第2章 第2节 振动的描述-【优学精讲】2024-2025学年高中物理选择性必修第一册教用Word(鲁科版)

第2节　振动的描述 1．知道振幅、周期、频率的概念，理解周期和频率的关系，知道全振动的含义。　2.知道简谐运动的图像是一条正弦(或余弦)图像。　3.会根据图像得出简谐运动的数学表达式，并理解各物理量的意义。　 一、振动特征的描述 1．振幅 (1)定义：振动物体离开平衡位置的____________________，用A表示。 (2)物理意义：表示____________________的物理量，是标量。 2．周期和频率 (1)全振动 ①振子以相同的速度相继两次通过同一位置所经历的过程，即一个完整的振动过程。 ②不管以哪里作为开始研究的起点，弹簧振子完成一次全振动的时间总是相等的。 (2)周期和频率 ①周期：物体完成一次全振动所经历的______________，用T表示，国际单位是秒，符号为s。 ②频率：在一段时间内，物体完成全振动的____________与这段时间之比，用f表示，单位是赫兹，符号为Hz。 ③周期T与频率f的关系：f＝。 ④物理意义：周期和频率都是表示物体______________的物理量，周期越短，频率______________，表明物体振动越快；物体振动周期越长，频率越低，表明物体振动越慢。 (3)固有周期(或固有频率)：物体仅在回复力作用下的振动周期(或频率)，称为固有周期(或固有频率)。固有周期和固有频率是振动系统本身的属性。 二、简谐运动的位移图像 1．坐标系的建立 建立平面直角坐标系，横坐标表示____________，纵坐标表示弹簧振子相对于____________的位移x。 2．图像的特点 一条正弦(或余弦)曲线。如图所示。 3．物理意义 (1)它能直观地表示做简谐运动物体的________________随____________________________按正弦(或余弦)规律变化的情况。 (2)在振动图像上还可以表示出振幅A和周期T。曲线在纵轴方向上的最大值等于____________，相邻两个相同状态间隔的时间等于____________________。 三、简谐运动的位移公式 1．以平衡位置为坐标原点，用x代表振动物体偏离____________________的位移，以物体沿x轴正方向运动至平衡位置的时刻作为计时零点，则简谐运动的位移公式为x＝__________________________________________。 2．角速度ω称为简谐运动的____________，表示简谐运动的快慢，它与简谐运动周期之间的关系为ω＝。 拓展：简谐运动的相位 (1)一般情况下位移的关系式可写成x＝A sin (ωt＋φ0)。式中，____________是简谐运动的相位，φ0是简谐运动的___________________________。 (2)当两个振动的相位差是____________的整数倍时，两个振动的步调一致；当两个振动的相位差为____________的奇数倍时，两个振动的步调正好相反。 判断下列说法是否正确。 (1)振幅随时间做周期性变化。(　　) (2)物体两次通过平衡位置的时间叫作周期。(　　) (3)简谐运动图像反映了物体在不同时刻相对于平衡位置的位移。(　　) (4)振动位移的方向总是背离平衡位置。(　　) (5)简谐运动的图像描述的是振动质点的轨迹。(　　) (6)只要质点的位移随时间按正弦规律变化，这个质点的运动就是简谐运动。(　　) 提示：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)×　(6)√ [答案自填] 最大距离　振动强弱　时间　次数　振动快慢　越高　时间t　平衡位置 位移　时间　振幅A　周期T　平衡位置　A sin ωt　圆频率　ωt＋φ0　初相位　2π　π 知识点一　描述简谐运动的物理量 理想弹簧振子如图所示，O点为它的平衡位置，其中A、A′点关于O点对称。 (1)从振子某一时刻经过O点开始计时，至下一次再经过O点的时间为一个周期吗？ (2)先后将振子拉到A点和B点由静止释放，两种情况下振子振动的周期相同吗？振子完成一次全振动通过的位移相同吗？路程相同吗？ [提示]　(1)不是。经过一个周期振子一定从同一方向经过O点，即经过一个周期，位移、速度均第一次同时与初始时刻相同。 (2)周期相同，振动的周期取决于振动系统本身，与振幅无关。位移相同，均为零。路程不相同，一个周期内振子通过的路程与振幅有关。　 1．振幅与位移：振动中的位移是矢量，振幅是标量。在数值上，振幅与振动物体的最大位移相等，在同一简谐运动中振幅是确定的，而位移随时间做周期性的变化。 2．振幅与路程：振动中的路程是标量，是随时间不断增大的。其中常用的定量关系是：一个周期内的路程为4倍振幅，半个周期内的路程为2倍振幅。 3．振幅与周期：在简谐运动中，一个确定的振动系统的周期(或频率)是固定的，与振幅无关。 4．对全振动的理解 (1)物理量特征：位移(x)、加速度(a)、速度(v)三者第一次同时与初始状态相同。 (2)时间特征：历时一个周期。 (3)路程特征：振幅的4倍。 (4)相位特征：增加2π。 5．简谐运动的周期性 简谐运动是一种周期性的运动，根据其周期性可作如下判断： (1)若t2－t1＝nT，则在t1、t2两时刻振动物体在同一位置，运动情况相同。 (2)若t2－t1＝nT＋T，则在t1、t2两时刻，描述运动物体的物理量(x、F、a、v)均大小相等，方向相反。 (3)若t2－t1＝nT＋T或t2－t1＝nT＋T，则当t1时刻物体到达最大位移处时，t2时刻物体到达平衡位置；当t1时刻物体到达平衡位置时，t2时刻物体到达最大位移处；当t1时刻物体在其他位置时，t2时刻物体到达何处要视具体情况而定。 角度1　简谐运动物理量的分析 如图所示，将弹簧振子从平衡位置O向右拉开4 cm后放手，让它做简谐运动，已知从放手到第一次回到平衡位置的时间为0.1 s。 (1)求弹簧振子的振幅、周期、频率。 (2)求2 s内完成全振动的次数。 (3)求振子从开始运动经过2.5 s的位移的大小。此刻正要向哪个方向做怎样的运动？ (4)求振子经5 s通过的路程。 (5)若将弹簧振子从平衡位置向右拉开6 cm后释放，运动过程中的振幅、周期、频率变为多大？ [解析]　(1)根据振幅的定义，可知振幅A＝4 cm；由于一周期内有4个等时的运动阶段，从最大位移处到第一次回到平衡位置运动的时间为，所以周期T＝0.1 s×4＝0.4 s，频率f＝＝2.5 Hz。 (2)因为T＝0.4 s，t1＝2 s＝5T，所以2 s内完成了5次全振动。 (3)经过2.5 s，t2＝2.5 s＝T 振子经整数周期恰好回到原来位置(即右侧最大位移处)，再经振子正向左经过平衡位置，所以2.5 s末振子的位移为零，向左做加速度增大的减速运动。 (4)由于振子在一个周期内运动的路程为4倍的振幅，t3＝5 s＝12.5T，所以振子经过5 s通过的路程s＝12.5×4×0.04 m＝2 m。 (5)由于振子振动的周期与振幅无关，所以振子的振幅变为6 cm，而周期与频率均不变。 [答案]　(1)4 cm　0.4 s　2.5 Hz　(2)5 (3)零　向左做加速度增大的减速运动　(4)2 m (5)6 cm　0.4 s　2.5 Hz 角度2　简谐运动的周期性 弹簧振子做简谐振动，若从平衡位置O开始计时，如图，经过0.2 s(0.2 s小于振子的四分之一振动周期)时，振子第一次经过P点，又经过了0.2 s，振子第二次经过P点，则振子的振动周期为(　　) A．0.4 s　　　　 B．0.8 s C．1.0 s D．1.2 s [解析]　由题意可知，振子从O开始向右运动，设振子向右运动的最远点为Q，根据对称性可知振子从P向右第一次运动到Q的时间为0.1 s，则振子从O向右第一次运动到Q的时间为0.3 s，所以振子的周期为1.2 s，故D正确。 [答案]　D 知识点二　简谐运动的图像及应用 1．对简谐运动图像(x－t图像)的认识 (1)图像形状：正(余)弦曲线。 (2)物理意义：表示振动质点在不同时刻偏离平衡位置的位移，是位移随时间的变化规律。 2．获取信息 (1)任意时刻质点的位移的大小和方向。如图甲所示，质点在t1、t2时刻的位移分别为x1和－x2。 　　 　　甲　　　　　　　　　乙 (2)任意时刻质点的振动方向：看下一时刻质点的位置，如图乙中质点在a位置时，下一时刻离平衡位置更远，故此刻质点沿x轴正方向振动。 (3)简谐运动中速度和位移的关系：看下一时刻质点的位置，判断是远离还是靠近平衡位置。若远离平衡位置，则速度越来越小，位移越来越大，若靠近平衡位置，则速度越来越大，位移越来越小，如图乙中质点在b位置时，从正向位移处向着平衡位置运动，则速度为负且增大，位移正在减小，质点在c位置时，从负向位移处远离平衡位置运动，则速度为负且减小，位移正在增大。 (多选)如图所示的是一做简谐运动的物体的振动图像，下列说法正确的是(　　) A．振动周期是2×10－2 s B．第2个10－2 s内物体的位移是－10 cm C．物体的振动频率为25 Hz D．物体的振幅是10 cm [解析]　由题图可知，物体完成一次全振动需要的时间为4×10－2 s，故周期为T＝4×10－2 s，A错误；在第2个10－2 s内，即在1×10－2 s到2×10－2 s内物体由正向的10 cm处到达平衡位置，故位移为x＝0－10 cm＝－10 cm，B正确；频率f＝＝Hz＝25 Hz，C正确；由题图可知，物体的最大位移为10 cm，则振幅为10 cm，故D正确。 [答案]　BCD (多选)(2024·广东中山校考)如图甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动。取向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化关系如图乙所示，下列说法正确的是(　　) A.t＝0.8 s时，振子的速度方向向右 B．t＝0.2 s时，振子在O点右侧 C．t＝0.4 s和t＝1.2 s时，振子的加速度大小相等，方向完全相反 D．t＝0.4 s到t＝0.8 s的时间内，振子的速度逐渐减小 [解析]　由题图乙知，t＝0.8 s时，图线的斜率为负，说明振子的速度为负，即振子的速度方向向左，A错误；从题图乙可知，t＝0.2 s时x＞0，说明振子在O点右侧，B正确；t＝0.4 s和t＝1.2 s时，振子的位移完全相反，由a＝－，知振子的加速度大小相等，方向完全相反，C正确；t＝0.4 s到t＝0.8 s的时间内，振子的位移减小，正向平衡位置靠近，速度逐渐增大，D错误。 [答案]　BC 知识点三　简谐运动表达式的理解和应用 1．简谐运动的表达式：x＝A sin (ωt＋φ0) 式中x表示振动质点相对于平衡位置的位移；t表示振动的时间；A表示振动质点偏离平衡位置的最大距离，即振幅。 2．各量的物理含义 (1)圆频率：表达式中的ω称为简谐运动的圆频率，它表示简谐运动物体振动的快慢。与周期T及频率f的关系为ω＝＝2πf。 (2)φ0表示t＝0时，简谐运动质点所处的状态，称为初相位或初相。ωt＋φ0代表做简谐运动的质点在t时刻处在一个运动周期中的哪个状态，所以代表简谐运动的相位。 3．从运动方程中得到的物理量 能够得到振幅、周期、圆频率和初相位，因此可应用运动方程和ω＝＝2πf对两个简谐运动比较周期、振幅和计算相位差。 角度1　简谐运动表达式的理解和应用 (2024·江苏省阜宁中学期中)一个质点在水平方向上做简谐运动的位移随时间变化的关系是x＝10sin 5πt(cm)，则下列判断正确的是(　　) A．该简谐运动的周期是0.2 s B．前1 s内质点运动的路程是200 cm C．0.4 s到0.5 s质点的位移在逐渐增大 D．t＝0.6 s时质点在正向最大位移处 [解析]　由简谐运动的位移随时间变化的关系知圆频率ω＝5π rad/s，周期T＝＝0.4 s，A错误；由简谐运动的位移随时间变化的关系知振幅A＝10 cm，前1 s内质点运动的路程s＝×4A＝100 cm，B错误；0.4 s到0.5 s质点由平衡位置向最大位移处运动，C正确；t＝0.6 s时刻质点位移x＝10sin (5π×0.6)(cm)＝0，质点经过平衡位置，D错误。 [答案]　C 如图所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C两点之间做简谐运动。B、C相距20 cm。振子从B点到第二次经过O点，所用时间为0.75 s。若振子向右经过OB的中点P时开始计时，则振子的位移—时间关系为(　　) A．x＝0.2sin m B．x＝0.1sin m C．x＝0.1sin m D．x＝0.2sin m [解析]　弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C两点之间做简谐运动。B、C相距20 cm，所以振幅为0.1 m，振子从B点到第二次经过O点，所用时间为0.75 s，所以T＝0.75 s，ω＝＝2π rad/s，则x＝0.1sin (2πt＋φ) m，振子向右经过OB的中点P时开始计时，t＝0时x＝5 cm，代入上式得x＝0.1sin m。　 [答案]　C 角度2　简谐运动的表达式和振动图像的结合 (2024·湖南张家界民族中学期中)一做简谐运动的弹簧振子的振动图像如图所示，请根据图像，求： (1)该振子做简谐运动的振幅A、圆频率ω、初相φ0； (2)该振子在前12 s内通过的路程； (3)用正弦函数表示的该振子的振动方程。 [解析]　(1)根据振动图像可知，简谐运动的振幅A＝4 cm，周期T＝4 s，则圆频率ω＝＝，从负向最大位移处开始，所以初相φ0＝π。 (2)在前12 s内即运动3T，通过的路程s＝3×4A＝48 cm。 (3)用正弦函数表示该振子的振动方程x＝A sin (ωt＋φ0)＝4sin (t＋)cm。 [答案]　(1)4 cm　　π　(2)48 cm (3)x＝4sin (t＋)cm 1．(描述简谐运动的物理量)(多选)一个质点做简谐运动的图像如图所示，下列结论正确的是(　　) A．质点的振动频率为4 Hz B．在10 s内质点通过的路程是20 cm C．在第5 s末，质点的速度为0 D．在t＝1.5 s和t＝4.5 s两时刻质点的速度方向相同 解析：选BC。由题图读出周期为T＝4 s，则频率为f＝＝0.25 Hz，故A错误；质点在一个周期内通过的路程是4个振幅，t＝10 s＝2.5T，则在10 s内质点经过的路程是s＝2.5×4A＝10×2 cm＝20 cm，故B正确；在第5 s末，质点位于最大位移处，速度为0，故C正确；由题图看出，在t＝1.5 s和t＝4.5 s两时刻质点位移相同，由于两个时刻图线的切线方向相反，所以速度方向相反，故D错误。 2．(简谐运动的表达式)如图所示，水平弹簧振子沿x轴在M、N间做简谐运动，坐标原点O为振子的平衡位置，其振动方程为x＝5cos 10πt (cm)。下列说法正确的是(　　) A．M、N间距离为5 cm B．振子的运动周期是0.2 s C．t＝0时，振子位于O点 D．t＝0.05 s时，振子具有最大加速度 解析：选B。由函数关系式可知，振幅为5 cm，即O、M间的距离是5 cm，M、N间的距离是10 cm，故A错误；由函数式可知ω＝10π，故周期T＝＝0.2 s，故B正确；t＝0时，代入表达式可知x＝5 cm，即振子处于N位置，故C错误；把t＝0.05 s代入得x＝0，即处于平衡位置，振子的加速度为0，速度最大，故D错误。 3．(简谐运动图像)(多选)(2024·贵州六盘水统考期中)质点a、b的振动图像分别如图中实线和虚线所示，下列说法正确的是(　　) A．质点a、b振动的振幅均为20 cm B．质点a、b振动的频率之比为1∶2 C．质点a、b振动的周期之比为2∶1 D．质点a、b在0.2 s内运动的路程之比为2∶1　 解析：选AD。由题图可知质点a、b振动的振幅均为20 cm，故A正确；质点a的周期为0.2 s、质点b的周期为0.4 s，则a、b振动的周期之比为1∶2，频率之比为2∶1，故B、C错误；质点a在0.2 s内的路程为80 cm，质点b在0.2 s内的路程为40 cm，则运动的路程之比为2∶1，故D正确。 4．(简谐运动的对称性和周期性)(多选)弹簧振子做机械振动，若从平衡位置O开始计时，经过0.3 s时，振子第一次经过P点，又经过了0.2 s，振子第二次经过P点，则到该振子第三次经过P点可能还需要的时间为(　　) A.1.2 s　　　　　　 　 B． s C．0.4 s D．1.4 s 解析：选BD。假设振子从平衡位置开始向右运动，当P点在右侧时，由题意可知＝0.3 s＋ s＝0.4 s，该振子第三次经过P点还需要的时间为t1＝2×＋0.3×2 s＝1.4 s，当P点在左侧时，由题意可知＝0.3 s＋ s＝0.4 s，可得T2＝ s，该振子第三次经过P点还需要的时间为t2＝T2－0.2 s＝ s。 5．(简谐运动的描述)(2024·山东淄博期中)一水平弹簧振子做简谐运动，其位移与时间的关系如图所示。 (1)写出该简谐运动的表达式。 (2)求t＝0.9 s时的位移。 (3)求振子在前3.6 s内通过的路程。 解析：(1)由图像可知A＝2 cm，T＝0.8 s 则ω＝＝ rad/s 所以该简谐运动表达式为x＝2sin (πt)cm。 (2)将t＝0.9 s代入(1)式得t＝0.9 s时的位移 x＝2sin (×0.9)cm＝2sin ()cm＝ cm。 (3)在前3.6 s内，经过的周期数n＝＝4.5， 振子在1T内通过的路程为4A，0.5T内通过的路程为2A，则在前3.6 s内振子通过的路程x＝4×4A＋2A＝18A＝36 cm。 答案：(1)x＝2sin (πt)cm　(2) cm　(3)36 cm 学科网（北京）股份有限公司 $