专题02 离散型随机变量分布列四大常考题型（高效培优专项训练）数学人教A版高二选择性必修第三册

专题02 离散型随机变量分布列四大常考题型 题型一：书写离散型随机变量分布列 题型二：破解分布列 题型三：利用分布列求概率 题型四：两点分布考点 题型一：书写离散型随机变量分布列 1．某医院计划从急诊科、骨科中选调医生组建一支6人医疗救援队，该院骨科、急诊科各有5名医生报名加入医疗救援队. (1)小张是这次报名的骨科医生，求小张被选入医疗救援队的概率； (2)设被选入医疗救援队的骨科医生人数为X，求随机变量X的分布列. 2．投掷四枚不同的金属纪念币，其中两枚正面向上的概率均为，两枚（质地不均匀）正面向上的概率均为．将这四枚纪念币同时投掷一次，设表示出现正面向上的枚数．求的分布列（用表示）. 3．一个口袋中有6个同样大小的球，球的编号分别为．现从中随机取出3个球，用表示取出的球的最大号码，则的所有可能的取值有哪些？ 4．投掷四枚不同的金属纪念币，其中两枚正面向上的概率均为，两枚（质地不均匀）正面向上的概率均为．将这四枚纪念币同时投掷一次，设表示出现正面向上的枚数． (1)求的分布列（用表示）； (2)若恰有一枚纪念币正面向上对应的概率最大，求的取值范围． 5．甲、乙、丙三名乒乓球选手进行单打对抗比赛，每两人比赛一场，共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分．在每一场比赛中，甲胜乙的概率为，丙胜甲的概率为，乙胜丙的概率为，且各场比赛结果互不影响．甲获得第一名且乙获得第三名的概率为． (1)求的值； (2)设在该次对抗比赛中，丙的得分为，求的分布列． 6．分别在即，5位同学各自写了一封祝福信，并把写好的5封信一起放在心愿盒中，然后每人在心愿盒中各取一封，不放回．设X为恰好取到自己祝福信的人数，则 ． 7．在我校歌咏比赛中，甲班、乙班、丙班、丁班均可从A，B，C三首不同曲目中任选一首. (1)求甲、乙两班选择不同曲目的概率； (2)设这四个班级总共选取了X首曲目，求X的分布列. 8．将8个质地、大小一样的球装入袋中，球上依次编号1~8.现从中任取3个球，以X表示所取球的最大号码. (1)求的分布列； (2)求的概率. 9．甲、乙两人下象棋，甲赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局.用表示甲的得分，则表示（    ） A．甲赢三局 B．甲赢一局 C．甲、乙平局三次 D．甲赢一局或甲、乙平局三次 10．在一次购物抽奖活动中，假设某10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖.某顾客从此10张奖券中任抽2张，求： (1)该顾客中奖的概率； (2)该顾客获得的奖品总价值的分布列，并求出的值. 题型二：破解分布列 11．若离散型随机变量的分布列为： 0 1 则实数的值为 ． 12．已知离散型随机变量X的分布列为 X 2 4 6 8 P a 则（   ） A． B． C． D． 13．若随机变量X的分布列如下表所示，则的最小值为 ． X 0 1 2 3 P a b 14．已知随机变量X的分布列如下表所示，其中a是常数，则 ． 1 2 3 … 50 … 15．下表是离散型随机变量的概率分布，则常数的值是（   ） 3 4 5 6 A． B． C． D． 16．随机变量ξ的分布列如表格所示，其中，则b等于（   ） ξ ﹣1 0 1 P a b c A．   B． C． D． 17．下表是离散型随机变量的概率分布，则（   ） 1 2 3 4 P A． B． C． D． 18．若随机变量X的分布列如下： 1 2 3 4 0.1 0.4 0.3 则（    ） A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7 19．已知随机变量的分布列如下表： -1 0 1 2 若，则（    ） A． B． C． D． 20．若随机变量的分布列为 0 1 2 3 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1 则当时，实数的取值范围是 . 题型三：利用分布列求概率 21．设为实数，若随机变量的分布列为，则（    ） A． B． C． D． 22．设是一个离散型随机变量，其分布列如下，则等于（    ） A． B． C． D． 23．已知随机变量的取值范围为，且，若，则 ． 24．设随机变量，且，则（ ） A． B． C． D． 25．（多选）水果篮中有8个水果，其中有2个是石榴，现从水果篮中随机地抽取3个，那么概率是的事件为（    ） A．恰有1个不是石榴 B．