精品解析：广东东莞市万江第三中学2025-2026学年第一学期期末质量自查八年级数学试卷

2025－2026学年第一学期期末质量自查八年级数学试卷 说明： 1、全卷共6页，考试时间共120分钟，满分120分． 2．答卷前，考生务必将自己的班别、姓名、试室号和学号按要求填写或涂好． 3．用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡相应区域作答，否则无效．有答题卡科目，需用2B铅笔，在正确答案上填涂． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 目前我国应用于新能源汽车的微型民用核电池体积可小至立方米．将数据用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解：． 故选：C． 2. 点关于轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称的性质，解题的关键是掌握坐标关于轴对称的变化规律，即关于轴对称点的坐标是横坐标不变纵坐标变为原来的相反数，据此求解即可． 【详解】解：∵关于轴对称点的坐标是横坐标不变纵坐标变为原来的相反数， ∴点关于轴对称的点的坐标为． 故选：B． 3. 要使分式有意义，应满足的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】要使分式有意义，则分式的分母不能为0，如此即可. 【详解】若分式有意义，则需要保证，解此不等式，可得， 故本题答案选D. 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义条件：分母不为0是解题的关键. 4. 约分的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了约分：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．分子分母都约去公因式即可． 【详解】解：∵， 分子分母同时除以， ∴． 故选：C． 5. 如图，在中，，D是边上的一点，，，则点D到的距离为（　　） A. 3 B. 4 C. 6 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，角平分线上的点到角的两边的距离相等． 根据题意易求，由角平分线的性质定理可知D点到的距离等于D点到的距离的长度，则答案可解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴是的角平分线， ∴D点到和的距离相等， ∵表示D点到的距离，， ∴D到的距离为3． 故选：A． 6. 一个等腰三角形的两边长分别是2cm和5cm，则它的周长为（ ） A. 9cm B. 12cm C. 7cm D. 9cm或12cm 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件和三角形三边关系可知，等腰三角形的腰长不可能为2cm，只能为5cm，然后即可求得三角形的周长. 【详解】本题只知道等腰三角形的两边的长，并不知道腰和底，所以需要分两种情况讨论，当腰长为2cm时，由于2+2<5,所以此时三角形不存在；当腰长为5cm时，5+5>2，所以此三角形满足题意，此时三角形的周长为：5+5+2=12cm. 故答案为B. 【点睛】本题考查了等腰三角形的概念，注意三角形两边之和大于第三边是解题的关键. 7. 如图，在中，，，垂足为点，若，，则图中阴影部分的面积是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定及性质，垂直平分线的判定及性质，熟悉掌握垂直平分线的判定及性质是解题的关键． 利用等腰三角形的判定及性质判定出垂直平分，把右侧阴影部分三角形填补至左边空白部分，再通过面积公式运算即可． 【详解】解：∵， ∴为等腰三角形， ∵， ∴垂直平分， ∴右阴影部分三角形可填补至左边空白部分， ∴阴影部分的面积， 故选：D． 8. 应县佛宫寺释迦塔（应县木塔）是中国现存最高最古的一座木构塔式建筑，全塔没用一个铁钉，全靠构件互相卯榫咬合，共使用了54种不同形式的斗栱，被誉为“斗栱博物馆”．榫卯结构是我国古代建筑、家具及其他木制器械的主要结构方式，如图，将两块全等的木楔（）水平钉入长为的长方形木条中（点B，C，F，E在同一条直线上）．若，则木楔的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的对应边相等得到，再根据线段的和差关系求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， 故选：B． 9. 如图1,将一张长方形纸板四角各切去一个同样的正方形，制成如图2的无盖纸盒，若该纸盒的容积为4a2b则图2中纸盒底部长方形的周长为（ ） A. 4ab B. 8ab C. 4a+b D. 8a+2b 【答案】D 【解析】 【分析】设纸盒底部长方形的宽为x，根据容积为4a2b列出方程即可求解． 【详解】设纸盒底部长方形的宽为x， 依题意得b×x×a=4a2b ∴x=4a 故纸盒底部长方形的周长为2（4a+b）=8a+2b 故选D 【点睛】此题主要考查整式的除法，解题的关键是熟知单项式除以单项式的运算法则． 10. 新教材第118页“阅读与思考”中介绍了杨辉三角，杨辉三角可以看作是对完全平方公式的推广，也告诉我们二项式乘方展开式的系数规律： 根据上述规律，展开式的系数和是（ ） A. 32 B. 64 C. 128 D. 256 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了“杨辉三角”展开式中所有项的系数和的求法，通过观察展开式中所有项的系数和，得到规律即可求解．由“杨辉三角”得到：应该是为非负整数展开式的项系数和为． 【详解】解：当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， …… 当时，展开式的项系数和为， 故选：B． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 一个三角形的三个内角的度数如图所示，则x的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理的应用，根据三角形的内角和为，列方程，即可求解． 【详解】解：依题意， 解得： 故答案为：． 12. 分解因式：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，掌握因式分解的提公因式法和公式法是解题的关键．先提公因式m，再运用公式分解即可． 【详解】解：原式， 故答案为：． 13. 如图，在中，分别以A，B两点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，直线与、分别相交于点D、E，若，的周长为10，则的周长是_____． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查垂直平分线的性质，三角形的周长，由作图可知垂直平分线段，得，，，根据三角形的周长公式即可解答． 【详解】解：由作图可知垂直平分线段， ∴，， ∴， ∵的周长为， ∴的周长为． 故答案为：16． 14. 已知，，则的值为__________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法和幂的乘方，运用相关运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：12 15. 图①是一类光学直角棱镜，其中一块直角棱镜的截面为图②所示的，所在的面为不透光的磨砂面，，．现有一束单色光从边的点E处垂直射入，到达边的点D处，恰有，经过反射后（即）从边的点F处射出．若光线在棱镜内部经过的路径，则这块棱镜的高度为__________cm． 【答案】20 【解析】 【分析】本题主要考查含角的直角三角形三边的关系、等边三角形判定与性质等知识点，说明是等边三角形成为解题的关键．由、得，又得，而，得，可证是等边三角形得，然后求得，由即可解答． 【详解】解：∵、， ∴， ， ，， ，， ， ，，， ∴是等边三角形； ∴， ∵， ∴，， ∴． 故答案为：20． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练运用运算法则是解本题的关键．先根据分式的混合运算法则将原式化简，然后代入求值即可． 【详解】解：原式 当时， 因此，原式的值为． 17. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于轴成轴对称的图形，并写出、、的坐标； （2）求的面积． 【答案】 （1）画出图形如下： , 、、的坐标为、、； （2）的面积为 【解析】 【分析】（1）根据题意画出图形，写出坐标即可； （2）利用割补法求面积即可求解． 【详解】解：（1）、、的坐标为、、； （2）的面积为． 【点睛】本题考查平面直角坐标系中图形的对称、割补法求面积，根据轴对称的定义画出图形是解题的关键． 18. 如图，已知于，于，，． （1）求证：； （2）若，求的长度． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． （2）2 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键． （1）先根据垂直的定义可得，再求出，然后根据定理即可得证； （2）先根据全等三角形的性质可得，，再根据线段的和差求解即可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）已证：， ∴，， ∴． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 为响应东莞市教育局“每周半天计划”，东莞某校推出“山海课堂”，将课堂搬至山海之间，依托松山湖松湖烟雨徒步环湖路线展开活动．学校将初二年级分为20个组，化身“探路者”，每组独立完成一段路线任务，最终拼合出完整的50公里轨迹． 【信息收集】信息一： 路段 路程（千米） 计划平均速度（千米/时） 第11组 松湖烟雨3段（松湖烟雨入口至查理大桥） 12.5 第19组 松湖烟雨2段（柏林墙至康桥） 6 信息二：第11组和第19组计划用时相等． 【问题解决】 （1）求的值和计划用时； （2）第11组的同学前段的平均速度为3千米/时，后段由于体力下降，平均速度降为2千米/时．如果第11组的同学想要在计划的时间内到达终点，则至少需要保持平均速度为3千米/时多长时间？ 【答案】（1），计划用时5小时 （2）第11组的同学至少需要保持平均速度为3千米/时2.5小时 【解析】 【分析】此题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解题的关键是正确列出分式方程和一元一次不等式． （1）根据题意列出分式方程求解即可； （2）设第11组同学保持平均速度为3千米/时的时间为小时，根据题意列出一元一次不等式求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，第11组和第19组计划用时相等． 则 解得：， 经检验：是方程的解，且符合题意， 将代入第19组的用时公式，可得计划用时：小时； 【小问2详解】 解：设第11组同学保持平均速度为3千米/时的时间为小时．那么以2千米/时行驶的时间为小时． 根据总路程为12.5千米，可列出不等式： 解得： 答：第11组的同学至少需要保持平均速度为3千米/时2.5小时． 20. 图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．（1）请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积： 方法1： 方法2： （2）观察图②请你写出下列三个代数式：（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系． ； （3）根据（2）题中的等量关系，解决：已知：a﹣b=5，ab=﹣6，求：（a+b）2的值； 【答案】（1）（m-n）2；（m+n）2-4mn；（2）（m-n）2=（m+n）2-4mn；（3）1. 【解析】 【分析】（1）方法1：表示出阴影部分的边长，然后利用正方形的面积公式列式； 方法2：利用大正方形的面积减去四周四个矩形的面积列式； （2）根据不同方法表示的阴影部分的面积相同解答； （3）根据（2）的结论整体代入进行计算即可得解． 【详解】解：（1）方法1：∵阴影部分的四条边长都是m-n,是正方形， ∴阴影部分的面积=（m-n）2 方法2：∵阴影部分的面积=大正方形的面积减去四周四个矩形的面积 ∴阴影部分的面积=（m+n）2-4mn； （2）根据（1）中两种计算阴影部分的面积方法可知（m-n）2=（m+n）2-4mn； （3）由（2）可知（a+b）2=（a-b）2+4ab， ∵a-b=5，ab=-6， ∴（a+b）2=（a-b）2+4ab=52+4×（-6）=25-24=1. 【点睛】本题考查几何图形与完全平方公式，应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义；主要围绕图形面积展开分析． 21. 如图，在△ABC中，AB=AC，点D在△ABC内，BD=BC，∠DBC=60°，点E在△ABC外，∠BCE=150°，∠ABE=60°． （1）求∠ADB的度数； （2）判断△ABE的形状并加以证明． 【答案】（1）150°；（2）等边三角形． 【解析】 【分析】（1）首先证明△DBC是等边三角形，推出∠BDC=60°，再证明△ADB≌△ADC，推出∠ADB=∠ADC即可解决问题． （2）结论：△ABE是等边三角形．只要证明△ABD≌△EBC即可． 【详解】（1）∵BD=BC，∠DBC=60°，∴△DBC是等边三角形，∴DB=DC，∠BDC=∠DBC=∠DCB=60°．在△ADB和△ADC中，，∴△ADB≌△ADC，∴∠ADB=∠ADC，∴∠ADB（360°﹣60°）=150°． （2）结论：△ABE是等边三角形．理由如下： ∵∠ABE=∠DBC=60°，∴∠ABD=∠CBE．在△ABD和△EBC中，∵∠ADB=∠BCE=150°，BD=BC，∠ABD=∠CBE，∴△ABD≌△EBC，∴AB=BE． ∵∠ABE=60°，∴△ABE是等边三角形． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质．解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，属于中考常考题型． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 阅读下列材料： 定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如：这样的分式就是假分式；再如：这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（整式与真分式的和的形式）． 如：； 再如：． 解决下列问题： （1）下列各式：①；②；③；④是假分式的有_____（填序号）； （2）将假分式化为带分式的形式； （3）已知整数使分式的值为整数，求出满足条件的所有整数的值； 【答案】（1）①③④ （2） （3）满足条件的整数为 【解析】 【分析】本题主要考查分式的定义和化简，熟练掌握分式的性质是解题的关键． （1）根据题中所给新定义进行判断即可； （2）由题中所给方法化为带分式的形式即可； （3）先把分式化为带分式的形式，然后问题即可求解． 【小问1详解】 解：根据假分式的定义，分子的次数大于或等于分母的次数的分式为假分式， ①中分子次数为1，分母次数为1，是假分式； ②为整式，不是分式； ③中分子次数为1，分母次数为1，是假分式； ④中分子次数为2，分母次数为2，是假分式， 故答案为：①③④； 【小问2详解】 解：． 【小问3详解】 解：对分式进行变形： 要使分式为整数，则为整数，即是21的因数 21的因数有， 解得的值为， 因此，满足条件的整数为． 23. 问题情境： 已知：射线和射线相交于点．点在射线上，作射线，在射线上取一点，连接，使． 任务一：当点在线段上时， （1）如图1，请写出与的数量关系，并说明理由； （2）如图2，当，时，连接．在射线上取一点，使，连接． ①判断与的数量关系与位置关系，并说明理由； ②的度数为________； 任务二：当点是射线上的动点（点不与点和点重合）． （3）如图3，当，，且时，请直接写出的度数（用含的式子表示）． 【答案】 （1）， 理由：，， 又，， ； （2）①，，理由如下： 由（1）知：， 在和中， ， ， ，， 又， ， 即， ； ②； （3）的度数为或 【解析】 【分析】（1）利用三角形内角和定理即可得出答案； （2）①先证得，得出：，，再根据直角三角形性质和垂直定义即可证得结论； ②根据全等三角形的性质和等腰直角三角形的性质即可得到结论； （3）当点在线段上时，如图3，当点在的延长线上时，如图4，在射线上取一点，使，连接，先证明，可得：，，再由等腰三角形性质即可求得答案． 【详解】解：（1）略 （2）①略 ②， ， ， ， ， 故答案为：； （3）或，理由如下： 当点在线段上时，如图3，在射线上取一点，使，连接， 由（1）知：， 在和中， ， ， ，， 又， ， 即， ； 当点在的延长线上时，在射线上取一点，使，连接，如图4， 由（1）知：， 在和中， ， ， ，， 又， ， ， ， 综上所述，的度数为或． 【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识；构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年第一学期期末质量自查八年级数学试卷 说明： 1、全卷共6页，考试时间共120分钟，满分120分． 2．答卷前，考生务必将自己的班别、姓名、试室号和学号按要求填写或涂好． 3．用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡相应区域作答，否则无效．有答题卡科目，需用2B铅笔，在正确答案上填涂． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 目前我国应用于新能源汽车的微型民用核电池体积可小至立方米．将数据用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 2. 点关于轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 要使分式有意义，应满足的条件是（ ） A. B. C. D. 4. 约分的结果是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，D是边上的一点，，，则点D到的距离为（　　） A. 3 B. 4 C. 6 D. 10 6. 一个等腰三角形的两边长分别是2cm和5cm，则它的周长为（ ） A. 9cm B. 12cm C. 7cm D. 9cm或12cm 7. 如图，在中，，，垂足为点，若，，则图中阴影部分的面积是（ ）． A. B. C. D. 8. 应县佛宫寺释迦塔（应县木塔）是中国现存最高最古的一座木构塔式建筑，全塔没用一个铁钉，全靠构件互相卯榫咬合，共使用了54种不同形式的斗栱，被誉为“斗栱博物馆”．榫卯结构是我国古代建筑、家具及其他木制器械的主要结构方式，如图，将两块全等的木楔（）水平钉入长为的长方形木条中（点B，C，F，E在同一条直线上）．若，则木楔的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图1,将一张长方形纸板四角各切去一个同样的正方形，制成如图2的无盖纸盒，若该纸盒的容积为4a2b则图2中纸盒底部长方形的周长为（ ） A. 4ab B. 8ab C. 4a+b D. 8a+2b 10. 新教材第118页“阅读与思考”中介绍了杨辉三角，杨辉三角可以看作是对完全平方公式的推广，也告诉我们二项式乘方展开式的系数规律： 根据上述规律，展开式的系数和是（ ） A. 32 B. 64 C. 128 D. 256 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 一个三角形的三个内角的度数如图所示，则x的值为______． 12. 分解因式：_____． 13. 如图，在中，分别以A，B两点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，直线与、分别相交于点D、E，若，的周长为10，则的周长是_____． 14. 已知，，则的值为__________． 15. 图①是一类光学直角棱镜，其中一块直角棱镜的截面为图②所示的，所在的面为不透光的磨砂面，，．现有一束单色光从边的点E处垂直射入，到达边的点D处，恰有，经过反射后（即）从边的点F处射出．若光线在棱镜内部经过的路径，则这块棱镜的高度为__________cm． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 先化简，再求值：，其中． 17. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于轴成轴对称的图形，并写出、、的坐标； （2）求的面积． 18. 如图，已知于，于，，． （1）求证：； （2）若，求的长度． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 为响应东莞市教育局“每周半天计划”，东莞某校推出“山海课堂”，将课堂搬至山海之间，依托松山湖松湖烟雨徒步环湖路线展开活动．学校将初二年级分为20个组，化身“探路者”，每组独立完成一段路线任务，最终拼合出完整的50公里轨迹． 【信息收集】信息一： 路段 路程（千米） 计划平均速度（千米/时） 第11组 松湖烟雨3段（松湖烟雨入口至查理大桥） 12.5 第19组 松湖烟雨2段（柏林墙至康桥） 6 信息二：第11组和第19组计划用时相等． 【问题解决】 （1）求的值和计划用时； （2）第11组的同学前段的平均速度为3千米/时，后段由于体力下降，平均速度降为2千米/时．如果第11组的同学想要在计划的时间内到达终点，则至少需要保持平均速度为3千米/时多长时间？ 20. 图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．（1）请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积： 方法1： 方法2： （2）观察图②请你写出下列三个代数式：（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系． ； （3）根据（2）题中的等量关系，解决：已知：a﹣b=5，ab=﹣6，求：（a+b）2的值； 21. 如图，在△ABC中，AB=AC，点D在△ABC内，BD=BC，∠DBC=60°，点E在△ABC外，∠BCE=150°，∠ABE=60°． （1）求∠ADB的度数； （2）判断△ABE的形状并加以证明． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 阅读下列材料： 定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如：这样的分式就是假分式；再如：这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（整式与真分式的和的形式）． 如：； 再如：． 解决下列问题： （1）下列各式：①；②；③；④是假分式的有_____（填序号）； （2）将假分式化为带分式的形式； （3）已知整数使分式的值为整数，求出满足条件的所有整数的值； 23. 问题情境： 已知：射线和射线相交于点．点在射线上，作射线，在射线上取一点，连接，使． 任务一：当点在线段上时， （1）如图1，请写出与的数量关系，并说明理由； （2）如图2，当，时，连接．在射线上取一点，使，连接． ①判断与的数量关系与位置关系，并说明理由； ②的度数为________； 任务二：当点是射线上的动点（点不与点和点重合）． （3）如图3，当，，且时，请直接写出的度数（用含的式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $