2.1.3基本不等式的应用课件-2025-2026学年高一上学期数学湘教版必修第一册

基本不等式的应用 湘教版高中数学必修（第一册） (1) 把 12 写成两个正数的乘积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？ (2) 把 25 写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？ 1 引入课堂 (1)设两个正数为，，则>0，>0，且=12. 由，可得 +， 当且仅当 =时等号成立，此时==2， 所以，把12写成两个的乘积时，它们的和最小， 最小和为. 解答 “积定和最小” (2) 设两个正数为 ，，则>0，>0，且+=25. 由，可得 , 当且仅当 =时等号成立，此时 = = . 所以，把25写成两个的和时，它们的积最大， 最大积为. 解答 “和定积最大” 2 探究新知 已知都为正数，则： （1）如果积 和有最小值_____； （2）如果和，那么当且仅当 有最大值； 一正，二定，三相等 3、 实例教程 例 1：（1）已知矩形的面积为 12，当这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周长最短? 最短周长是多少? （2）已知矩形的周长为 50，则这个矩形的长、宽各为多少时，它的面积最大? 最大面积是多少? （1）设矩形的长为，宽为，则=12. +， 当且仅当x==时，等号成立。 此时，周长C=2（+）= 即当矩形的长和宽均为时，周长最短，最短周长 3、 实例教程 例 1：（1）已知矩形的面积为 12，当这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周长最短? 最短周长是多少? （2）已知矩形的周长为 50，则这个矩形的长、宽各为多少时，它的面积最大? 最大面积是多少? （2）设矩形的长为，宽为，则2(+)=50，即+=50. 根据基本不等式，对于正实数，，有. 所以，矩形的面积为， 当且仅当==时，等号成立。 即当矩形的长和宽均为时，面积最大，最大面积为. 3、 实例教程 结论： 等面积矩形中正方形周长最短， 等周长矩形中正方形面积最大。 例 1：（1）已知矩形的面积为 12，当这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周长最短? 最短周长是多少? （2）已知矩形的周长为 50，则这个矩形的长、宽各为多少时，它的面积最大? 最大面积是多少? 3、 实例教程 例2：某单位欲建造一间底面为矩形且面积为 12m² 的背面靠墙的小屋，房屋正面的造价为 1200 元 /m²，侧面的造价为 800 元 /m²，屋顶的造价为 5200 元。如果墙高为 3m，且不计房屋背面和底面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少元？ 思考：（1）如何将实际问题抽象成数学问题，即如何建立数学模型解决实际问题； （2）能否用基本不等式求解总造价最低的 问题？ 3、 实例教程 例2：某单位欲建造一间底面为矩形且面积为 12m² 的背面靠墙的小屋，房屋正面的造价为 1200 元 /m²，侧面的造价为 800 元 /m²，屋顶的造价为 5200 元。如果墙高为 3m，且不计房屋背面和底面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少元？ 3m S底=12m² 解：设房屋正面的长为 m，侧面的长为 m，房屋的总造价为 z 元。根据题意，有 ， 且 由基本不等式与不等式的性质，可得 当且仅当 时等号成立，此时。 所以，将房屋设计成正面长为4m，侧面长为3m时总造价最低，最低总造价是34000元。 3、 实例教程 1.某公司设计了如图所示的一块绿化景观地带，两条平行线段的两端用半圆形弧相连接。已知这块绿化景观地带的内圈周长为 400m，当平行线段的长设计为多少时，中间矩形区域的面积最大？ 4 引入实操 思考：（1）如何将实际问题抽象成数学问题，建立数学模型解决实际问题？ （2）能否用基本不等式求解矩形面积的最大值？ 老师：用基本不等式来求面积最大值是一种比较简洁有效的方法。在这个问题中，我们已知了内圈周长这个条件，通过周长与平行线段长、半圆形直径的关系，再结合矩形面积公式，可以将问题转化为利用基本不等式求最值的问题。当然，也可以用其他方法来尝试求解，比如利用二次函数求最值，但相对来说会比较复杂。基本不等式在这类问题中可以快速地找到最值，并且能清晰地给出等号成立的条件。 学生：老师，为什么在这个问题里要用基本不等式来求矩形区域面积的最大值呢？不能用其他方法吗？ 师生答疑 解：设平行线段长为m，半圆形直径为m，中间的矩形区域面积为Sm²。 由题意可知 S=，且2+π=400， 所以 S==≤ =， 当且仅当 π=2=200，即= ，=100时，等号成立。 所以，当平行线段的长设计为 100m 时，中间矩形区域的面积 S 最大，最大值为 m²。 学生作答 数学建模解题步骤 1.审题 判断数量关系是否属于用基本不等式能够解决的两类最值问题。 2.设变量 将要求最值的变量设为未知数。 3.列式 建立与数学模型相应的函数关系，注意自变量的取值范围。 4.求解 运用基本不等式，根据一正、二定、三相等求函数的最值。 5.作答 回应题意下结论。 5 归纳提升 6 课堂小结 基本不等式内容 应用方法 当两个正数的和为定值时，它们的积有最大值。（和定积最大） 当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值。（积定和最小） 题型分析 引例和例 1 中，通过变形将式子化为可以使用基本不等式的形式， 求得了最值； 例2和实操中，根据题意建立数学模型，列出相关的表达式，再利用 基本不等式求解了实际问题。 对任意实数 ，有 ，当且仅当 时等号成立。 对任意正实数 ，有 ，当且仅当 时等号成立。 2.如图，动物园要以墙体为背面，用钢筋网围成四间具有相同面积的矩形虎笼． (1)现有可围36m长钢筋网的材料，每间虎笼 的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼的面积最大？ (2)若每间虎笼的面积为20m2，则每间虎笼的长、宽各 设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？ 3.现在要求设计一张单栏的竖向张贴的海报，它的中间印刷面积为128dm2，上下空白各2dm，左右空白各1dm，如何确定海报尺寸可使四周空白面积最小？ 7 布置作业 $