阶段性复习检测（巩固培优）九年级数学北师大版

阶段性复习检测 （满分120分，考试时间120分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：北师大版九年级上下册全部内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（25-26九年级上·广东梅州·月考）如图，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由A处走到B处这一过程中，他在地上的影子（   ） A．逐渐变短 B．逐渐变长 C．先变短后变长 D．先变长后变短 2．（25-26九年级上·河南南阳·期末）为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为15米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块50平方米的长方形菜地作为实践基地，如图所示．设长方形的一边长为米，根据题意可列方程（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·广东佛山·期末）一个暗箱中放有个球，其中有两个红球，这些球除颜色外都相同． 从中随机摸出一个球，记下颜色后放回暗箱． 通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在左右，那么可以估算m的值是（ ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·辽宁大连·期末）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（   ）    A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·福建漳州·月考）如图，在中，，，，则的长为（    ） A． B． C．3 D． 6．（25-26九年级上·四川达州·期中）如图，正方形中，，以对角线为一边作菱形，则的长为（　　） A．2 B． C． D． 7．（25-26九年级上·黑龙江绥化·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边，分别在轴，轴的正半轴上，双曲线分别与边，相交于点，，且点，分别为，的中点，连接，若的面积为5，则的值是（   ） A．20 B．40 C． D． 8．（25-26九年级上·江苏南通·期末）构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要体现我们已经知道，，角的三角函数值，现在来求的值．如图，在中，，延长使，连接，得．设，则，，所以类比这种方法，计算的值为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26九年级上·陕西西安·月考）如图，为的直径，点在上，连接，以为边作菱形，交于点，垂足为，若，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．4.2 10．（25-26九年级上·广东东莞·期末）如图，抛物线的对称轴是直线．下列结论：①；②；③；④对任意m，正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第II卷（非选择题） 二、填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11．（25-26九年级上·江西抚州·期中）已知，是一元二次方程的两个根，则的值为 ． 12．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）若点，，在反比例函数的图象上，则，，，的大小关系是 （用“＞”号连接）． 13．（25-26九年级上·山东·期末）如图，在中，，棱长为1的立方体展开图有两边分别在上，有两个顶点在斜边上，则的值等于 ． 14．（25-26九年级上·广东广州·期末）如图，二次函数：与一次函数：的图象交于、两点，则当时，的取值范围是 ． 15．（25-26九年级上·四川达州·期末）阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物，这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是 ． 16．（25-26九年级上·新疆·月考）如图，四边形为平行四边形，边与相切于点，点在上，、、分别与交于点、、，点是弧的中点，若，则 ． 三、解答题（9小题，共72分） 17．（25-26九年级上·河南·期末）（1）计算： （2）解方程： 18．（25-26九年级上·广东佛山·期末）如图，在中，点D，E，F分别在，，边上，，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 19．（25-26九年级上·陕西宝鸡·期末）陕西作为文化大省，有众多非物质文化遗产，某学校开设了非物质文化遗产活动课，分别有：A．西安鼓乐，B．安塞剪纸，C．凤翔泥塑，D．宁强羌绣，要求每名学生从这四种活动课中选出一种进行学习．小玉和小洋两名同学对这四种活动课都很感兴趣，她们找来四个完全相同的小球，分别写上A、B、C、D四个字母（A、B、C、D分别对应西安鼓乐、安塞剪纸、凤翔泥塑和宁强羌绣），放入不透明的盒子中摇匀，小玉先从中随机摸出一个小球，记下所标字母后放回摇匀，小洋再从四个小球中随机摸出一个小球记下所标字母，摸出的小球上字母对应的活动课即为各自选择的活动课． (1)小玉选择的活动课是A（西安鼓乐）的概率为______； (2)请用列表或画树状图的方法求小玉和小洋选择的活动课中有（凤翔泥塑）的概率． 20．（25-26九年级上·江苏扬州·月考）已知关于x的一元二次方程（为常数） (1)求证：无论为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的两个实数根为，且满足，求的值． 21．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，双曲线与直线交于点，直线交y轴于点M，交x轴于点N． (1)求双曲线和直线的函数解析式． (2)关于x的不等式的解集为______． (3)P是x轴上的一动点，连接．若的面积为80，请直接写出点P的坐标． 22．（25-26九年级上·安徽蚌埠·期末）某地计划为学校添置新型“躺式”课桌椅，以解决学生的午休问题图是“躺式”课桌椅的实物图，图是上课期间椅子的摆放样式已知座面与支撑脚平行，座面，座面高，背垫，（结果精确到）．（参考数据：，，，） (1)求点到支撑脚的垂直距离； (2)如图是午休时椅子的摆放样式，此时点到点的水平距离为，求背垫旋转的度数． 23．（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，在四边形中，，．以为直径的经过点，且与边交于点，连接． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的长． 24．（25-26九年级上·广东深圳·期末）为响应2025年粤港澳全运会“绿色、共享、惠民”的办赛理念，深圳某文创企业推出一系列全运会特许纪念品．企业将纪念品分为“经典系列”和“环保系列”两类进行试销，并根据市场反馈动态调整定价策略，旨在让利于民的同时实现可持续发展． 【信息收集】信息一： 系列 每件成本（元） 试销单价（元/件） 试销日销量 经典系列 40 60 200 环保系列 20 x 未定 信息二：“环保系列”在试销单价x元时，其日销售量q（件）可表示为：； 信息三：试销期间，企业从“经典系列”获得的每日总利润，与从“环保系列”以单价x元销售时获得的每日总利润恰好相等． 【问题解决】 (1)求“经典系列”在试销时的每日总利润； (2)求出信息二中x的值； (3)企业决定对“环保系列”采用灵活的定价策略．设“环保系列”的销售单价为t元/件（），其每日总利润为w元．问每日的最大利润是否能超过4950元？如能，请求出此时对应的销售单价；若不能，请说明理由． 25．（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，已知抛物线与坐标轴交于三点，，．是轴上方抛物线上一点，连接．      (1)求抛物线的解析式； (2)当点在第一象限时，连接，的面积是6，求点的坐标； (3)是否存在点的位置，使得是直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 阶段性复习检测 （满分120分，考试时间120分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：北师大版九年级上下册全部内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（25-26九年级上·广东梅州·月考）如图，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由A处走到B处这一过程中，他在地上的影子（   ） A．逐渐变短 B．逐渐变长 C．先变短后变长 D．先变长后变短 【答案】C 【分析】本题考查了中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影．熟练掌握中心投影的特征是解题关键．根据中心投影的特征可得小亮在地上的影子先变短后变长． 【详解】解：因为小亮由A处走到B处这一过程中离光源是由远到近再到远的过程， 所以他在地上的影子先变短后变长． 故选：C． 2．（25-26九年级上·河南南阳·期末）为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为15米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块50平方米的长方形菜地作为实践基地，如图所示．设长方形的一边长为米，根据题意可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设长方形的一边长为米，则长方形的另一边长为，再根据长方形面积公式列出方程即可． 【详解】解：设长方形的一边长为米，则长方形的另一边长为米， 由题意得，， 故选：D． 3．（25-26九年级上·广东佛山·期末）一个暗箱中放有个球，其中有两个红球，这些球除颜色外都相同． 从中随机摸出一个球，记下颜色后放回暗箱． 通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在左右，那么可以估算m的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了利用频率估计概率，根据频率稳定在概率附近，摸到红球的概率为红球数量与总球数的比值，即，且该概率约为，由此建立方程求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵ 摸到红球的频率稳定在左右， ∴ 摸到红球的概率， 又∵ 红球有个，总球数为， ∴， ∴， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴估算的值为， 故选：． 4．（25-26九年级上·辽宁大连·期末）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了位似变换，根据点的坐标可得到位似比，再根据位似比即可求解，掌握位似变换的性质是解题的关键． 【详解】解：∵与是位似图形，点的对应点为， ∴与的位似比为， ∴点的对应点的坐标为，即， 故选：B． 5．（25-26九年级上·福建漳州·月考）如图，在中，，，，则的长为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形，过点A作于点，由可求出，由勾股定理求出，由可求出，在中由勾股定理即可求解． 【详解】解：过点A作于点，如图， ∴， ∵， ， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， 在中，． 故选：C． 6．（25-26九年级上·四川达州·期中）如图，正方形中，，以对角线为一边作菱形，则的长为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质、菱形的性质． 由正方形的性质得，，则，因为四边形是菱形，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴． 故选：C． 7．（25-26九年级上·黑龙江绥化·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边，分别在轴，轴的正半轴上，双曲线分别与边，相交于点，，且点，分别为，的中点，连接，若的面积为5，则的值是（   ） A．20 B．40 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，矩形的性质等，灵活运用以上知识点是解题的关键．设点B坐标为，得到，即可得到点E坐标为，点F坐标为，．根据的面积为5，得到，求出，然后根据点E在图象上，从而求出k． 【详解】解：设点B坐标为， ∵四边形为矩形，并且在第一象限， ∴， ∵点，分别为，的中点， ∴点E坐标为，点F坐标为，． ∵的面积为5， ∴， ∴， ∵双曲线经过点， ∴． 故选：A． 8．（25-26九年级上·江苏南通·期末）构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要体现我们已经知道，，角的三角函数值，现在来求的值．如图，在中，，延长使，连接，得．设，则，，所以类比这种方法，计算的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正切值的求解，勾股定理．在中，，延长使，连接，得，设，则，根据进行求解即可． 【详解】解：如图，在中，，延长使，连接， 则， 设，则， ， 在中， ， 故选：B． 9．（25-26九年级上·陕西西安·月考）如图，为的直径，点在上，连接，以为边作菱形，交于点，垂足为，若，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．4.2 【答案】B 【分析】本题考查圆中求线段长，涉及垂径定理、勾股定理和菱形性质等知识，熟记垂径定理及勾股定理求线段长的方法是解决问题的关键． 先由垂径定理得到，，则，在中，由勾股定理求出，进而由菱形性质得到，最后数形结合表示出线段求解即可得到答案． 【详解】解：如图所示： ，为的直径， ，， 则， 在中，，则由勾股定理可得， 四边形为菱形， ， 则， 故选：B． 10．（25-26九年级上·广东东莞·期末）如图，抛物线的对称轴是直线．下列结论：①；②；③；④对任意m，正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，根据抛物线的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点判定系数符号及运用一些特殊点解答问题，逐一分析判断各个说法并选出正确的说法即可． 【详解】解：由抛物线开口向下可得， 根据抛物线的对称轴在y轴右侧可得a，b异号，∴， 根据抛物线与y轴的交点在其正半轴上可得， ∴，故①错误； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，故②正确； ∵直线是抛物线的对称轴， ∴，可得， 由图象可知，当时，，即， ∴， 即，故③正确； ∵当时，函数取得最大值，即为最大， 故， 即，故④错误， ∴结论正确的是②③，共2个， 故选：B． 第II卷（非选择题） 二、填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11．（25-26九年级上·江西抚州·期中）已知，是一元二次方程的两个根，则的值为 ． 【答案】7 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系，直接计算两根之和与两根之积，再代入所求表达式进行计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴． 故答案为：7． 12．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）若点，，在反比例函数的图象上，则，，，的大小关系是 （用“＞”号连接）． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 根据反比例函数的性质，由于 ，函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小，点在第三象限，则；点 和在第一象限，则，，当时， 随的增大而减小，则较小的点值较大，故，因此． 【详解】解：∵， ∴的图象在第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小， ∵在第三象限， ∴， ∵，在第一象限，， ∴， ∴，即． 故答案为：． 13．（25-26九年级上·山东·期末）如图，在中，，棱长为1的立方体展开图有两边分别在上，有两个顶点在斜边上，则的值等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求角的正切值，根据题意可证明得到，再根据正切的定义可得． 【详解】解：如图所示，由题意得，， ∵，即， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14．（25-26九年级上·广东广州·期末）如图，二次函数：与一次函数：的图象交于、两点，则当时，的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查函数交点的意义，函数图像与不等式的关系，把不等式关系转化为图像的位置关系是解题关键． 把不等式转化为函数图像的上下位置关系，找到交点横坐标作为分界点，再观察图像走势确定满足条件的取值范围． 【详解】解：由图可知，二次函数与一次函数的交点的横坐标为，交点的横坐标为， 则时，的取值范围为或． 故答案为：或． 15．（25-26九年级上·四川达州·期末）阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物，这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形判定及性质．根据题意可得，进而利用相似三角形性质即可计算出本题答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴，解得：， 故答案为：． 16．（25-26九年级上·新疆·月考）如图，四边形为平行四边形，边与相切于点，点在上，、、分别与交于点、、，点是弧的中点，若，则 ． 【答案】 【分析】连接，设与交于点H，根据垂径定理可得，再结合切线的性质可得，可证明，即可求出的长；连接，分别过点D，E作，垂足分别为点N，M，则，证明，可得，根据圆周角定理可得，在和中，根据勾股定理可得，可得，再由，可得，从而得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：如图，连接，设与交于点H， ∵点E是弧的中点， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∵与相切于点B， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴（负值舍去）； 如图，连接，分别过点D，E作，垂足分别为点N，M，则， ∵四边形为平行四边形， ∴，，，， ∴，， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆的综合题，涉及了圆的内接四边形的性质，切线的性质，垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握圆的内接四边形的性质，切线的性质，垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 三、解答题（9小题，共72分） 17．（25-26九年级上·河南·期末）（1）计算： （2）解方程： 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值的混合运算和一元二次方程的解法，熟记特殊角的三角函数值与掌握因式分解法解一元二次方程是解本题的关键． （1）先把特殊角的三角函数值代入，再计算即可； （2）根据因式分解法求解一元二次方程即可． 【详解】解：（1） ； （2）整理得， 因式分解得，即， ∴或， 解得，． 18．（25-26九年级上·广东佛山·期末）如图，在中，点D，E，F分别在，，边上，，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题主要考查相似三角形的判定及平行线所截线段成比例，熟练掌握相似三角形的判定及平行线所截线段成比例是解题的关键； （1）由题意易得，然后根据相似三角形的判定定理可进行求证； （2）由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 19．（25-26九年级上·陕西宝鸡·期末）陕西作为文化大省，有众多非物质文化遗产，某学校开设了非物质文化遗产活动课，分别有：A．西安鼓乐，B．安塞剪纸，C．凤翔泥塑，D．宁强羌绣，要求每名学生从这四种活动课中选出一种进行学习．小玉和小洋两名同学对这四种活动课都很感兴趣，她们找来四个完全相同的小球，分别写上A、B、C、D四个字母（A、B、C、D分别对应西安鼓乐、安塞剪纸、凤翔泥塑和宁强羌绣），放入不透明的盒子中摇匀，小玉先从中随机摸出一个小球，记下所标字母后放回摇匀，小洋再从四个小球中随机摸出一个小球记下所标字母，摸出的小球上字母对应的活动课即为各自选择的活动课． (1)小玉选择的活动课是A（西安鼓乐）的概率为______； (2)请用列表或画树状图的方法求小玉和小洋选择的活动课中有（凤翔泥塑）的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是根据概率公式求概率，用列表法求概率． （1）直接由概率公式求解即可； （2）根据列表求概率即可求解． 【详解】（1）解：共有四种活动课，小玉选择的活动课是A（西安鼓乐）的概率为； 故答案为：． （2）解：列表如下：   小玉 小洋 共有16种等可能的结果，其中小玉和小洋选择的活动课中有（凤翔泥塑）的有7种结果， 所以小玉和小洋选择的活动课中有（凤翔泥塑）的概率为． 20．（25-26九年级上·江苏扬州·月考）已知关于x的一元二次方程（为常数） (1)求证：无论为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的两个实数根为，且满足，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式与根与系数的关系，熟练掌握根的判别式判断根的情况、利用根与系数的关系转化根的关系是解题的关键． （1）利用一元二次方程根的判别式公式，计算并分析其取值，从而证明方程根的情况； （2）结合根与系数的关系表示出根的和与积，将已知条件展开后代入，通过解方程求出m的值． 【详解】（1）证明：，，， ， ， ， 无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根． （2）解：由，得，， ， ， ， 解得：，． 21．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，双曲线与直线交于点，直线交y轴于点M，交x轴于点N． (1)求双曲线和直线的函数解析式． (2)关于x的不等式的解集为______． (3)P是x轴上的一动点，连接．若的面积为80，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合． （1）将点的坐标代入反比例函数表达式得反比例函数表达式为：，然后求得点的坐标，待定系数法求直线解析式即可求解； （2）根据函数图象写出不等式的解集即可求解； （3）先求出，，设，则，根据的面积为80得到，求出或，即可求出点P的坐标． 【详解】（1）解：将点的坐标代入反比例函数表达式得：， 则反比例函数表达式为：， 将点的坐标代入上式得：，则， 即点的坐标为：， 将、的坐标代入一次函数表达式得： ，解得：， 则直线的表达式为：； （2）解：从函数图象看，不等式的解集为：或； 故答案为：或； （3）解：当时，， 即， ∴， 当时，， 即， 设， 则， ∵的面积为80， ∴， 即， ∴， ∴， ∴或， 即或． 22．（25-26九年级上·安徽蚌埠·期末）某地计划为学校添置新型“躺式”课桌椅，以解决学生的午休问题图是“躺式”课桌椅的实物图，图是上课期间椅子的摆放样式已知座面与支撑脚平行，座面，座面高，背垫，（结果精确到）．（参考数据：，，，） (1)求点到支撑脚的垂直距离； (2)如图是午休时椅子的摆放样式，此时点到点的水平距离为，求背垫旋转的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解直角三角形的实际应用， （1）过点G作于点H，利用正弦公式求出即可； （2）过点G作，交的延长线于点M，由题意得，得到，在中，根据余弦求出，由此得到，进而得到背垫旋转的度数 【详解】（1）解：过点作于点， 在中，， ， ， 点到支撑脚的垂直距离约为； （2）解：过点作，交的延长线于点， 由题意得， ， ， ， ， ， ， 背垫旋转的度数为． 23．（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，在四边形中，，．以为直径的经过点，且与边交于点，连接． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】（1）先证明，然后由圆周角定理得，则，故，即可证明； （2）先解，然后证明，作于点，可得，设，则，，再证明即可求解． 【详解】（1）证明：， ， 又， ， 为的直径， ， ， ，即， ， 为的切线； （2）解：如图，作于点， ，， ． ∴在中，由勾股定理得，， ． ，， ， ， ∵ ． ， ， 设，则，， ，， ． 又， ， ，即． ， 解得， ． 【点睛】本题考查了圆的综合题，涉及圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，等腰三角形的性质，圆的切线的判定等知识点． 24．（25-26九年级上·广东深圳·期末）为响应2025年粤港澳全运会“绿色、共享、惠民”的办赛理念，深圳某文创企业推出一系列全运会特许纪念品．企业将纪念品分为“经典系列”和“环保系列”两类进行试销，并根据市场反馈动态调整定价策略，旨在让利于民的同时实现可持续发展． 【信息收集】信息一： 系列 每件成本（元） 试销单价（元/件） 试销日销量 经典系列 40 60 200 环保系列 20 x 未定 信息二：“环保系列”在试销单价x元时，其日销售量q（件）可表示为：； 信息三：试销期间，企业从“经典系列”获得的每日总利润，与从“环保系列”以单价x元销售时获得的每日总利润恰好相等． 【问题解决】 (1)求“经典系列”在试销时的每日总利润； (2)求出信息二中x的值； (3)企业决定对“环保系列”采用灵活的定价策略．设“环保系列”的销售单价为t元/件（），其每日总利润为w元．问每日的最大利润是否能超过4950元？如能，请求出此时对应的销售单价；若不能，请说明理由． 【答案】(1)“经典系列”在试销时的总利润为4000元 (2)x的值为40 (3)每日的最大利润不能超过4950元，此时销售单价为55元，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，正确理解题意是关键． （1）根据题意，“经典系列”试销时，单件利润乘以日销量即可； （2）“环保系列”的单件利润为元，日销量为件，列方程求解即可； （3）根据题意列函数关系式，根据二次函数的性质求最大值即可． 【详解】（1）解：“经典系列”试销时，单件利润为（元）， 日销量为200件， 每日总利润为（元）， 答：“经典系列”在试销时的总利润为4000元． （2）解：根据题意得：， 解得，， 要让利于民，销售单价应尽可能低， 取． （3）解：每日的最大利润不能超过4950元，此时销售单价为55元， 理由如下： ， ， 当时，w有最大值，最大值为． 销售单价为55元时，每日的最大利润不能超过4950元． 25．（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，已知抛物线与坐标轴交于三点，，．是轴上方抛物线上一点，连接．      (1)求抛物线的解析式； (2)当点在第一象限时，连接，的面积是6，求点的坐标； (3)是否存在点的位置，使得是直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在点的位置使得是直角三角形，点的坐标是或或 【分析】本题考查二次函数与几何的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）作轴于点，交于点，求出直线的解析式，设，则，，根据，进行求解即可； （3）分和两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意，可知：，，， 将，，代入， 得：，解得， 则抛物线解析式为； （2）解：作轴于点，交于点， 设直线的解析式为， 把，代入得，解得， ∴直线的解析式为， 设，则，， ，， ， ∵，， ∴． ． 解得，（舍去）， 当时，， 点坐标为； （3）解：存在． 设，作轴于点，于点，则，， 若， ∵， ∴， ， ， ， ， 解得，（舍去）， 此时，点坐标为． 若，则，， ， ， ， ， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， 由题意，， ， 解得，，， ，， 综上，存在点的位置使得是直角三角形，点的坐标是或或． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $