下列命题中，真命题是（   ） A．对顶角相等 B．两直线平行，同旁内角相等 C．若，则 D．垂直于同一条直线的两条直线平行 【答案】A 【分析】本题考查命题的真假判断，涉及对顶角性质、平行线性质与判定、平方的非负性等知识点，根据对顶角的性质可判断A；根据平行线的性质可判断B；根据平方的非负性可判断C；根据平行线的判定定理可判断D． 【详解】解：A、对顶角相等，原命题是真命题，符合题意； B、两直线平行，同旁内角互补，不一定相等，原命题是假命题，不符合题意； C、若，则，不一定有，原命题是假命题，不符合题意； D、同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，原命题是假命题，不符合题意； 故选：A． 【变式训练1】 对于命题“若，则”，下面四组关于a、b的值中，能说明这个命题是假命题的是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查假命题的定义，正确掌握判断假命题的方法是解题的关键． 找到一组a、b的值，使得成立但不成立即可说明这个命题是假命题． 【详解】解：说明命题“若，则”是假命题，需要满足且， A、，，，且，不符合反例条件； B、，，，且，符合反例条件； C、，，，且，不符合反例条件； D、，，，即不成立，不满足命题的条件； 故选：B． 考点3：公理和定理 【典型例题】 下面关于公理和定理的说法正确的是（   ） A．公理是真命题，但定理不是 B．公理就是定理，定理也是公理 C．公理可作为证明其他定理的依据 D．公理和定理都应经过证明后才能使用 【答案】C 【分析】本题考查公理和定理的定义，解题的关键是明确公理与定理的核心区别（是否需要证明）及相互关系． 根据公理和定理的定义，逐一分析各选项的正确性． 【详解】公理是公认的真命题，无需证明，可作为证明其他定理的依据；定理是经过公理或已有定理证明的真命题． A：公理和定理都是真命题，此说法错误； B：公理与定理定义不同，并非等价概念，此说法错误； C：公理可作为证明其他定理的依据，此说法正确； D：公理无需证明即可使用，此说法错误． 故选：C． 【变式训练1】 下列所学过的真命题中，是公理的是（   ） A．对顶角相等 B．同角的余角相等 C．三角形两边之和大于第三边 D．同位角相等，两直线平行 【答案】D 【分析】此题考查了公理，公理是不需要证明的基本命题，在初中数学中，“同位角相等，两直线平行”通常作为平行线的判定公理，而其他选项均为定理，可由公理推导． 【详解】解：公理是数学体系中公认的基本事实，无需证明； 选项A“对顶角相等”可通过等角的补角相等证明，是定理； 选项B“同角的余角相等”可通过角的定义和等量代换证明，是定理； 选项C“三角形两边之和大于第三边”可由“两点之间线段最短”公理证明，是定理； 选项D“同位角相等，两直线平行”在初中教材中作为平行线的判定公理使用，是公理． 故选：D． 一、单选题 1．下列命题是真命题的是（    ） A．同旁内角互补 B．互补的两个角是邻补角 C．相等的角是对顶角 D．对顶角相等 【答案】D 【分析】本题主要考查了判断命题的真假、同旁内角互补、邻补角的定义、对顶角的性质等知识点，熟练掌握相关定义是解题的关键． 根据对顶角的性质，同旁内角定义，邻补角的定义逐项判断命题的真假即可． 【详解】解：A、 “同旁内角互补”是建立在两直线平行的前提下，故该选项是假命题； B、邻补角一定互补，但互补的角不一定是邻补角，例如两个角可以不相邻，故该选项是假命题； C、相等的角不一定是对顶角，故该选项是假命题； D、对顶角相等，正确，是真命题． 故选：D． 2．命题“度数之和为的两个角互为余角”的条件是（    ） A． B．两个角 C．度数之和为 D．度数之和为的两个角 【答案】D 【分析】本题考查了命题的条件与结论，命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式，题设写在如果的后面，把结论写在那么的后面． 命题的题设与结论部分，一个命题可以写成“如果…那么…”形式，如果的后面是条件，那么的后面是题设． 【详解】解：命题“度数之和为的两个角互为余角” 写成：如果两个角的度数之和等于，那么这两个角互为余角， ∴命题“度数之和为的两个角互为余角”的条件是度数之和为的两个角． 故选：D． 3．下列命题中，是真命题的是（   ） A．相等的两个角是对顶角 B．同旁内角互补 C．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 D．经过一点，有且只有一条直线与这条直线平行 【答案】C 【分析】本题主要考查命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．根据同旁内角的概念、对顶角相等、平行公理、垂线段最短判断即可． 【详解】解：A．相等的两个角不一定是对顶角，选项是假命题，不符合题意； B．两直线平行，同旁内角互补，选项是假命题，不符合题意； C．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，选项是真命题，不符合题意； D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，选项是真命题，符合题意； 故选：C． 4．用一组a，b，c的值说明命题“若，则”是假命题，所举反例可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了真假命题的判断，以及等式的性质，代值验证是解决本题的关键． 将选项中a，b，c的值代入验证是真假命题即可． 【详解】解：A选项，当时，满足，且，该例子不符合反例的定义； B选项，当时，不满足，该例子不符合反例的定义； C选项，当时，满足，但，该例子符合反例的定义； D选项，当时，满足，且，该例子不符合反例的定义． 故选：C． 5．下面关于公理和定理的说法正确的是（   ） A．公理是真命题，但定理不是 B．公理就是定理，定理也是公理 C．公理和定理都可以作为推理论证的依据 D．公理和定理都应经过证明后才能使用 【答案】C 【分析】本题考查的是定理和公理的定义，通过对定义的理解可找到答案． 【详解】解：公理，也就是经过人们长期实践检验、不需要证明同时也无法去证明的客观规律．定理：是用逻辑的方法判断为正确并作为推理的根据的真命题． 根据公理和定理的定义，可知C是正确的，A、B、D是错误的． 故选：C． 6．下列推理正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则或 【答案】D 【分析】直接利用不等式的基本性质和解方程的思想进行判断即可. 【详解】解：A、∵，∴a，b同号，则或，本项错误； B、∵，则不一定正确，如时，，本项错误； C、∵，则或，∴不一定正确，故本项错误； D、∵，则或，本项正确； 故选择：D. 【点睛】本题考查了不等式性质和解方程的思想，解题的关键是利用不等式性质进行判断. 7．当n是正整数时，一定是（   ）． A．奇数 B．偶数 C．质数 D．合数 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解答本题的关键是熟练掌握奇数与偶数的积为偶数．分n是偶数与奇数两种情况分析，同时结合奇数与偶数的积的特征即得结果． 【详解】当n是偶数时，是奇数，而偶数×奇数=偶数，偶数+奇数=奇数，则此时一定是奇数， 当n是奇数时，是偶数，而奇数×偶数=偶数，偶数+奇数=奇数，则此时一定是奇数， 故选A． 8．下列语句中，假命题有（   ） （1）过一点有且只有一条直线平行于已知直线；（2）不相等的两个角一定不是对顶角；（3）直角的补角必是直角；（4）两条直线被第三条直线所截，内错角相等；（5）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（6）两角之和为，这两个角一定是邻补角；（7）若则． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查命题与定理，判断为真的命题就是真命题，判断为假的命题就是假命题． 根据平行线的基本事实，平行线的性质和判定等，逐项判断，即可求解． 【详解】解：（1）过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线，原命题是假命题； （2）不相等的两个角一定不是对顶角，是真命题； （3）直角的补角必是直角，是真命题； （4）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，原命题是假命题； （5）同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原命题是假命题； （6）两角之和为，这两个角不一定是邻补角，原命题是假命题； （7）若则，是真命题． 假命题有4个． 故选：C 二、填空题 9．将命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式：如果 ，那么 ． 【答案】 两个角是对顶角 这两个角相等 【分析】原命题“对顶角相等”中，条件是两个角是对顶角，结论是这两个角相等，据此改写成“如果……那么……”形式． 本题考查命题的改写，掌握拆分命题的条件与结论，按如果+条件，那么+结论的结构改写是解题的关键． 【详解】解：命题“对顶角相等”的条件是“两个角是对顶角”，结论是“这两个角相等”， 因此改写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”． 故答案为：两个角是对顶角，这两个角相等． 10．命题“如果，那么”，该命题是 命题．（填“真”或“假”） 【答案】真 【分析】本题考查了真假命题，根据平方的性质即可判断，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴该命题是真命题， 故答案为：真． 11．“在同一平面内，若与的两边分别平行，且比的2倍少，则为”这个命题是 （填“真”或“假”）命题． 【答案】假 【分析】本题考查了命题真假的判断，平行线的性质，二元一次方程的解法．根据题意，作图分析，再建立方程组即可求解． 【详解】解：第一种情况，根据题意，作图如下， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得:， ∴； 第二种情况，如图所示， ∵，， ∴，， ∴，且， ∴， 解得:， ∴； 综上所述，的度数为或. 故答案为：假 ． 12．命题：①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③垂直于同一条直线的两条直线平行；④平行于同一条直线的两条直线平行．其中是真命题的有 ．（请填写序号） 【答案】①④/④① 【分析】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解对顶角的性质、平行线的判定等知识，根据对顶角的性质、平行线的判定判断即可． 【详解】解：①对顶角相等，是真命题； ②相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题； ③在同一平面上，垂直于同一条直线的两条直线平行，原命题是假命题； ④平行于同一条直线的两条直线平行，是真命题； 其中是真命题的有①④； 故答案为：①④． 13．判断命题“对于任何实数，都有”是假命题，只需举一个反例，反例中的值可以是 ．（填写一个符合条件的的值）． 【答案】－2（答案不唯一） 【分析】本题考查的是命题和定理，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 根据绝对值的性质、有理数的大小比较法则解答即可． 【详解】解：当时，， 说明命题“对于任何实数，”是假命题， 故答案为：（答案不唯一）． 14．已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内，有下列三个命题：①如果，那么；②如果，那么；③如果，那么．其中，是真命题的有 （填序号） 【答案】①③ 【分析】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握平行线具有传递性．根据同一平面内，平行于同一条直线的两直线平行，平行线的传递性进行分析． 【详解】解：①③是真命题，②是假命题， 故答案为：①③． 15．判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例，反例中的值可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】只要从满足条件的数中找到一个数，使结论不成立，就可以说明命题是假命题．本题考查了举反例判断假命题，只要从符合中找出一个数，能使不成立，就可以说明此命题是假命题，所以准确从条件，结论两个角度去判断解题是解题的关键． 【详解】解：当时，符合条件， 但， ∴命题“如果，那么”是假命题． 同样当时，也可以判断命题“如果，那么”是假命题， 故答案为：（也可以是等，答案不唯一）． 16．有下列命题：①若，则且；②若，则；③若，则；④若或3，则；⑤在同一平面内，若直线， ，则．其中是真命题的是 （填序号）． 【答案】③④/④③ 【分析】本题考查了判断真假命题，掌握相关定义定理是解题的关键．根据有理数乘法运算法则，绝对值的意义，代数式求值等知识逐个分析判断即可求解． 【详解】解：①若，则且，或且，故①为假命题． ②若，，则，故②为假命题， ③若，则，故③为真命题， ④若或3，则，故④为真命题， ⑤在同一平面内，若直线， ，则，故⑤为假命题， 综上：真命题的是③④， 故答案为：③④． 三、解答题 17．指出下列命题中的条件和结论： (1)如果两个角的和等于，那么这两个角互为补角． (2)绝对值等于5的数一定是5． (3)两个钝角相等． (4)如果，,那么． 【答案】(1)条件：两个角的和等于；结论：这两个角互为补角． (2)条件：绝对值等于5；结论：这个数是5． (3)条件：两个角都是钝角；结论：这两个角相等． (4)条件：且；结论：． 【分析】本题考查命题的条件和结论，掌握知识点是解题的关键根据命题的定义即可解答， （1）将“如果”后的语句定为条件，“那么”后的语句定为结论． （2）把命题表述转化为“如果（数的绝对值等于5），那么（这个数是5）”的形式，前半为条件，后半为结论． （3）将命题转化为“如果（两个角是钝角），那么（这两个角相等）”的形式，拆分出条件与结论． （4）“如果”后并列的语句为条件，“那么”后语句为结论． 【详解】（1）解：条件：两个角的和等于；结论：这两个角互为补角． （2）解：条件：绝对值等于5；结论：这个数是5． （3）解：条件：两个角都是钝角；结论：这两个角相等． （4）解：条件：且；结论：． 18．下列命题是真命题还是假命题？如果是假命题，请举出反例． (1)如果，那么，且． (2)如果，那么． 【答案】(1)假命题，反例：， (2)假命题，反例：， 【分析】本题考查了判断命题真假，反例，熟练掌握相关知识是解题的关键； （1）若，根据乘法的性质，只需其中一个因数为0即可，并非要求两个因数同时为0． （2）绝对值表示的是数到原点的距离，因此仅说明和到原点的距离相等，但和可能是互为相反数的关系． 【详解】（1）解：该命题是假命题 反例：当、时，，但此时． （2）解：该命题是假命题 反例：当、时，，但． 19．将下列命题改写成“如果……，那么……”的形式： (1)内错角相等，两直线平行； (2)两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等； (3)直角三角形两个锐角互余； (4)同角的余角相等． 【答案】(1)如果内错角相等，那么两直线平行 (2)如果两个三角形两条边和它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等 (3)如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余 (4)如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等 【分析】本题主要考查命题，掌握改写命题的方法是关键， 先确定命题的题设和结论，根据命题改写的方法，即可求解（1），（2），（3），（4）． 【详解】（1）解：∵命题：内错角相等，两直线平行， ∴题设是内错角相等，结论是两直线平行， 则改写成“如果……，那么……”的形式：如果内错角相等，那么两直线平行； （2）解：∵命题：两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等， ∴题设是两个三角形的两条边和它们的夹角对应相等，结论是两个三角形全等， 则改写成“如果……，那么……”的形式：如果两个三角形两条边和它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等 （3）解：∵命题：直角三角形两个锐角互余， ∴题设是直角三角形，结论是两个锐角互余， 如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余； （4）解：∵命题：同角的余角相等 ∴题设：两个角是同一个角的余角，结论是两个角相等， 如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等 20．在讨论“内错角相等”是不是命题时，甲认为：这不是命题，因为这句话是错误的．乙认为：这是命题，因为它作出了判断，只不过这一判断是错误的，你认为谁的说法是正确的？ 【答案】乙的说法正确 【分析】本题考查命题的定义，判断命题的真假． 根据命题的定义判断即可． 【详解】解：乙的说法正确．判断某一语句是不是命题要抓住两条：①命题是一个完整的句子，通常是陈述句，疑问句和祈使句都不是命题；②命题要对某件事情作出肯定或否定的判断． “内错角相等”满足上述两个条件，是假命题． 因此乙的说法正确． 学科网（北京）股份有限公司 $ 【寒假预习衔接讲义】2025-2026学年人教版七年级数学下册 第七讲：定义、命题、定理 （知识总结梳理+3大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：定义与命题 这样的描述称为数学对象的定义.一个数学对象的定义揭示了它的本质特征，能够帮助我们准确地理解它，并作出准确的判断. 像这样可以判断为正确（或真）或错误（或假）的陈述语句，叫作命题.被判断为正确（或真）的命题叫作真命题，被判断为错误（或假）的命题叫作假命题. 知识点02：定理与证明 在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫作证明. 知识点03：知识结构 考点1：正负数的定义 【典型例题】 下列语句中是命题的是（  ） A．作线段的垂直平分线 B．三角形三个内角的和等于 C．美丽的月亮湖 D．你的寒假想好怎么过了吗？ 【变式训练1】 下列不属于命题的是（   ） A．取任何数时的值都是正数 B．对顶角相等 C．作线段的垂直平分线 D．如果，那么 考点2：判断命题的真假 【典型例题】 下列命题中，真命题是（   ） A．对顶角相等 B．两直线平行，同旁内角相等 C．若，则 D．垂直于同一条直线的两条直线平行 【变式训练1】 对于命题“若，则”，下面四组关于a、b的值中，能说明这个命题是假命题的是（     ） A．， B．， C．， D．， 考点3：公理和定理 【典型例题】 下面关于公理和定理的说法正确的是（   ） A．公理是真命题，但定理不是 B．公理就是定理，定理也是公理 C．公理可作为证明其他定理的依据 D．公理和定理都应经过证明后才能使用 【变式训练1】 下列所学过的真命题中，是公理的是（   ） A．对顶角相等 B．同角的余角相等 C．三角形两边之和大于第三边 D．同位角相等，两直线平行 一、单选题 1．下列命题是真命题的是（    ） A．同旁内角互补 B．互补的两个角是邻补角 C．相等的角是对顶角 D．对顶角相等 2．命题“度数之和为的两个角互为余角”的条件是（    ） A． B．两个角 C．度数之和为 D．度数之和为的两个角 3．下列命题中，是真命题的是（   ） A．相等的两个角是对顶角 B．同旁内角互补 C．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 D．经过一点，有且只有一条直线与这条直线平行 4．用一组a，b，c的值说明命题“若，则”是假命题，所举反例可以是（   ） A． B． C． D． 5．下面关于公理和定理的说法正确的是（   ） A．公理是真命题，但定理不是 B．公理就是定理，定理也是公理 C．公理和定理都可以作为推理论证的依据 D．公理和定理都应经过证明后才能使用 6．下列推理正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则或 7．当n是正整数时，一定是（   ）． A．奇数 B．偶数 C．质数 D．合数 8．下列语句中，假命题有（   ） （1）过一点有且只有一条直线平行于已知直线；（2）不相等的两个角一定不是对顶角；（3）直角的补角必是直角；（4）两条直线被第三条直线所截，内错角相等；（5）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（6）两角之和为，这两个角一定是邻补角；（7）若则． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题 9．将命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式：如果 ，那么 ． 10．命题“如果，那么”，该命题是 命题．（填“真”或“假”） 11．“在同一平面内，若与的两边分别平行，且比的2倍少，则为”这个命题是 （填“真”或“假”）命题． 12．命题：①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③垂直于同一条直线的两条直线平行；④平行于同一条直线的两条直线平行．其中是真命题的有 ．（请填写序号） 13．判断命题“对于任何实数，都有”是假命题，只需举一个反例，反例中的值可以是 ．（填写一个符合条件的的值）． 14．已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内，有下列三个命题：①如果，那么；②如果，那么；③如果，那么．其中，是真命题的有 （填序号） 15．判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例，反例中的值可以是 ． 16．有下列命题：①若，则且；②若，则；③若，则；④若或3，则；⑤在同一平面内，若直线， ，则．其中是真命题的是 （填序号）． 三、解答题 17．指出下列命题中的条件和结论： (1)如果两个角的和等于，那么这两个角互为补角． (2)绝对值等于5的数一定是5． (3)两个钝角相等． (4)如果，,那么． 18．下列命题是真命题还是假命题？如果是假命题，请举出反例． (1)如果，那么，且． (2)如果，那么． 19．将下列命题改写成“如果……，那么……”的形式： (1)内错角相等，两直线平行； (2)两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等； (3)直角三角形两个锐角互余； (4)同角的余角相等． 20．在讨论“内错角相等”是不是命题时，甲认为：这不是命题，因为这句话是错误的．乙认为：这是命题，因为它作出了判断，只不过这一判断是错误的，你认为谁的说法是正确的？ 学科网（北京）股份有限公司 $