精品解析：天津市河北区2025-2026学年高二第一学期质量检测数学试题

河北区2025—2026学年度第一学期期末高二年级质量检测 数学 一､选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列图形中，对直线的倾斜角与斜率描述正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知双曲线的渐近线方程为，则实数的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 3. 如果，a，b，c，成等比数列，那么（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 已知抛物线经过点，则抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 数列的前n项和，则（        ） A. 140 B. 120 C. 40 D. 50 6. 若两平行直线与之间的距离是，则（ ） A. B. C. 12 D. 14 7. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则能使的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 下列关于圆的说法中错误的是（ ） A. 圆的圆心为，半径为2 B. 直线与圆相交 C. 圆与圆相交 D. 过点作圆的切线，则切线方程为 9. 已知圆的方程为，过点的条弦长组成一个等差数列，且过点的最短弦长和最长弦长分别为，则（ ） A. 5 B. 6 C. 9 D. 10. 灯笼是起源于我国的一种传统民俗工艺品，在古代，其主要作用是照明，现代社会多用于春节、元宵节等节日悬挂，为佳节喜日增光添彩．如图是灯笼的一种，该灯笼的轴截面为椭圆，横截面为圆，已知该灯笼轴截面的离心率为，在距离最大横截面6cm处的横截面的周长为，则该灯笼的高为（ ） A. B. C. 10cm D. 20cm 二､填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分.答案填在题中横线上. 11. 已知点，若直线的斜率为2，则__________. 12. 圆和圆的公共弦所在的直线方程_________． 13. 在空间直角坐标系中，平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则平面与平面的夹角为__________. 14. 已知首项为1的正项等比数列满足，则的通项公式为__________；设，若为数列的前项和，则__________. 15. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线右支上，直线的斜率为2.若是直角三角形，且面积为8，则双曲线的离心率为__________. 三､解答题：本大题共4个小题，共40分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 16. 已知圆的方程为． （1）求实数的取值范围； （2）若圆与直线交于，两点，且，求的值． 17. 长方体中，分别为中点，且. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值， （3）求点到平面的距离. 18. 已知是等差数列，其前项和为是等比数列，已知，是和的等比中项. （1）求和的通项公式； （2）对任意的正整数，设，求数列的前项和； （3）若对于恒成立，求实数的取值范围. 19. 已知椭圆的离心率为，长轴长为. （1）求椭圆的方程； （2）为椭圆的左､右焦点，点在椭圆上，且点是第一象限的点，若，求点的坐标； （3）过点的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，若的面积为，求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北区2025—2026学年度第一学期期末高二年级质量检测 数学 一､选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列图形中，对直线的倾斜角与斜率描述正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据倾斜角定义及倾斜角与斜率的关系可以判断. 【详解】对于:倾斜角为钝角, 且,则,与已知矛盾, 故错误; 对于:倾斜角定义:轴正向与直线向上的方向之间所成的角为倾斜角, 倾斜角错误,故错误; 对于:倾斜角为钝角, 且,则,,故正确; 对于:倾斜角定义:轴正向与直线向上的方向之间所成的角为倾斜角, 倾斜角错误,故错误; 故选: . 2. 已知双曲线的渐近线方程为，则实数的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】先判断双曲线的焦点在轴上，再由其渐近线方程列出关于的方程求解即得. 【详解】因为方程表示双曲线，所以， 又双曲线的焦点在轴上，所以其渐近线方程为， 由解得. 故选：A 3. 如果，a，b，c，成等比数列，那么（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等比数列性质求解. 【详解】依题意，，，得， 所以. 