第23章 四边形（压轴题专项训练）数学新教材沪教版五四制八年级下册

第23章 四边形（压轴题专项训练） 一、单选题 1．如图，小红和家人游览了应县木塔，小红从塔底的某一顶点出发走了后向右转，转的角度为，再走，如此重复，小红走了后回到点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，平行四边形的对角线交于点，且，那么的长为（    ） A． B． C．3 D．4 3．如图，在中，点是对角线上一点，过点作分别交于点，于点，连接、，若，则下列面积一定可以求得结果的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，以斜边为边向外作正方形，连接，若，，则的长等于（    ） A． B． C． D．1 5．如图，在正方形中，连接，点在上，连接，将沿所在直线翻折到所在的平面内，得，连接．若于点，，则的长度为（   ） A． B． C． D． 6．如图，在中，．H、G分别是上的动点，连接，E、F分别为的中点，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C． D． 二、填空题 7．四边形纸片，，与不平行，将四边形纸片沿折叠成如图的形状，点落在点处，点落在点处，若，， ． 8．如图，线段、的垂直平分线、相交于点，若，则 ． 9．如图，在梯形中，，，，，，那么的长为 ． 10．如图，点P为内一点，分别作出P点关于的对称点，，连接 交于M，交于N，若，则的度数是 ；若线段长度为2，则的周长为 ． 11．如图，等边三角形的边长为，动点从点出发，沿的路径以的速度运动；动点从点出发，沿的路径以的速度运动．若动点同时出发，且其中一点到达终点时，另一点立即停止运动．设运动时间为，则当的值为 时，点，，以及的边上一点恰好能构成一个平行四边形． 12．如图，中，点，分别是，上一点，连接，，连接交于点，连接分别交，于点，，设的面积为，的面积为，四边形的面积为，若，则阴影部分四边形 的面积为 ． 13．小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的处接住她后用力一推，爸爸在处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，．爸爸在处接住小丽时，小丽距离地面的高度是 ． 14．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作，交CD于点N．若四边形MOND的面积是5，则AB的长为 ． 15．如图1，将四个全等的直角三角形拼成了一个四边形，然后将这四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形如图2所示，大正方形的面积为5；如果再将这四个全等的直角三角形拼成的图形如图3所示，外轮廓周长为．则图1中的的长度为 ；四边形的面积为 ． 16．如图，在正方形中，已知，对角线与相交于点，点为线段上的一个动点（不与点重合），点为线段的中点．现将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，，．在点的运动过程中，当时，的度数为 ，线段的长为 ． 17．如图，在矩形中，，M为的中点，连接，E为的中点，连接，，若为直角，则的长为 ． 18．如图，在菱形中，、交于点，点为边上的一个动点，点为对角线上的一个动点，过点分别作于点，作于点，连接．已知，则菱形的面积为 ；在点的运动过程中，的最小值为 ． 三、解答题 19．如图，四边形的内角，的平分线交于点，，的平分线交于点． (1)若，则____________，____________． (2)猜想与之间有怎样的数量关系，并说明理由． 20．如图，已知是等边三角形，点，分别在边，上，且，连接并延长至点，使，连接，和． (1)求证：． (2)判断四边形的形状，并说明理由． 21．如图1是我们生活中的一种遮阳伞，如图2是它的骨架示意图，点在伞柄上下滑动时，骨架可以伸缩，关闭遮阳伞后，，，三点重合（即，），点与点重合，四边形和四边形都是平行四边形，，． (1)求的长度； (2)若，，，求，两点之间的距离． 22．如图，四边形是菱形，连接、交于点，点为上方一点，且满足，． (1)求证：四边形是矩形； (2)过点作，交于点，交于点，若，，，求的面积． 23．如图①，在中，，，是斜边上的中线，点为射线上一点，将沿折叠，点的对应点为点． (1)若，直接写出的长（用含的代数式表示）； (2)若，垂足为，点与点在直线的异侧，连接，如图②，判断四边形的形状，并说明理由； (3)若，直接写出的度数． 24．如图，将矩形绕着点按顺时针方向旋转，得到矩形，点与点对应，点恰好落在边上，于点，其中，． (1)求证：． (2)连接，交于点，求的长． (3)过点作，交于点．求证：四边形是正方形． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 第23章四边形（压轴题专项训练) 一、单选题 1.如图，小红和家人游览了应县木塔，小红从塔底的某一顶点P出发走了16m后向右转，转的角度为α， 再走16m,如此重复，小红走了96m后回到P点，则o的度数为() D A.30° B.45o C.55 D.60° 【答案】D 【分析】 【详解】解：小红的路径构成一个正多边形，正多边形的边数n= 总路程_6=6，这是一个正六边形. 边长16 角度α是正六边形的外角，正六边形的每个外角大小为a=360=360 =60°. n 6 故选：D 2.如图，平行四边形ABCD的对角线AC,BD交于点O,AC⊥AB,AB=√5，且AC:BD=2:3,那么AC的 长为() 0 y A.25 B.5 C.3 D.4 【答案】D 【详解】解：：四边形ABCD是平行四边形， 01=0C=号4c,0B=0D-BD, AC:BD=2:3, OA:OB=AC:-BD=AC:BD=2:3. 设0A=2x,0B=3x, 1/27 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :AC⊥AB,AB=V5, 在Rt△AB0中，由AB2+OA2=OB2得N5+(2x)2=(3x)2, 解得x=1, AC=20A=4x=4, 故选：D 3.如图，在口ABCD中，点E是对角线AC上一点，过点E作FG∥AB分别交AD于点F,BC于点G,连 接BE、DE,若S效形FGcD=1,则下列面积一定可以求得结果的是() B G A.S△EGC B.S.BEC C.S△HDc D.S.ED 【答案】B 【分析】 【详解】解：如图，过点E作MN∥AD交AB于M,交CD于N, y D N 四边形ABCD是平行四边形， B :AD∥BC,AB∥CD,S△HBc=S△ADc, :MN∥AD,FG∥AB, :FG∥AB∥CD,MN∥AD∥BC, :四边形BMEG是平行四边形，四边形EFDN是平行四边形，四边形AMEF是平行四边形，四边形EGCN 是平行四边形， .S.AME SAFE S.EGC =S.ENC :S。BMEG=S△ABc-SAAME-SACGE,S.EFDN=SAADC-S△AFE-S△cEN ∴S.BMEG=S.EFDN, S.BEG SADEN S.DEF ..=.G+8.C=.N+8.NC=S.c 1 2 2/27 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 故选：B 4.如图，在Rt△ABC中，以斜边AB为边向外作正方形，连接CD,若AC=2,CD=√3，则BC的长等 于() B A.3 B.3 D.1 3 【答案】D 【分析】 【详解】解：过D作DE L AC,交CA的延长线于E, B :四边形ABFD是正方形， AD=AB,∠DAB=90°， LDAE+LBAC=90°， DE⊥AC, .∠DAE+∠ADE=90 :ZBAC ZADE 在Rt△ACB与Rt DEA中 ∠DEA=∠ACB=90° ∠ADE=∠BAC AD=AB △ACB≌ADEA(AAS), .DE=AC=2,BC=AE, 3/27 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 设BC=x, 在Rt△DEC中， DE2+EC2=CD2,即22+(2+x2=(3, 解得：x=1或x=-5(舍去)， .BC=1. 故选：D 5.如图，在正方形ABCD中，连接BD,点E在BD上，连接CE,将△BCE沿CE所在直线翻折到△BCE所 在的平面内，得△FCE,连接DF,若EF⊥CD于点G,DG=1,则AB的长度为() D B A.3 B.2+√2 C.4-2 D.4 【答案】B 【详解】解：：四边形ABCD是正方形， BC=CD,∠BCD=90°，∠BDC=45°， 由折叠性质得：FC=BC,∠FEC=∠BEC,EF=BE, .FC=CD, :EF⊥CD, :△DGE是等腰直角三角形， DG=GE=1,DE=12+12=√2， 设AB=CD=x,则CG=x-1,FC=CD=x, 在R1aFCG中，FG=FC2-CG=Vx2-(x-1=2x-1, 又：EF=BE,BD=V2x,BE=BD-DE=√2x-√2，且EF=EG+FG=I+V2x-1, √2x-V2=1+2x-1, 令2x1=1≥0，则x=+1, 2 代入得：V2+1-N2=1+t, 2 4/27 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2+1-2可+0 9r-= g2+0--1+=0 e-小-小-o. .t+1>0 2 2--1=0 解得：t=√2+1， +1.5+12+25+11-24 2 2 2 即：AB的长度为2+√2， 故选：B. 6.如图，在ABCD中，LC=I20°，AB=8,AD>AB,H、G分别是CD、BC上的动点，连接AH、GH,E、 F分别为AH、GH的中点，则EF的最小值是() A.4 B.5 C.4V5 D.2√ 【答案】D 【分析】 【详解】解：如图，连接AG,过点A作AN⊥BC于N, A D :四边形ABCD是平行四边形，∠C=120°， B N G .∠B=180°-∠C=60°， :∠ANB=90°， 5/27 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠BAN=90°-∠B=30°， :AB=8 :BN=)AB=4, 2 :AN=AB2-BN2=43, E,F分别为AH、GH的中点， :.EF=AG, 21 :当AG⊥BC时，AG有最小值，即EF有最小值， :当点G与点N重合时，AG的最小值为4√5， EF的最小值为25， 故选：D. 二、填空题 7.四边形纸片ABCD,∠C=90°，AB与CD不平行，将四边形纸片ABCD沿EF折叠成如图的形状，点A 落在点A处，点D落在点D处，若LD'EC=115,∠A'FB=45°，LABC=_ B D 【答案】55/55度 【详解】解：如图所示，延长AF交CD于点H, B D A .·∠D'EC=115°， 、A E 6/27 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠D'ED=180°-∠D'EC=65°， 由折叠性质可得，∠DEF=∠DEF=∠DED=32.5, ∠CEF=∠D'EC+∠D'EF=115°+32.5°=147.5°， .·∠A'FB=45, .∠AFH=∠A'FB=45, 由折叠性质可得，∠A'FE=∠AFE, ∠BFE=∠HFE=80-∠AFB到=675， ∠ABC=360°-∠C-∠CEF-∠BFE=55°， 故答案为：55°. 8.如图，线段AB、BC的垂直平分线、Z相交于点0，若∠1=42°，则LA0C=_° B 【答案】84 【详解】解：连接BO,并延长BO到P, D .P B E :线段AB、BC的垂直平分线I、Z相交于点O, A0=0B=0C,∠BD0=∠BE0=90°， ∠D0E+∠ABC=180°， :∠D0E+∠1=180°， .∠ABC=∠1=42°， :A0=0B=0C, 7/27 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠A=∠AB0,∠OBC=∠C, :∠A0P=∠A+∠AB0,∠C0P=∠C+∠OBC, .∠A0C=LA0P+LC0P=∠A+∠ABC+LC=2×42°=84°； 故答案为：84. 9.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,AB=8cm,CD=7cm,AD=5cm,∠B=60°，那么BC的长为_ cm. 【答案】9 【详解】解：如图，过点D作DE∥AB交BC于点E,过点D作DF⊥BC于点F, A B E ∠DEC=∠B=60°，∠DFE=90°=∠DFC, ∴.∠EDF=90°-∠DEC=90°-60°=30°， AD//BC,AB=8,CD=7,AD=5, :四边形ABED是平行四边形， ∴DE=AB=8,BE=AD=5, :EF=-DE=1x8=4, 1 2 2 DF=VDE2-EF2=V82-42=45, FC=CD2-DF2=V72-(45=1, ..BC BE+EF +FC=5+4+1=9(cm), 即BC的长为9cm· 故答案为：9. 【点晴】本题考查平行四边形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理等知识点，通过作辅 助线构造平行四边形、直角三角形是解题的关键， 8/27 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 10.如图，点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA、OB的对称点P,B,连接PP交OA于M,交 OB于N,若∠AOB=45°，则∠MPN的度数是 ；若线段OP长度为2，则aPMN的周长 为 P 【答案】 90°/90度 2√2 【分析】 【详解】解：如图，连接PR,PR,OP,OP, P 由对称性质得PP⊥OA,PP⊥OB,OP=OP=OP=2,∠POA=∠POA,∠POB=∠POB,MP=MP, NP=NP, ∠PPM=∠PPM,∠PPN=∠PPN, :∠A0B=450, ∠PPP=180°-∠A0B=135°，∠POP=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=90°， ∠PPP+∠PPP=180°-∠PPP=45°， .∠PPM+∠PPN=∠PPM+∠PP,N=45°， .∠MPN=LPPP-∠PPM+∠PPN)=135°-45°=90°： 在RtP0P中，由勾股定理得PB=VOP2+0P2=V22+22=22, aPMN的周长为MP+MN+NP=MP+MN+NP=PE=2√2. 故答案为：90°，2√2. 11.如图，等边三角形ABC的边长为10cm,动点M从点B出发，沿B→A→C→B的路径以4cm/s的速 9/27 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 度运动；动点N从点C出发，沿C→A→B→C的路径以3cm/s的速度运动.若动点M,N同时出发，且 其中一点到达终点时，另一点立即停止运动，设运动时间为s,则当t的值为时，点A,M,N以及 ABC的边上一点D恰好能构成一个平行四边形 M 【答案】 0 10。 【分析】 【详解】解：当点M在线段AB上，点N在线段AC上时，如图①. :四边形ANDM为平行四边形， .DM=AN,DMI∥AN. :△ABC是等边三角形， ∴△BMD和△NCD是等边三角形， .BM=DM, :BM +CN=DM+CN=AN+CN AC=10, .41+31=10, 49 当点M在线段AC上，点N在线段AB上时，如图②. 同理可得△BND和△MCD是等边三角形，AM+AN=AC=I0, :AM=41-10,AN=31-10, :41-10+31-10=10, 1=30 当点M在线段BC上，点N在线段AB上时，如图③ 同理可得△BMN和△MCD是等边三角形，CM=DM=AN. :CM=4t-20,AN=3t-10, 41-20=31-10, ∴.1=10. 10/27