21.1 四边形及多边形 课件 2025-2026学年人教版数学八年级下册

21.1 四边形及多边形 21.1.1 四边形及其内角和 1. 理解四边形及其相关概念. 2. 能够辨别凸四边形与凹四边形. 3. 理解四边形的内角与外角的性质. 学 习 目 标 与三角形类似，如图，在平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫作四边形,组成四边形的各条线段叫作四边形的边，每相邻两条线段的公共端点叫作四边形的顶点.四边形用表示它的各个顶点的字母表示，例如：图中的四边形，可以按照顶点的顺序，记作“四边形ABCD”. A B C D 讲 授 新 课 图 2 图 1 A C B D A C B D 注意：今后，如无特殊说明，所讨论的四边形都是凸四边形. 如图1，画出四边形ABCD的任何一条边所在直线，整个四边形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫作凸四边形.而图2中的四边形ABCD就不是凸四边形,因为画出边AD（或DC）所在直线，整个四边形不都在这条直线的同一侧. 讲 授 新 课 A B C D 连接四边形不相邻的两个顶点的线段，叫作四边形的对角线. 在图中，AC，BD是四边形ABCD的两条对角线，它们分别将四边形ABCD分为两个三角形. 与三角形类似，四边形相邻两边组成的角叫作四边形的内角，简称四边形的角； 四边形的角的一边与另一边的延长线组成的角叫作四边形的外角. A B C D E 如∠ABC. 如∠ABE. 讲 授 新 课 我们知道，三角形的内角和是180°，长方形的内角和是360°.那么，任意一个四边形的内角和是多少度？你能证明你的结论吗？ 如图，四边形ABCD的一条对角线 AC 把它分成两个三角形，因此四边形的内角和可以利用三角形的相关知识解决. 思 考 A B C D 证一证： 已知四边形ABCD，求∠A+∠B+∠C+∠D=?. 如图，连接四边形ABCD的一条对角线 AC ，则四边形ABCD被分为△ABC和△ACD两个三角形. 4 3 2 1 在△ABC中，由三角形内角和定理，得 ∠1+∠B+∠3=180°. 同理 ∠2+∠4+∠D=180°. 由此可得∠BAD+∠B+∠BCD+∠D =∠1+∠2+∠B+∠3+∠4+∠D =（∠1+∠B+∠3）+（∠2+∠4+∠D） =180°+180°=360°. 即四边形的内角和等于180°. 合 作 探 究 A B C D 1 2 3 4 5 6 7 8 例1 如图，在四边形的每个顶点处各取个外角，这些外角的和叫作四边形的外角和.四边形的外角和等于多少？ 解：从图中可知： (∠1 +∠5)+(∠2 +∠6)+(∠3 +∠7)+(∠4 +∠8) =4×180°=720°， 又因为∠5 +∠6 +∠7 +∠8=360°， 所以∠1 +∠2 +∠3 +∠4 =720°-(∠5 +∠6 +∠7 +∠8)= 720°-360°=360°. 所以，四边形 ABCD 的外角和等于 360°. 典 例 精 析 ☀归纳 四边形的外角和等于360°. 新 知 小 结 如图，在每个角上钉一枚钉子，将四根木条钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？ 会 合 作 探 究 如图，在四边形的木架上再钉一根木条，将它的一对不相邻的顶点连接起来，然后扭动它，它的形状会改变吗？ 不会 这是为什么呢？ 合 作 探 究 三角形的三边一旦确定，其形状和大小就确定了，所以三角形具有_______. 稳定性 四边形各条边的长确定后，其形状不能确定，因此四边形具有__________. 不稳定性 新 知 小 结 在日常生活中，四边形的不稳定性，也有较为广泛的应用. 合 作 探 究 1.如图，在四边形中，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． B 2.四边形具有不稳定性，从数学角度看不稳定性主要体现在（    ） A．内角可发生变化 B．边长发生变化 C．周长发生变化 D．内角和发生变化 A 随 堂 练 习 3．如图，在四边形中，，是四边形的一个外角．若，则的度数为（    ） A． B． C． D．   D 4.已知四边形中，，，则 °． 5．如图，学校有一块四边形试验田，分割成 两块，由图可知， °． 120 3 随 堂 练 习 6．如图，四边形ABCD中，平分交于E，平分交于． (1)若，则_____； (2)探索猜想与的位置关系，并说明理由． 25 解：（2），理由如下： ∵， ∴. 随 堂 练 习 ∵平分，平分， ∴. ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴． 随 堂 练 习 四边形 四边形的概念 四边形的内角和 四边形的外角和 课 堂 总 结 21.1.2 多形边及其内角和 1.掌握多边形的相关概念. 2.会用分割法探索多边形的内角和计算公式.（难点） 3.运用多边形的内角和计算公式、外角和解决问题.（重点） 学 习 目 标 生活中的平面图形 三角形 长方形 四边形 六边形 八边形 新 课 导 入 与三角形、四边形类似，如图1，在平面内，由n（n≥3）条线段A1A2，A2A3，…，An-1An，AnA1首尾顺次相接，组成的图形叫作多边形． A1 An An-1 A2 A3 A4 A5 图1 A B C D E F 图2 多边形的边、顶点、内角、外角、对角线的概念与四边形相应的概念类似.多边形有几条边就叫作几边形. 多边形同样用表示它的各个顶点的字母表示，例如，图2中的六边形，记作“六边形ABCDEF”. 讲 授 新 课 顶点 内角 边 对角线 (连接不相邻两个顶点的线段) 多边形的相关元素 外角 表示：五边形ABCDE A C B D E 讲 授 新 课 与四边形类似，在多边形中，有的是凸多边形，有的不是凸多边形.今后，如无特殊说明，所讨论的多边形都是凸多边形. 我们知道，正方形的各个角都相等，各条边都相等．像正方形这样，各个角都相等、各条边都相等的多边形叫作正多边形．如图是正多边形的一些例子. 正三角形 正方形 正五边形 正六边形 讲 授 新 课 类比四边形的内角和的推导过程，你能推导出五边形和六边形的内角和各是多少度吗？ 如图，可以发现： 从五边形的一个顶点出发，可以作 条对角线，它们将五边形分为 个三角形，五边形的内角和等于 ×180°; 从六边形的一个顶点出发，可以作 条对角线，它们将六边形分为 个三角形，六边形的内角和等于 ×180°. 2 3 3 3 4 4 合 作 探 究 由上述推导过程，你能得出多边形的内角和与边数的关系吗？ A1 An An-1 A2 A3 A4 A5 一般地，从n边形的一个顶点出发，可以作（n-3）条对角线，它们将n边形分为（n-2）个三角形，n边形的内角和等于 （n-2）×180°. 合 作 探 究 这样就得出了多边形的内角和公式： n边形的内角和等于（n-2）×180°. 新 知 小 结 例1 求八边形的内角和. 解：八边形的内角和为 (n-2)· 180°=(8-2)×180°= 1080°. 解：设这个多边形的边数为n，根据题意，得 （n-2）×180°= 2160°， 解得 n = 14. 所以这个多边形的边数为14. 例2 已知一个多边形的内角和等于2160°，求这个多边形的边数. 典 例 精 析 与四边形的外角和类似，在多边形的每个顶点处各取一个外角，它们的和叫作多边形的外角和． 多边形的外角和等于多少度？请你说明理由. 与四边形类似，多边形的每一个内角与和它相邻的外角是邻补角，因此n边形的内角和与外角和的总和等于n×180°，外角和等于 多边形的外角和等于360°. n×180°-(n-2)×180°=360°. 合 作 探 究 例3 一个多边形的每个外角都是72°，这个多边形是几边形？ 解：设这个多边形的边数为 n，根据题意，得 n·72°= 360°， 解得 n = 5. 因此，这个多边形是五边形. 典 例 精 析 例4 一个多边形的内角和等于它的外角和的 2 倍，这个多边形是几边形？ 解：设这个多边形是 n 边形，根据题意，得 (n - 2)·180°= 2×360° 解得 n = 6. 因此，这个多边形是六边形. ☀方法总结 已知多边形的外角和与内角和的关系，利用多边形的外角和等于360°和多边形的内角和公式求该多边形的边数. 典 例 精 析 例5 一个正多边形，它的一个外角等于它的相邻的内角的，这个多边形是几边形？ 解：设这个多边形的内角是 x°，根据题意，得 180°- x = x 解得 x = 144. ∴ x =36，多边形的边数为360÷36=10. 因此，这个多边形是十边形. 方法总结：用多边形的外角和除以一个外角的度数可直接求多边形的边数. 典 例 精 析 1.判断． （1）当多边形边数增加时，它的内角和也随着增加． ( ) （2）从n边形一个顶点出发，可以引出（n-2）条对角线，得到（n-2）个三角形． ( ) （3）当多边形边数增加时，它的外角和也随着增加．( ) （4）三角形的外角和与八边形的外角和相等． ( ) × √ × √ 2.五边形的内角和为 ，它的对角线有 条． 540° 5 3.如果一个多边形的边数增加一条，那么这个多边形的内角和增加________. 180° 随 堂 练 习 4.一个多边形从一个顶点可引对角线3条，这个多边形内角和等于（ ） A.360° B.540° C.720° D.900° D 5.一个多边形的每一个外角都等于45°，这个多边形是几边形？它的每一个内角是多少度？ 解：360°÷ 45°=8，180°- 45°=135°. 答：这个多边形是八边形,它的每一个内角是135°. 随 堂 练 习 6.已知一个多边形的每个内角与外角的比都是 7∶2，求这个多边形的边数.(一题多解) 解法一：设这个多边形的内角为7x°，外角为2x°，根据题意,得 7x + 2x = 180， 解得 x = 20. ∴ 7x = 140，2x = 40. ∴360°÷40° = 9. 答：这个多边形的边数为 9. 随 堂 练 习 解法二：设这个多边形的边数为 n ，根据题意得 , 解得 n = 9. 答：这个多边形的边数为 9. 随 堂 练 习 多边形的相关概念 多边形及其内角和 内角和计算公式 (的整数） 外角和 多边形的外角和等于360° 特别注意：与边数无关. 课 堂 总 结 $