故选：B 4. 已知抛物线经过点，则抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将点代入抛物线方程求出，再由标准方程求得焦点坐标. 【详解】因为点在抛物线上，所以，解得， 故抛物线的方程为，所以其焦点坐标为. 故选：C 5. 数列的前n项和，则（        ） A. 140 B. 120 C. 40 D. 50 【答案】C 【解析】 【分析】根据的关系即可求解. 【详解】由可得， 故选：C 6. 若两平行直线与之间的距离是，则（ ） A. B. C. 12 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线平行求出，再利用平行线距离公式即可求出，即可求解. 【详解】因为直线与平行， 所以，即， 因为直线与直线的距离为， 所以，即，解得或（舍去）， 故． 故选：C. 7. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则能使的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】 利用可得，逐一检验即可得正确选项. 【详解】对于选项A：，故选项A不正确； 对于选项B：，故选项B不正确； 对于选项C：，所以，所以，故选项C 正确； 对于选项D：，故选项D不正确； 故选：C 8. 下列关于圆的说法中错误的是（ ） A. 圆的圆心为，半径为2 B. 直线与圆相交 C. 圆与圆相交 D. 过点作圆的切线，则切线方程为 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆的标准方程求出其圆心和半径，即可判断A；求出圆的圆心到直线的距离，再和半径比较，即可判断直线和圆的位置关系，即可判断B；先求出圆与圆的圆心距，再去和比较，即可判断两圆的位置关系，即可判断C；先判断点在圆上，再利用过切点的切线与过切点的半径垂直，求出切线斜率，进而得到切线方程，即可判断D. 【详解】由圆的标准方程可知其圆心为，半径，故A正确； 因为圆的圆心到直线的距离， 所以直线与圆相交，故B正确； 因为圆的圆心为，半径， 所以两圆的圆心距， 因为，所以圆与圆相交，故C正确； 将点代入圆的方程可得， 可知点在圆上，且为切点，所以过切点的切线与过切点的半径垂直. 因为半径所在直线的斜率为，所以切线的斜率为， 所以切线方程为，即，故D错误. 故选：D 9. 已知圆的方程为，过点的条弦长组成一个等差数列，且过点的最短弦长和最长弦长分别为，则（ ） A. 5 B. 6 C. 9 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据圆心到点的距离与圆半径的关系确定点与圆的位置关系，再分别确定过点的最短弦长和最长弦长，最后由等差中项的性质计算即可． 【详解】 的标准方程为，圆心为，半径， 又点到圆心的距离， 点在圆内， 过点的最短弦长是与过点的直径垂直的弦长，则， 过点的最长弦长为直径，， 又过点的条弦长组成一个等差数列， ，解得，故C正确． 故选：C． 10. 灯笼是起源于我国的一种传统民俗工艺品，在古代，其主要作用是照明，现代社会多用于春节、元宵节等节日悬挂，为佳节喜日增光添彩．如图是灯笼的一种，该灯笼的轴截面为椭圆，横截面为圆，已知该灯笼轴截面的离心率为，在距离最大横截面6cm处的横截面的周长为，则该灯笼的高为（ ） A. B. C. 10cm D. 20cm 【答案】B 【解析】 【分析】设轴截面椭圆的方程为的值轴截面椭圆经过的点坐标的值该灯笼的高． 【详解】设轴截面椭圆的方程为，由题意可知，，则． 记在距离最大横截面6cm处的横截面圆的半径为，则，解得， 所以点在椭圆上，即，解得， 所以该灯笼的高为． 故选：B. 二､填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分.答案填在题中横线上. 11. 已知点，若直线的斜率为2，则__________. 【答案】9 【解析】 【分析】根据过两点的直线的斜率公式计算即可得解. 【详解】已知点，且直线的斜率为2， 代入过两点的直线的斜率公式可得，解得. 故答案为：9 12. 圆和圆的公共弦所在的直线方程_________． 【答案】 【解析】 【分析】将展开得一般式方程，与圆联立，即可得答案. 【详解】圆展开可得，即， 与圆联立可得，即， 所以两圆公共弦所在的直线方程为. 故答案为： 13. 在空间直角坐标系中，平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则平面与平面的夹角为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据平面与平面夹角的向量求法，直接求解即可. 【详解】设平面与平面所成角为， 由平面的一个法向量为，平面的一个法向量为， 所以， 所以平面与平面的夹角为， 故答案为：. 14. 已知首项为1的正项等比数列满足，则的通项公式为__________；设，若为数列的前项和，则__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第一空：由先求出 ，然后利用等比数列通项公式求出即可；第二空：将的表达式代入中进行化简得出的通项公式，然后利用裂项相消法求出即可求出. 【详解】设等比数列的公比为， 因为且， 所以， 解得 ，所以 ， 由，则， 所以， 所以， 所以， 故答案为：；. 15. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线右支上，直线的斜率为2.若是直角三角形，且面积为8，则双曲线的离心率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设，可利用斜率的关系及正弦定理，得到三边的比例关系，由面积公式求出，进而得出，结合双曲线的定义再求出即可. 【详解】如图，作出符合题意的图形， 由题可知，点必落在第四象限，， 设，， 由可得， 因为，所以， 所以，即，所以， 由正弦定理可得：， 则由得， 由得， 则， 由双曲线的定义可得：，所以， 所以双曲线的离心率为. 故答案为：. 三､解答题：本大题共4个小题，共40分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 16. 已知圆的方程为． （1）求实数的取值范围； （2）若圆与直线交于，两点，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将圆的方程配方，由题意得，求解即得； （2）结合图形，由垂径定理求出，在中列出方程，求解即得. 【小问1详解】 方程可化为， 此方程表示圆，，即， 故实数的取值范围是； 【小问2详解】 由（1）可得圆心，半径， 如图，过点作于点，则， 圆心到直线的距离为， 由图可得：，即， 解得：． 即的值为2. 17. 长方体中，分别为中点，且. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值， （3）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见详解 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，连接，利用勾股定理，证得，由平面，证得平面，得到，结合线面垂直的判定定理，即可证得平面； （2）以为坐标原点，建立坐标系，写出相应点的坐标，写出和求出平面的法向量，结合线面角的向量法求解即可； （3）在（2）基础上求出，再利用向量法求得到平面的距离即可. 【小问1详解】 连接，如图所示： 因为为 中点，且， 在直角中，可得， 在直角中，可得， 在直角中，可得， 所以，所以， 在长方体中，可得平面， 因为平面，所以， 又因为分别为的中点， 可得，所以， 因为，且平面， 所以平面. 【小问2详解】 以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示， 因为，可得: ， 则， 由平面，所以向量为平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 由，则 又平面的一个法向量为， 所以到平面的距离为： . 18. 已知是等差数列，其前项和为是等比数列，已知，是和的等比中项. （1）求和的通项公式； （2）对任意的正整数，设，求数列的前项和； （3）若对于恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用及求出，再结合，是和的等比中项可求出； （2）利用错位相减法即可求出； （3）将不等式转化为，再构造数列，通过判断数列的单调性可得数列值，进而可得所求值的范围. 【小问1详解】 设数列的公差为，等比数列的公比为， 则，得， 所以， 则，， 由是和的等比中项，则，解得，      又由，所以，所以. 【小问2详解】 由（1）可得，                  则， ，               将两式相减得：， 解得； 【小问3详解】 由（1）知，，，代入 得，即对于恒成立. 令，则，则， 所以当时，，数列递增，即； 当时，； 当时，，数列递减. 所以或3时，数列有最大值， 要使对于恒成立，所以. 故实数m的取值范围. 19. 已知椭圆的离心率为，长轴长为. （1）求椭圆的方程； （2）为椭圆的左､右焦点，点在椭圆上，且点是第一象限的点，若，求点的坐标； （3）过点的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，若的面积为，求. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由离心率得，长轴长为，结合，解出即可； （2）设，代入椭圆方程中得到一个方程，再表示出，根据得出方程，联立解出即可； （3）设直线的方程为，联立直线方程和椭圆方程得出韦达定理，表示出弦即为的底，再利用点到直线距离公式求出以为底的高，表示出的面积解出参数，然后代入的表达式中即可. 【小问1详解】 由椭圆的离心率为，所以，① 长轴长为，则，② 又，③ 联立①②③解得：， 所以椭圆的方程为：. 【小问2详解】 由题意如图所示： 由（1）知， 由点在椭圆上，且点是第一象限的点 设，且，④ 此时， 由，即， 化简得：，⑤ 将⑤代入④解得：或（舍去）， 将代入⑤中解得或（舍去）， 所以点的坐标为：. 【小问3详解】 由题意知直线的斜率存在且不为0，设直线的斜率为， 则设直线的方程为：即，如图所示： 设， 联立，消去整理得：， 由， 所以， 根据弦长公式得： ， 又到直线的距离为： ， 所以， 解得：，满足题意， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $