24.4 数据的分组 课件2025-2026学年数学人教版八年级下册

24.4　数据的分组 知识点 一般地，设有n个数据由小到大排列为x1，x2，x3，…，xn，其平均数 记为x，则离差平方和为d2＝(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2，如 果把这组数据分为两组，前m(m<n)个数据为一组，后(n－m)个数据 为一组，它们的平均数分别记为x1和x2，离差平方和分别为d12＝ (x1－x1)2＋(x2－x1)2＋…＋(xm－x1)2，d22＝(xm＋1－x2)2＋(xm＋2－x2)2 ＋…＋(xn－x2)2，那么d2＝d12＋d22＋m(x1－x)2＋(n－m)(x2－x)2，其 中d12＋d22称为组内离差平方和，表示两个组内数据的离散程度； 记d122＝m(x1－x)2＋(n－m)(x2－x)2称为组间离差平方和，表示 两个组间的差异．根据组内离差平方和最小的原则进行分组时， 由于d2不变，既可以按d12＋d22最小来分组，也可以按d122最大 来分组． 考点 组内离差平方和 典例 甲、乙、丙、丁四名学生竞赛成绩(单位：分)如下：15，18，15，24，按照“组内离差平方和最小”的方法，将竞赛成绩分成两组． 思路导析 根据题意将4个数据从小到大排序，并分成两组，再分别计算每种情况的组内离差平方和，比较即可． 第二组1个数据{24}，组内离差平方和为0， 故第三种情况的组内离差平方和为0＋6＝6； ∵6<18<42， ∴第三种情况的组内离差平方和最小， ∴将竞赛成绩分成的两组是{15，15，18}，{24}． 变式1 把数据2，8，10，4，12按大小顺序分成两组，能使“组内离差平方和达到最小”的是( ) A．{2}，{4，8，10，12} B．{2，4}，{8，10，12} C．{2，4，8}，{10，12} D．{2，4，8，10}，{12} 变式2 [2025·龙华区二模]艺术测评主要是为掌握学生艺术素养发展状况，改进美育教学．某校根据义务教育阶段音乐、美术等学科的课程标准，在九年级随机抽取了若干位同学进行艺术测评与分析，下面是对九(1)班抽测到的10位同学的测评分值的数据分析过程： 【收集与整理】10位同学的测评分值分组统计如下： 分组方式 组别 测评分值 方式一 (按平均分相同分组) Ⅰ组 80，85，85，90，100 Ⅱ组 80，85，90，90，95 方式二 (按分数段分组) 甲组 80，80，85，85，85 乙组 90，90，90，95，100 【描述与分析】 分组数据统计量分析表 分组方式 组别 中位数 众数 方差 组内离差平方和 方式一 Ⅰ组 m 85 46 360 Ⅱ组 90 90 26 方式二 甲组 85 85 6 110 乙组 90 n 16 说明：组内离差平方和表达了各小组内数据的离散程度．它的值越小，说明这种分组方式中同组成员之间的水平越接近. 根据以上信息，解答下面问题： (1)扇形统计图中“100分”对应的圆心角度数为 °； (2)m＝ ，n＝ ． 【判断与决策】 (3)为深入推进小组学习，促进同学间的互帮互助、共同进步，请你根据以上信息，选择一种利于开展小组学习的分组方式，并说明你这样选择的理由． 解：(1)36；(2)85，90； (3)方式二利于开展小组学习，由表知，方式二的组内离差平方和小于方式一，更利于开展小组学习，促进同学间的互帮互助、共同进步． 解：将4个数据从小到大排序：15，15，18，24. 把4个数据分成两组，共有3种情况： 第一种情况：第一组1个数据{15}， 组内离差平方和为0； 第二组3个数据{15，18，24}， 平均数是eq \f(15＋18＋24,3)＝19， 组内离差平方和为(15－19)2＋(18－19)2＋(24－19)2＝42， 故第一种情况的组内离差平方和为0＋42＝42； 第二种情况：第一组2个数据{15，15}， 平均数是eq \f(15＋15,2)＝15， 组内离差平方和为0； 第二组2个数据{18，24}， 平均数是eq \f(18＋24,2)＝21， 组内离差平方和为(18－21)2＋(24－21)2＝18， 故第二种情况的组内离差平方和为0＋18＝18； 第三种情况：第一组3个数据{15，15，18}， 平均数是eq \f(15＋15＋18,3)＝16， 组内离差平方和为(15－16)2＋(15－16)2＋(18－16)2＝6； $