3个全不是石榴 C．恰有2个石榴 D．至少2个不是石榴 26．公园的某个位置摆放了10盆牡丹花，编号分别为0，1，2，3，…，9，若从中任取1盆，则编号“大于5”的概率是（    ） A． B． C． D． 27．已知随机变量的分布列为，则（    ） A． B． C． D． 28．已知随机变量的分布列为 5 10 15 则（    ） A． B． C． D． 29．课桌上有12本书，其中理科书籍有4本，现从中任意拿走6本书，用随机变量表示这6本书中理科书籍的本数，则概率为的是（    ） A． B． C． D． 30．已知随机变量的分布列如表：（其中为常数） 0 1 2 3 4 5 0.2 0.1 0.3 0.2 0.1 则等于（    ） A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7 题型四：两点分布考点 31．已知离散型随机变量X的分布列服从参数为p的两点分布，且，则 . 32．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量表示一次试验的成功次数，则（   ） A．0 B． C． D． 33．若随机变量X服从两点分布，，则（    ） A．0.5 B．0.57 C．0.67 D．0.77 34．已知随机变量服从两点分布，且，设，那么（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6 35．已知服从参数为0.6的两点分布，则 . 36．设某项试验的成功率是失败率的2倍，若用随机变量X描述一次试验成功的次数，求的值． 37．掷一颗骰子，观察掷得的点数. (1)求点数X的分布； (2)只关心点数6是否出现.若出现，则记，否则记.求Y的分布. 38．已知随机变量服从两点分布，且.设，那么等于（    ） A．0.6 B．0.3 C．0.2 D．0.4 39．已知随机变量X服从两点分布，且，，那么 . 40．已知离散型随机变量X服从两点分布，且，则随机变量X的方差为 ． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 离散型随机变量分布列四大常考题型 题型一：书写离散型随机变量分布列 题型二：破解分布列 题型三：利用分布列求概率 题型四：两点分布考点 题型一：书写离散型随机变量分布列 1．某医院计划从急诊科、骨科中选调医生组建一支6人医疗救援队，该院骨科、急诊科各有5名医生报名加入医疗救援队. (1)小张是这次报名的骨科医生，求小张被选入医疗救援队的概率； (2)设被选入医疗救援队的骨科医生人数为X，求随机变量X的分布列. 【答案】(1) (2)分布列见解析 【分析】（1）利用组合数求得总情况数与符合题意的情况数，根据古典概型，可得答案； （2）利用离散型随机变量的计算步骤求得分布列. 【详解】（1）设事件A为“小张被选入医疗救援队”， 则. （2）由题意，X的所有取值可能为1，2，3，4，5， ， ， ， ， ， 则X的分布列为 X 1 2 3 4 5 P 2．投掷四枚不同的金属纪念币，其中两枚正面向上的概率均为，两枚（质地不均匀）正面向上的概率均为．将这四枚纪念币同时投掷一次，设表示出现正面向上的枚数．求的分布列（用表示）. 【答案】分布列见解析 【分析】由可能的取值，结合独立事件乘法公式进行求解即可； 【详解】由题意可得的可能取值为0，1，2，3，4． ， ， ， ． 所以的分布列为 0 1 2 3 4 3．一个口袋中有6个同样大小的球，球的编号分别为．现从中随机取出3个球，用表示取出的球的最大号码，则的所有可能的取值有哪些？ 【答案】 【分析】根据题意用列举法表示即可. 【详解】由题意可知，离散型随机变量的可能取值为. 4．投掷四枚不同的金属纪念币，其中两枚正面向上的概率均为，两枚（质地不均匀）正面向上的概率均为．将这四枚纪念币同时投掷一次，设表示出现正面向上的枚数． (1)求的分布列（用表示）； (2)若恰有一枚纪念币正面向上对应的概率最大，求的取值范围． 【答案】(1)分布列见解析 (2) 【分析】（1）由可能的取值，根据古典概型运算公式，结合独立事件乘法公式进行求解即可； （2）根据的取值范围，结合（1）中的结论和题意列出不等式组进行求解即可. 【详解】（1）由题意可得的可能取值为0，1，2，3，4． ， ， ， ． 所以的分布列为 0 1 2 3 4 （2）因为，所以，． 所以 解得，或 故的取值范围是． 5．甲、乙、丙三名乒乓球选手进行单打对抗比赛，每两人比赛一场，共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分．在每一场比赛中，甲胜乙的概率为，丙胜甲的概率为，乙胜丙的概率为，且各场比赛结果互不影响．甲获得第一名且乙获得第三名的概率为． (1)求的值； (2)设在该次对抗比赛中，丙的得分为，求的分布列． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用相互独立事件乘法公式列式计算即可求解； （2）由题意丙的得分的取值可以为0，3，6，丙胜甲的概率为，丙胜乙的概率为，利用相互独立事件、互斥事件的概率计算公式即可得出概率、分布列. 【详解】（1）甲获第一名且乙获第三名的概率为，即甲胜乙、甲胜丙且丙胜乙的概率为， 由，得； （2）由题意知，丙的得分的取值可以为0，3，6，丙胜甲的概率为，丙胜乙的概率为， ， ， ， 所以丙的得分的分布列如下： X 0 3 6 P 6．分别在即，5位同学各自写了一封祝福信，并把写好的5封信一起放在心愿盒中，然后每人在心愿盒中各取一封，不放回．设X为恰好取到自己祝福信的人数，则 ． 【答案】 【分析】根据题意，由条件可得的可能取值，然后分别求得取的概率，即可得到的值. 【详解】由题意可知，的可能取值为0，1，2，3，5 对应概率依次为：， ， ， ， 则. 故答案为： 7．在我校歌咏比赛中，甲班、乙班、丙班、丁班均可从A，B，C三首不同曲目中任选一首. (1)求甲、乙两班选择不同曲目的概率； (2)设这四个班级总共选取了X首曲目，求X的分布列. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】由题意可得从三首不同曲目中任选一首的选法，甲、乙两班选择不同的曲目的概率;(2)由题意可得的可能取值为1，2，3，利用概率公式求得分布列. 【详解】（1）在我校歌咏操比赛中，甲班、乙班均可从A、B、C三首不同曲目中任选一首，共有种选法， 甲、乙两班选择不同的曲目共有种选法， 所以甲、乙两班选择不同曲目的概率为. （2）依题意可知，X的可能取值为1，2，3 ， ， ， ∴X的分布列为： 8．将8个质地、大小一样的球装入袋中，球上依次编号1~8.现从中任取3个球，以X表示所取球的最大号码. (1)求的分布列； (2)求的概率. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由已知判断随机变量的所有取值，并分别判断其概率，可得分布列； （2）由（1）的分布列可得概率. 【详解】（1）由已知可得随机变量的可能取值有：3，4，5，6，7，8， 所以，，，， 所以分布列为 3 4 5 6 7 8 （2）由（1）得. 9．甲、乙两人下象棋，甲赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局.用表示甲的得分，则表示（    ） A．甲赢三局 B．甲赢一局 C．甲、乙平局三次 D．甲赢一局或甲、乙平局三次 【答案】D 【分析】根据题意，分两种情况，即甲赢一局或甲、乙平局三次. 【详解】由于甲赢了得3分，平局得1分，输了得0分，故分成两种情况， 即或者，即甲赢一局或甲、乙平局三次. 故选：D 10．在一次购物抽奖活动中，假设某10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖.某顾客从此10张奖券中任抽2张，求： (1)该顾客中奖的概率； (2)该顾客获得的奖品总价值的分布列，并求出的值. 【答案】(1)； (2)分布列见解析，. 【分析】（1）应用组合数及古典概型的概率、对立事件的概率求法求顾客中奖的概率； （2）由已知有的可能取值为0，10，20，50，60并求出对应概率，即得分布列，进而由求值. 【详解】（1）该顾客中奖的概率. （2）的可能取值为0，10，20，50，60. ，，， ，. 故随机变量的分布列为 0 10 20 50 60 所以. 题型二：破解分布列 11．若离散型随机变量的分布列为： 0 1 则实数的值为 ． 【答案】/ 【分析】根据分布列中概率和为1列方程求参数值，注意验证. 【详解】由题设，可得，所以或， 当时，，，显然不符； 当时，，，满足. 所以. 故答案为： 12．已知离散型随机变量X的分布列为 X 2 4 6 8 P a 则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由分布列中概率之和为1可得A正确；由分布列中概率的计算可依次判断BCD. 【详解】由分布列性质可知，解得，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误． 故选：AC． 13．若随机变量X的分布列如下表所示，则的最小值为 ． X 0 1 2 3 P a b 【答案】/ 【分析】由分布列的性质得，再由基本不等式求的最小值. 【详解】由题设，可得， 由，当且仅当时取等号. 所以的最小值为. 故答案为： 14．已知随机变量X的分布列如下表所示，其中a是常数，则 ． 1 2 3 … 50 … 【答案】/0.28 【分析】由分布列的性质求得，进而可求解. 【详解】由题意，， 解得， 所以 ． 故答案为： 15．下表是离散型随机变量的概率分布，则常数的值是（   ） 3 4 5 6 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据概率和为1，列方程求得的值. 【详解】根据概率和为1，列方程得： ， 解得. 故选：C. 16．随机变量ξ的分布列如表格所示，其中，则b等于（   ） ξ ﹣1 0 1 P a b c A．   B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分布列的性质及已知条件解题即可. 【详解】根据题意，由分布列可得： 解得：. 故选:A 17．下表是离散型随机变量的概率分布，则（   ） 1 2 3 4 P A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分布列的性质可得，利用对立事件概率性质运算求解. 【详解】由题意可得：，解得， 所以． 故选：B. 18．若随机变量X的分布列如下： 1 2 3 4 0.1 0.4 0.3 则（    ） A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7 【答案】B 【分析】根据题意，由分布列的性质可得的值，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】由题可得，解得． 由，可得或4， 则（或）． 故选：B 19．已知随机变量的分布列如下表： -1 0 1 2 若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据给定条件，利用分布列的性质列式求解即得. 【详解】依题意，，所以. 故选：AD 20．若随机变量的分布列为 0 1 2 3 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1 则当时，实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据给定的分布列，求出即可求出的取值范围. 【详解】由分布列知，， ，而， 所以. 故答案为： 题型三：利用分布列求概率 21．设为实数，若随机变量的分布列为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由随机变量分布列所有概率之和等于1，计算即可. 【详解】根据题意，，且所有概率之和等于1， ， ，解得：， . 故选：A 22．设是一个离散型随机变量，其分布列如下，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由离散型随机变量的分布列的性质列方程计算即可. 【详解】由离散型随机变量的性质可得， 即，解得或， 时，不合题意，. . 故选：A. 23．已知随机变量的取值范围为，且，若，则 ． 【答案】0.9/ 【分析】由题意可知：，结合对立事件概率求法即可得到结果. 【详解】令，解得，且， 所以． 故答案为：0.9． 24．设随机变量，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据随机变量之间的关系可知若，可得，结合对立事件概率求法求出结果. 【详解】因为，若，可得， 则，所以. 故选：A. 25．（多选）水果篮中有8个水果，其中有2个是石榴，现从水果篮中随机地抽取3个，那么概率是的事件为（    ） A．恰有1个不是石榴 B．3个全不是石榴 C．恰有2个石榴 D．至少2个不是石榴 【答案】AC 【分析】利用组合公式计算总事件数，进一步进算出恰有0个石榴，恰有1个石榴，恰有2个石榴的方法数，再利用古典概型进行计算概率． 【详解】水果篮中随机地抽取3个的总事件数为， 因为其中有2个石榴，所以可能出现的事件有：恰有0个石榴，恰有1个石榴，恰有2个石榴，取法数分别为； 所以恰有1个不是石榴的概率为，3个全不是石榴的概率为，恰有2个石榴的概率为，至少2个不是石榴的概率为， 故选：AC． 26．公园的某个位置摆放了10盆牡丹花，编号分别为0，1，2，3，…，9，若从中任取1盆，则编号“大于5”的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设编号为随机变量，结合题设可得其各可能值的对应概率，再应用互斥事件概率的加法公式求即可. 