专题03 等腰（等边）三角形的性质与判定的六类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材北师大版八年级下册

专题03 等腰（等边）三角形的性质与判定的六类综合题型 目录 典例详解 类型一、利用等腰三角形的性质求解 类型二、等腰三角形的性质和判定综合应用 类型三、利用等边三角形的性质求解 类型四、与等腰（等边）三角形性质和判定的多结论题 类型五、等边三角形的性质和判定综合应用 类型六、等腰（等边）三角形中的共顶点手拉手模型 压轴专练 类型一、利用等腰三角形的性质求解 方法总结 1. 抓核心性质：等腰三角形两腰相等、两底角相等，且“三线合一”（底边中线、高线、顶角平分线重合）。 2. 边角互化：根据问题（求角度或线段），选择利用边等或角等性质，必要时作辅助线（高、中线）构造直角三角形。 解题技巧 1. 设元列方程：常设腰长为a，底边长为b，或设底角为α，利用内角和关系在三角形中列方程。 2. 作高构直角：向底边作高，是化斜为直、运用勾股定理的通用技巧。 例1．（25-26八年级上·北京西城·期末）如图是一个搭建好的帐篷从正面看的示意图，其中五边形表示帐篷，线段表示绳索，点在的延长线上，且点都在的延长线上．若，，，则 ． 【答案】20 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和外角的性质，熟练掌握“等边对等角”和“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”是解题的关键． 由题意先求出和的值，再根据等腰三角形的性质和外角的性质即可求出的度数． 【详解】解：点在的延长线上，， ． ， ． ， ． 故答案为20． 【变式1-1】（24-25八年级上·湖南邵阳·期中）如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于N，若线段，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查平行线的性质，等角对等边，熟练掌握平行线的性质，等角对等边是解题的关键．根据平行线的性质，结合角平分线的定义，推出，进而得到，即可得出结果． 【详解】解：∵在中，和的平分线交于点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：6． 【变式1-2】（25-26八年级上·河北衡水·期中）在中，D是边上的一点，，，． (1)求的度数； (2)若，，试用a、b表示的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，三角形外角的性质，等角对等边，掌握三角形内角和定理是解题的关键． （1）利用外角性质用表示出，由三角形内角和定理得出的度数，由此得出结论． （2）先求出，利用等角对等边求出，即可求出的周长． 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴； （2）∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴的周长为：． 【变式1-3】（25-26八年级上·广东珠海·期中）如图，在中，，，，交于点． (1)求的值； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题关键． （1）先根据等腰三角形的性质可得，根据三角形的内角和定理可得，再根据垂直可得，然后根据角的和差求解即可得； （2）先根据含30度角的直角三角形的性质可得，再根据等腰三角形的判定可得，然后根据线段的和差求解即可得． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵在中，，，， ∴， 由（1）已得：， ∴， ∴． 类型二、等腰三角形的性质和判定综合应用 方法总结 1. 判性结合：先依据边等或角等条件判定等腰三角形，再运用其性质（等边对等角、三线合一）求解或证明。 2. 数形转化：将几何关系转化为方程（如用勾股定理），或将代数条件还原为几何特征进行判定。 解题技巧 1. “三线合一”作高：为利用勾股定理，常作底边上的高，同时得到中线，这是关键辅助线。 2. 双验防增根：解出答案后，需检验是否满足三角形三边关系及内角和，避免增解。 例2．（25-26八年级上·全国·期末）如图，是的高线，为上一点，连接，交于点，． (1)求证：是等腰三角形； (2)若点是的中点，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先根据得，再根据是的高线得，，则，由此可得结论； （2）过点作于点，先求出，再证明和全等得，再根据是等腰三角形的性质得 【详解】（1）证明：， ， 是的高线， ， ，， ， ， ， 是等腰三角形． （2） 解：过点作于点， 点是的中点，， ， ，， ， ，，， ， ， 是等腰三角形，， ． 【变式2-1】（25-26八年级上·吉林·期末）如图，的角平分线交于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)作，垂足为，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）由平行线得，根据角平分线的定义可得，即，由等角对等边可得即可证明结论； （2）由等腰三角形的性质可得，再在中运用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵， ， 是的角平分线 ， ， ∴， 是等腰三角形． （2）解：是等腰三角形，， ， 在中， ． 【变式2-2】（2025~2026学年度上期期末质量监测八年级数学试题卷）已知，，， (1)如图1，求证：是等腰三角形； (2)如图2，是的角平分线，，垂足为F，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）利用条件证明，得到，即可证明结论； （2）连接，证明以及，即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ， ， 是等腰三角形； （2）解：如图，连接， 是的角平分线， ； 由（1）可知：， ， ， ， 又， 且， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【变式2-3】（25-26八年级上·辽宁盘锦·期中）如图①，已知是的角平分线，、分别在的延长线上，连接，． (1)若，求的度数； (2)求证：是等腰三角形； (3)如图②，点是线段上的动点，垂足为，设．求证：． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，等角对等边，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理求出的度数，再由角平分线的定义求出的度数，据此利用三角形内角和定理可得答案； （2）根据三角形外角的性质可证明，由角平分线的定义可得，据此可证明，则，即是等腰三角形； （3）可求出；则由三角形外角的性质得到，进而由角平分线的等腰得到，据此根据三角形内角和定理求出的度数，即可证明结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴ ； （2）证明：∵， 且， ∴； ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （3）证明：∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴． 类型三、利用等边三角形的性质求解 方法总结 1. 性质整合：等边三角形三边相等、三角均为60°、所有“三线合一”（高、中线、角平分线重合）。 2. 化归特殊：将问题转化为含60°角的等腰三角形或直角三角形问题，利用特殊角求解。 解题技巧 1. 作高构双直角：向任一边作高，可得两个含30°、60°、90°角的特殊直角三角形。 2. 利用对称性：等边三角形是轴对称图形，常利用对称性简化计算，如面积分割、线段转化。 例3．（25-26八年级上·天津西青·期末）如图，已知等边△中，点D是的中点，点E是延长线上一点，且，作，垂足为M，连接，若，则的长度为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了等腰三角形与等边三角形，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是解题的关键．连接，根据等边三角形的性质可得，再利用三角形的外角性质推出，从而得到为等腰三角形，利用等腰三角形三线合一的性质即可得点M是的中点，即可求解． 【详解】证明：如图，连接． ∵在等边中，点是的中点，， ∴，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． 又∵， ∴点是的中点， ∴． 故答案为：． 【变式3-1】（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）如图，在边长为9的等边三角形中，点P从点A出发沿以每秒1个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发沿以每秒2个单位长度的速度向点A运动．设运动时间为t秒． （1）若，则 （2）若为等边三角形，则 ． 【答案】 6 【分析】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的特征等； （1）由直角三角形的特征得，即可求解； （2）由等边三角形的性质得，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，， ，， ， ， 得， 解得， 故答案为秒； （2）解：为等边三角形，，即点Q在边上， ， ， 解得， 故答案为秒． 【变式3-2】（25-26八年级上·河北唐山·期末）如图，已知是等边三角形，，于点D，点E在的延长线上，，连接． (1)求的长； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形外角定理，等边对等角，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据等边三角形的性质得出相等的边，根据三线合一即可求解； （2）根据等边三角形的性质得出角的度数，根据等边对等角以及三角形的外角即可求解． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式3-3】（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，在等边中，D为边上一点，延长至F使得，过A作于H，与的延长线交于点G． (1)若为α，直接写出的度数；（用含α的代数式表示） (2)求的度数； (3)已知C为的中点，且，求的长． 【答案】(1) (2)的度数为 (3) 【分析】（1）在等腰中，利用两个底角相等，直接表示出来的度数即可； （2）首先利用等边三角形和等腰三角形的性质，将表示为，即可结合（1）中的结论进行求解； （3）首先构造合适的辅助线得到全等三角形，再将与的线段关系表示为三角形面积关系，即可求出的长． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为； （3）解：如图所示，连接，，过点C作于点M， ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴，， ∵C为的中点， ∴， 由（2）得：， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∴，即， ∵是等边三角形， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 设，则， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵C为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 类型四、与等腰（等边）三角形性质和判定的多结论题 方法总结 1. 逐项推理：对每个结论，结合已知条件，利用等腰或等边三角形的性质与判定进行独立推导。 2. 反例排除：对于“不一定成立”的结论，尝试构造非特殊等腰三角形（如顶角非60°）或改变图形位置进行验证。 解题技巧 1. 图形直观：画出标准的等腰（非等边）三角形示意图，结合测量估算快速判断。 2. 性质链分析：系统梳理边等、角等、三线合一等性质链，结合全等、相似等知识进行逻辑推理。 例4．（25-26八年级上·浙江嘉兴·月考）如图，在中，，点为中点，，绕点旋转，，分别与边，交于，两点，下列结论：①；②；③；④始终为等腰直角三角形，其中正确的是（    ） A．①④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，连接，由等腰直角三角形的性质得到，则可证明是等腰直角三角形，得到，证明，得到，，则可证明，是等腰直角三角形，据此可判断④；利用勾股定理可得，据此可判断①；证明，由勾股定理即可判断②；证明即可判断③． 【详解】解：如图所示，连接， ，， ∴， ∵点为中点， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，是等腰直角三角形，故④正确； 在中，由勾股定理得， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴，即， 在中，由勾股定理得， ∴，故②正确； ， ∵点为中点， ∴， ∴，故③正确； 正确的有①②③④． 故选：D． 【变式4-1】（25-26八年级上·河南南阳·月考）如图，在中，，过点C作于点D，过点B作于点M，连接，过点D作，交于点N．与相交于点，若点E是的中点，则下列结论中正确的有（   ） ①；②；③；④． A．①②③ B．②③④ C．①③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，利用全等三角形的性质求解是解答的关键． 可证明得到，则可证明，得到，故①正确；可证明，得到，则可得到，进而可证明②③正确；过点作于点F，可证明，推出．进而得到，据此可推出④正确． 【详解】解：， ， ， 又， ． ， ， ， 在和中， ， ， ，故①正确； ， ， ， ． 在和中， ， ， ，故②正确， ． ， 且， ，故③正确； 如图，过点作于点F， ， ， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ． 由②得是等腰直角三角形， ， ， ， ． ，故④正确； 故选：D． 【变式4-2】（25-26八年级上·山东德州·期末）如图，和都是等边三角形，且点A、C、E在同一直线上，与分别交于点F、M，与交于点N．下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D．是等边三角形 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、等边三角形的判定、全等三角形的判定与性质、四边形的内角和等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 根据等边三角形性质得出、、，可得，根据可证再根据全等三角形的性质可判断A选项；由可得，又、，利用即可判断B选项；根据角的关系可以求得，可求得，根据可得即可判断C选项；由可得，再结合即可判断D选项． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴、、， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，故A选项正确，不符合题意； ∵， ∴， ∵ ∴， 在和中， ∴，即B选项正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即C选项错误，符合题意； ④∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形，即选项D正确，不符合题意． 故选C． 【变式4-3】（25-26八年级上·山东济南·期末）如图，在中，，，于点，点是延长线上一点，点在延长线上，连接、、、，，下面的结论：①；②；③是等边三角形；④，其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理．求出，，，①正确；可得，②正确；证明，根据三角形内角和定理求出，即可证明是等边三角形，③正确；延长到T，使得，证明，可得，再由线段之间的关系可得，④正确． 【详解】解：如图，设交于点J． ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，故①正确； ∴，故②正确； ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形，故③正确； 延长到T，使得， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确； 综上所述：正确的是①②③④，共4个， 故选：D． 类型五、等边三角形的性质和判定综合应用 方法总结 1. 判性结合：先依据三边相等或三角相等判定等边三角形，再运用其性质（边等、角为60°、三线合一）求解或证明。 2. 转化模型：将问题转化为含60°角的特殊三角形（如30°-60°-90°直角三角形）问题，利用勾股定理或三角函数。 解题技巧 1. 作高构双特直：向任一边作高，得到两个全等的含30°、60°、90°角的直角三角形，是核心解题模型。 2. 利用对称旋转：等边三角形具有旋转对称性，常可通过旋转构造全等三角形，实现边角的转化。 例5．（25-26八年级上·陕西渭南·期末）如图，在中，，，点D在的边上，交于点E，交的平分线于点F． (1)求证：是等边三角形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，熟练掌握以上知识点是解决此题的关键． （1）根据等边三角形的判定和性质，平行线的性质，即可得证； （2）根据角平分线的定义，等腰三角形的判定和平行线的性质，即可得出答案． 【详解】（1）证明：，， 是等边三角形， ． ， ， ， ， 是等边三角形． （2）解：，， ． 是等边三角形，， ， ． 平分， ． ， ， ， ． 答：的长为3． 【变式5-1】（25-26八年级上·广东汕头·期末）如图1，是等边三角形，延长至点，过点作，交的延长线于点． (1)求证：是等边三角形． (2)如图2，延长至点，使得，连接，．求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查等边三角形的证明及性质，全等三角形的证明及性质，能够证得三角形全等是解题关键； （1）通过等边三角形性质和平行线的基本性质可得，进而得证； （2）通过等边三角形性质和线段的和差关系得到，，再利用证得，进而可得证． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ， ， ，， ， 是等边三角形； （2）证明和是等边三角形， ，， ， 即， ∵， ∴， ， ， 在和中， ， ． 【变式5-2】（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图1，，都是等边三角形，点A、B、C在同一直线上，和交于点P． (1)求证：； (2)求的度数； (3)如图2，M，N分别是，的中点，试判断的形状，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2) (3)等边三角形，证明见解析 【分析】本题考查了等边三角形的性质与全等三角形的判定及性质，解题的关键是通过角的等量代换证明三角形全等，进而推导边或角的关系． （1）利用等边三角形性质得边和角相等，通过角的和差推得，再用证，得结论； （2）由全等得，结合内角和求，再利用外角性质得； （3）由全等及中点得，用证，得且，判定为等边三角形． 【详解】（1）证明：、都是等边三角形， ，，， ，即， 在和中 ， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ． （3）解：是等边三角形，理由为： ， ． ，、分别是、的中点， ， 在和中 ， ，， ． 是等边三角形． 【变式5-3】（25-26八年级上·天津西青·期末）已知中，，点，E分别在边上，和相交于点，． (1)如图①，求证：为等边三角形； (2)如图②，过点B作于点H，求证：； (3)如图③，在（2）的条件下，过点作交延长线于点，若，请直接写出线段的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)16 【分析】本题考查等边三角形的证明性质，全等三角形的证明及性质，能够正确作出辅助线是解题关键． （1）先证，再证，进而为等边三角形； （2）先证，再证，进而； （3）在上取一点，使，求得，再证为等边三角形，再证，由即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形； （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：在上取一点，使， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 类型六、等腰（等边）三角形中的共顶点手拉手模型 方法总结 1. 识别模型：识别共顶点的两个等腰（或等边）三角形，即“手拉手”模型。 2. 利用旋转：此模型本质是旋转全等（或相似），常用SAS证明一对三角形全等，从而得到对应边、角相等。 解题技巧 1. 固定对应边：明确哪两条边是“手拉手”的腰，它们所在的三角形即待证全等的三角形。 2. 导角是关键：通过证明旋转角相等（常利用等腰三角形底角及顶角关系），为全等提供角的条件。 例6．（25-26八年级上·黑龙江鸡西·期末）（1）如图1，与均是顶角为的等腰三角形，BC、DE分别是底边．求证：； （2）拓展探究：如图2，和均为等腰直角三角形，，点、、在同一直线上，为中边上的高，连接． 请直接写出线段、、之间的数量关系______． 【答案】（1）见解析（2） 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定方法和性质，等腰直角三角形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （1）根据全等三角形的判定方法，判断出，即可判断出． （2）首先根据和均为等腰直角三角形，可得，，，据此判断出；然后根据全等三角形的判定方法，判断出，即可判断出， 根据，，，可得，所以，据此判断出即可． 【详解】解：（1）证明：， ， 即， 在和中， ， ， ． （2）和均为等腰直角三角形， ，，，， ， 即，， 在和中， ， ， ， ，，， ， ， ． 【变式6-1】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点A在的斜边上． (1)求证：； (2)过C作，交的延长线于点F，求的度数； (3)在（2）的条件下，直接写出线段，与之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据证明即可； （2）根据等腰直角三角形的性质得出，，根据全等三角形的性质得出，根据三角形内角和定理求出，即可得出答案； （3）过点C作于点G，证明为等腰直角三角形，得出，证明为等腰直角三角形，得出，证明，得出，根据线段间的数量关系，得出答案即可． 【详解】（1）证明：∵和都是等腰直角三角形，，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵和都是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：； 过点C作于点G，如图所示： ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， 根据勾股定理得：， ∴， ∵， ∴， 根据解析（2）可知：， ∴为等腰直角三角形， 同理可得：， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 【变式6-2】（24-25八年级上·辽宁丹东·期中）已知：在中，． 【初步发现】 （1）如图1，若点在线段上，连接，在的右侧作．连接，先由边角边证明，从而得到，，进而得到线段、、之间满足的数量关系是_____． 【深入研究】 （2）如图2，若点在线段延长线上，连接，在的右侧作，则（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由． 【拓展研究】 （3）如图3，若点在线段上．连接，在的左侧作，连接，直接写出线段、、之间满足的数量关系，并求出当时，求的面积． 【答案】（1）；（2）成立，理由见解析；（3）， 【分析】（1）根据全等三角形的性质和勾股定理进行等量代换即可得解； （2）根据等腰直角三角形的性质证出，再根据勾股定理进行求解即可； （3）由（1）的结论知，，，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵ ∴， ∴． 故答案为： （2）解：成立，理由如下： 如图，连接，    ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：连接，如图，    由（1）的结论知，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【变式6-3】（25-26八年级上·湖北孝感·期末）【问题呈现】 已知为等边三角形，点为射线上一动点（点不与点，点重合）． （1）连接，以为边向右侧作等边，连接． ①如图1，当点在边上时，求证：； 【类比探究】 ②如图2，若点在边的延长线上，随着动点的运动位置不同，求证：． 【拓展应用】 （2）如图3，在等边中，，点是边上一定点且，若点为射线上动点，以为边向右侧作等边，连接．直接写出的最小值． 【答案】（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）8． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）由和是等边三角形，推出，，，又因为，则，即，利用证明即可； （2）证明，得出，结合，则； （3）在射线上截取，连接，易证，则，，得出是等边三角形，则，即点E在角平分线上运动，在射线上截取，连接，证明，得出，推出，由三角形三边关系可得，，即当点E与点C重合时，时，有最小值． 【详解】（1）①证明：和是等边三角形， ，，． ， ，即． 在和中， ， ． ②证明：和是等边三角形， ，，． ， ，即． 在和中， ， ． ， ， ． （2）解：在射线上截取，连接， ∵和是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ， ，， ∵， ∴， 是等边三角形， ， ∴，， 即点E在角平分线上运动， 在射线上截取，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由三角形三边关系可得，，即当点E与点C重合时，时，有最小值， ∵，， ∴， ∴ 的最小值为8． 一、单选题 1．（25-26八年级上·甘肃·期末）如图，在中，，，则底角（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等边对等角，三角形内角和定理，根据题意可得，然后结合三角形内角和，可得，据此作答即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 2．（25-26八年级上·山西运城·期末）如图，在中，，，，是上一点，且，则长（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质，由勾股定理可得，作于点，再由三角形的面积公式计算得出，再由等腰三角形的性质得出，求出，得到，即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 如图，作于点， ， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 3．（25-26八年级上·福建厦门·期末）如图所示的三等分角仪由两根有槽的棒， 组成，两根棒在点相连并可绕转动、点固定，，点，可在槽中滑动．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等边对等角、三角形外角的定义及性质，由得出，再结合三角形外角的定义及性质得出，由计算得出，即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 4．（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，在等边三角形中，点在边上，点在边上，沿折叠，使点落在边上位置．若，且．则的长为（   ） A． B． C．5 D． 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理及折叠的性质．根据折叠可知，，再由三角形的内角和定理即可计算出的度数，在中，利用直角三角形的性质和勾股定理求得，，再在中，利用直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵是折叠而成， ∴，， 又∵， ∴，， ∴， ， 在中，， 由勾股定理得，即， 解得， 则， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故选：B． 5．（25-26八年级上·四川巴中·期末）如图，中，过点作于点，过点作于点，连接MD，过点作，交于点N，与交于点，若．下列结论：①；②；③；④点E到边的距离等于点到边的距离． 其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】证明是等腰直角三角形，从而证明，根据全等三角形的性质即可证明，证明是等腰直角三角形，可得，可得，即可证明结论，解题的关键是根据题意证明三角形全等，根据性质证明结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，故无法确定，故③错误； ∵， ∴， 由①②知，， ∴， ∴点E到边的距离等于点到边的距离（全等三角形对应边上的高相等）故④正确； 故选：C. 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积等知识，证明三角形全等是解题的关键． 二、填空题 6．（2025八年级上·上海青浦·专题练习）等边三角形的边长为5，那么它的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，构造辅助线是解题的关键．利用等边三角形的性质，作高后应用勾股定理求出高，再根据三角形面积公式计算． 【详解】解：过点A作，垂足为D. 是等边三角形，， . 在中，，， 根据勾股定理，. ． 故答案为：． 7．（25-26八年级上·广东深圳·期末）如图，在中，，是的角平分线，作，与的延长线交于点P，点A、P位于直线BC的两侧．当，时，的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题关键．过点作，交延长线于点，利用等腰三角形的性质，易证，设，则，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过点作，交延长线于点， ， ，是的角平分线，， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：，即， 在中，， 故答案为： 8．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）如图，在中，，，把沿着直线翻折得到，过点A作交于点D，连接．若，是以为腰的等腰三角形，则此时的长＝ ． 【答案】10或11 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、平行线的性质、折叠的性质，勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点是解决本题的关键．先由翻折以及平行线的性质得到，再分情况讨论，结合等腰三角形的性质和勾股定理即可求出答案． 【详解】解：由翻折得，， ， ， ， ． 是以为腰的等腰三角形， 当时，； 当时，如图，过点作于点， 则， 在中，． ，， ， ． 综上，或． 故答案为：10或11． 9．（25-26八年级上·全国·期末）如图，是等边三角形，点D在边上，点E在的延长线上，，若点D是的中点，则的值是 ；若，则的值是 （用含n的式子表示）． 【答案】 / 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质． 当点D是的中点时，根据等边三角形的性质得到，，根据三线合一得到，，根据等边对等角得到，根据三角形外角的性质得到，即，即可得到的值；当时，根据等边三角形的性质得到，，进而得到，，，根据得到，即，证明，得到，，即，根据等角对等边得到，进而得到，即． 【详解】解：当点D是的中点时， ∵是等边三角形， ∴，， ∵点D是的中点， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即； 当时， 如图，在上取一点F，使得，连接， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． 故答案为：，． 10．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）在中，，，点D在边上，和关于直线对称，的平分线交于点G，连接． （1）的度数为 ； （2）设，当θ为 时，为等腰三角形． 【答案】 或或 【分析】（1）由等腰三角形的性质可得，，根据轴对称的性质可知，．结合已知条件，容易证出，则，从而求出； （2）由三角形内角和定理可得，，进而得到，由轴对称的性质可得，，从而计算得，若为等腰三角形，有三种可能，即、、，计算每种情况下的值，进一步算出θ的值． 【详解】解：（1）∵，， ∴， 根据轴对称的性质可知，，， ∴ ∵是的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）由轴对称的性质可得，， ∵， ∴，， ∴， ①当时，， ∴， 解得； ②当时，， ∴， ∴， 解得； ③当时，， ∴， 解得； 综上，当或或时，为等腰三角形． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，轴对称的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质，运用分类讨论思想是解题关键． 三、解答题 11．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）如图，是等边三角形，是中线，延长至，使，连接． (1)求的度数； (2)若的面积为，，求的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质与判定及等边三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质与判定及等边三角形的性质是解题的关键； （1）由题意易得，，然后根据三角形外角的性质可进行求解； （2）由题意易得，，，则有，然后根据三角形的面积可进行求解． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵是等边三角形，是中线， ∴，，， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， ∴． 12．（25-26八年级上·吉林松原·期末）如图，点是线段上的两个点，与交于点M．已知，，． (1)求证：； (2)若，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)等边三角形，理由见解析． 【分析】本题考查了全等三角形、等腰三角形的性质和判定，等边三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）由推得，根据边角边推得三角形全等； （2）由推得，从而得到，结合推得是等边三角形． 【详解】（1）证明：， ， ， 在和中， ， ； （2）解：是等边三角形，理由如下： ， ， 是等腰三角形， ， ， 是等边三角形． 13．（25-26八年级上·全国·假期作业）在中，，点D在射线上，点E在的延长线上，且．连接，与边所在的直线交于点F． (1)当点D在线段上时，如图所示，求证：． (2)过点D作交直线于点H．若，求的长是多少？ 【答案】(1)见解析 (2)1或3 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，准确作出辅助线为解题关键 （1）过点D作，交于点G，利用平行线的性质和等边对等角证明，得到，进而推出，再证明，即可证明； （2）分当点D在线段上时，过点E作，交延长线于O，当点D在的延长线上时，过点E作交的延长线于点O，先证明，得到，进而求出，再证明，得到，再根据线段之间的关系求出BH的长即可． 【详解】（1）证明：过点D作，交于点G． ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， ； （2）解：如图所示，当点D在线段上时，过点E作，交延长线于O， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， ； 当点D在的延长线上时，过点E作交的延长线于点O， 同理可证，， ，， ， ， 综上所述，BH的长为1或3． 14．（25-26八年级上·甘肃武威·期末）如图，在中，，，点在边上运动（点不与重合），连接，作，交边于点．    (1)当时，______； (2)若，求证：； (3)在点的运动过程中，当为多少度时，是等腰三角形． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)当的度数为或时，是等腰三角形． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，掌握知识点的应用及分类讨论的思想解决问题是解题的关键． （）根据求解即可； （）先求，，从而得出，再由，，得，又由，即可由证明，从而得出结论； （）分三种情况讨论：当时，当时，当时，根据三角形的内角和定理以及等腰三角形的定义即可得到结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 故答案为：； （2）证明：∵， ∴， 在中，∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， 分三种情况讨论： 当时，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； 当时，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴点与点重合，不合题意； 当时，， ∴， ∵， ∴， 综上所述，当的度数为或时，是等腰三角形． 15．（25-26七年级上·山东东营·月考）如图1，在中，，点D为直线上的一个动点（D与A，B不重合），连接，以为直角边作等腰直角三角形，连接． （1）当点D在线段上时，与的数量关系是___________；位置关系是___________；三条线段之间的关系是___________． 类比再探：（2）如图2，当点D运动到的延长线上时，与还存在（1）中的关系吗？若存在，请说明理由．同时探索三条线段之间的数量关系，并说明理由． 能力提升：（3）如图3，当点D运动到的延长线上时，若，，则___________ 【答案】（1）相等；垂直；．（2）存在，理由见解析，，理由见解析（3） 【分析】本题考查了等腰直角三角形性质，全等三角形性质和判定，垂直判定，解题的关键在于熟练掌握全等三角形性质和判定． （1）根据等腰直角三角形性质证明，再结合全等三角形性质进行分析求解，即可解题； （2）类比（1）的解题过程求解即可； （3）类比（1）证明，再结合全等三角形性质求解，即可解题． 【详解】解：（1）三角形为等腰直角三角形， ， ， ，， ， ，， ，， ； 即与的数量关系是相等；位置关系是垂直；三条线段之间的关系是， 故答案为：相等；垂直；． （2）存在，理由见解析，，理由见解析 三角形为等腰直角三角形， ， ， ，， ， ，， ，， ； 即与的数量关系是相等；位置关系是垂直；三条线段之间的关系是； （3）三角形为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ，， ； 故答案为：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03等腰（等边）三角形的性质与判定的六类综合题型 目录 典例详解 类型一、利用等腰三角形的性质求解 类型二、等腰三角形的性质和判定综合应用 类型三、利用等边三角形的性质求解 类型四、与等腰（等边)三角形性质和判定的多结论题 类型五、等边三角形的性质和判定综合应用 类型六、等腰（等边）三角形中的共顶点手拉手模型 压轴专练 典例详解 类型一、利用等腰三角形的性质求解 方法总结 1.抓核心性质：等腰三角形两腰相等、两底角相等，且“三线合一”（底边中线、高线、顶角平分线重 合)。 2.边角互化：根据问题（求角度或线段），选择利用边等或角等性质，必要时作辅助线（高、中线）构 造直角三角形。 解题技巧 1.设元列方程：常设腰长为，底边长为b,或设底角为a,利用内角和关系在三角形中列方程。 2.作高构直角：向底边作高，是化斜为直、运用勾股定理的通用技巧。 例1.(25-26八年级上·北京西城期末)如图是一个搭建好的帐篷从正面看的示意图，其中五边形ABCDE表 示帐篷，线段BF,BG表示绳索，点F在AB的延长线上，且点F,G都在DC的延长线上.若LABC=130°， ∠BCD=90°，FG=FB,则LBGF=°. B G F D 【变式1-1】(24-25八年级上湖南邵阳期中)如图，在ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E, 过点E作MN∥BC交AB于M,交AC于N,若线段MN=6,则BM+CN=一· 1/15 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 【变式1-2】(25-26八年级上河北衡水期中)在ABC中，D是BC边上的一点，∠1=∠2，∠3=∠4， ∠BAC=75°， 人3 4C (I)求∠DAC的度数： (②)若BC=a,DC=b,试用a、b表示△ADC的周长 【变式1-3】(25-26八年级上·广东珠海期中)如图，在ABC中，AB=AC,∠B=30°，AD1AB,交 BC于点D. B D (I)求∠DAC的值； (2)若AD=2,求BC的长. 类型二、等腰三角形的性质和判定综合应用 方法总结 1.判性结合：先依据边等或角等条件判定等腰三角形，再运用其性质（等边对等角、三线合一）求解或 证明。 2.数形转化：将几何关系转化为方程（如用勾股定理），或将代数条件还原为几何特征进行判定。 解题技巧 1. “三线合一”作高：为利用勾股定理，常作底边上的高，同时得到中线，这是关键辅助线。 2.双验防增根：解出答案后，需检验是否满足三角形三边关系及内角和，避免增解。 例2.(25-26八年级上·全国期末)如图，AD是△ABC的高线，E为AB上一点，连接CE,交AD于点F, BE=CE. 2/15 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E D (I)求证：△AEF是等腰三角形； (2)若点F是CE的中点，CE=26,CD=12,求AF的长. 【变式2-1】(25-26八年级上·吉林期末)如图，AB∥CD,LCAB的角平分线AP交CD于点M. D M B (1)求证：△ACM是等腰三角形： (②)作CN⊥AM,垂足为N,若AC=13,AM=24,求CN的长 【变式2-2】(2025~2026学年度上期期末质量监测八年级数学试题卷)已知，AB=DC,AC=DB, 图1 图2 (1)如图1，求证：△EBC是等腰三角形： (②)如图2，BE是∠ABC的角平分线，AF⊥BE,垂足为F,若BF=5,求AC的长. 【变式2-3】(25-26八年级上辽宁盘锦期中)如图①，已知CE是ABC的角平分线，F、G分别在 BA,BC的延长线上，连接CF,∠FCG=∠CAB, B G B C G 图① 图② (1)若LCAB=LCEA=70°，求∠B的度数； (2)求证：△FEC是等腰三角形； (3)如图②，点P是线段AE上的动点，PH⊥EC垂足为H,设LEPH=a·求证：∠CAB-LB=2a. 3/15 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型三、利用等边三角形的性质求解 方法总结 1.性质整合：等边三角形三边相等、三角均为60°、所有“三线合一”（高、中线、角平分线重合）。 2.化归特殊：将问题转化为含60°角的等腰三角形或直角三角形问题，利用特殊角求解。 解题技巧 1.作高构双直角：向任一边作高，可得两个含30°、60°、90°角的特殊直角三角形。 2. 利用对称性：等边三角形是轴对称图形，常利用对称性简化计算，如面积分割、线段转化。 例3.(25-26八年级上·天津西青期末)如图，已知等边△ABC中，点D是AC的中点，点E是BC延长线 上一点，且CE=CD,作DM⊥BC,垂足为M,连接DE,若AB=I2,则BM的长度为 【变式3-1】(25-26八年级上·安微阜阳·期末)如图，在边长为9的等边三角形ABC中，点P从点A出发 沿AB以每秒1个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发沿BC-CA以每秒2个单位长度的速 度向点A运动.设运动时间为t秒. 0 (1)若∠BPQ=30°，则t= (2)若△APQ为等边三角形，则t= 【变式3-2】(25-26八年级上河北唐山期末)如图，已知ABC是等边三角形，AB=2,BD1AC于点D, 点E在BC的延长线上，CE=CD,连接ED (1)求CD的长； (2)求∠E的度数. 4/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式3-3】(24-25八年级上·福建福州期中)如图，在等边ABC中，D为边AC上一点，延长BD至F 使得AF=AC,过A作AH⊥BF于H,AH与FC的延长线交于点G. (1)若∠CAF为a,直接写出∠AFC的度数；（用含a的代数式表示） (2)求LGFH的度数； (3)已知C为GF的中点，且CD=1.5,求AD的长， 类型四、与等腰（等边）三角形性质和判定的多结论题 方法总结 1. 逐项推理：对每个结论，结合己知条件，利用等腰或等边三角形的性质与判定进行独立推导。 2. 反例排除：对于“不一定成立”的结论，尝试构造非特殊等腰三角形（如顶角非60°）或改变图形位 置进行验证。 解题技巧 1. 图形直观：画出标准的等腰（非等边）三角形示意图，结合测量估算快速判断。 2.性质链分析：系统梳理边等、角等、三线合一等性质链，结合全等、相似等知识进行逻辑推理。 例4.(25-26八年级上·浙江嘉兴月考)如图，在Rt△ABC中，AC=BC,点D为AB中点，∠GDH=90°， ∠GDH绕点D旋转，DG,DH分别与边4C,BC交于E,F两点，下列结论：①AE+BF-5AB:② 2 AE2+BF2=EF2:③Sa影ce=2Sac；④aDEF始终为等腰直角三角形，其中正确的是（） G D A.①④ B.①②③ C.②③④ D.①②③④ 【变式4-1】(25-26八年级上·河南南阳·月考)如图，在ABC中，LABC=45°，过点C作CD⊥AB于点 D,过点B作BM⊥AC于点M,连接MD,过点D作DM⊥DN,交BM于点N.CD与BM相交于点E, 若点E是CD的中点，则下列结论中正确的有() 5/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ①AD=DE;②DM=DN;③∠AMD=45°；④EM:MC:NE=1:2:3. B A.①②③ B.②③④ C.①③ D.①②③④ 【变式4-2】(25-26八年级上山东德州期末)如图，ABC和△CDE都是等边三角形，且点A、C、E在同 一直线上，AD与BE、BC分别交于点F、M,BE与CD交于点N.下列结论不正确的是() D A.AD=BE B.△ACM≌△BCN C.∠FMC+∠FNC=150 D.aCMN是等边三角形 【变式4-3】(25-26八年级上山东济南期末)如图，在ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，AD1BC于 点D,点P是CA延长线上一点，点O在AD延长线上，连接BP、OP、BO、CO,OP=OB,下面的结论： ①∠ACB=30°；②∠AP0-∠0BD=30°；③△BPO是等边三角形；④AB=AP+A0,其中正确结论的个 数是() 0 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 类型五、等边三角形的性质和判定综合应用 方法总结 1.判性结合：先依据三边相等或三角相等判定等边三角形，再运用其性质（边等、角为60°、三线合 求解或证明。 6/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2. 转化模型：将问题转化为含60°角的特殊三角形（如30°-60°-90°直角三角形）问题，利用勾股 定理或三角函数。 解题技巧 1.作高构双特直：向任一边作高，得到两个全等的含30°、60°、90°角的直角三角形，是核心解题模 型。 2.利用对称旋转：等边三角形具有旋转对称性，常可通过旋转构造全等三角形，实现边角的转化。 例5.(25-26八年级上，陕西渭南期末)如图，在ABC中，∠BAC=60°，AB=AC,点D在ABC的边 AC上，DE∥AB交BC于点E,交∠BAC的平分线于点F. (I)求证：△CDE是等边三角形： (2)若AB=5,CE=2,求DF的长 【变式5-1】(25-26八年级上·广东汕头期末)如图1，ABC是等边三角形，延长AB至点D,过点D作 DE∥BC,交AC的延长线于点E. B 图1 图2 (1)求证： ADE是等边三角形 (②)如图2，延长DE至点F,使得EF=AB,连接CF,CD,求证：CF=CD. 【变式5-2】(25-26八年级上·海南省直辖县级单位期中)如图1，△ABD,△BCE都是等边三角形，点A、 B、C在同一直线上，AE和CD交于点P. B B 图1 图2 (I)求证：AE=CD; 7/15 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)求∠APD的度数： (3)如图2，M,N分别是AE,CD的中点，试判断aBMN的形状，并证明你的结论 【变式5-3】(25-26八年级上天津西青·期末)己知aABC中，BC=AC,点D,E分别在边BC,AC上， AD和BE相交于点F,∠ABE=∠DAC,∠BFD=60°. 图① 图② 图③ (I)如图①，求证：△ABC为等边三角形； (②)如图②，过点B作BH⊥AD于点H,求证：AD=EF+2FH; (3)如图③，在(2)的条件下，过点C作CG∥BE交AD延长线于点G,若CG=6,HF=5,请直接写出线 段AG的长 类型六、等腰（等边)三角形中的共顶点手拉手模型 方法总结 1.识别模型：识别共顶点的两个等腰（或等边）三角形，即“手拉手”模型。 2.利用旋转：此模型本质是旋转全等（或相似），常用SAS证明一对三角形全等，从而得到对应边、角 相等。 解题技巧 1.固定对应边：明确哪两条边是“手拉手”的腰，它们所在的三角形即待证全等的三角形。 2.导角是关键：通过证明旋转角相等（常利用等腰三角形底角及顶角关系），为全等提供角的条件。 例6.(25-26八年级上·黑龙江鸡西·期末)(1)如图1，ABC与ADE均是顶角为40°的等腰三角形，BC、 DE分别是底边.求证：BD=CE; (2)拓展探究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在 同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE. 请直接写出线段CM、AE、BE之间的数量关系， 8/15 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 图1 图2 【变式6-1】(25-26八年级上·安微合肥期末)如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB, CE=CD,△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上. 图1 图2 (I)求证：△ACE≌△BCD; (2)过C作CF⊥DB,交DB的延长线于点F,求∠ECF的度数； (3)在(2)的条件下，直接写出线段AD,BD与BF之间的数量关系. 【变式6-2】(24-25八年级上辽宁丹东期中)己知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=AC. 图1 图2 图3 【初步发现】 (I)如图1，若点D在线段AB上，连接CD,在CD的右侧作CE⊥CD,CD=CE,连接EB,先由边角边 证明△ACD≌△BCE(SAS),从而得到∠A=∠CBE=45°，AD=BE, .LDBE=LDBC+LCBE=45°+45°=90°，进而得到线段AD、BD、DE之间满足的数量关系是 【深入研究】 (2)如图2，若点D在线段AB延长线上，连接CD,在CD的右侧作CE⊥CD,CD=CE,则(1)中的结 论是否仍然成立？并说明理由. 9/15 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【拓展研究】 (3)如图3，若点D在线段AB上.连接CD,在CD的左侧作CE⊥CD,CD=CE,连接AE,直接写出线 段AD、AE、DE之间满足的数量关系，并求出当AD=3,AB=9时，求△CDE的面积. 【变式6-3】(25-26八年级上湖北孝感期末)【问题呈现】 己知ABC为等边三角形，点D为射线BC上一动点（点D不与点B,点C重合）. CD F 图1 图2 图3 (1)连接AD,以AD为边向右侧作等边ADE,连接CE. ①如图I,当点D在BC边上时，求证：△ABD≌△ACE; 【类比探究】 ②如图2，若点D在边BC的延长线上，随着动点D的运动位置不同，求证：EC=AC+CD. 【拓展应用】 (2)如图3，在等边ABC中，AB=5,点P是边AC上一定点且AP=2,若点D为射线BC上动点，以 DP为边向右侧作等边△DPE,连接CE,BE.直接写出PE+BE的最小值. 压轴专练 一、单选题 1.(25-26八年级上·甘肃·期末)如图，在ABC中，AB=AC,∠BAC=108°，则底角∠ABC=() A 10/15