考点02 实数（12种题型）（专项训练）数学新教材人教版七年级下册

考点02 实数 考点一：无理数 无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数. 常见的无理数： 1）开方开不尽的数，如： 、等； [易错]带根号的数并不都是无理数，而开方开不尽的数才是无理数.如. 2）π以及一些含π的数，如5π，3+π，等； 3）具有特点结构的数（看似有规律循环实际上是无限不循环的小数），如0.1010010001（两个1之间依次增加1个0）… 4）某些三角函数，如sin60°、cos20°. 考点二：实数定义及其性质 实数的定义：有理数和无理数统称为实数. 实数的性质： 1）相反数：实数a的相反数是-a，这里a表示任意一个实数. 2）绝对值：一个正实数的绝对值是它本身；0的绝对值是0；一个负实数的绝对值是它的相反数，即设a表示一个实数，则. 3）倒数：实数a的倒数是（a≠0），若a与b互为倒数，则ab=1；若ab=1，则a与b互为倒数. 考点三：实数的运算 实数的运算：当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算，又增加了非负数的开平方运算，任意实数可以进行开立方运算.进行实数运算时，有理数的运算法则及性质等同样适用. 1）实数的加法法则： 1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； 2)异号两数相加，绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 2）实数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数. 3）实数的乘法法则：1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； 2）任何数同0相乘，都得0. 4）实数的除法法则：1）除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数； 2）0除以任何不为0的数，都得0. 5）运算律 类别 表示 加法交换律 加法结合律 乘法交换律 乘法结合律 乘法分配律 6）运算顺序：先进行乘方和开方运算，再算乘除，最后算加减，如果遇到括号，则先进行括号里的运算. 题型一：无理数的识别 1）有理数都可以写成的形式，其中m，n为整数且m≠0. 2）无理数不能写成的形式，而且判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数． 1．（24-25七年级下·全国·期中）在一组数 ，，(相邻的两个1之间依次多一个3)中，无理数的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】此题考查了无理数，无限不循环小数是无理数．判断每个数是否是无理数即可得到答案． 【详解】解：∵是有限小数， ∴是有理数； ∵ 0是整数， ∴0是有理数； ∵ π是无理数， ∴是无理数； ∵是分数， ∴是有理数； ∵（相邻的两个1之间依次多一个3）是无限不循环小数， ∴（相邻的两个1之间依次多一个3）是无理数. ∴ 无理数共2个， 故选：B 2．（24-25七年级下·广东江门·月考）将下列各数填入相应的集合内．（用序号填空） ①，②，③，④0，⑤    ⑥，⑦，⑧0.13030030003…（相邻的两个3之间依次多1个0），⑨3.14． （1）整数集合：{ …}； （2）分数集合：{ …}； （3）无理数集合：{ …}． 【答案】 ③④⑥ ①⑤⑨ ②⑦⑧ 【分析】此题考查了实数的分类，化简需要化简的各数后，根据实数的分类方法分类即可． 【详解】解：， （1）整数为：③，④0，⑥； 故答案为；③④⑥ （2）分数为：①，⑤，⑨3.14． 故答案为；①⑤⑨ （3）无理数为：②，⑦，⑧0.13030030003…（相邻的两个3之间依次多1个0）， 故答案为：②⑦⑧ 3．（24-25七年级下·四川绵阳·月考）观察一列无理数：，根据排列规律，知是这列无理数中的第 数． 【答案】1979 【分析】本题考查无理数，新建一列数，找出其中有理数的个数，即可求解． 【详解】解：新建一列数：，共有2022个数， ，， 该列数中包括有理数：，个数为：， ， 无理数列中，是这列无理数中的第1979个数， 故答案为：1979． 4．（24-25七年级下·湖南长沙·月考）把下列各数填入相应的集合中：，，，，，，，， (1)有理数集合：{                    ⋯⋯}； (2)无理数集合：{                     ⋯⋯}； (3)负实数集合：{                     ⋯⋯}． 【答案】(1)，，，，， (2)，， (3)，， 【分析】本题考查实数的分类，根据有理数和无理数的定义分类即可得． （1）整数和分数统称为有理数，包含有限小数，无限循环小数，据此求解即可； （2）无限不循环小数是无理数，常见形式：开方开不尽的数，含的式子等，据此求解即可； （3）小于的实数为负实数，据此求解即可． 【详解】（1）解：，故是分数，是有理数； ，故是整数，是有理数； 是整数，是有理数； 是分数，是有理数； 是有限小数，是有理数； 是无限循环小数，是有理数； 故有理数集合：{，，，，，}． （2）解：是开方开不尽的数，是无限不循环小数，是无理数； 中是无限不循环小数，故是无限不循环小数，是无理数； ，是开方开不尽的数，故是无限不循环小数，是无理数； 故无理数集合：{，，}． （3）解：∵，故是负实数； ∵，故是负实数； ∵，故是负实数； 故负实数集合：{，，}． 题型二：估算无理数的大小 现实生活中，很多情况下需要估算无理数的值，估算的一般步骤: 1）估算被开方数在哪两个平方数(立方数)之间； 2）确定无理数的整数部分； 3）按要求估算. 