【详解】设任取1盆的编号为随机变量， 则的可能取值为0，1，2，…，9， 且， ． 故选：B. 27．已知随机变量的分布列为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用概率分布列的性质求出，再求即可. 【详解】依题意，分布列概率之和为1，则，解得. 即，所以.   故选：A. 28．已知随机变量的分布列为 5 10 15 则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由分布列性质计算即可. 【详解】由分布列的性质，得，解得． 故选:D. 29．课桌上有12本书，其中理科书籍有4本，现从中任意拿走6本书，用随机变量表示这6本书中理科书籍的本数，则概率为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】计算出，从而得到答案. 【详解】，， 故，A正确， 其他选项，均不合要求. 故选：A 30．已知随机变量的分布列如表：（其中为常数） 0 1 2 3 4 5 0.2 0.1 0.3 0.2 0.1 则等于（    ） A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7 【答案】B 【分析】根据分布列概率和为1求得a,再根据互斥事件的概率和公式计算即可. 【详解】根据分布列概率和为1，可得, . 故选：B. 题型四：两点分布考点 31．已知离散型随机变量X的分布列服从参数为p的两点分布，且，则 . 【答案】 【分析】利用两点分布的概率和性质结合给定条件求解即可. 【详解】因为X的分布列服从参数为p的两点分布，所以，且， 所以即，∴. 故答案为： 32．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量表示一次试验的成功次数，则（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分布的性质可求相应的概率，故可得正确的选项. 【详解】设，则.依题意知，，解得， 故. 故选：B 33．若随机变量X服从两点分布，，则（    ） A．0.5 B．0.57 C．0.67 D．0.77 【答案】C 【分析】根据两点分布的概念计算即可. 【详解】. 故选：C 34．已知随机变量服从两点分布，且，设，那么（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6 【答案】D 【分析】根据两点分布得基本性质即可求解. 【详解】由题意可知，当时，即，解得， 又因为随机变量服从两点分布，且， 所以. 故选：D. 35．已知服从参数为0.6的两点分布，则 . 【答案】/ 【分析】根据两点分布的基本性质即可求解 【详解】. 故答案为： 36．设某项试验的成功率是失败率的2倍，若用随机变量X描述一次试验成功的次数，求的值． 【答案】 【分析】根据两点分布的概率分布，列式计算，即得答案. 【详解】由题知此试验服从两点分布，因此可列下表： X 0 1 P p 因为试验的成功率是失败率的2倍，所以， 解得，， 因此. 37．掷一颗骰子，观察掷得的点数. (1)求点数X的分布； (2)只关心点数6是否出现.若出现，则记，否则记.求Y的分布. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）根据掷得每个点数为等可能事件写分布列即可； （2）根据古典概型求概率公式求概率，然后写分布列即可. 【详解】（1）因为掷得每个点数为等可能事件，所以点数X的分布为． （2）因为，而，所以Y的分布为． 38．已知随机变量服从两点分布，且.设，那么等于（    ） A．0.6 B．0.3 C．0.2 D．0.4 【答案】D 【分析】根据变量间的关系，转化为，由两点分步求解. 【详解】当时，由， 所以. 故选：D 39．已知随机变量X服从两点分布，且，，那么 . 【答案】 【分析】根据概率之和为1即可求解. 【详解】由题意可知，解得. 故答案为：. 40．已知离散型随机变量X服从两点分布，且，则随机变量X的方差为 ． 【答案】 【分析】因为离散型随机变量X服从两点分布，设，所以，由题意可求出，所以可求出． 【详解】因为离散型随机变量X服从两点分布，设，所以， 所以，代入有：， 解得：，， 因为离散型随机变量X服从两点分布，所以. 故答案为：. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $