专题06 巧构等腰三角形的四类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材北师大版八年级下册

专题06 巧构等腰三角形的四类综合题型 目录 典例详解 类型一、利用平行线+角平分线构造等腰三角形 类型二、过腰或底作平行线构造等腰(边)三角形 类型三、巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形 类型四、利用倍角关系构造新等腰三角形 压轴专练 类型一、利用平行线+角平分线构造等腰三角形 模型分析：由平行线得到内错角相等，由角平分线得到相等的角，等量代换进行解题．平行线、角平分线及等腰，任意由其中两个条件都可以得出第三个。 （简称：“知二求一”，在以后还会遇到很多类似总结）。 平行四边形中的翻折问题就常出现该类模型。    图1 图2 图3 条件：如图1，OO’平分∠MON，过OO’的一点P作PQ//ON. 结论：△OPQ是等腰三角形。 条件：如图2，△ABC中，BD是 ∠ ABC的角平分线，DE ∥ BC。结论：△BDE是等腰三角形。 条件：如图3，在中，平分，平分，过点O作的平行线与，分别相交于点M，N．结论：△BOM、△CON都是等腰三角形。 例1．（25-26八年级上·江苏南京·月考）“角平分线”，“平行线”与“等腰三角形”三者关系密切． (1)如图1，已知平分，．求证：是等腰三角形； (2)如图2，已知在中，，平分的外角．求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查角平分线的应用、直线平行的判定与性质、三角形外角的性质、等腰三角形的判定与性质： （1）通过直线平行的性质和角平分线证明即可； （2）根据三角形外角的性质及角平分线证明即可． 【详解】（1）证明：∵平分， ， ， ， ， ， ∴是等腰三角形； （2）， ， ∵平分， ∴， ∵是的外角， ∴， ， ． 【变式1-1】如图，在中，，的角平分线交于点，过点作交的延长线于点． (1)若，求的度数； (2)若是上的一点，且，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）由平行线的性质可求出，根据角平分线的定义可得出，最后结合等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解； （2）由角平分线的定义可得，结合平行线的性质可证，即得出，即易证，得出． 【详解】（1）解：，， ． 平分， ． ， ， ； （2）证明：平分， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 例1．（1）如图1，中，，，的平分线交于O点，过O点作交，于点E，F．图中有 个等腰三角形．猜想：与，之间有怎样的关系，并说明理由； （2）如图2，若，其他条件不变，图中有 个等腰三角形；与，间的关系是 ； （3）如图3，，若的角平分线与外角的角平分线交于点O，过点O作交于E，交于F．图中有 个等腰三角形．与，间的数量关系是 ． 【答案】（1）2， ，理由见解析．（2）5，（3）2， 【分析】（1）本题考查平行线性质、角平分线性质、等腰三角形的性质和判定，根据角平分线性质和平行线性质得到角相等，再进行等量代换得到，，再利用等角对等边，得到，，即可解题． （2）本题考查平行线性质、角平分线性质、等腰三角形的性质和判定，根据角平分线性质和平行线性质，再进行等量代换得到、、、，再利用等角对等边，得到对应线段相等，即可解题． （3）本题解法与（1）类似． 【详解】（1）解： ，理由如下： ，的平分线交于O点， ，，     ， ，， ，， ，， 和为等腰三角形，即图中有2个等腰三角形． ． 故答案为：2． （2）解：，即为等腰三角形， ， ，的平分线交于O点， ， ，即为等腰三角形， ， ，，， ，，，即为等腰三角形， ，， 和为等腰三角形， ． 综上所述，共有5个等腰三角形， 故答案为：5，． （3）解：的角平分线与外角的角平分线交于点O， ，， ， ，， ，， ，， 和为等腰三角形，即图中有2个等腰三角形． ． 故答案为：2，． 【变式1-2】（1）如图1，，平分，则的形状是 三角形； （2）如图2，平分，，，则 ． （3）如图3，有中，是角平分线，交于点D．若，则 ． （4）如图4，在中，与的平分线交于点F，过点F作，分别交，于点D，E．若，则的周长为 ． （5）如图，在中，cm，分别是和的平分线，且，则的周长是 ． 【答案】（1）等腰；（2）3；（3）12；（4）30；（5）5cm 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，对角对等边． （1）平行线的性质结合角平分线平分角，得到，即可得出结果； （2）平行线的性质结合角平分线平分角，得到，进而得到即可； （3）同法（2）可得：，利用，求解即可； （4）同法（2）得到，推出的周长等于，即可得出结果； （5）同法（2）得到，推出的周长等于的长即可． 掌握平行线加角平分线往往存在等腰三角形，是解题的关键． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； 故答案为：等腰； （2）∵平分，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：3； （3）同法（2）可得：， ∴； 故答案为：12； （4）同法（2）可得：， ∴的周长； 故答案为：30； （5）同法（2）可得：， ∴的周长； 故答案为：5cm． 类型二、过腰或底作平行线构造等腰(边)三角形 模型分析：在等腰三角形内部或外部作任意一边的平行线均可构造出新的等腰三角形. 条件：如图1，若AC=BC,过点D作D作DE//BC. 结论：△ADE是等腰三角形. 条件：如图2，若AC=BC,过点D作D作DE//AB. 结论：△CDE是等腰三角形. 例2．如图，是的角平分线，，交于点． (1)求证：是等腰三角形． (2)当时，请判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【知识点】角平分线的有关计算、等腰三角形的性质和判定、两直线平行内错角相等 【分析】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定及性质，角平分线定义，熟练掌握等腰三角形的判定及性质是解题的关键． （1）由角平分线得．再根据平行线的性质得，进而．即可证明结论成立； （2）由等边对等角及平行线的性质得，，从而．由（）得，，从而． 【详解】（1）证明：证明：∵是的角平分线， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：．理由如下： ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 由（）得， ∴， ∴． 【变式2-1】综合与探究 如图，在中，，为延长线上的一动点，且，交于点． (1)如图1，求证：是等腰三角形． (2)如图2，当为的中点时，与有怎样的数量关系？请写出结论，并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)，理由见解析． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了全等三角形的判定、等腰三角形的性质以及垂线的定义．解题的关键是熟悉全等三角形的判定以及等腰三角形的性质． （1）通过已知条件证明和相等就能证明是等腰三角形； （2）由，F是的中点可得，再根据勾股定理求出，过A点作，再通过证明三角形全等得出． 【详解】（1）证明：， ． ， ，， ． 又， ， ， 是等腰三角形； （2）解：，理由如下： 过点作于点， 由（1）得， ∵， ． ，， ． 又为的中点， ． 在和中， ， ， ． 2．（25-26八年级上·甘肃·期末）如图，在等边三角形中，点在边上，点在的延长线上，且． (1)【特例探究】如图1，若点为的中点，求证：； (2)【类比迁移】如图2，若点在边上任意一点，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)成立，证明见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是正确添加辅助线，构造全等三角形． （1）先根据三线合一得到，然后由等边对等角得到，再证明，结合即可证明； （2）过点作交于点，证明即可． 【详解】（1）证明：∵等边三角形， ∴ ∵点为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：成立，理由如下： 过点作交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式2-2】（1）如图1，为等边三角形，动点D在边上，动点E在边上．若这两点分别从点B，A同时出发，以相同的速度分别由点B向点A和由点A向点C运动，连接交于点P，则在动点D，E的运动过程中，与之间的数量关系是______________________． （2）如图2，若把（1）中的“动点D在边上，动点E在边上”改为“动点D在射线上运动，动点E在射线上运动”，其他条件不变，上述结论还成立吗？请说明理由． （3）如图3，若把（1）中的“动点D在边上”改为“动点D在射线上运动”，连接，交于点M，其他条件不变，则在动点D，E的运动过程中，与之间存在怎样的数量关系？请写出简要的证明过程． 【答案】（1）；（2）成立，理由见解析；（3），证明见详解 【知识点】全等三角形综合问题、等边三角形的判定和性质、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据题意得，和，即可证明，则有； （2）由题意得，，进一步得，结合等边三角形的性质即可证明，有； （3）作交于H，则，，，有为等边三角形，进一步得，即可证明，则． 【详解】解：（1）∵是等边三角形， ∴，， 由题意得，， 在和中， ， ∴， ∴； （2）成立， 理由如下：由题意得，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， （3）， 理由如下：作交于H，如图， ∵为等边三角形，， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 类型三、巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形 模型解析：如图， 中,AD平分 由“ASA”易得 从而得 即一边上的高与这边所对的角平分线重合，易得这个三角形是等腰三角形. 例3．（25-26八年级上·四川广元·期中）（1）【问题情境】如图1，平分．点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，求证：； （2）【问题探究】如图2，中，，，平分，，垂足在的延长线上，求证：； 【答案】（1）见详解，（2）见详解， 【分析】（1）利用已知条件，证明，即可得出结论； （2）延长交延长线于F，求出，证明，推出，再证明，进而可得结论； 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：如图：延长交延长线于F， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 例3．【问题情境】 利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B，可根据______证明，则，（即点C为的中点）． 【类比解答】 如图2，在中，平分，于E，若，，通过上述构造全等的办法，可求得______． 【拓展延伸】 （1）如图3，中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． （2）如图4，中，，，点D在线段上，，，垂足为，与相交于点F．线段与的数量关系为______．（直接写出） 【答案】【问题情境】；【类比解答】；【拓展延伸】（1），证明见解析；（2） 【分析】问题情境：根据角平分线的性质得，垂直得性质得，结合，可利用证明； 类比解答：延长交于点F，由问题情境可知，由等腰三角形的性质得，结合三角形的外角性质即可得出结论； 拓展延伸：（1）延长、交于点F，利用证，有，结合问题情境可知，即可得出结论； （2）过点D作，交的延长线于点G，与相交于H，可得和，进一步得，结合有和，利用可证得，有，即可证明． 【详解】问题情境： 解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 故答案为：； 类比解答： 延长交于点F，如图， 由问题情境可知，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； 拓展延伸： （1），证明如下： 延长、交于点F，如图， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由问题情境可知，， ∴； （2）过点D作，交的延长线于点G，与相交于H，如图， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 则， 在和中 ∴， ∴， 则． 【变式3-1】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图，平分．点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可证得，则，． 【问题提出】 （1）如图，在中，平分，于点，若，，通过上述构造全等的办法，求的度数； 【问题探究】 （2）如图，在中，，，平分，，垂足在的延长线上，试探究和的数量关系； 【问题解决】 （3）如图是一块肥沃的土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，他进行了如下操作： 作的平分线； 再过点作交于点 已知米，米，面积为平方米，求划出的的面积． 【答案】（）；（），理由见解析；（）． 【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边对等角 【分析】（）延长交于点，由已知可知，再由等腰三角形的在得 ，然后由三角形的外角性质即可得出结论； （）延长交于点，证，得，再由已知可知，即可得出结论； （）延长交于， 由已知可知，，则再由三角形面积关系得，即可得出结论． 【详解】（）如图， 延长交于点， 由已知可知， ∴， ∵， ∴； （），证明如下： 如图，延长交于点，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由已知可知，， ∴； （）如图，延长交于， 由已知可知，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 类型四、利用倍角关系构造新等腰三角形 模型分析：当一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时，一般通过转化倍角寻找等腰三角形． 条件：如图1，若∠ABC=2∠C,作BD平分∠ABC. 结论：△BDC是等腰三角形. 条件：如图2，若∠ABC=2∠C,延长CB到D,使BD=BA,连接AD. 结论：△ADC是等腰三角形. 条件：如图3，若∠B=2∠ACB,以C为角的顶点，CA为角的一边，在三角形外作∠ACD=∠ACB，交BA的延长线于点D. 结论：△DBC是等腰三角形. 例4．将沿折叠，使点刚好落在边上的点处． (1)在图1中，若，，，求； (2)在图2中，若， ①求证：． ②若，求的度数． 【答案】(1) (2)①见解析；② 【分析】本题考查了折叠，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据折叠的性质可求出，即可求解； （2）根据折叠的性质可得出，，根据三角形外角的性质并结合已知可得出，则，最后根据等角对等边即可得证； ②设，则，，，根据等边对等角得出．根据折叠的性质可得出，则，根据三角形外角的性质得出，在中根据三角形内角和定理可求出，则，， 最后在中根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）解：由折叠性质得：， ∴， （2）①证明：沿折叠得到， ， ．， ， ， ； ②设，则，， ， ． 折叠， ∴． ， 在中，， 解得 ，， ∴． 例4．如图1，是的角平分线，，试探究线段，，之间的数量关系．小明的解题思路如下： ①如图2，在上取一点，使，连接． ②由，平分，是公共边， 可得（理由：________）， 则，． ③由， 则． 又因为， 所以，则________ 又由，得． ④根据上述的推理可知，，之间的数量关系为________． (1)请你补全小明的解题思路． (2)小明又想尝试其它方法：延长到点，使，连接．请你帮助小明，完成解答过程． 【答案】(1)，， (2)见解析 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质与判定及全等三角形的性质与判定，熟练掌握等腰三角形的性质与判定及全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）根据题意可直接进行求解； （2）根据题意作辅助线，根据等边对等角得到，根据三角形外角的性质得到，证得，得到，等量代换即可证明． 【详解】（1）解：①如图2，在上取一点，使，连接． ②由，平分，是公共边， 可得（理由：）， 则，． ③由， 则． 又因为， 所以，则 又由，得． ④根据上述的推理可知，，之间的数量关系为； （2）证明：延长到点，使，连接．如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵ ∴ ∵平分， ∴， ∵是公共边， ∴， ∴． 【变式4-1】问题背景：在中，，点为线段一动点，当满足某种条件时，探讨在线段、、、四条线段中，某两条或某三条线段之间存在的数量关系． (1)在图1中，当时，则可得，请你给出证明过程． (2)当时，如图2，求证：； (3)当是的角平分线时，判断、、的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，理由见解析 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等腰三角形的性质和判定、全等三角形综合问题 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据三角形的外角的性质，等腰三角形的性质得到，证明结论； （2）在上截取，连接，证明，根据全等三角形的性质得到，，根据三角形的外角的性质，等腰三角形的性质证明； （3）在上截取，连接，证明，仿照（2）的证明方法解答． 【详解】（1）， ， ， ， ， ， ， ； （2）在上截取，连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ； （3）， 理由如下：在上截取，连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 一、解答题 1．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）如图，在等边中，D是上一点，E是延长线上一点，，交于点F． (1)求证：； (2)过点D作于点H，若，求． 【答案】(1)证明见解析 (2)4 【分析】本题考查等边三角形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，添加平行线构造全等三角形是解题关键． （1）过点D作的平行线，交于点G，由 是等边三角形和，可得也是等边三角形，则有．结合已知条件，容易证出，从而得到； （2）由（1）可知，，则有．因为是等边三角形，同时，可得，因此． 【详解】（1）证明：如图，过点D作的平行线，交于点G， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：如图， 由（1）可知，， ∴， ∵是等边三角形，， ∴， ∵，， ∴． 2．（2023八年级下·甘肃平凉·竞赛）如图，已知在中，为直角，，为上一点，于E． (1)若平分，求证：； (2)若D为上一动点，如何变化，若变化，求它的变化范围；若不变，求出它的度数，并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)不变，，理由见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理，作出辅助线是解本题的关键. （1）利用等角的余角相等判断出，证明，判断出，再证明，进而判断出，即可得出结论； （2）作出辅助线，利用全等三角形的面积相等，进而判断出，即可得出是的角平分线． 【详解】（1）证明：连接，延长，交的延长线于 是直角，， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ， ； （2）不变化， 理由：如图，过点作于，作于， 是直角，， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ，而， ， ，， 平分， ， 即：不变化． 3．（24-25八年级下·山东枣庄·月考）如图，在中，，，是的角平分线，交的延长线于点． (1)求证：； (2)连接，若，，求三角形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】延长、交于点，由是的角平分线，交的延长线于点，得，而，即可证明，得，推导出，而，可证明，则； 作于点，由，得，所以，由三角形中位线定理得，所以． 【详解】（1）证明：延长、交于点， 是的角平分线，交的延长线于点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． （2）解：作于点， ， ， ， 点是的中点，点是的中点， ， ， 三角形的面积为． 4．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）中，分别平分与，过与平行的直线与分别交于、． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当时，连接与的关系是怎样的，并说明理由； (3)如图3，连接并延长交于点，如果，，，则_____． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的性质，熟练利用相关性质是解题的关键． （1）根据角平分线的定义和平行线的性质，可得为等腰三角形，即可解答； （2）根据可得，则可得，，则可得； （3）利用角平分线分线段成比例定理即可解答． 【详解】（1）证明：分别平分与， ， ， ， ， ； （2）解：，理由如下： ， ， ， ， ， 根据（1）中可得， ， ； （3）解：如图，过点作交于点，作交于点， 分别平分与， 平分， ， ， 当以为底时，和的高是同一条， ， ． 5．（25-26八年级上·四川绵阳·期末）在中，． (1)如图1，当，为的角平分线时，过作的垂线，垂足为，可以发现，，存在的数量关系是___________； (2)如图2，当，为的角平分线时，线段，，是否还存在（1）中的数量关系？如果存在，请给出证明．如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，证明见解析 【分析】本题考查了三角形的全等的判定与性质，等腰三角形的性质和判定，三角形外角的性质，解题的关键是掌握以上知识点． （1）先证出，得到，，然后得到，从而可得，最后根据线段和差、等量关系即可得证； （2）先根据定理证出，根据全等三角形的性质可得，，再根据三角形的外角性质可得，然后根据等腰三角形的判定可得，从而可得，最后根据线段和差、等量关系即可得证． 【详解】（1）解：∵为的角平分线， ∴， ∵ ∴ 又∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：存在． 证明如下：如图所示，在上取点E，使， ∵为的角平分线时， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 6．（25-26八年级上·江苏扬州·月考）如图①，中，，、的平分线交于点，过点作交于． (1)图中有___________个等腰三角形；与、之间数量关系是___________； (2)如图②，若，其他条件不变，图中有___________个等腰三角形；与、间数量关系是___________； (3)如图③，若中的平分线与三角形外角平分线交于，过点作交于，交于．与、关系又如何？说明你的理由． 【答案】(1)5， (2)2， (3)，理由见解析 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，中垂线的性质，角平分线的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）连接，作，证明是的平分线，三线合一得到垂直平分，得到，平行线的性质结合角平分线的定义，推出，进而确定等腰三角形的个数，以及与、之间数量关系； （2）平行线的性质结合角平分线的定义，推出，进而确定等腰三角形的个数，以及与、之间数量关系； （3）平行线的性质结合角平分线的定义，推出，根据线段的和关系即可得出结论． 【详解】（1）解：连接，作， ∵， ∴为等腰三角形， ∵、的平分线交于点， ∴，， ∴， ∴是的平分线， ∴垂直平分， ∴， ∴为等腰三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴均为等腰三角形，； 综上：共有5个等腰三角形，； （2）解：∵、的平分线交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴均为等腰三角形，； 故共有2个等腰三角形，； （3）解：，理由如下： ∵的平分线与三角形外角平分线交于， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 7．（25-26八年级上·湖北黄石·期末）综合探究 问题情境： 是等边三角形，点是上一点，点在的延长线上，且，连接、． （1）如图，当点是的中点时， ；（填“”，“”或“”） （2）若点为边上任意点时，同学们经讨论发现结论依然成立，并且可以通过构造一个三角形与全等来证明．以下是他们的部分证明过程： 证明：如图，过点作，交于点．（请完成余下的证明过程） 问题解决： （3）如图，当点是边上任意一点时，点在上，若，求证：． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，中点的性质，结合图形找准各边角之间的关系是解题关键． （1）由等边三角形的性质可得，，再根据中点的性质和“三线合一”可得，，然后等量代换结合等角对等边即可得证； （2）过点作，交于点，先证明是等边三角形，可得，进而得到，，证明，即可得证； （3）过点作，交的延长线于点，先证明，得到，再证明，即可得证． 【详解】（1）解：当点是的中点时，，理由如下： 如图， 是等边三角形， ，， 点是的中点， ，， ， ， ， ， ， ， ； 故答案为：； （2）证明：如图，过点作，交于点， ，， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ； （3）证明：如图，过点作，交的延长线于点， ， ，即， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 又， ， ， ，， ， ． 8．（25-26八年级上·吉林长春·期末）【问题原型】如图①，在中，，为的平分线，探究线段的数量关系． 【特例研究】如图②，当时，小明在边上截取，连接，易得：______；______； 【深入探究】如图③，当时，小明选择了上题的做线方法，然后证，得，，再通过证明是等腰三角形，进而可求得线段的数量关系． 以下是小明探究线段数量关系的部分过程： 证明：如图③，在上截取，连接． ∵为的平分线， ∴． 在和中， ∵，，， ∴ ∴，． 证明过程缺失 请你补全缺失的证明过程． 【拓展研究】如图④，在中，，是的外角的平分线，交的延长线于点D．直接写出线段的数量关系：______． 【答案】【特例研究】，；【特例研究】见解析；【拓展研究】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是通过截长法构造全等三角形： 【特例研究】证明，得到，，推出为等腰直角三角形，得到，作答即可； 【深入探究】证明，得到，，推出为等腰三角形，得到，作答即可； 【拓展研究】在上截取，连接，证明，得到，，推出，得到，再根据线段的和差关系以及等量代换即可得出结果． 【详解】【特例研究】解：在边上截取，连接， ∵为的平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； 【深入探究】如图③，在上截取，连接． ∵为的平分线， ∴． 在和中， ∵，，， ∴ ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴． 【拓展研究】在上截取， ∵平分， ∴ 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故． 9．（25-26八年级上·广东珠海·期中）（1）【情境建模】我们知道“等腰三角形底边上的高线、中线和顶角平分线重合”，简称“三线合一”． 小明尝试着逆向思考：若三角形一个角的平分线与这个角对边上的高重合，则这个三角形是等腰三角形；即如图1，已知，点D在的边上，平分，且，求证：．请你帮助小明完成证明； 请尝试直接应用“情境建模”中小明反思出的结论解决下列问题： （2）【理解内化】如图2，在中，是角平分线，过点B作的垂线交于点E、F，；求证：； （3）【拓展应用】如图3，在中，，，，垂足为E，与相交于点F；试探究线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3），理由见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的有关计算等知识点，运用三线合一的性质和作辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）根据角平分线和垂直的性质，证明即可证明结论； （2）由“情境建模”的结论得可得、，进而得到，，再利用三角形外角的性质得到，从而推出，进而证明结论； （3）如图：作于点H，交的延长线于G，分别证明，再根据全等三角形的性质、线段的和差以及等量代换即可解答． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）证明：∵在△ABC中，AD是角平分线，AE⊥BF， 由“情境建模”的结论得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ． （3）解：，理由如下： 作于点H，交的延长线于G， ∵， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴ 在和中， ， ∴， ∴． 10．（24-25八年级上·广东东莞·期末） 【情境建模】 （1）我们知道“等腰三角形底边上的高线、中线和顶角平分线重合”，简称“三线合一”．小明尝试着逆向思考： 已知：如图1，点D在的边上，平分，且，求证：．请你帮助小明完成证明． 【理解内化】 （2）请尝试直接应用“情境建模”中小明反思出的结论解决下列问题：如图2，已知在中，平分，，，求证：． 【拓展应用】 （3）如图3，是两条公路岔路口绿化施工的一块区域示意图，其中，米，米，米，该绿化带中修建了健身步道、、、、，其中入口M、N分别在、上，步道、分别平分和，，．现要在区域修建公共设施，试求需要多少米的围挡才能将围成一圈？（步道宽度忽略不计） 【答案】（1）证明过程见详解； （2）证明过程见详解； （3）需要的围挡才能将围成一圈． 【分析】（1）证出，则可得出结论； （2）延长交于点，证明，，，再由得到，故可求解； （3）延长交于点，延长交于点，由（1）可知，，，，，证明，得出，则可得出答案． 【详解】（1）证明：平分， ， ， ， ，， ， ； （2）证明：如图2，延长交于点， 平分，， 由（1）可得，， ， ，，， ， ， ， ， ， 即； （3）解：延长交于点，延长交于点，如图3， 由（1）可知，，，，， ， ， ， 米， , 的周长 （米）． 答：需要40米的围挡才能将围成一圈． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题06巧构等腰三角形的四类综合题型 目录 典例详解 类型一、利用平行线+角平分线构造等腰三角形 类型二、过腰或底作平行线构造等腰（边）三角形 类型三、巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形 类型四、利用倍角关系构造新等腰三角形 压轴专练 典例详解 类型一、利用平行线+角平分线构造等腰三角形 模型分析：由平行线得到内错角相等，由角平分线得到相等的角，等量代换进行解题.平行线、角平分 线及等腰，任意由其中两个条件都可以得出第三个。（简称：“知二求一”，在以后还会遇到很多类似总 结)。 平行四边形中的翻折问题就常出现该类模型。 图1 图2 图3 条件：如图1，OO'平分∠MON,过OO的一点P作POON结论：△OPQ是等腰三角形。 条件：如图2，△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，DE‖BC。结论：△BDE是等腰三角形。 条件：如图3，在△ABC中，BO平分∠ABC,CO平分∠ACB,过点O作BC的平行线与AB,AC分别 相交于点M,N.结论：△BOM、△CON都是等腰三角形。 例1.(25-26八年级上江苏南京·月考)“角平分线”，“平行线”与“等腰三角形”三者关系密切. 1/13 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 (I)如图1，已知BC平分∠ABD,AC∥BD.求证：ABC是等腰三角形； (2)如图2，己知在ABC中，AB=AC,AE平分ABC的外角∠CAD.求证：AE∥BC. 【变式1-1】如图，在ABC中，AB=AC,∠ABC的角平分线交AC于点D,过点A作AE∥BC交BD的 延长线于点E. B (1)若∠E=38°，求∠BAC的度数； (2)若F是DE上的一点，且BD=EF,求证：AD=AF. 例1.(I)如图1，ABC中，AB≠AC,∠ABC,∠ACB的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB ,AC于点E,F.图中有一个等腰三角形.猜想：EF与BE,CF之间有怎样的关系，并说明理由； (2)如图2，若AB=AC,其他条件不变，图中有一个等腰三角形；EF与BE,CF间的关系是一 (3)如图3，AB≠AC,若∠ABC的角平分线与ABC外角∠ACD的角平分线交于点O,过点O作 OE∥BC交AB于E,交AC于F.图中有 一个等腰三角形.EF与BE,CF间的数量关系是一， D 图1 图2 图3 【变式1-2】(1)如图1，AE∥BC,AE平分∠DAC,则ABC的形状是_三角形： (2)如图2，BC平分∠ABD,AC∥BD,AC=3,则AB=- (3)如图3，有ABC中，BE是角平分线，DE∥BC交AB于点D.若DE=7,AD=5,则AB=- (4)如图4，在ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F,过点F作DE∥BC,分别交AB,AC于 点D,E.若AB=12,AC=18,BC=24,则ADE的周长为_ 2/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (5)如图，在ABC中，BC=5cm,BP,CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线，且PD∥AB,PE∥AC则 △PDE的周长是- B B D E 图1 图2 图3 图4 图5 类型二、过腰或底作平行线构造等腰（边三角形 模型分析：在等腰三角形内部或外部作任意一边的平行线均可构造出新的等腰三角形 图①（作腰的平行线）图②（作底的平行线） 条件：如图I,若AC=BC,过点D作D作DEBC.结论：△ADE是等腰三角形 条件：如图2，若AC=BC,过点D作D作DEAB.结论：△CDE是等腰三角形 例2.如图，BD是ABC的角平分线，DE∥BC,交AB于点E. D B E (1)求证：△DEB是等腰三角形. (2)当AB=AC时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由， 【变式2-1】综合与探究 如图，在ABC中，AB=AC,D为CA延长线上的一动点，且DE⊥BC,交AB于点F. 3/13 6学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 (1)如图1，求证：△ADF是等腰三角形 (2)如图2，当F为AB的中点时，DF与EF有怎样的数量关系？请写出结论，并说明理由. 2.(25-26八年级上甘肃期末)如图，在等边三角形ABC中，点E在边AB上，点D在CB的延长线上， 且ED=EC. E D B 图1 图2 (I)【特例探究】如图I,若点E为AB的中点，求证：AE=DB; (②)【类比迁移】如图2，若点E在边AB上任意一点，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明： 若不成立，请说明理由. 【变式2-2】(1)如图1，ABC为等边三角形，动点D在边AB上，动点E在边AC上.若这两点分别从 点B,A同时出发，以相同的速度分别由点B向点A和由点A向点C运动，连接CD,BE交于点P,则在动 点D,E的运动过程中，CD与BE之间的数量关系是 D 图1 图2 图3 (2)如图2，若把(1)中的“动点D在边AB上，动点E在边AC上”改为"动点D在射线BA上运动，动点 E在射线AC上运动”，其他条件不变，上述结论还成立吗？请说明理由， (3)如图3，若把(1)中的“动点D在边AB上"改为“动点D在射线CB上运动”，连接DE,交AB于点M, 其他条件不变，则在动点D,E的运动过程中，DM与EM之间存在怎样的数量关系？请写出简要的证明过 4/13 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 程. 类型三、巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形 模型解析：如图，△ABC中，AD平分∠BAC,AD⊥BC,由“ASA”易得△ABD兰△ACD,从而 得AB=AC,BD=CD即一边上的高与这边所对的角平分线重合，易得这个三角形是等腰三角形 。。。。。。。。。。 D 例3.(25-26八年级上四川广元期中)(1)【问题情境】如图1，OP平分∠M0N.点A为0M上一点，过 点A作AC⊥OP,垂足为C,延长AC交ON于点B,求证：AC=BC; (2)【问题探究】如图2，ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，CD平分∠ACB,BE⊥CD,垂足E在CD 的延长线上，求证：CD=2BE; B M 图1 图2 例3.【问题情境】 利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，OP平分∠MON,点A为OM上一点，过点A作 AC⊥OP,垂足为C,延长AC交ON于点B,可根据证明△A0C≌△B0C,则A0=B0, AC=BC(即点C为AB的中点) 【类比解答】 如图2，在ABC中，CD平分∠ACB,AE⊥CD于E,若LEAC=63°，∠B=37°，通过上述构造全等的 办法，可求得∠DAE=一 【拓展延伸】 (1)如图3，ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，CD平分∠ACB,BE⊥CD,垂足E在CD的延长线上， 试探究BE和CD的数量关系，并证明你的结论 5/13 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 N、B P D D M A B 图1 图2 图3 (2)如图4， MBC中，4BAC，ZBAC9D°，点D在线段BC上，∠EDB)C,BELDE,垂足 为E,DE与AB相交于点F.线段BE与FD的数量关系为·（直接写出） D 图4 【变式3-1】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图①，OP平分∠MON.点A为OM上一点， 过点A作AC⊥OP,垂足为C,延长AC交ON于点B,可证得△A0C≌△B0C,则AO=BO,AC=BC, 图① 图② 图③ 图④ 【问题提出】 (1)如图②，在ABC中，CD平分∠ACB,AE⊥CD于点E,若∠EAC=63°，∠B=37°，通过上述构 造全等的办法，求∠DAE的度数； 【问题探究】 (2)如图③，在ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，CD平分∠ACB,BE⊥CD,垂足E在CD的延长 线上，试探究BE和CD的数量关系； 【问题解决】 (3)如图④是一块肥沃的土地ABC,其中AC边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形 土地△ADC进行水稻试验，他进行了如下操作： ①作∠ACB的平分线CD: ②再过点A作AD⊥CD交CD于点D 己知BC=13米，AC=10米，ABC面积为20平方米，求划出的△ACD的面积. 6/13 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型四、利用倍角关系构造新等腰三角形 模型分析：当一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时，一般通过转化倍角寻找等腰三角形. D B 图① 图② 图③ 条件：如图I,若∠ABC=2∠C,作BD平分∠ABC.结论：△BDC是等腰三角形 条件：如图2，若∠ABC=2∠C,延长CB到D,使BD=BA,连接AD.结论：△ADC是等腰三角形 条件：如图3，若∠B=2∠ACB,以C为角的顶点，CA为角的一边，在三角形外作∠ACD=∠ACB,交BA 的延长线于点D.结论：△DBC是等腰三角形 例4.将△ABC(AB>AC)沿AD折叠，使点C刚好落在AB边上的点E处 E D B D 图1 图2 (I)在图1中，若AB=8,AC=6,S△4CD=9,求BE; (2)在图2中，若∠C=2∠B, ①求证：BE=ED. ②若AD=AC,求∠BAC的度数， 例4.如图1，AD是ABC的角平分线，∠B=2LC,试探究线段AB,BD,AC之间的数量关系.小明的 解题思路如下： 图1 图2 图3 ①如图2，在AC上取一点E,使AE=AB,连接DE· ②由AB=AE,AD平分∠BAE,AD是公共边， 7/13 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 可得△ABD≌△AED(理由： 、 则∠B=∠AED,BD=DE. ③由∠B=2∠C, 则∠AED=2∠C. 又因为LAED=∠EDC+∠C, 所以LEDC=LC,则DE= 又由BD=DE,得BD=EC· ④根据上述的推理可知AB,BD,AC之间的数量关系为 (1)请你补全小明的解题思路， (2)小明又想尝试其它方法：延长AB到点E,使BE=BD,连接DE,请你帮助小明，完成解答过程 【变式4-1】问题背景：在ABC中，∠B=2LC,点D为线段BC一动点，当AD满足某种条件时，探讨在 线段AB、BD、CD、AC四条线段中，某两条或某三条线段之间存在的数量关系. D 图1 图2 D 图3 (1)在图1中，当AB=AD时，则可得AB=CD,请你给出证明过程. (2)当AD⊥BC时，如图2，求证：AB+BD=-DC; (3)当AD是∠BAC的角平分线时，判断AB、BD、AC的数量关系，并证明你的结论. 压轴专练 一、解答题 1.(25-26八年级上安徽合肥月考)如图，在等边ABC中，D是AB上一点，E是BC延长线上一点， AD=CE,DE交AC于点F 8/13 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D E (I)求证：DF=EF; (2)过点D作DH⊥AC于点H,若AC=8,求HF. 2.(2023八年级下.甘肃平凉·竞赛)如图，己知在ABC中，∠BAC为直角，AB=AC,D为AC上一点， CE⊥BD于E. D E B A )若BD平分∠ABC,求证：CE=BD; (2)若D为AC上一动点，∠AED如何变化，若变化，求它的变化范围；若不变，求出它的度数，并说明理 由. 3.(24-25八年级下·山东枣庄·月考)如图，在ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，BE是∠ABC的角平分 线，CD⊥BE交BE的延长线于点D. D B (1)求证：BE=2CD; (2)连接AD,若AB=4,SABDC=6,求三角形ABD的面积. 4.(25-26八年级上江苏无锡月考)ABC中，0B、OC分别平分∠ABC与∠ACB,过0与BC平行的直 线与AB、AC分别交于D、E, 9/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D F 图1 图2 图3 (I)如图1，求证：DE=BD+CE; (②)如图2，当AB=AC时，连接A0,A0与DE的关系是怎样的，并说明理由： (3)如图3，连接A0并延长交BC于点F,如果AB=6,AC=5,CB=7,则BF=· 5.(25-26八年级上·四川绵阳·期末)在ABC中，∠ACB=2∠B. E ■ D D 图1 图2 (I)如图1，当∠C=90°，AD为∠BAC的角平分线时，过D作AB的垂线DE,垂足为E,可以发现AB, AC,CD存在的数量关系是 (2)如图2，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB,AC,CD是否还存在(1)中的数量关系？ 如果存在，请给出证明.如果不存在，请说明理由 6.(25-26八年级上江苏扬州月考)如图①，ABC中，AB=AC,∠B、∠C的平分线交于0点，过0点 作EF∥BC交AB、AC于E、F. A E ① ② ③ (1)图中有 个等腰三角形；EF与BE、CF之间数量关系是 (2)如图②，若AB≠AC，其他条件不变，图中有 个等腰三角形；EF与BE、CF间数量关系 是 (3)如图③，若ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O,过0点作OE∥BC交AB于E, 10/13