精品解析：山东省潍坊市诸城繁华中学2025-2026学年高一上学期第二次期末模拟数学试题

2025级高一上学期期末模拟测试 数学试题 2026.01 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，是实数集，则等于（ ） A. B. C. D. 以上都不对 2. 若、是方程的两个根，则（ ） A. B. C. D. 3. “，”成立的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 9 5. 不等式的解集是 A. B. 或 C. 或 D. 或 6. 设函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 8. 羽毛球比赛中采用每球得分制，即每回合中胜方得1分，负方得0分，每回合由上回合的胜方发球．设在甲、乙的比赛中，每回合发球，发球方得1分的概率为0.6，各回合发球的胜负结果相互独立．若在二局比赛中，甲先发球．则比赛进行3个回合后，甲与乙的比分为的概率为（ ） A. 0.144 B. 0.336 C. 0.304 D. 0.216 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成不规则形态，图（3）形成“右拖尾”形态，根据所给图形作出以下判断，正确的是（ ） A. 图（1）中平均数中位数众数 B. 图（2）中众数平均数 C. 图（3）中众数中位数平均数 D. 图（3）中众数平均数中位数 10. 在气象学上，进入冬季的标准是连续5天的日平均气温都低于.某人记录了甲，乙，丙，丁四地连续5天的日平均气温（日平均气温都是整数），根据以下数字特征，一定符合进入冬季标准的是（ ） A. 甲：中位数为7，众数为8 B. 乙：平均数为6，极差为4 C. 丙：中位数为7，极差为3 D. 丁：平均数为7，方差为2 11. 已知函数的定义域为，且，函数在上单调递增，则下列命题为真命题的是（ ） A. 的图象关于点对称 B. 为偶函数 C. 的图象关于直线对称 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 写出一个同时满足下列两个条件的函数_____________． ①对，有； ②当时，恒成立． 13. 实数，满足，则的最小值是______. 14. 若不等式（，且）在内恒成立，则实数a的取值范围为_________________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）若，求，； （2）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 16. 某校举行了交通安全知识竞赛，初赛时，每位参赛选手回答2道题，若2道题全部答对，直接进入决赛；若2道题都答错，直接淘汰；若恰好答对1道题，则进入复赛.复赛时，每位参赛选手回答2道题（与初赛时的题目不同），若2道题都答对，则进入决赛，否则淘汰.该校学生甲参加了这次交通安全知识竞赛，已知甲初赛时答对每道题的概率均为，复赛时答对每道题的概率均为，且各题答对与否互不影响. （1）求甲进入决赛的概率； （2）求甲至少答对2道题的概率. 17. 已知指数函数满足，定义域为的函数是奇函数. （1）确定的解析式； （2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 18. 已知函数为偶函数，且． （1）求的值，并确定的解析式； （2）若(且)，求在上值域． 19. 函数对任意实数恒有，且当时， （1）判断的奇偶性； （2）求证∶是上的减函数∶ （3）若，求关于的不等式的解集. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025级高一上学期期末模拟测试 数学试题 2026.01 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，是实数集，则等于（ ） A. B. C. D. 以上都不对 【答案】B 【解析】 【分析】 根据对数函数定义域和指数函数值域可求得集合，由补集和交集运算定义可求得结果. 【详解】由得：，故， 由得：，故，， ． 故选：B. 2. 若、是方程的两个根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先写出韦达定理，再结合对数运算法则，即可求解. 【详解】由题意可知，，， 则， . 故选：B 3. “，”成立的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题中命题成立，先求出；再逐项判断即可. 【详解】由题意可得，在上能成立， 即在上能成立， 因为时，； 所以为使在上能成立，只需； 因此，A选项，是“，”成立的既不充分又不必要条件； B选项，是“，”成立的充分不必要条件； C选项，是“，”成立的充要条件； D选项，是“，”成立的必要不充分条件； 故选：D 4. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】将所求式子变形为，利用“1”的代换结合基本不等式求解. 【详解】，，， 则 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为5. 故选：A. 5. 不等式的解集是 A. B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】利用穿根法即可得到不等式的解集. 【详解】不等式，由穿针引线法可得， 故即原不等式的解集是或． 故选C． 【点睛】本题考查分式不等式的解法，注意等价变形和转化为整式不等式，考查运算能力，属于基础题和易错题． 6. 设函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据解析式，可知函数为偶函数.结合解析式可判断函数在时单调递增，因而由对称性可解不等式组，求得不等式成立的解集. 【详解】的定义域为， ∵， ∴为偶函数， 当时，单调递增， 由， 可得，解得且， 即， 故选：B． 【点睛】本题考查了函数奇偶性与单调性的综合应用，由单调性由奇偶性解不等式，属于基础题. 7. 已知函数的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先得到函数的单调性，结合特殊点的函数值，利用零点存在性定理得到，，，得到答案. 【详解】由题意得在R上单调递增， 在上单调递增， 又，，故， ，，故， ，故， 故. 故选：B 8. 羽毛球比赛中采用每球得分制，即每回合中胜方得1分，负方得0分，每回合由上回合的胜方发球．设在甲、乙的比赛中，每回合发球，发球方得1分的概率为0.6，各回合发球的胜负结果相互独立．若在二局比赛中，甲先发球．则比赛进行3个回合后，甲与乙的比分为的概率为（ ） A. 0.144 B. 0.336 C. 0.304 D. 0.216 【答案】B 【解析】 【分析】记“第回合发球，甲胜”为事件，且事件相互独立，记“3个回合后，甲与乙比分为2比1”为事件，则事件发生表示事件或或发生，利用事件的独立性和互斥事件即可求解. 【详解】记“第回合发球，甲胜”为事件，且事件相互独立． 记“3个回合后，甲与乙比分为2比1”为事件， 则事件发生表示事件或或发生，且，，互斥． 又，， ． 由互斥事件概率加法公式可得 ． 综上，3个回合后，甲与乙比分为2比1的概率为0.336， 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成不规则形态，图（3）形成“右拖尾”形态，根据所给图形作出以下判断，正确的是（ ） A. 图（1）中平均数中位数众数 B. 图（2）中众数平均数 C. 图（3）中众数中位数平均数 D. 图（3）中众数平均数中位数 【答案】BC 【解析】 【分析】根据平均数，中位数，众数的概念结合图形分析判断. 【详解】图（1）的分布直方图是对称的，所以平均数中位数众数，故A错误； 图（2）频率直方图可知，众数位于第二组，而平均数位于第二组后， 所以众数平均数，故B正确； 图（3）频率直方图可得，单峰不对称且“右拖尾”，最高峰偏左，众数最小， 平均数易受极端值的影响，与中位数相比，平均数总是在“拖尾”那边， 平均数大于中位数，故C正确，D错误； 故选：BC. 10. 在气象学上，进入冬季的标准是连续5天的日平均气温都低于.某人记录了甲，乙，丙，丁四地连续5天的日平均气温（日平均气温都是整数），根据以下数字特征，一定符合进入冬季标准的是（ ） A. 甲：中位数为7，众数为8 B. 乙：平均数为6，极差为4 C. 丙：中位数为7，极差为3 D. 丁：平均数为7，方差为2 【答案】ABD 【解析】 【分析】结合题目所给符合进入冬季标准，结合每个选项分析判断即可. 【详解】对于A，甲：中位数为7，众数为8，则8出现次数最多，又只有5个数据，7为中位数， 所以8出现次数为2次，另外两个数据只能是小于7的两个不同的数， 故甲地符合进入冬季标准，故A正确； 对于B，乙：平均数为6，极差为4，因为极差是最大值与最小值的差， 假设存在某日的气温大于等于，又平均数为6，故定存在某日的气温低于，此时极差不 为4，故假设不成立，即每日气温都低于，所以乙一定符合进入冬季标准，故B正确； 对于C，丙：中位数为7，极差为3，气温为7，7，7，8，10符合题意，故丙不符合进入冬季标准，故C错误； 对于D，丁：平均数为7，方差为2，故不可能每天都为，日平均气温都是整数， 所以最多三天，若存在某日的气温高于，方差大于不符合题意， 若存在某日的气温等于，若三天，则五天的气温，计算方差，可知不符合方差为2的条件， 若二天，则五天的气温的方差一定大于2， 若一天，则五天的气温的方差一定大于2， 综上可知，所以丁一定符合进入冬季标准，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数的定义域为，且，函数在上单调递增，则下列命题为真命题的是（ ） A. 的图象关于点对称 B. 为偶函数 C. 的图象关于直线对称 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】由可判断A，根据平移变换得为奇函数判断B，由题干等量函数关系得判断C，根据单调性及对称性列不等式求解判断D. 【详解】由知，故的图象关于点对称，A正确； 的图象由的图象向左平移一个单位得到， 故的图象关于点对称，即为奇函数，B错误； 由，知：， 所以的图象关于直线对称，C正确； 因为函数在上单调递增，所以函数在上单调递减， 若，且，由的图象关于直线对称知， 平方化简得，解得，D正确. 故选：ACD 【点睛】结论点睛：①如果，则图象关于直线对称； ②如果或，则图象关于点点对称； ③如果，则图象关于点对称. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 写出一个同时满足下列两个条件的函数_____________． ①对，有； ②当时，恒成立． 【答案】(答案不唯一) 【解析】 【分析】由满足的两个条件可以联想到对数函数，再根据对数函数的性质时行判断即可得答案. 【详解】解：因为由满足的两个条件可以联想到对数函数， 当时， 对，,满足条件①； 当时，，满足条件②. 故答案为：(答案不唯一) 13. 实数，满足，则的最小值是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件可得，代入，结合基本不等式求解. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当时，等号成立； 故答案为：. 14. 若不等式（，且）在内恒成立，则实数a的取值范围为_________________. 【答案】 【解析】 【分析】讨论的取值范围，根据函数的单调性可得要使条件成立，则需且，解不等式可得结果. 【详解】∵函数在上单调递增， ∴当时，. 要使不等式（，且）在内恒成立， 只需函数的图象在函数的图象的下方. 当时，显然不成立. 如图，当时，要使函数的图象在函数的图象的下方， 只需，即，解得，故实数a的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）若，求，； （2）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1），. （2） 【解析】 【分析】（1）解不等式可化简集合A，然后由交集，并集定义可得答案； （2）由题可得，据此可得答案. 【小问1详解】 时，，. 则.故，. 【小问2详解】 因“”是“”的充分条件，则. 则. 16. 某校举行了交通安全知识竞赛，初赛时，每位参赛选手回答2道题，若2道题全部答对，直接进入决赛；若2道题都答错，直接淘汰；若恰好答对1道题，则进入复赛.复赛时，每位参赛选手回答2道题（与初赛时的题目不同），若2道题都答对，则进入决赛，否则淘汰.该校学生甲参加了这次交通安全知识竞赛，已知甲初赛时答对每道题的概率均为，复赛时答对每道题的概率均为，且各题答对与否互不影响. （1）求甲进入决赛的概率； （2）求甲至少答对2道题的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分别求得甲初赛答对2题进入决赛的概率与甲初赛答对1题进入决赛的概率，利用互斥事件的和事件的概率公式可求甲进入决赛的概率； （2）分甲初赛答对2题，甲初赛答对1题，复赛答对2题，甲初赛答对1题，复赛答对1题三种情况求解可求得甲至少答对2道题的概率. 【小问1详解】 甲初赛答对2题进入决赛的概率为， 甲初赛答对1题进入决赛的概率为， 所以甲进入决赛的概率； 【小问2详解】 甲初赛答对2题的概率， 甲初赛答对1题，复赛答对2题的概率为， 甲初赛答对1题，复赛答对1题的概率为， 所以甲至少答对2道题的概率. 17. 已知指数函数满足，定义域为的函数是奇函数. （1）确定的解析式； （2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由指数函数且及，列方程求参数，即可得解析式； （2）根据奇函数有、求参数，并验证所得是否为奇函数，并判断单调性，应用奇函数的单调性可得恒成立，即可求参数范围. 【小问1详解】 设且，由，则，故. 【小问2详解】 由（1）知，且在R上是奇函数，则，易得， 所以，由，则，得， 所以，在上为减函数，经验证满足奇函数， 所以等价于， 所以，即恒成立，故，即， 即实数k的取值范围为. 18. 已知函数为偶函数，且． （1）求的值，并确定的解析式； （2）若(且)，求在上值域． 【答案】（1），；（2）当时，函数的值域为，当时，的值域为. 【解析】 【详解】试题分析：（1）因为，所以由幂函数的性质得，，解得，因为，所以或，验证后可知，；（2）由（1）知，函数在上单调递增，故按，两类，利用复合函数单调性来求函数的值域. 试题解析： （1）因为，所以由幂函数的性质得，，解得， 因为，所以或， 当时，它不是偶函数； 当时，是偶函数； 所以，； （2）由（1）知， 设，则，此时在上的值域，就是函数的值域； 当时，在区间上是增函数，所以； 当时，在区间上是减函数，所以； 所以当时，函数的值域为，当时，的值域为． 考点：幂函数单调性，复合函数值域. 【方法点晴】本题主要考查幂函数的单调性和复合函数单调性与值域的问题.根据题意，可以判断函数在上是单调递减的，所以幂函数的指数部分小于零，由此可以判断出可能的取值，然后逐一利用函数是偶函数来验证正确答案.第二问考查的是复合函数单调性，利用同增异减，可以快速判断函数的单调性，并由此求出最值. 19. 函数对任意实数恒有，且当时， （1）判断的奇偶性； （2）求证∶是上的减函数∶ （3）若，求关于的不等式的解集. 【答案】（1）奇函数 （2）证明：任取， 且， 则，， ∴， 又为奇函数， ∴ ∴是上的减函数. （3） 当时，原不等式的解集为 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或 【解析】 【分析】（1）取得，取得进而得答案； （2）根据题意得，，再结合奇函数性质得，进而证明结论； （3）根据题意得，在分类讨论求解即可； 【小问1详解】 取，则，∴. 取，则，即 对任意 恒成立， ∴为奇函数. 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 为奇函数，整理原式得， . ∵在上是减函数， ∴， 即 ①当时，原不等式的解为； ②当时，原不等式化为，即 若，原不等式化为，原不等式的解为； 若，则，原不等式的解为或； 若，则 ，原不等式的解为或 ③当时，原不等式化为即 则， 原不等式的解为 综上所述∶ 当时，原不等式的解集为 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $