5.1.2 导数的概念及其几何意义（第二课时）课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

5.1.2 导数的概念及其几何意义 （第二课时） 第五章 一元函数的导数及其应用 1 导数是平均变化率的极限，是瞬时变化率的数学表达. 1、导数（瞬时变化率）定义： 如果当 无限趋近于 0 时，平均变化率 无限趋近于一个确定的值，即 有极限，则称_________________________，并把这个确定的值叫做______________________(也称为__________ ) ,记作______或______. 用极限符号表示这个定义，就是 y ＝ f (x) 在x ＝ x0处可导 瞬时变化率 y＝f (x)在x＝x0处的导数 复习回顾 复习回顾 2、求函数 y＝f (x)在 x＝x0 处导数的步骤 第一步，写出 并化简； 第二步，求极限 ， 若 存在，则 明确学习目标 1、理解导数的几何意义,会求函数的导函数； 2、会求经过曲线上一点和不经过曲线上一点的切线方程. 4 思考： 观察函数 y＝f (x) 的图象， 平均变化率 表示什么？ 瞬时变化率 表示什么？ 割线P0P 的斜率 切线P0T 的斜率 P0 x y O y＝f (x) f (x0+Δx) f (x0) x0 x0+Δx f (x0+Δx)-f (x0) Δx T P 自主建构学习 在曲线y＝f (x)上任取一点P(x, f (x)) ，当点P(x, f (x))沿着曲线y＝f (x)无限趋近于点P0(x0, f (x0))时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定的位置的直线P0T 称为曲线y＝f (x)在点 P0 处的切线. x y O y＝f (x) f (x0) x0 T 切线的定义： P0 P 思考：此处的切线定义与初中学过的圆的切线定义有什么不同？ 初中学过的圆的切线是从直线和圆的公共点个数的角度定义的. 此处的切线定义是以逼近的方式对切线作出的定义； 追问2：通过逼近方式对切线作出的定义，是否适用于圆的切线呢？ P0 P 自主建构学习 思考：导数f ′(x0)的几何意义是什么？ 割线P0P 的斜率k 切线P0T 的斜率k0 点P → 点P0 函数 y＝f (x) 在x= x0处的导数 f ′(x0) 曲线 y＝f (x)在点P0(x0, f (x0))处切线的斜率k0 导数f ′(x0)的几何意义 质疑展示点津 P x y O T 即 质疑展示点津 探究新知 在点P0附近的曲线可以用点P0处的切线P0T 近似代替，这是微积分中重要的思想方法—以直代曲. x y O y＝f (x) f (x0) x0 T P0 P 思考：图中哪条直线最贴近点P0附近的曲线？ 下图是高台跳水运动中运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度随时间变化的函数h(t)=-4.9t2+4.8t+11的图象. 根据图象，请描述、比较曲线分别在t0, t1, t2 附近的变化情况. 在t0, t1, t2 附近的曲线 在t=t0, t1, t2处的切线 近似代替 斜率刻画 斜率的正负：增减趋势 斜率的大小：增减快慢 以直代曲 当堂体验训练 教材P68例4 12 质疑展示点津 导数几何意义理解中的两个关键： 关键点一：y＝f(x)在点x＝x0处的切线斜率k， 则k＞0⇔f ′(x0)＞0； k＜0⇔f ′(x0)＜0； k＝0⇔f ′(x0)＝0. 关键点二：|f ′(x0)|越大⇔在x0处瞬时变化越快； |f ′(x0)|越小⇔在x0处瞬时变化越慢. 12 小组互动合作 如图，点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))在函数f(x)的图象上，且x2<x1，则f′(x1)与f′(x2)的大小关系是(　　) A．f′(x1)>f′(x2) B．f′(x1)<f′(x2) C．f′(x1)＝f′(x2) D．不能确定 A 13 质疑展示点津 曲线f(x)在x＝x0附近的升降情况 切线的斜率k 切线的倾斜角 f′(x0)>0 上升 k>0 锐角 f′(x0)<0 下降 k<0 钝角 f′(x0)＝0 不升不降 k＝0 零角(切线与x轴平行或重合) 说明：切线斜率绝对值的大小反映了曲线在相应点附近上升或下降得快慢. 曲线的升降、切线的斜率与导数符号的关系如下表： 当堂体验训练 如图，直线l为曲线y＝f(x)在x＝4处的切线， 则f′(4)＝(　　) A.　　　 B．3 C．4 D．5 A 当堂体验训练 已知函数f(x)在R上可导，其部分图象如图所示，设，则下列不等式正确的是(　　) A．f′(1)<f′(2)<a B．f′(1)<a<f′(2) C．f′(2)<f′(1)<a D．a<f′(1)<f′(2) B 导函数的概念 质疑展示点津 这也是求函数在点 x0 处的导数的方法之一. (2)导函数 f′(x)是指某一区间内任意点x而言的,就是函数 f(x)的导数. (3)函数 f(x)在点x0处的导数 f′(x0) 就是导函数 f′(x)在x=x0处的函数值, . f′(x0)与f′(x)的联系与区别 质疑展示点津 当堂体验训练 直线的点斜式方程 解决切线问题的关键: 利用导数的几何意义求出切线的斜率k0=f′(x0). 当堂体验训练 在曲线上取一点，使得在该点处的切线： (1)平行于直线y＝4x－5； (2)垂直于直线2x－6y＋5＝0； (3)倾斜角为135°. 分别求出满足上述条件的点的坐标． 利用导数的几何意义解释实际生活问题,体会“数形结合”,“以直代曲”的数学思想方法. 总结反思提升 巩固检查测试 1．曲线在点处的切线的倾斜角为(　　) A．30°　　 B．45° C．135° D．60° 2、求曲线y＝-2x2+1在点(1,-1)处的切线方程. $