精品解析：云南省昭通市2026届高三上学期高中毕业班模拟考试数学试题

昭通市2026届高中毕业生模拟考试 高三数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知在中，角，，所对应的边分别为，，，若，，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 4. 设向量，的夹角的余弦值为，且，，则（ ） A. 12 B. C. 20 D. 5. 已知，满足，则（ ） A. B. C. D. 6. 某社区有青年100人，老年人100人.为调查该社区全体居民每月零花钱情况，采用分层抽样的方法抽取样本，计算得青年每月零花钱均值为600元，方差为100，老年人每月零花钱均值为400元，方差为100.若青年、老年人样本量按比例分配，则可估计总体方差为（ ） A. 11000 B. 10101 C. 10110 D. 10100 7. 已知正项数列满足，则数列的前4项和（ ） A. 102 B. 96 C. 120 D. 140 8. 已知，且，，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 数列为等差数列，为其前项和.已知，，则下列结论正确的有（ ） A. 公差 B. C. D. 当时，最小 10. 若奇函数满足，则下列选项正确的是（ ） A. 的一个周期为2 B. C. D. 为偶函数 11. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则双曲线的标准方程为 B. 若双曲线的方程：，为双曲线上的一点，且，则的面积为 C. 点为双曲线右支上一点，且，则双曲线的离心率的取值范围为 D. 若过的直线与轴垂直，且与渐近线交于，两点，且，则双曲线的渐近线方程为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 的二项展开式中含的项的系数为______.（用数字作答） 13. 函数，则曲线在处的切线方程为______. 14. 如图，在矩形纸片中、，，、、、分别是四边的中点.现将它通过翻折后围成一个正四面体（围成的正四面体的表面中，纸片无任何重叠）.若折痕用虚线段连接，则这样的虚线段需要连______条（用数字作答）；设该四面体的体积为，则______.（用数字作答） 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知函数，且的最小正周期. （1）求函数的单调递减区间； （2）若，求函数的最值及取得最值时的取值集合. 16. 在平面直角坐标系中，，，动点在曲线上，且满足. （1）求曲线的标准方程； （2）过点且斜率为的直线与曲线交于，两点，若的面积为，求的值. 17. 如图，四边形是等腰梯形，，，，是的中点，是与的交点，将沿折到的位置. （1）证明：平面平面； （2）若，求直线与平面所成角的余弦值. 18. 设为实数，函数. （1）若曲线过点，求的值； （2）当时，求的最小值； （3）若恰有两个极值点，求的取值范围. 19. 泊松分布（Poisson Distribution）是一种重要的离散型分布，用于描述稀有事件的发生情况.如果随机变量的所有可能取值为0，1，2，…，且，，其中，则称服从泊松分布，记作. （1）当时，泊松分布近似于正态分布，且满足，若，求的近似值； （2）已知当，时，可以用泊松分布近似二项分布，即对于，，当不太大时，有.已知某快递公司共有20000个包裹待配送，每个包裹有0.00015的概率出现配送延迟.试估计某天出现至少3起配送延迟的概率；（保留两位有效数字） （3）若，且，求的取值范围. 参考数据：若，，，则有，，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昭通市2026届高中毕业生模拟考试 高三数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的除法公式求解即可. 【详解】由， 故选：C. 2. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法，结合集合交集的定义进行求解即可. 【详解】由，可得或，又， 所以. 故选：D 3. 已知在中，角，，所对应的边分别为，，，若，，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦定理求出. 【详解】根据正弦定理可得：，即，解得. 因为，所以，所以， 故选：B. 4. 设向量，的夹角的余弦值为，且，，则（ ） A. 12 B. C. 20 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平面向量数量积的运算律求解. 【详解】 . 故选:B. 5. 已知，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先判定角范围，再利用二倍角公式将三角函数变形，最后结合角的范围确定正弦值. 【详解】因为，所以，所以， 有，所以. 故选：A 6. 某社区有青年100人，老年人100人.为调查该社区全体居民每月零花钱情况，采用分层抽样的方法抽取样本，计算得青年每月零花钱均值为600元，方差为100，老年人每月零花钱均值为400元，方差为100.若青年、老年人样本量按比例分配，则可估计总体方差为（ ） A. 11000 B. 10101 C. 10110 D. 10100 【答案】D 【解析】 【分析】先求得总体的均值，再根据分层抽样的性质求解总体的方差. 【详解】由题意得，总体的均值为， ， 所以总体的方差为： ， ， 故选：D. 7. 已知正项数列满足，则数列的前4项和（ ） A. 102 B. 96 C. 120 D. 140 【答案】C 【解析】 【分析】根据得出，再根据等比数列的求和公式计算. 【详解】因为满足，所以. 因为，所以. 因为，所以是以3为首项，以3为公比的等比数列， 所以. 故选：C. 8. 已知，且，，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意构造函数求解出，根据选项构造函数，判断其单调性从而得出选项. 【详解】因为，所以，由可得。又， 故 设，显然为增函数，因为，所以. 因为，且为增函数，所以， 同理，设，因为，且为增函数，所以， 结合，可知则. 令，设，则， 当时，单调递增，则在上单调递增， 故，解得. 故选：B. 二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 数列为等差数列，为其前项和.已知，，则下列结论正确的有（ ） A. 公差 B. C. D. 当时，最小 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据等差数列前项和公式，结合等差数列的通项公式逐一判断即可. 【详解】设等差数列的公差为，则，故A错误； 因为，，所以，解得，故B正确； 对于选项C、D，因为， 所以， 而；由于二次函数的图象开口向上，且对称轴为直线. 又因为，所以当时，最小，故C、D正确， 故选：BCD 10. 若奇函数满足，则下列选项正确的是（ ） A. 的一个周期为2 B. C. D. 为偶函数 【答案】AD 【解析】 【分析】由得的对称轴为，结合的奇函数性质对选项逐一辨析即可. 【详解】因为，所以， 所以的对称轴为， 则，∴，A正确； 因为，故，， 又关于对称，故，B错误； 因为，且的周期为2， 所以， 所以是的对称轴，其值不一定为0，故C错误； 因为，所以为偶函数，D正确. 故选：AD. 11. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则双曲线的标准方程为 B. 若双曲线的方程：，为双曲线上的一点，且，则的面积为 C. 点为双曲线右支上一点，且，则双曲线的离心率的取值范围为 D. 若过的直线与轴垂直，且与渐近线交于，两点，且，则双曲线的渐近线方程为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据双曲线的定义、性质及焦点三角形等知识逐一计算判断即可. 【详解】由题意得，，，则，故双曲线的标准方程为，A正确； 由题意，令，有的面积，B错误； 设，，则，又，可解得， 又，∴，∴，故双曲线的离心率的取值范围为，C正确； 由题意可知，设点在点上方，代入，解得， 在中，，有，解得，双曲线的渐近线方程：，D正确， 故选：ACD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 的二项展开式中含的项的系数为______.（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式求解. 【详解】的展开式中，， 当时，，即第3项为， 所以含的项的系数为. 故答案为： 13. 函数，则曲线在处的切线方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】对求导，令可求出，进而求得导函数解析式，再求出，由导数的几何意义即可得出答案. 【详解】因为， 所以，则，解得：， 所以， 则切线斜率， 又，所以. 则曲线在处的切线方程为：. 故答案为：. 14. 如图，在矩形纸片中、，，、、、分别是四边的中点.现将它通过翻折后围成一个正四面体（围成的正四面体的表面中，纸片无任何重叠）.若折痕用虚线段连接，则这样的虚线段需要连______条（用数字作答）；设该四面体的体积为，则______.（用数字作答） 【答案】 ①. 5 ②. ## 【解析】 【分析】根据正四面体的结构特点分析如何折成正四面体，再根据正四面体的体积的求法求体积. 【详解】分别用虚线连接，，，，， 因为，，所以， ，所以. 所以沿着虚线，，，，折叠，让四点重合， 如图所示，可以得到棱长为2的正四面体， 所以折痕虚线段共5条（如图）. 因为四面体是棱长为2的正四面体， 为在底面的投影，为中点，则， 所以. 在中，， 又， 所以该正四面体的体积为：. 故答案为：5； 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知函数，且的最小正周期. （1）求函数的单调递减区间； （2）若，求函数的最值及取得最值时的取值集合. 【答案】（1） （2）最大值，取最大值时的集合是；最小值，取最小值时的集合是 【解析】 【分析】（1）根据正弦型三角函数的最小正周期的求解公式求出，利用整体法，结合正弦函数的单调区间，求解即可. （2）由，可求出，利用整体法，结合正弦函数的最值，求解即可. 【小问1详解】 由题意得， 所以. 令，得， 所以的单调递减区间为. 【小问2详解】 依题意由，得，故， 所以. 当，即时，取最大值1， 故取最大值时的集合是； 当，即时，取最小值， 故取最小值时的集合是. 16. 在平面直角坐标系中，，，动点在曲线上，且满足. （1）求曲线的标准方程； （2）过点且斜率为的直线与曲线交于，两点，若的面积为，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知可得，由椭圆的定义可得，根据椭圆中，，的关系可得，即可求解； （2）设，联立直线和椭圆构成的方程组，根据，由韦达定理可得，再根据，即可求解.. 【小问1详解】 因为， 所以的轨迹是以，为焦点的椭圆，且，， 即， 曲线的标准方程为：. 【小问2详解】 由题意：设，直线方程为：， 联立得，由得， ，. 又. 设点到的距离为， 所以， ，解得或（舍去）， 所以，. 17. 如图，四边形是等腰梯形，，，，是的中点，是与的交点，将沿折到的位置. （1）证明：平面平面； （2）若，求直线与平面所成角的余弦值. 【答案】（1） 证明：如图，因为，为的中点， 所以. 又因为且， 所以四边形为菱形，， 所以，， 又，平面， 所以平面. 同理可得：四边形为菱形， 所以，即平面. 又平面， 所以平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）易得四边形为菱形，得到，从而，，得到平面，再由证明； （2）以为坐标原点，以，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，设直线与平面所成角为，由求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知即是边长为2的等边三角形， 因为，， 所以平面， 所以，，两两互相垂直. 以为坐标原点，以，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 已知， 则，，，，， 所以，， 设平面的法向量为， 则 取，得，， 故平面的一个法向量为. 设直线与平面所成角为，， ， 所以 直线与平面所成角的余弦值为. 18. 设为实数，函数. （1）若曲线过点，求的值； （2）当时，求的最小值； （3）若恰有两个极值点，求的取值范围. 【答案】（1）或 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用代入法进行求解即可； （2）根据导数的性质，运用二次求导法进行求解即可； （3）根据极值的定义，结合（2）的结论进行求解即可. 【小问1详解】 因为曲线过点， 所以，即. 又因为，所以或. 【小问2详解】 当时，， 所以. 令，则， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 则在上单调递减，在上单调递增. 又因为， 所以，，单调递减， ，，单调递增， 所以. 【小问3详解】 ， 由（2）解答可知在上单调递减，在上单调递增， 且，. 若恰有两个极值点，则即， 所以的取值范围为. 19. 泊松分布（Poisson Distribution）是一种重要的离散型分布，用于描述稀有事件的发生情况.如果随机变量的所有可能取值为0，1，2，…，且，，其中，则称服从泊松分布，记作. （1）当时，泊松分布近似于正态分布，且满足，若，求的近似值； （2）已知当，时，可以用泊松分布近似二项分布，即对于，，当不太大时，有.已知某快递公司共有20000个包裹待配送，每个包裹有0.00015的概率出现配送延迟.试估计某天出现至少3起配送延迟的概率；（保留两位有效数字） （3）若，且，求的取值范围. 参考数据：若，，，则有，，. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由时，泊松分布近似于正态分布求解； （2）设为配送延迟包裹数，由，根据，，得到，由求解. （3）由，得到，再根据泊松分布的概率公式求解. 【小问1详解】 当时，泊松分布近似于正态分布， 即，，要计算， 根据正态分布的性质，因， 故. 【小问2详解】 设为配送延迟包裹数，则，， 因为，， ， 所以， 那么，某天至少3起配送延迟的概率约为 . 【小问3详解】 由，可得， 根据泊松分布的概率公式：，，可得. 设， 由，可知在上为减函数. 因为，所以， 所以，即，故的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $