第九讲：平方根（寒假预习衔接讲义）（知识总结梳理+3大考点典例精讲+变式训练+高频精炼）-2025-2026学年七年级数学下册人教版

【寒假预习衔接讲义】2025-2026学年人教版七年级数学下册 第九讲：平方根 （知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：平方根的概念和计算 一般地，如果一个数x的平方等于α，即x2=α，那么这个数x叫作α的平方根或二次方根.例如3和-3是9的平方根.通常把3和-3合在一起简记为“±3”，则±3是9的平方根 知识点02：平方根的特征与表示方法 正数α的正的平方根记为“”，读作“根号α”，α叫作被开方数；正数α的负的平方根可以用“”表示，故正数α的平方根可以用“”表示，读作“正、负根号α”.例如，表示9的平方根，=±3.特别地，0的平方根记为. 知识点03：知识结构 考点1：平方根的概念理解 【典型例题】 下列结论中，正确的是（   ） A．的平方根是 B．0没有平方根 C．1的算术平方根是1 D．的平方根是 【答案】C 【分析】本题考查平方根和算术平方根的定义，解题的关键是掌握平方根、算术平方根的概念． 根据平方根和算术平方根的定义，逐一判断各选项的正误． 【详解】解：A、因为负数没有平方根，而是负数，所以没有平方根，故A错误； B、因为0的平方根是0，故B错误； C、因为若一个非负数的平方等于，即，则叫做的算术平方根，，所以1的算术平方根是1，故C正确； D、先计算，因为4的平方根是，所以的平方根是，故D错误． 故选：C． 【变式训练1】 下列各数没有平方根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方根定义，根据平方根的定义，在实数范围内，只有非负数才有平方根，负数没有平方根，因此，只需识别选项中的负数即可，正确理解平方根定义是解题的关键． 【详解】解：∵平方根在实数范围内仅对非负数有定义， ∴负数没有平方根， ∴选项符合题意， 故选：． 考点2：求一个数的平方根 【典型例题】 4的平方根是（   ） A．2 B． C． D．16 【答案】C 【分析】本题考查平方根，理解平方根的定义是正确解答的关键． 根据平方根的定义，一个正数的平方根有两个，互为相反数，由此即可解答． 【详解】解：∵ 且， ∴ 的平方根是． 故选：C． 【变式训练1】 若，则的平方根是（    ） A． B． C．或 D．1或3 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方根的概念，熟知如果一个数的平方等于，那么这个数就叫的平方根是解题的关键． 由 可得 x 的值，代入 求值，再求其平方根. 【详解】解：∵ ， ∴ . 当时，，的平方根为； 当时，，的平方根为. ∴的平方根是或. 故选：C． 考点3：求代数式的平方根 【典型例题】 已知代数式的值是4，则代数式的值是（    ） A．13 B．9 C．1 D．9或1 【答案】D 【分析】本题考查了代数式的求值以及求平方根，解题的关键是根据平方根的性质求出的值，再整体代入计算． 先由求出的值，再将变形为，最后整体代入求值． 【详解】解：因为， 所以， 对进行变形可得：， 当时，代入上式可得：， 当时，代入上式可得：， 所以，代数式的值是9或1， 故选：D． 【变式训练1】 若一个正数的平方根为和，则（    ） A．7 B．16 C．25 D．49 【答案】D 【分析】首先根据正数的两个平方根互为相反数，列的方程：（）+（）=0，解方程即可求得a的值，代入即可求得x的两个平方根，则可求得x的值． 【详解】∵一个正数x的平方根为和， ∴（）+（）=0， 解得：a=7. ∴=7，=-7， ∴x=(±7)  =49. 故选D. 【点睛】此题考查平方根，解题关键在于求出a的值. 考点4：已知一个数的平方根求这个数 【典型例题】 若a的平方根是，则a的值为（    ） A． B． C．7 D．49 【答案】D 【分析】本题主要考查平方根的定义，根据平方根的定义，若一个数的平方根是，则该数． 【详解】∵ a的平方根是， ∴ ， ∴ a的值为49． 故选：D． 【变式训练1】 已知的两个平方根是3和，则的值是（   ） A．3 B．49 C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解答本题的关键．如果一个数的平方等于a，则这个数叫做a的平方根，即，那么x叫做a的平方根，记作．正数有两个不同的平方根，它们是互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根． 根据平方根的定义求出的值，进而可知的值． 【详解】解：∵的两个平方根是3和， ∴， ∴， 故选：C． 一、单选题 1．下列说法正确的是（　　） A．的平方根是 B．的平方根是 C．1是1的平方根 D．1的平方根是1 【答案】C 【分析】本题考查了平方根的定义，解题的关键是明确负数没有平方根，一个正数的平方根有两个且互为相反数． 【详解】解：A、负数没有平方根，无平方根，此选项不符合题意； B、，的平方根是，此选项不符合题意； C、，故是的平方根，此选项符合题意； D、的平方根是，此选项不符合题意． 故选：C． 2．16的平方根是（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查平方根，根据平方根的性质，一个正数的平方根有两个，互为相反数， 16 的平方根是． 【详解】解：∵， ∴的平方根是， 故选：D． 3．已知一个数的一个平方根是2025，则它的另一个平方根为（    ） A．2025 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查“平方根的概念”，掌握两个平方根的关系是解题关键． 根据平方根的性质，一个正数的平方根有两个且互为相反数，由此即可判断出答案． 【详解】解：∵ 一个正数的平方根有两个，且互为相反数， 又∵ 一个平方根是2025， 则另一个平方根为， 故选：C． 4．的平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平方根的概念，明确一个正数的平方根有两个，互为相反数是解题的关键． 首先根据平方根的定义，一个正数的平方根有两个，互为相反数，列方程计算即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 5．一个自然数的一个平方根是a，则与它相邻的下一个自然数的平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方根，以及已知一个数的平方根，求这个数，先用a表示该自然数，然后再求出这个自然数相邻的下一个自然数，进而得到其平方根． 【详解】解：由题意可知：该自然数为， 该自然数相邻的下一个自然数为， 的平方根为． 故选：D． 6．一个正数的两个不同的平方根分别是和，则a的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查平方根的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 根据平方根的性质，一个正数的两个平方根互为相反数，因此它们的和为零，列出方程求解即可． 【详解】解：一个正数的两个不同的平方根分别是和，根据题意得： ， 即， 解得， 故选：B． 7．婺江是金华的母亲河，其水面宽度在不同地段有所差异．某段婺江的宽度是一个正数（单位：米），它的平方根是和，那么这段婺江的宽度是（   ） A．4米 B．16米 C．25米 D．36米 【答案】B 【分析】本题考查平方根的性质，解题的关键是掌握一个正数的两个平方根互为相反数． 根据正数的两个平方根互为相反数，列出关于的方程，求出后再计算这个正数（即婺江的宽度）． 【详解】解：因为一个正数的两个平方根互为相反数，所以， 解方程可得：， 那么这个正数（婺江的宽度）为． 故选：B． 8．中国清代学者华蘅芳与英国人傅兰雅合译的《代数术》卷首有“代数之法，无论何数，皆可以任何记号代之”，则2的平方根用符号可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方根的定义．根据平方根的定义，一个正数的平方根有两个，互为相反数，因此2的平方根应表示为正负两个值． 【详解】解：2的平方根用符号表示为 ． 故选：D． 二、填空题 9．的平方根是 ． 【答案】 【分析】先计算，再求2的平方根． 本题考查了算术平方根，平方根，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：， 2 的平方根有两个，分别为 和，即． 故答案为：． 10．若没有平方根，则x的值可能为 ． 【答案】2（答案不唯一） 【分析】根据平方根的性质，负数没有平方根，因此 ，解不等式可得 ，从而确定 的可能值． 本题主要考查了平方根的定义，熟练掌握负数没有平方根是解决本题的关键． 【详解】解：∵没有平方根， ∴，即， 解得， 因此 的值可能为2（或其他小于 2.5 的数） 故答案为：2． 11．，括号内应填写 ． 【答案】 【分析】本题考查平方根定义，熟记平方根定义是解决问题的关键． 根据平方根的定义，一个数的平方等于9，则这个数是9的平方根，即． 【详解】解：设括号内的数为， 则， 由平方根定义可得， 故答案为：． 12．一个正数的两个不相等的平方根是和，那么这个数是 ． 【答案】121 【分析】本题考查了平方根的性质，解题的关键是熟练掌握一个正数的两个不相等的平方根互为相反数． 根据平方根的性质，正数的两个不相等的平方根互为相反数，列出方程求解参数，再计算平方根的值，最后求原数． 【详解】解：由题意，得 ， 解得， 则一个平方根为， 因此这个正数为． 故答案为：121． 13．一个正数的平方根分别是和，则的值是 ． 【答案】49 【分析】本题考查了平方根的性质，掌握正数的两个平方根互为相反数是解题的关键． 根据正数的两个平方根互为相反数，列出方程求出的值，再代入求． 【详解】解：∵正数的两个平方根互为相反数， ∴ ， 整理得：， 解得：， 当 时， ，， ∴ ， 故答案为：． 14．若是的一个平方根，则 【答案】 【分析】本题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解题的关键． 根据平方根的定义，若一个数是的平方根，则它的平方等于． 【详解】解：由题意，是的一个平方根， 因此 ， 故答案为：． 15．若一个数的一个平方根是，则这个数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根的定义，解题的关键是明确一个数的平方根的平方等于该数本身；将已知的平方根进行平方运算，即可得到这个数． 【详解】解：根据平方根的定义，若一个数的一个平方根是，则这个数是． 故答案为：． 16．若，求的平方根是 ． 【答案】 【分析】根据非负数的性质列出方程求出、的值，代入所求代数式计算即可． 【详解】解：根据题意得：，， 解得：，， ， 的平方根是． 故答案为： 【点睛】本题考查了非负数的性质与求代数式的平方根，即几个非负数的和为0，则每个非负数都是0．现阶段学习的非负数的形式主要有三种：，，（为正整数）． 三、解答题 17．下列各数有平方根吗？如果有，求它的平方根；如果没有，说明理由． (1)； (2)； (3)； (4)0． 【答案】(1)； (2)没有平方根，理由见分析； (3)； (4)0 【分析】本题考查了平方根的定义，解题的关键是熟练掌握平方根的定义进行解题． （1）根据平方根的定义求解即可； （2）负数没有平方根； （3）根据平方根的定义求解即可； （4）根据平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：， 有平方根，平方根为； （2）解：没有平方根，理由如下： 没有实数的平方等于， 没有平方根； （3）解：， 有平方根，平方根为； （4）解：， 有平方根，平方根为0． 18．已知正数m的两个平方根是与，求a和m的值． 【答案】， 【分析】本题主要考查了平方根的定义和特点，掌握一个正数的两个平方根互为相反数是解答本题的关键． 根据一个正数的两个平方根互为相反数列式求得a，进而求得m即可． 【详解】解：∵一个正数m的两个不同的平方根与， ∴，解得： ∴， ∴． 19．已知 的平方根是， 的算术平方根是 4，求的算术平方根． 【答案】5 【分析】本题主要考查了平方根，算术平方根，正确理解定义是解题的关键． 根据平方根的定义求出a的值，根据算术平方根的定义求出b的值，再根据算术平方根的定义计算即可． 【详解】解：由题意，的平方根是：，得： ，解得． 的算术平方根是4，代入得： ，解得． ． 的算术平方根为： 答：的算术平方根是5． 20．已知数有平方根． (1)若数的平方根是它本身，求的值． (2)若和是数的平方根，求的值． 【答案】(1) (2)81或9． 【分析】本题考查了平方根的性质，解题关键是利用“平方根等于本身的数是” 和“一个数的两个平方根要么互为相反数，要么相等”这两个核心性质来建立方程． （1）一个数的平方根是它本身，说明这个数是，由此可列方程求； （2）一个数的平方根有两种情况：互为相反数或相等，需分类讨论，据此列方程求出，再代入求． 【详解】（1）解：∵数的平方根是它本身， ∴． 解得：． （2）解：∵和是数的平方根， ① 解得： 解得：． 将代入，得一个平方根为， ∴． ② 解得： 将代入，得一个平方根为， ∴． ∴ 的值为或． 学科网（北京）股份有限公司 $ 【寒假预习衔接讲义】2025-2026学年人教版七年级数学下册 第九讲：平方根 （知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：平方根的概念和计算 一般地，如果一个数x的平方等于α，即x2=α，那么这个数x叫作α的平方根或二次方根.例如3和-3是9的平方根.通常把3和-3合在一起简记为“±3”，则±3是9的平方根 知识点02：平方根的特征与表示方法 正数α的正的平方根记为“”，读作“根号α”，α叫作被开方数；正数α的负的平方根可以用“”表示，故正数α的平方根可以用“”表示，读作“正、负根号α”.例如，表示9的平方根，=±3.特别地，0的平方根记为. 知识点03：知识结构 考点1：平方根的概念理解 【典型例题】 下列结论中，正确的是（   ） A．的平方根是 B．0没有平方根 C．1的算术平方根是1 D．的平方根是 【变式训练1】 下列各数没有平方根的是（   ） A． B． C． D． 考点2：求一个数的平方根 【典型例题】 4的平方根是（   ） A．2 B． C． D．16 【变式训练1】 若，则的平方根是（    ） A． B． C．或 D．1或3 考点3：求代数式的平方根 【典型例题】 已知代数式的值是4，则代数式的值是（    ） A．13 B．9 C．1 D．9或1 【变式训练1】 若一个正数的平方根为和，则（    ） A．7 B．16 C．25 D．49 考点4：已知一个数的平方根求这个数 【典型例题】 若a的平方根是，则a的值为（    ） A． B． C．7 D．49 【变式训练1】 已知的两个平方根是3和，则的值是（   ） A．3 B．49 C．4 D． 一、单选题 1．下列说法正确的是（　　） A．的平方根是 B．的平方根是 C．1是1的平方根 D．1的平方根是1 2．16的平方根是（   ） A．2 B． C．4 D． 3．已知一个数的一个平方根是2025，则它的另一个平方根为（    ） A．2025 B．0 C． D． 4．的平方根是（   ） A． B． C． D． 5．一个自然数的一个平方根是a，则与它相邻的下一个自然数的平方根是（   ） A． B． C． D． 6．一个正数的两个不同的平方根分别是和，则a的值为（   ） A． B． C．1 D．2 7．婺江是金华的母亲河，其水面宽度在不同地段有所差异．某段婺江的宽度是一个正数（单位：米），它的平方根是和，那么这段婺江的宽度是（   ） A．4米 B．16米 C．25米 D．36米 8．中国清代学者华蘅芳与英国人傅兰雅合译的《代数术》卷首有“代数之法，无论何数，皆可以任何记号代之”，则2的平方根用符号可表示为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．的平方根是 ． 10．若没有平方根，则x的值可能为 ． 11．，括号内应填写 ． 12．一个正数的两个不相等的平方根是和，那么这个数是 ． 13．一个正数的平方根分别是和，则的值是 ． 14．若是的一个平方根，则 15．若一个数的一个平方根是，则这个数是 ． 16．若，求的平方根是 ． 三、解答题 17．下列各数有平方根吗？如果有，求它的平方根；如果没有，说明理由． (1)； (2)； (3)； (4)0． 18．已知正数m的两个平方根是与，求a和m的值． 19．已知 的平方根是， 的算术平方根是 4，求的算术平方根． 20．已知数有平方根． (1)若数的平方根是它本身，求的值． (2)若和是数的平方根，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $