专题02 勾股定理中的翻折模型（几何模型讲义）数学新教材人教版八年级下册

专题02.勾股定理中的翻折模型 翻折问题属于图形变换中的实际问题，也是近些年中考试卷出题老师青睐的题型。在解决翻折问题的有关的题目中，要注意隐含的已知条件比较多。比如翻折前后的图形全等，这样就好出现相等的线段和相等的角；因为大部分翻折问题是对矩形进行翻折，所以翻折后由于线段交错，出现的直角三角形也引起注意；因为翻折问题本身是轴对称的问题，所以翻折前后对应点所连线段会被折痕所在直线垂直平分；折痕还会平分翻折所形成的的两个角。总之，翻折问题并不复杂，只要要把隐含已知条件熟记于心，再结合其他有关知识就能让此类问题迎刃而解了。 1 模型1.矩形翻折之折痕过对角线模型 5 模型2.矩形翻折之折痕过一个顶点模型 6 模型3.矩形翻折之折痕过边上任意两点模型 9 模型4.三角形翻折之折痕为一个顶角的角平分线模型 11 模型5.三角形翻折之过斜边中点所在直线翻折模型 12 模型6.三角形翻折之过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 14 16 翻折模型的历史来源可追溯至古代折纸艺术与几何学发展的结合，其演变过程主要包含以下关键阶段：工艺技巧→几何实践→数学理论的升华过程，其核心始终围绕‌轴对称变换的数学本质‌与‌现实应用的适应性‌展开。20世纪后，学者将折纸抽象为数学问题，聚焦“轴对称变换”的本质——翻折前后图形全等、对应点连线被对称轴垂直平分等核心性质。 （2024·四川雅安·中考真题）如图，把矩形纸片沿对角线折叠，使点C落在点E处，与交于点F，若，，则的值是 ． （2023·辽宁鞍山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在轴、轴正半轴上，点在边上，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处．若，，则点的坐标是 ．    1）矩形翻折之折痕过对角线模型:如图，沿着矩形的对角线所在直线进行翻折. 条件：已知矩形ABCD中，以对角线AC为折痕，折叠ABC，点B的对应点为B’. 结论：①≌；②折痕AC垂直平方BB’；③AEC是等腰三角形。 证明：根据翻折易证：≌；折痕AC垂直平方BB’；∠BAC=∠B’AC。 ∵四边形ABCD为矩形，∴AB//DC，∴∠BAC=∠ACD。 ∴∠B’AC=∠ACD，∴EA=EC，∴AEC是等腰三角形。 2）矩形翻折之折痕过一个顶点模型：沿着矩形的一个顶点和一边上的点的线段所在直线进行翻折。 条件：已知矩形ABCD中，以AE为折痕，点B的对应点为B’。 结论：①如图1，折在矩形内，①≌；②折痕AC垂直平方BB’。 ②如图2，折在矩形边上，①≌；②折痕AC垂直平方BB’。 ③如图3，折在矩形外，①四边形≌四边形；②折痕AC垂直平方BB’；③AEF是等腰。 证明：由翻折易得：①②成立。 由翻折得：∠BAE=∠B’AE。 ∵四边形ABCD为矩形，∴AB//DC，∴∠BAE=∠DAE。 ∴∠B’AE=∠DAE，∴FA=FE，∴AEF是等腰三角形。 3）矩形翻折之折痕过边上任意两点模型：沿着矩形边上的任意两点所在直线进行翻折。 条件：已知矩形ABCD中，以E，F为折痕，点B的对应点为B’，点C的对应点为C’. 结论：如图1，折在矩形内，①≌；②折痕EF垂直平方BB’。 如图2，折在矩形边上，①四边形≌四边形；②折痕EF垂直平方BB’。 如图3，折在矩形外，①四边形≌四边形；②折痕AC垂直平方BB’；③GC’F是。 证明：由翻折易得：①②成立。 ∵四边形ABCD为矩形，∴∠C=90°。由翻折得：∠C’=∠C=90°。∴GC’F是直角三角形。 4）三角形翻折之折痕为一个顶点角平分线翻折模型 1）沿过点A的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为AD； 2）沿过点C的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为CD； 3）沿过点B的直线翻折使得点A的对应点为E落在BC边上，折痕为BD。 5）三角形翻折之过斜边中点所在直线翻折模型 1）沿直线MN（N为斜边中点）翻折使得点A与点C重合； 2）沿中线BE翻折，使得点A落在点F处，连结AF，FC，AF与BE交于点O. 3）沿中线BE翻折，使得点C落在点D处，连结AD，CD. 6）三角形翻折之过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 1）沿直线MN翻折，使得点C落在直角边的点D处，连结CD. 2）沿直线DE翻折使得点C与斜边AB上的点F重合； 模型4-模型6中的直角三角形翻折与矩形的翻折的结论和证明类似，故不再重复讲述。 模型1.矩形翻折之折痕过对角线模型 例1（24-25八年级上·广东·期中）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，将沿直线折叠，使得点A落在点D处，与交于点E，则 ． 例2（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图，将长方形沿折叠，使落在的位置，且与相交于点F．(1)求证：；(2)若，，求． 例3（24-25八年级上·山东枣庄·期末）如图，将长方形沿着对角线折叠，使点C落在点处，交于E．若，，则的面积是（） A．5 B．10 C．15 D．20 模型2.矩形翻折之折痕过一个顶点模型 例1（24-25八年级下·贵州黔东南·阶段练习）如图，将矩形沿直线折叠，顶点A落在边上点F处，已知，，则的长为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 例2（24-25八年级下·贵州黔东南·阶段练习）如图，将长方形纸片折叠，使点D落在上的点处，折痕为．若，，则的长为（   ） A．4 B．4.5 C．5 D．6 例3（24-25八年级下·湖南长沙·期末）如图，矩形中，，点E是边上一点，连接，把沿折叠，使点B落在点处．当为直角三角形时，的长为 ． 例4（24-25八年级上·浙江·专题练习）如图，在长方形中，为上一点，将沿着翻折至，与交于点，且，求的长． 模型3.矩形翻折之折痕过边上任意两点模型 例1（24-25八年级下·湖南邵阳·期末）如图，将长为，宽为的长方形纸片折叠，使点B落在边的中点E处，压平后得到折痕．则线段的长为 ． 例2（25-26九年级上·河北石家庄·开学考试）如图，在矩形纸片中，，将矩形纸片折叠，使点与点重合，点折叠至点处，则的面积为 ． 例3（24-25八年级下·广东江门·阶段练习）如图，在长方形中，，，将长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为，则 ． 例4（24-25八年级下·湖北宜昌·阶段练习）如图，长方形纸片中，，将纸片折叠，使顶点B落在边上的E点处，折痕的一端G点在边上． (1)如图（1），当折痕的另一端F在边上且时，求的长． (2)如图（2），当折痕的另一端F在边上且时，①求证：． ②求的长． 模型4.三角形翻折之过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型 例1（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，连接．将沿过点的直线折叠，使点落在轴上的点处，折痕所在的直线交轴正半轴于点，则点的坐标为 ． 例2（24-25八年级上·广东深圳·阶段练习）如图所示，在中，，将沿着翻折，使点落在边上的点处．，，则的长为 ． 例3（24-25·河南·八年级校联考期末）在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点D在边AB上，连接CD，将△ADC沿直线CD翻折，点A恰好落在BC边上的点E处，若AC＝3，BE＝1，则DE的长是 ． 模型5.三角形翻折之过斜边中点所在直线翻折模型 例1（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将按如图所示方式折叠，使点A与点B重合，折痕为，则的值是（    ） A． B． C． D． 例2（24-25·上海徐汇·八年级校联考期末）如图，点是的边的中点，将沿直线翻折能与重合，若，，，则点到直线的距离为_______ 例3（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）已知中，为斜边的中点．是直角边上的一点，连接，将沿折叠至交于点，若的面积是面积的一半，则为（    ） A．2 B．3 C． D． 模型6.三角形翻折之过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 例1（24-25八年级下·广东阳江·阶段练习）如图，中，，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，那么折痕与线段的交点与点的距离为(    ) A． B． C． D． 例2（2025·吉林四平·二模）如图，在中，，点，分别为边，上的一点，当，时，将沿折痕翻折后，点恰好落在边中点处，则的长是 ． 例3（24-25八年级上·北京石景山·期末）如图，在中，，，，是的中点，是边上一点，连接，．将沿直线翻折，点恰好落在上的点处． (1)求的长；(2)求的长． 1．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在纸片中，，点分别在边上，且，将沿折叠，使点A落在边上的点F处，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·内蒙古通辽·期中）有一块直角三角形纸片，如图所示，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则等于（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·四川泸州·期中）已知直角三角形纸片的两直角边长分别是，，现将按如图所示那样折叠，使点A与点B重合，折痕为，则的长是（   ） A．3 B． C．4 D． 4．（2025·浙江杭州·二模）如图，在中，，，点D为边上一动点，将沿折叠得到，与交于点F，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级下·湖南湘潭·期中）在矩形中，，，现将矩形折叠使点与点重合，则折痕的长是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·山东临沂·期中）如图，在矩形中，，将沿翻折，使得点落在边上的点处，则的长是（   ） A．3 B．4 C． D． 7．（24-25八年级下·山西运城·阶段练习）如图，在中，，，为线段上的一个动点，为边上的一点，将沿直线折叠，使点的对应点落在边上，连接．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级下·山东德州·阶段练习）如图，将的矩形纸片放在以所在直线为轴，边上一点为坐标原点的直角坐标系中，连接将纸片沿折叠，使点落在边上的点处，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 9．（24-25八年级上·河南新乡·期末）如图，在长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（    ） A． B． C．1 D． 10．（24-25八年级上·河南郑州·期中）小明在帮妹妹完成手工作业的时候发现了其中的数学问题，如图，在中，，，，沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，再次折叠，使点与点重合，折痕交于点E，则的长度为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 11．（2025八年级下·绵阳市·专题练习）如图，在中，，，，点为边上一点，把沿折叠，使落在直线上，则重叠部分（阴影部分）的面积是 ． 12．（2024·四川·中考真题）如图，中，，，，折叠，使点A与点B重合，折痕与交于点D，与交于点E，则的长为 ． 13．（2024·江苏常州·中考真题）如图，在中，，，，D是边的中点，E是边上一点，连接．将沿翻折，点C落在上的点F处，则 ． 14．（2025八年级上·成都·专题练习）如图，在中，，D是的中点，E是上一动点，将沿折叠到，连接，当是直角三角形时，的长为 ． 15．（24-25八年级下·福建龙岩·期末）如图，在菱形中，，将菱形折叠，使点恰好落在上的点处，折痕为，若，，，则 ，四边形的面积是 ． 16．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）有一块直角三角形纸片： （1）如图，若两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使恰好在斜边上，且点与点重合，则的长为 ； （2）如图，若两直角边，，点在边上，以为折痕折叠得到，边与边交于点．若为直角三角形，则的长为 ． 17．（24-25八年级下·广东汕头·阶段练习）已知长方形，，，Q为射线上的一个动点，将沿直线翻折至的位置（点B落在点处）． (1)如图1，连接，当点落在上时， ______； (2)如图2，当点Q与点A重合时，与交于点E，求重叠部分（阴影）的面积； (3)当直线经过点D时，求的长． 18．（24-25八年级下·绵阳市阶段练习）在矩形纸片中，，． (1)将矩形纸片沿折叠，使点A落在点E处如图①．设与相交于点F，求的长； (2)将矩形折叠，使点A落在点P处，折痕为．如图D，若点P恰好在边上，连接，求的长度； (3)将矩形纸片折叠，使点B与D重合如图②，求折痕的长． 19．（24-25八年级下·广东肇庆·期末）在中，分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点的对应点是点． (1)如图（1），如果点和顶点重合，求的长． (2)如图（2），如果点落在直角边的中点上，求的长． (3)已知点为中点，那么是否存在一点在边上，使得沿直线折叠后，点刚好落在直线上？若存在点，求的面积；若不存在，请说明理由． 20．（24-25八年级下·天津东丽·阶段练习）学完了勾股定理相关知识，王老师带领大家研究长方形纸片的折叠问题： 请你运用所学知识，解决下面的问题：(1)如图1，长方形纸片中，，，将纸片折叠，使落在对角线上，折痕为（点在边上），点落在点处，求的长度； (2)如图2，有一张长方形纸片，，，为边上一点，，为上一点．将纸片折叠，折痕为，使点恰好落在线段上的点处，点落在点处．求线段的长度． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02.勾股定理中的翻折模型 翻折问题属于图形变换中的实际问题，也是近些年中考试卷出题老师青睐的题型。在解决翻折问题的有关的题目中，要注意隐含的已知条件比较多。比如翻折前后的图形全等，这样就好出现相等的线段和相等的角；因为大部分翻折问题是对矩形进行翻折，所以翻折后由于线段交错，出现的直角三角形也引起注意；因为翻折问题本身是轴对称的问题，所以翻折前后对应点所连线段会被折痕所在直线垂直平分；折痕还会平分翻折所形成的的两个角。总之，翻折问题并不复杂，只要要把隐含已知条件熟记于心，再结合其他有关知识就能让此类问题迎刃而解了。 1 模型1.矩形翻折之折痕过对角线模型 5 模型2.矩形翻折之折痕过一个顶点模型 6 模型3.矩形翻折之折痕过边上任意两点模型 9 模型4.三角形翻折之折痕为一个顶角的角平分线模型 11 模型5.三角形翻折之过斜边中点所在直线翻折模型 12 模型6.三角形翻折之过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 14 16 翻折模型的历史来源可追溯至古代折纸艺术与几何学发展的结合，其演变过程主要包含以下关键阶段：工艺技巧→几何实践→数学理论的升华过程，其核心始终围绕‌轴对称变换的数学本质‌与‌现实应用的适应性‌展开。20世纪后，学者将折纸抽象为数学问题，聚焦“轴对称变换”的本质——翻折前后图形全等、对应点连线被对称轴垂直平分等核心性质。 （2024·四川雅安·中考真题）如图，把矩形纸片沿对角线折叠，使点C落在点E处，与交于点F，若，，则的值是 ． 【答案】 【详解】解：∵折叠，，∵四边形是矩形， ，，， ，，在中，， ，解得，=，故答案为：． （2023·辽宁鞍山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在轴、轴正半轴上，点在边上，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处．若，，则点的坐标是 ．    【答案】 【详解】解：∵四边形是矩形，∴， ∵折叠，∴，在中， ∴，∴设，则， ∵折叠，∴，在中，，∴， 解得：，∴，∴的坐标为，故答案为：． 1）矩形翻折之折痕过对角线模型:如图，沿着矩形的对角线所在直线进行翻折. 条件：已知矩形ABCD中，以对角线AC为折痕，折叠ABC，点B的对应点为B’. 结论：①≌；②折痕AC垂直平方BB’；③AEC是等腰三角形。 证明：根据翻折易证：≌；折痕AC垂直平方BB’；∠BAC=∠B’AC。 ∵四边形ABCD为矩形，∴AB//DC，∴∠BAC=∠ACD。 ∴∠B’AC=∠ACD，∴EA=EC，∴AEC是等腰三角形。 2）矩形翻折之折痕过一个顶点模型：沿着矩形的一个顶点和一边上的点的线段所在直线进行翻折。 条件：已知矩形ABCD中，以AE为折痕，点B的对应点为B’。 结论：①如图1，折在矩形内，①≌；②折痕AC垂直平方BB’。 ②如图2，折在矩形边上，①≌；②折痕AC垂直平方BB’。 ③如图3，折在矩形外，①四边形≌四边形；②折痕AC垂直平方BB’；③AEF是等腰。 证明：由翻折易得：①②成立。 由翻折得：∠BAE=∠B’AE。 ∵四边形ABCD为矩形，∴AB//DC，∴∠BAE=∠DAE。 ∴∠B’AE=∠DAE，∴FA=FE，∴AEF是等腰三角形。 3）矩形翻折之折痕过边上任意两点模型：沿着矩形边上的任意两点所在直线进行翻折。 条件：已知矩形ABCD中，以E，F为折痕，点B的对应点为B’，点C的对应点为C’. 结论：如图1，折在矩形内，①≌；②折痕EF垂直平方BB’。 如图2，折在矩形边上，①四边形≌四边形；②折痕EF垂直平方BB’。 如图3，折在矩形外，①四边形≌四边形；②折痕AC垂直平方BB’；③GC’F是。 证明：由翻折易得：①②成立。 ∵四边形ABCD为矩形，∴∠C=90°。由翻折得：∠C’=∠C=90°。∴GC’F是直角三角形。 4）三角形翻折之折痕为一个顶点角平分线翻折模型 1）沿过点A的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为AD； 2）沿过点C的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为CD； 3）沿过点B的直线翻折使得点A的对应点为E落在BC边上，折痕为BD。 5）三角形翻折之过斜边中点所在直线翻折模型 1）沿直线MN（N为斜边中点）翻折使得点A与点C重合； 2）沿中线BE翻折，使得点A落在点F处，连结AF，FC，AF与BE交于点O. 3）沿中线BE翻折，使得点C落在点D处，连结AD，CD. 6）三角形翻折之过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 1）沿直线MN翻折，使得点C落在直角边的点D处，连结CD. 2）沿直线DE翻折使得点C与斜边AB上的点F重合； 模型4-模型6中的直角三角形翻折与矩形的翻折的结论和证明类似，故不再重复讲述。 模型1.矩形翻折之折痕过对角线模型 例1（24-25八年级上·广东·期中）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，将沿直线折叠，使得点A落在点D处，与交于点E，则 ． 【答案】 【详解】解：∵，∴轴，轴，， ∴轴，，∴ 由折叠可得，， ∴，∴，设，则：， 在中，由勾股定理，得：，解得：，∴；故答案为：． 例2（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图，将长方形沿折叠，使落在的位置，且与相交于点F．(1)求证：；(2)若，，求． 【答案】(1)见详解(2) 【详解】（1）证明：长方形沿对角线对折，使落在的位置， ，，又四边形为长方形，，，而， 在与中：； （2）解：∵四边形为长方形，，， ，，设，则，， 在中，，即，解得． 例3（24-25八年级上·山东枣庄·期末）如图，将长方形沿着对角线折叠，使点C落在点处，交于E．若，，则的面积是（） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】B 【详解】∵四边形是长方形，，， 由折叠的性质得：，，， 设，则，在中，，即，解得：， 则，则．故选B． 模型2.矩形翻折之折痕过一个顶点模型 例1（24-25八年级下·贵州黔东南·阶段练习）如图，将矩形沿直线折叠，顶点A落在边上点F处，已知，，则的长为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【详解】解：由折叠，得，∴， 在矩形中，，，∴， ∵，∴，解得，故选C． 例2（24-25八年级下·贵州黔东南·阶段练习）如图，将长方形纸片折叠，使点D落在上的点处，折痕为．若，，则的长为（   ） A．4 B．4.5 C．5 D．6 【答案】B 【详解】解：∵四边形是矩形，∴，，， ∴，由折叠的性质得：， ∴，，，∴，， 设，则，，在中，由勾股定理得：， 即，解得：，故选：B． 例3（24-25八年级下·湖南长沙·期末）如图，矩形中，，点E是边上一点，连接，把沿折叠，使点B落在点处．当为直角三角形时，的长为 ． 【答案】3或6 【详解】解：当为直角三角形时，由两种情况：情况一：当 时，图形如下， ∵是折叠得到，∴，∵，∴点三点共线， ∵，∴，∴ ， 设，则，在中有， 即，解得：，∴； 情况二：当 时，图形如下，此时 为正方形，∴ ； 综上所述， 的长为3或6；故答案为：3或6． 例4（24-25八年级上·浙江·专题练习）如图，在长方形中，为上一点，将沿着翻折至，与交于点，且，求的长． 【答案】 【详解】解：如图，设与交于点． ∵四边形是长方形，∴，． 由折叠的性质可知，∴． 在和中，， ∴，∴，∴， 设，则，∴． 根据勾股定理，得，即，解得， ∴，∴． 模型3.矩形翻折之折痕过边上任意两点模型 例1（24-25八年级下·湖南邵阳·期末）如图，将长为，宽为的长方形纸片折叠，使点B落在边的中点E处，压平后得到折痕．则线段的长为 ． 【答案】 【详解】解：为中点，，由折叠的性质可知：， 设，则， 在中，，，解得：，故答案为：． 例2（25-26九年级上·河北石家庄·开学考试）如图，在矩形纸片中，，将矩形纸片折叠，使点与点重合，点折叠至点处，则的面积为 ． 【答案】 【详解】解：∵在矩形纸片中，，，设，则， 将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，点A折叠至点E处， ∴，，， 在中，即解得． ∴的面积为：故答案为． 例3（24-25八年级下·广东江门·阶段练习）如图，在长方形中，，，将长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为，则 ． 【答案】 【详解】解：设，则， 又 ∵在中，即，解得．故答案为：． 例4（24-25八年级下·湖北宜昌·阶段练习）如图，长方形纸片中，，将纸片折叠，使顶点B落在边上的E点处，折痕的一端G点在边上． (1)如图（1），当折痕的另一端F在边上且时，求的长． (2)如图（2），当折痕的另一端F在边上且时，①求证：． ②求的长． 【答案】(1)(2)①见解析；② 【详解】（1）解：∵纸片折叠后顶点B落在边上的E点处，∴， ∵，∴，在中，， 即，解得：； （2）解：①∵纸片折叠后顶点B落在边上的E点处，∴， ∵长方形纸片的边，∴，∴，∴； ②∵纸片折叠后顶点B落在边上的E点处， ∴，，，∴， 在中，，∴． 模型4.三角形翻折之过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型 例1（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，连接．将沿过点的直线折叠，使点落在轴上的点处，折痕所在的直线交轴正半轴于点，则点的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：点，，根据勾股定理： 根据折叠的性质：，；- 设，则；根据勾股定理： 即：，解得：，点坐标为，故答案为：． 例2（24-25八年级上·广东深圳·阶段练习）如图所示，在中，，将沿着翻折，使点落在边上的点处．，，则的长为 ． 【答案】/ 【详解】解：在中，，，， 折叠，点落在边上的点处，，，， ，设，则，， 在中，，即，解得，，故答案为： 例3（24-25·河南·八年级校联考期末）在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点D在边AB上，连接CD，将△ADC沿直线CD翻折，点A恰好落在BC边上的点E处，若AC＝3，BE＝1，则DE的长是 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点作于，于， 将沿直线翻折，，，， ，，，，，， ，， ，， ，，，，故答案为：． 模型5.三角形翻折之过斜边中点所在直线翻折模型 例1（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将按如图所示方式折叠，使点A与点B重合，折痕为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意，得，由翻折的性质得， 设，则，在直角三角形中，， 即，解得，∴，∴．故选：C． 例2（24-25·上海徐汇·八年级校联考期末）如图，点是的边的中点，将沿直线翻折能与重合，若，，，则点到直线的距离为_______ 【答案】 【详解】解：连接，延长交于点G，作于点H，如图所示， 由折叠的性质可得：，则为的中垂线，∴， ∵D为中点，∴，∴， ∵，即，∴，即， 在直角三角形中，由勾股定理可得：，∴， ∵，∴，∴，∴．故答案为：． 例3（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）已知中，为斜边的中点．是直角边上的一点，连接，将沿折叠至交于点，若的面积是面积的一半，则为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【详解】解：如图所示，连接，过作于，∵，，， ∴由勾股定理得，由折叠可得，与全等，    ∵的面积是面积的一半，， ∴的面积是面积的一半，，∴F是的中点，∴ 又∵是的中点，∴，即是的中点， 又∵，∴，∴， 又∵，∴中，，故选：A． 模型6.三角形翻折之过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 例1（24-25八年级下·广东阳江·阶段练习）如图，中，，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，那么折痕与线段的交点与点的距离为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设，由折叠的性质可得，是的中点，，， 在中，，解得．即．故选：C． 例2（2025·吉林四平·二模）如图，在中，，点，分别为边，上的一点，当，时，将沿折痕翻折后，点恰好落在边中点处，则的长是 ． 【答案】 【详解】解：连接，∵点恰好落在边中点处，，∴，， ∵，，，∴，∴， ∴，∴，故答案为：． 例3（24-25八年级上·北京石景山·期末）如图，在中，，，，是的中点，是边上一点，连接，．将沿直线翻折，点恰好落在上的点处． (1)求的长；(2)求的长． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：∵，是的中点，∴， 在中，由勾股定理得； （2）解：由折叠的性质可得， ∴，设，则， 在中，由勾股定理得，∴，解得，∴． 1．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在纸片中，，点分别在边上，且，将沿折叠，使点A落在边上的点F处，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，∴， ∴，，∴， ∵，∴， ∵将沿折叠，使点A落在边上的点F处， ∴，， ∴， ∴，， ∴，∴， ∴， ∴， ∴，故选：D． 2．（24-25八年级下·内蒙古通辽·期中）有一块直角三角形纸片，如图所示，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，，，∴， ∵折叠，∴， ∴，，设，则， 由勾股定理，得：，解得：；∴；故选：D． 3．（24-25八年级下·四川泸州·期中）已知直角三角形纸片的两直角边长分别是，，现将按如图所示那样折叠，使点A与点B重合，折痕为，则的长是（   ） A．3 B． C．4 D． 【答案】B 【详解】解：∵在中，，，，∴， 由折叠的性质可得，，， 设，则，在中，由勾股定理得， ∴，解得，∴，∴，故选：B． 4．（2025·浙江杭州·二模）如图，在中，，，点D为边上一动点，将沿折叠得到，与交于点F，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：过点A作于点N，过点B作于点M， ∵，， ∴，∴，∴， ∵沿折叠得到，∴，∴， ∴当最小时，取得最大值，根据垂线段最短， ∴时，取得最大值，∴，故选：A． 5．（24-25九年级下·湖南湘潭·期中）在矩形中，，，现将矩形折叠使点与点重合，则折痕的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵四边形是矩形，∴，， 由折叠的性质得：，， 在中，，，， ∴，解得：，∴， ∵，∴，∴， 如图，过点E作于点H，则， ∴，∴．故选：D 6．（24-25八年级下·山东临沂·期中）如图，在矩形中，，将沿翻折，使得点落在边上的点处，则的长是（   ） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【详解】解：四边形是矩形，，，， 将沿翻折，点D落在边上处，，， ，， 设，则， 在中，，即， 解得，即，，故选D． 7．（24-25八年级下·山西运城·阶段练习）如图，在中，，，为线段上的一个动点，为边上的一点，将沿直线折叠，使点的对应点落在边上，连接．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，，∴， 由翻折得，，∴是等腰直角三角形， ∵，∴，∵，∴， ∵，即，解得， ∴，∴， 故选：D． 8．（24-25八年级下·山东德州·阶段练习）如图，将的矩形纸片放在以所在直线为轴，边上一点为坐标原点的直角坐标系中，连接将纸片沿折叠，使点落在边上的点处，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：四边形是矩形，， 连接将纸片沿折叠，， 在中， 在中，， ，点坐标，故选：B． 9．（24-25八年级上·河南新乡·期末）如图，在长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【详解】解：∵四边形是长方形，∴，， ∵折叠，点与点重合，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴，又∵，∴， ∴，∴，设，则， 在中，，∴，解得，，∴，故选：D ． 10．（24-25八年级上·河南郑州·期中）小明在帮妹妹完成手工作业的时候发现了其中的数学问题，如图，在中，，，，沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，再次折叠，使点与点重合，折痕交于点E，则的长度为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【详解】解：∵沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处，， ∴，，∵折叠纸片，使点C与点D重合，∴， ∵，∴，∴，∴， ∴，设，，则， ∴，解得，即，故选：B． 11．（2025八年级下·绵阳市·专题练习）如图，在中，，，，点为边上一点，把沿折叠，使落在直线上，则重叠部分（阴影部分）的面积是 ． 【答案】 【详解】解：∵在中，，，， ∴，∴为直角三角形，且， 设，由折叠的性质，可得，， ∴，∴，解得， ∴重叠部分（阴影部分）的面积为，故答案为：． 12．（2024·四川·中考真题）如图，中，，，，折叠，使点A与点B重合，折痕与交于点D，与交于点E，则的长为 ． 【答案】3 【详解】解：由折叠的性质，得，设，则， 由勾股定理，得，∴，解得.故答案为：3． 13．（2024·江苏常州·中考真题）如图，在中，，，，D是边的中点，E是边上一点，连接．将沿翻折，点C落在上的点F处，则 ． 【答案】 【详解】解：∵，，，D是边的中点， ∴，∴，∵将沿翻折，点C落在上的点F处， ∴，，∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：，解得：；∴；故答案为：． 14．（2025八年级上·成都·专题练习）如图，在中，，D是的中点，E是上一动点，将沿折叠到，连接，当是直角三角形时，的长为 ． 【答案】3或 【详解】解：当时，∵将沿折叠到，． ．∴点A、、三点共线． ∵，D是的中点，∴， ， ∴．∴． 设，则．∵在中，， ∴．解得．． 当时，， ∵，．． 当时，∵，∴当时，四边形是矩形． ∴．但，∴矛盾．∴不可能为． 综上，或．故答案为：3或． 15．（24-25八年级下·福建龙岩·期末）如图，在菱形中，，将菱形折叠，使点恰好落在上的点处，折痕为，若，，，则 ，四边形的面积是 ． 【答案】 【详解】解：∵四边形为菱形，∴，∵，∴， ∵，，∴在中，， ∵折叠，∴，∴；连接交于点，如图所示： ∵折叠，∴，，，∴垂直平分， 在中，，∴， ∴；故答案为;；． 16．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）有一块直角三角形纸片： （1）如图，若两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使恰好在斜边上，且点与点重合，则的长为 ； （2）如图，若两直角边，，点在边上，以为折痕折叠得到，边与边交于点．若为直角三角形，则的长为 ． 【答案】 ； 或 【详解】（1）解：在中，，， ，由折叠的性质可知：， ，，，， 设，则，，在中，， ，解得：，，故答案为：； （2）解：如下图所示，过点作垂足在的延长线上，则四边形是矩形， ，，设，则， ，， 由可知，，在中，，， 解得：，(不符合题意，舍去)，时，为直角三角形； 如下图所示，当平分时 ，点在的延长线上， 则，，， 设，则，， 在中，由勾股定理得：，，解得：， 当时，为直角三角形； 综上所述，若为直角三角形则的长为或 .故答案为：或． 17．（24-25八年级下·广东汕头·阶段练习）已知长方形，，，Q为射线上的一个动点，将沿直线翻折至的位置（点B落在点处）． (1)如图1，连接，当点落在上时， ______； (2)如图2，当点Q与点A重合时，与交于点E，求重叠部分（阴影）的面积； (3)当直线经过点D时，求的长． 【答案】(1)(2)(3)2或8 【详解】（1）解：，，， ∵将沿直线翻折至的位置（点B落在点处）． ，，故答案为：； （2）解：，， ∵将沿直线翻折至的位置（点B落在点处）． ，，， ，，， ∴重叠部分（阴影）的面积； （3）解：当在线段上时， 将沿直线翻折至的位置，，，， ，， ，即：，解得：； 当点D在线段上时，∵将沿直线翻折至的位置， ，，，，， ，，；综上所述：的长为2或8． 18．（24-25八年级下·绵阳市阶段练习）在矩形纸片中，，． (1)将矩形纸片沿折叠，使点A落在点E处如图①．设与相交于点F，求的长； (2)将矩形折叠，使点A落在点P处，折痕为．如图D，若点P恰好在边上，连接，求的长度； (3)将矩形纸片折叠，使点B与D重合如图②，求折痕的长． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：由折叠得，，四边形是矩形，∴，， ，，设，则， 在中，，即，解得，； （2）解：由折叠得，， 在中，，，， 在中，，； （3）解：由折叠得，，设，则， 在中，，即，解得，， 连接、，由翻折的性质可得，，， 矩形的边，，， ，，四边形是菱形， 在中，， ，即，解得． 19．（24-25八年级下·广东肇庆·期末）在中，分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点的对应点是点． (1)如图（1），如果点和顶点重合，求的长． (2)如图（2），如果点落在直角边的中点上，求的长． (3)已知点为中点，那么是否存在一点在边上，使得沿直线折叠后，点刚好落在直线上？若存在点，求的面积；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；(2)；(3)6． 【详解】（1）解：若点和顶点重合，由折叠的性质可得：， 设，则，，∴由勾股定理得：， ，解得：，． （2）解：∵点落在的中点，， 设，则，，∴由勾股定理得：， ，解得：，即的长为：． （3）解：由折叠的性质可得：， ∵点E为的中点，，∴， 如图所示，当点与顶点C重合时，点B刚好落在直线上． 由折叠的性质可得：，∴， ∵，∴， ∴，∴，∴点D 为线段的中点， ∵为的中点，∴为的中位线，， ，∴． 20．（24-25八年级下·天津东丽·阶段练习）学完了勾股定理相关知识，王老师带领大家研究长方形纸片的折叠问题： 请你运用所学知识，解决下面的问题：(1)如图1，长方形纸片中，，，将纸片折叠，使落在对角线上，折痕为（点在边上），点落在点处，求的长度； (2)如图2，有一张长方形纸片，，，为边上一点，，为上一点．将纸片折叠，折痕为，使点恰好落在线段上的点处，点落在点处．求线段的长度． 【答案】(1)(2)5 【详解】（1）解：∵四边形是长方形，，， ∴，，∴， 由折叠得，，， ∴，，在中，由勾股定理得， 即解得：∴的长是． （2）解：∵四边形是长方形，，，， ∴，，，，， ∴，由折叠得，， ∴，∴，在中， ∴，∴，∴的长是5． 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