5．（24-25七年级下·吉林辽源·期中）实数在哪两个连续整数之间（     ） A．3与4 B．4与5 C．5与6 D．12与13 【答案】B 【分析】本题主要考查无理数的估算，解决本题的关键是掌握无理数估算的方法． 通过比较23与相邻整数的平方，确定的范围即可． 【详解】解：∵， ∴在4与5之间． 故选：B． 6．（24-25七年级下·全国·周测）如图，若将，，，对应的点表示在数轴上，则其中被墨迹覆盖住的点对应的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数的大小比较，掌握立方根、平方根的取值范围判断方法是解题的关键． 先确定每个数的近似值或取值范围，判断哪个数对应的点位于数轴上3和4之间的区域． 【详解】解：A、，对应点在2的位置，不在之间，不符合题意； B、，对应点在之间，不符合题意； C、，且，对应点在之间，不符合题意； D、， 对应点在之间，符合题意． 故选：D． 7．（25-26八年级上·山西临汾·月考）已知a，b为相邻整数，且，则下列关于a和b的描述正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的估算，根据，即可解答． 【详解】解：， ， ， a，b为相邻整数，且， ，． 故选：C． 8．（2025·四川成都·二模）若，且a为整数，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的关键．根据算术平方根的定义估算无理数、的大小即可． 【详解】解：，，而， 整数的值为2， 故答案为：2． 题型三：无理数整数部分的有关计算 确定一个无理数的整数部分和小数部分的方法: 把这个无理数夹在相邻的两个整数之间，则较小的整数就是这个数的整数部分，用这个数减去整数部分就得到它的小数部分. 9．（24-25七年级下·贵州黔东南·月考）若的小数部分为a，的小数部分为b，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的估算，估算出，从而可得，，即可得出，，代入所求式子计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴，， ∵的小数部分为a，的小数部分为b， ∴，， ∴， 故选：A． 10．（24-25八年级下·广东江门·期末）设的整数部分是，小数部分是，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查与无理数的整数部分有关的计算，二次根式的混合运算，夹逼法求出的范围，进而求出的值，再根据二次根式的运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． 故选：A． 11．（24-25七年级下·山西朔州·期中）若的整数部分为，小数部分为，则代数式的值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查估算无理数的大小，熟练掌握无理数估算的方法是解题的关键． 先估算的大小后即可求得，的值，然后代入中计算即可． 【详解】解：， ， ， 则，， 那么， 故选：D． 12．（24-25七年级下·重庆丰都·期末）规定用符号表示一个实数m的整数部分，表示一个实数m的小数部分，例如：，，按此规定的值为 【答案】/ 【分析】本题考查估算无理数的大小，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键．分别估算，的大小后即可求得，，然后将它们相加即可． 【详解】解：，， ，， ，， ，， 原式， 故答案为： 13．（24-25七年级下·河北承德·期末）规定用符号表示一个实数的整数部分，例如，，按此规律 ． 【答案】4 【分析】本题考查了无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键．先根据无理数的估算可得，则可得，再根据符号的定义求解即可得． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：4． 14．（24-25七年级下·广西河池·期末）阅读与理解 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是我用来表示的小数部分，你同意我的表示方法吗？事实上，我的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，所以将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 例如：，即， 的整数部分是2，小数部分是 根据以上内容，请完成如下任务． (1)任务一：的小数部分为______． (2)任务二：a为的小数部分，b为的整数部分，请计算的值． (3)任务三：，其中x是整数，且，求的相反数． 【答案】(1) (2)8 (3) 【分析】本题考查了无理数的估算，相反数，掌握“逐步逼近”的方法是解题的关键． （1）根据“逐步逼近”的方法，结合算术平方根的意义可得答案； （2）根据，可求得a值，根据，可求得b值，代入即可求解； （3）根据，，其中x是整数，且，可求得，，代入，即可求解． 【详解】（1）解：，即， 的整数部分是5， 的小数部分为， 故答案为：； （2）解：，即， 而a是的小数部分 ，∴． 又，即， 而b是的整数部分， ， ∴； （3）解：，其中x是整数，且， ，， 的相反数． 题型四：实数的概念理解 15．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）已知下列结论：①在数轴上只能表示无理数；②任何一个无理数都能用数轴上的点表示；③实数与数轴上的点一一对应；④有理数有无限个，无理数有有限个．其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查实数．熟练掌握实数的概念，有理数的概念和性质，无理数的概念和性质，数轴的概念和性质是解决问题的关键．根据实数与数轴的关系，实数的概念，有理数的概念和性质，无理数的概念和性质，数轴的概念和性质，逐一判断，即得． 【详解】解：数轴上除了还能表示有理数与其它无理数，故①错误； 任何一个无理数都能用数轴上的点表示，故②正确； 实数与数轴上的点一一对应，故③正确； 整数和分数统称有理数，无限不循环小数为无理数， ∴有理数有无限个，无理数也有无限个，故④错误． ∴正确的是②③共2个． 故选：B． 16．（22-23八年级上·全国·单元测试）下列说法正确的是（   ） A．正实数和负实数统称实数 B．正数、和负数统称有理数 C．带根号的数和负数统称实数 D．无理数和有理数统称实数 【答案】D 【分析】此题主要考查实数的定义和分类，解题的关键是熟知实数的定义．根据实数的定义判断即可． 【详解】解：A、正实数和负实数统称实数，错误，0也是实数，故不符合题意； B、正数、0和负数统称有理数，错误，正数、0和负数统称实数，故不符合题意； C、带根号的数和分数统称实数，错误，故不符合题意； D、无理数和有理数统称实数，正确，故符合题意； 故选：D． 17．（22-23七年级下·福建福州·期末）下列说法正确的是(   ) A．实数分为正实数和负实数 B．无限小数都是无理数 C．带根号的数都是无理数 D．无理数都是无限不循环小数 【答案】D 【分析】根据实数的分类以及有关概念逐一分析即可解决. 【详解】A.实数分为正实数、负实数和零，故此选项错误； B.无限不循环小数是无理数，无限循环小数是有理数，故此选项错误； C.带根号的数不一定是无理数，如，等，故此选项错误； D.无理数都是无限不循环小数，故此选项正确； 故选：D 【点睛】此题考查了实数的分类以及有关概念，掌握实数的分类和相关概念是解答此题的关键. 18．（25-26八年级上·上海杨浦·期中）下列说法错误的是（   ） A．实数可分为正实数和负实数两类 B．正实数包括正有理数和正无理数 C．实数在数轴上都有唯一对应的点 D．数轴上任一点都有唯一对应的实数 【答案】A 【分析】本题考查了实数的分类和实数与数轴的对应关系，解题的关键是掌握实数的有关基础知识． 根据实数的分类，实数与数轴的对应关系对选项逐个判断即可． 【详解】解：A，实数包括正实数、负实数和零，零既不是正实数也不是负实数，选项错误，符合题意； B，正实数包括正有理数和正无理数，选项正确，不符合题意； C：实数与数轴上的点一一对应，每个实数都有唯一对应的点，选项正确，不符合题意；； D：数轴上的每个点都有唯一对应的实数，选项正确，不符合题意； 故选：A． 题型五：实数的性质 19．（24-25七年级下·广西南宁·月考）下列说法错误的是（   ） A．9的平方根是 B．1的立方根是1 C．的相反数是 D．π的绝对值是π 【答案】A 【分析】本题主要考查了平方根与立方根，一个数的立方根只有一个，一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根． 根据平方根以及立方根的概念进行判断即可． 【详解】解：A、9的平方根是，该选项说法错误； B、1的立方根是1，该选项说法正确； C．的相反数是，该选项说法正确；     D、π的绝对值是π，该选项说法正确； 故选：A． 20．（24-25七年级下·广西南宁·月考）下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，立方根，绝对值，根据算术平方根，立方根的定义及绝对值的意义逐项分析即可． 【详解】解：A、，正确，本选项不符合题意； B、，正确，本选项不符合题意； C、，原计算错误，本选项符合题意； D、，正确，本选项不符合题意； 故选：C． 21．（24-25七年级下·全国·月考）的相反数是 ，绝对值是 ；若，则 ． 【答案】 / / 【分析】本题主要考查了实数的性质．根据相反数的定义以及绝对值的性质解答即可． 【详解】解：的相反数是， 的绝对值是； ∵， ∴． 故答案为：；； 22．（24-25八年级下·福建厦门·期末）化简：（1） ；（2） ；（3） ． 【答案】 3 1 【分析】本题主要考查了算术平方根、二次根式的性质、绝对值等知识点，掌握相关定义和性质成为解题的关键． （1）直接根据算术平方根的定义求解即可； （2）直接根据二次根式的性质求解即可； （3）先判断的正负，然后根据绝对值的定义求解即可． 【详解】解：（1）； （2）； （3）由，则． 题型六：实数与数轴 23．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图所示的数轴上，点A表示的数为，点B到点A的距离为1个单位长度，则点B所表示的数为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了实数与数轴，解答本题的关键是明确题意，写出点B表示的数.根据到点A的距离为1的数分别位于A点的左侧或右侧，即可得到点B表示的数． 【详解】解：∵数轴上点A表示的数为，点B到点A的距离为1个单位长度， ∴点B表示的数为或． 故选：C． 24．（24-25七年级下·河北邯郸·月考）如图，面积为6的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为1，将正方形在数轴上滚动（无滑动）一圈，则滚动后点在数轴上所表示的数为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查实数与数轴，正方形的性质以及算术平方根的应用，先求出正方形的边长，求出正方形的周长，再分两种情况求出滚动后点在数轴上所表示的数即可． 【详解】解：∵正方形的面积为６， ∴正方形的边长为， ∴正方形的周长为， ∵滚动前顶点在数轴上表示的数为1， ∴当正方形在数轴上向右滚动（无滑动）一圈，则滚动后点在数轴上所表示的数为；向左滚动（无滑动）一圈，则滚动后点在数轴上所表示的数为； 故选：C． 25．（24-25七年级下·福建龙岩·月考）如图，数轴上点表示的数为2，点表示的数为3，以为边在数轴上方作一个正方形，以为圆心，为半径作圆与数轴交于、两点（点在点的左侧）若点、表示的数分别是、，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是实数与数轴和代数式求值，熟练掌握数轴上的两点间的距离公式是解题的关键．根据题意，可得，即，因此，，再计算即可． 【详解】解：连接， 点表示的数为2，点表示的数为3，四边形是正方形， ， ， ， ，， ， 故选：C． 26．（24-25七年级下·广西南宁·期末）如图，把一个半径为1的半圆形纸片放在数轴上的原点处，此时它的直径与数轴平行，将它向右无滑行地滚动，直至其直径再一次与数轴平行，此时它与数轴的交点为，那么点所表示的数是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了无理数与数轴，根据圆的周长，结合数轴特点进行分析即可求解． 【详解】解：半径为1的半圆， ∴直径为2，半圆的周长为， ∵根据题中滚动方式半圆滚动了直径的长度和半圆周长的长度， ∴此时半圆滚动的长度为， ∴点所表示的数是 ． 故答案为： ． 27．（24-25七年级下·贵州铜仁·月考）如图所示，，，是数轴上三个点，，所对应的实数．其中是的一个平方根，是的立方根，是的相反数． (1)填空： ， ， ； (2)先化简，再求值： 【答案】(1)，， (2)； 【分析】本题考查了整式的加减，实数的运算，平方根，立方根，实数与数轴，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据数轴可得，根据平方根，立方根，相反数的意义，即可解答； （2）根据数轴可得，化简各式，再代入数据计算即可求解． 【详解】（1）根据数轴可得 ∵是的一个平方根， ∴ 根据数轴可得 ∴， 的立方根为，则， ∵是的相反数 ∴， 故答案是：，，； （2）∵ ∴， ∴ 当，时， 原式 题型七：实数的比较大小 28．（24-25七年级下·甘肃酒泉·月考）比较大小： ． 【答案】 【分析】此题考查了无理数进行大小比较，解题的关键是把两个无理数平方再比较两个有理数的大小，需要注意两个负数比较大小时，绝对值大的反而小．两个无理数比较大小时，可采用有理法，即把两个无理数平方再比较有理数的大小即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 29．（24-25七年级下·安徽蚌埠·月考）比较大小： （填“”或“”或“”）．比较大小： ．（填写“”，“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了比较实数的大小，根据具体情况适当转化形式再比较．当一个是带根号形式另一个是分数形式时，可同时平方，比较平方后的大小，它们的大小关系一致；当一个是立方根形式另一个是平方根形式时，可以找一个中间的整数作为桥梁，再比较大小即可． 【详解】解：①，， ， ②，， ， 故答案为：①，②． 30．（24-25七年级下·山东济南·月考） （选填“”“=”或“”）． 【答案】 【分析】 本题考查了立方根，无理数的估算，实数的大小比较，正确掌握相关知识点是解题的关键． 先整理得，根据，得，即，进行作答． 【详解】解：依题意，， ∵， ∴， 则， ∴， 故， 故答案为：． 31．（24-25七年级下·全国·课后作业）将数－2，，，在数轴上表示出来，并将原数用“＜”连接起来． 【答案】见解析， 【分析】先化简题中的数，再在数轴上找到每个数对应的位置，最后根据数轴上左边的数小于右边的数的规律，将原数用<连接． 【详解】解：化简各数：，， 如图所示． 由数轴，得． 【点睛】本题考查了实数的化简、数轴表示与大小比较，掌握先化简实数，再利用数轴左小右大的规律比较数的大小是解题的关键． 32．（24-25七年级下·全国·单元测试）利用，比较与的大小． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数大小的比较，不等式的基本性质，不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．结合不等式的性质进行作答即可． 【详解】解：∵， 根据不等式的基本性质1，得， 即． ∵， 根据不等式的基本性质2，得， 33．（24-25七年级下·吉林·期末）阅读下面的材料，并完成相应的任务． 【概念理解】“作差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法， 即： 例如：比较与2的大小． 又则 ，． 【完成任务】请根据上述方法解答以下问题： （1）的整数部分是________，的小数部分是________． （2）比较大小：________； 【迁移应用】（3）制作某产品有两种用料方案．方案一：用4块A型钢板，8块B型钢板；方案二：用3块A型钢板，9块B型钢板．A型钢板的面积比B型钢板大，从省料的角度考虑，应该选哪种方案？ 【答案】（1）；；（2）；（3）方案二 【分析】本题考查了无理数的整数部分、小数部分求解以及作差法比较大小的应用，解题的关键是熟练运用作差法和无理数的估算方法． （1）先通过无理数的范围确定的整数部分，再根据整数部分求的小数部分； （2）用作差法比较与的大小，计算差值并判断正负； （3）设1块型钢板的面积为，1块型钢板的面积为，其中， 分别表示出两种方案的用料面积，再用作差法比较大小，判断哪种方案省料． 【详解】（1）∵， ， ， 那么的整数部分是，的小数部分是 ， 故答案为：；； （2）， ， ， ， 故答案为：； （3）设1块型钢板的面积为，1块型钢板的面积为， 其中， 则方案一中钢板的总面积为，方案二中钢板的总面积为， 那么 ， 则从省料的角度考虑，应该选方案二． 题型八：实数的混合运算 34．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根、立方根和绝对值的运算，掌握先分别计算平方根、立方根、绝对值，再进行加减运算是解题的关键． 先计算平方根、立方根和绝对值，再进行实数加减运算． 【详解】解：，，， 所以原式 ． 故答案为：． 35．（24-25七年级下·全国·单元测试）嘉淇做一个数学游戏，给，，添加运算符号使结果等于4，下图为嘉淇所给方法，如果给一种正确的方法得25分，则嘉淇的得分为 ． ①； ②； ③； ④． 【答案】100分 【分析】本题考查了实数的混合运算，分别计算各个选项中的算式，判断其结果是否为，再结合给一种正确的方法得25分，计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：①，故①正确； ②，故②正确； ③，故③正确； ④，故④正确； 嘉淇的得分为（分）， 故答案为：分． 36．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 【答案】(1)10 (2)5 【分析】（1）（2）先分别计算每道题中的绝对值、乘方、算术平方根，再按照四则运算的顺序进行计算． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查了绝对值、乘方、算术平方根的运算，掌握先算绝对值、乘方、开方，再算乘除，最后算加减的运算顺序是解题的关键． 37．（24-25七年级下·全国·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数的混合运算，掌握实数混合运算的法则是解题关键． （1）先计算算术平方根，乘方，立方根，再计算乘法，最后加减即可； （2）先利用立方根，算术平方根的定义及绝对值的性质化简，再加减得出答案；． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 38．（24-25七年级下·湖北襄阳·月考）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算． （1）先计算乘方，绝对值，算术平方根，再计算加减即可； （2）先计算乘法、乘方、绝对值、立方根，再计算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型九：实数运算的实际应用 39．（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图1的瓶子中盛满水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图2的杯子中，一共需要 个图2这样的杯子．（单位：）（温馨提示：） 【答案】13 【分析】本题考查了整式的混合运算，利用圆柱的体积公式表示出瓶子中大圆柱与小圆柱的体积，以及杯子的体积，即可得到结果. 【详解】解：瓶子中大圆柱的容积为， 瓶子中小圆柱容积， 杯子的容积为， 则所需杯子个数为， 则一共需要13个这样的杯子. 40．（24-25八年级上·河南周口·月考）团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均为．完成扇面后，需对扇面边缘用缎带进行包边处理（接口处长度忽略不计），如图所示． (1)圆形团扇的半径为 （结果保留），正方形团扇的边长为 ； (2)请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短． 【答案】(1)， (2)圆的周长较小 【分析】本题考查扇形面积的计算，实数的运算，掌握圆周长，面积的计算方法以及扇形面积的计算方法是正确解答的关键． （1）根据圆面积、正方形面积公式进行计算即可； （2）求出两种形状的扇子的周长即可． 【详解】（1）解：设圆形扇的半径为，正方形的边长为， 由题意得，，， ，， 故答案为：，； （2）解：圆形扇的周长为：， 正方形扇的周长为：，， ∴圆的周长较小． 41．（23-24七年级下·河南商丘·期中） 阅读下列材料∶ 在学习完实数的相关运算之后，某数学兴趣小组提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么关系？小诚和小乐分别用自己的方法进行了验证： 小诚：而，， ，即． 小乐：，，这就说明， 与都是 的算术平方根，而的算术平方根只有一个，所以 ． 回答以下问题： (1)结合材料直接写出当，时， 和 之间存在怎样的关系？ (2)运用以上结论，计算： ； ； (3)解决实际问题：已知一个长方形的长为，宽为 ，求这个长方形的面积． 【答案】(1) (2)； (3)20 【分析】本题考查了实数的运算，算术平方根的应用，熟练掌握实数的混合运算法则是解题的关键． （1）由题意可得当，时，； （2）根据法则计算； ； （3）由长方形的面积可知． 【详解】（1）当，时， ； （2）； ， （3）根据题意得：长方形的面积为． 42．（21-22七年级下·湖北宜昌·期中）某农场有一块用铁栅栏围墙围成面积为700平方米的长方形空地，长方形长宽之比为7：4． (1)求该长方形的长宽各为多少？ (2)农场打算把长方形空地沿边的方向改造出两块不相连的正方形试验田，两个小正方形的边长比为4：3，面积之和为600平方米，并把原来长方形空地的铁栅栏围墙全部用来围两个小正方形试验田，请问能改造出这样的两块不相连的正方形试验田吗，如果能，原来的铁栅栏围墙够用吗？ 【答案】(1)该长方形的长为35米，宽为20米 (2)能改造出这样的两块不相连的正方形试验田，原来的铁栅栏围墙不够用 【分析】（1）设该长方形的长为米，则宽为米，再根据面积为700平方米建立方程，利用平方根解方程即可得； （2）设较大的小正方形的边长为米，则较小的小正方形的边长为米，根据面积之和为600平方米建立方程，解方程可得，再根据无理数的估算进行分析判断即可得． 【详解】（1）解：设该长方形的长为米，则宽为米， 由题意得：， 解得或（不符题意，舍去）， 则， 答：该长方形的长为35米，宽为20米． （2）解：设较大的小正方形的边长为米，则较小的小正方形的边长为米， 由题意得：， 解得或（不符题意，舍去）， 则较大的小正方形的边长为米，较小的小正方形的边长为米， ， ，， 能改造出这样的两块不相连的正方形试验田， 改造出这样的两块不相连的正方形试验田所需铁栅栏围墙长为（米）， 原来长方形空地的铁栅栏围墙长为米， ， ， 原来的铁栅栏围墙不够用， 答：能改造出这样的两块不相连的正方形试验田，原来的铁栅栏围墙不够用． 【点睛】本题考查了算术平方根的应用、利用平方根解方程、无理数的估算、实数运算的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． 题型十：程序流程图问题 43．（23-24七年级下·山东济宁·期中）小明是一个电脑爱好者，设计了一个程序如图，当输入的值是有理数64时，输出的值是（   ） A．8 B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查程序流程图与实数的计算、算术平方根、立方根等知识点，理解流程图是解题的关键． 根据流程图进行计算，直至结果为无理数，即可输出结果． 【详解】解：按照流程依次输出：是有理数，是有理数；再次求算术平方根得是无理数，输出． 故选C． 44．（24-25七年级下·山东济宁·期中）如图所示的是一个数值转换器． 当输入x值后，经过两次取算术平方根运算，输出的y值为时，输入的x值为 ． 【答案】100 【分析】本题主要考查了与流程图有关的实数计算，根据输出的结果可知第一次取算术平方根后的运算结果，再把这个运算结果平方即可得到答案． 【详解】解：∵经过两次取算术平方根运算，输出的y值为， ∴第一次输入取算术平方根运算的结果为 ∴第一次输入的数为，输入的的值为100， 故答案为：100． 45．（24-25七年级下·江苏南通·期末）一个数值转换器如图所示： (1)当输入的值为25时，输出的的值是________； (2)若输出的值是，试写出两个满足要求的的值：________； (3)若输入（为非负数）值后，始终输不出的值，请直接写出所有满足要求的的值． 【答案】(1) (2)7和49（答案不唯一） (3)0，1 【分析】本题考查了算术平方根，正确理解转换器的运算法则、熟知算术平方根的定义是解题的关键； （1）根据转换器的运算程序求解即可； （2）根据49的算术平方根是7，7的算术平方根是，即可得到答案； （3）0或1的算术平方根是它们本身，0和1是有理数，即可解答． 【详解】（1）解：当输入的x值为25时，取算术平方根，即，5是有理数， 第二次输入，取算术平方根，即，是无理数， 所以输出的y值是； 故答案为：； （2）解：49的算术平方根是7，7的算术平方根是， ∴满足要求的x的值可以是7和49； 故答案为：7和49（答案不唯一） （3）解：∵0和1的算术平方根是它们本身，0和1是有理数， ∴当和1时，始终输不出y的值． 46．（24-25七年级上·浙江舟山·期中）如图所示为一个数值转换器． (1)当输入的的值为49时，输出的的值是______； (2)若输入有效的值后，始终无法输出的值，请写出所有满足要求的的值：______； (3)若输出的值是，请写出两个满足要求的的值：______． 【答案】(1) (2)0和1 (3)5，25（5的偶次方都对） 【分析】本题考查了算术平方根的计算和无理数的判断，正确理解给出的运算方法是关键． （1）根据运算规则即可求解； （2）根据0的算术平方根是0，1的算术平方根是1即可判断； （3）根据运算法则，进行逆运算即可求得无数个满足条件的数． 【详解】（1）解：当时，取算术平方根，不是无理数， 继续取算术平方根，是无理数，所以输出的y值为； （2）解：因为0，1的算术平方根是0，1，一定是有理数； 所以当，1时，始终输不出y值． （3）解：的算术平方根为25， 的算术平方根5， 5的算术平方根为， ∴或或（5的偶次方）都满足要求． 题型十一：新定义问题 47．（24-25七年级下·全国·单元测试）定义新运算：对于任意实数a，b，都有，比如，数字2和5在该新运算下的结果为4，计算过程如下：，则的值为（　　） A．3 B． C． D．3 【答案】D 【分析】此题考查了实数的混合运算，新定义的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．根据新定义的运算法则和实数的混合运算法则求解即可． 【详解】解：， 故选：D． 48．（24-25七年级下·湖南益阳·期末）若用[x]表示任意正实数的整数部分，例如：，，，则式子（式子中的“＋”，“－”依次相间）的值为（    ） A．－5 B．5 C．－6 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查了算术平方根的意义，本题是阅读型题，正确理解新定义的含义是解题的关键．利用题干中的新定义依次得到各数的整数部分，计算即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴到之间有2个数， ∴， ∵， ∴到之间有5个数， ∴， ∵， ∴到之间有7个数， ∴， 同理：， …… ， ， ∴ ． 故选：D． 49．（24-25七年级下·全国·周测）定义：对于任意的实数a，b，有．例如：，则 ． 【答案】83 【分析】此题考查了实数的新定义运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 先根据所给的定义，求出的值为，再求出的值即可． 【详解】解：∵ ． ∴ 故答案为：83． 50．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）规定关于任意正整数，的一种新运算：． 例如：若，则． 请根据这种新运算解决以下问题： (1)若，求，的值． (2)若，求的值． (3)若，化简：．（用含的代数式表示） 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查列代数式、有理数的混合运算，根据新运算的规则，结合已知条件进行有关计算是解题的关键． （1）分别根据新运算的定义计算即可． （2）分别根据新运算的定义计算即可． （3）分别根据新运算的定义计算即可． 【详解】（1）解：，， ， ， ，． （2）解：， ，， 由题可知的值为正数， ． （3）解：， ， ． 题型十二：规律探究问题 51．（24-25七年级下·四川绵阳·期中）将1，，，按如图方式排列，若规定表示第排从左向右第个数，则与表示的两数之差是 . 【答案】 【分析】此题主要考查了数字的变化规律，实数的减法运算，找准数字变化规律是关键． 根据数的排列方法可知，第一排：1个数，第二排2个数．第三排3个数，第四排4个数，…第排有个数，从第一排到排共有：个数，根据数的排列方法，每四个数一个轮回，根据题目意思找出第排第个数到底是哪个数后再计算． 【详解】解：根据数的排列方法可知，第一排：1个数，第二排2个数．第三排3个数，第四排4个数，…第排有个数，从第一排到排共有：个数，根据数的排列方法，每四个数一个轮回， 表示第5排从左向右第4个数是， ∵前11排共有 (个)数， 表示第12排第4个数即第70个数， ， 表示的数是， 与表示的两数之差是， 故答案为：． 52．（24-25七年级下·全国·期末）已知整数满足下列条件：，，，， 依此类推，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了数字的变化规律；根据条件求出前几个数的值，再分情况，当是奇数时，结果等于 ；是偶数时，结果等于；然后把的值代入进行计算即可得解． 【详解】解：由题意可得：时， ， ， ， 通过观察前面计算出的项， 可以发现：当 为偶数时，， 当为奇数时，， ∵是奇数， ∴； 故答案为：． 53．（24-25七年级下·广东湛江·月考）对于含算术平方根的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将算术平方根符号去掉，例如：， 观察上述式子的特征，解答下列问题： (1)把下列各式写成去掉算术平方根符号的形式（不用写出计算结果）： ______________；______________． (2)当时，______________；当时，______________． (3)计算：． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题考查算术平方根的性质． （1）仿照例题进行解答即可； （2）根据题意，结合（1），进行解答即可； （3）化简算术平方根，再进行求和即可． 【详解】（1）解：、， 故答案为：，； （2）解：当时，， 当时，， 故答案为：，； （3）解： ． 54．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）观察个位上的数字是5的两位数的平方（任意一个个位数字为5的两位数可用代数式来表示，其中，n为正整数），会发现一些有趣的规律．请你仔细观察，探索其规律． 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：；… (1)写出第5个等式：________________； (2)用含n的等式表示你的猜想，并证明； (3)请用（2）中的规律计算：． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题主要考查数字的变化规律、含乘方的有理数的混合运算、平方差公式、完全平方公式等知识点，通过观察所给的式子、找到式子规律是解题的关键． （1）通过观察可得第5个式子； （2）通过观察可得第n个式子，根据完全平分公式进行换算即可证明； （3）利用规律逆向计算，再利用平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解：第5个等式为：， 故答案为：． （2）解：猜想用含n的等式表示为：， 证明： ． 所以． （3）解： ． 故答案为：． 1．（24-25七年级下·全国·周测）计算：（结果精确到0.01，参考数据：，，） (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，掌握立方根、平方根的运算规则及绝对值的化简方法是解题的关键． （1）先分别计算立方根、平方根对应的项，再合并常数项与根式项，最后代入近似值计算结果 （2）先根据绝对值的性质去掉绝对值符号，再合并同类二次根式，最后代入近似值计算结果 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 2．（24-25七年级下·吉林白山·期中）阅读下面的文字，解答问题． 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理的，因为，所以，所以的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分．请解答： (1)求的整数部分和小数部分； (2)已知，其中是整数，且，请你确定、的值． 【答案】(1)的整数部分是，小数部分是 (2) 【分析】本题主要考查了无理数的估算． （1）由得到，即可求解； （2）由得到的整数部分与小数部分，即可解答． 【详解】（1）解：∵，所以， ∴， ∴的整数部分是4，小数部分是． （2）解：∵ ∴， ∴ ∴， ∴的整数部分是7，小数部分是， 所以． 3．（24-25七年级下·云南普洱·期末）【问题提出】 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或两个代数式的大小．解决此类问题时一般要进行转化，其中“作差法”就是常用的方法之一，其依据是不等式（或等式）的性质；若，则；若，则；若，则． 例：已知，其中．求证：． 证明：． ，，． 【尝试应用】 （1）两个长方形的长和宽如图所示，请比较图中两个长方形周长的大小． 【拓展提升】 （2）已知满足，试比较代数式与的大小． 【答案】（1）长方形的周长大于长方形的周长；（2） 【分析】本题考查了实数的大小比较，二元一次方程组． （1）设长方形的周长为，长方形的周长为，计算，进而根据，即可求解； （2）根据已知得出，再计算，即可求解． 【详解】解：（1）设长方形的周长为，长方形的周长为， ∴，， ∵， ∵，， ∴，则， ∴，即长方形的周长大于长方形的周长； （2）∵， ∴得，解得， ∴， ∴． 4．（24-25七年级下·广西南宁·期末）数形结合是重要的数学思想．如图（1），把两个边长为1dm的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个面积为的大正方形，试根据这个研究方法回答下列问题： (1)所得到的面积为的大正方形的边长就是原先边长为1dm的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为______ dm； (2)由此，我们得到了一种方法．能在数轴上画出无理数所对应的点，则图（2）中A、B两点表示的数分别为______，______； (3)通过动手操作，小张同学把长为5，宽为1的长方形如图（3）所示进行裁剪并拼成一个正方形，则图中大正方形的边长为______； (4)若，，求代数式的值，并用（2）中相同的方法在图（4）的数轴上表示对应的点．保留作图痕迹 【答案】(1) (2)， (3) (4)，见解析 【分析】（1）根据勾股定理进行计算即可； （2）根据正方形的对角线的长为，再根据数轴表示数的方法进行计算即可； （3）面积为5的正方形的边长为即可； （4）化简代入计算结果为，再在数轴上表示即可． 本题考查实数与数轴，掌握数轴表示数的方法是正确解答的关键． 【详解】（1）解：边长为1的小正方形的对角线长为， 故答案为：； （2）由题意得，点A所表示的数为，点B所表示的数为， 故答案为：，； （3）由题意可知，正方形的面积为5，因此边长为， 故答案为：； （4），， ∴， 在数轴表示如图所示： 5．（24-25七年级下·云南大理·期中）阅读下列材料： 在学习完实数的相关运算之后，某数学兴趣小组提出了一个有趣的问题；两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么关系？小聪和小明分别用自己的方法进行了验证： 小聪：，而， 所以，即． 小明：， 这就说明与都是的算术平方根，而的算术平方根只有一个， 所以． 回答以下问题： (1)结合材料猜想．当时，直接写出和之间的关系？并运用你的结论．计算：； (2)解决实际问题：已知一个长方形的宽为，长为，求这个长方形的面积． 【答案】(1)，24． (2)18 【分析】本题考查了实数的运算，算术平方根的应用，熟练掌握实数的混合运算法则是解题的关键． （1）当时，，据此计算即可； （2）根据当时，，计算即可． 【详解】（1）解：当时，； ∴． （2）解∵长方形的宽为，长为， ∴这个长方形的面积为 6．（25-26七年级下·全国·单元测试）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬行3个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． (1)求m的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数与数轴，主要利用了在数轴上向右移动作加法的规律，还利用了绝对值的性质和二次根式的运算． （1）根据向右爬行作加法列式即可； （2）把m的值代入，再根据绝对值的性质和二次根式的乘法运算进行计算即可得解． 【详解】（1）解：由题意得． （2）． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点02 实数 考点一：无理数 无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数. 常见的无理数： 1）开方开不尽的数，如： 、等； [易错]带根号的数并不都是无理数，而开方开不尽的数才是无理数.如. 2）π以及一些含π的数，如5π，3+π，等； 3）具有特点结构的数（看似有规律循环实际上是无限不循环的小数），如0.1010010001（两个1之间依次增加1个0）… 4）某些三角函数，如sin60°、cos20°. 考点二：实数定义及其性质 实数的定义：有理数和无理数统称为实数. 实数的性质： 1）相反数：实数a的相反数是-a，这里a表示任意一个实数. 2）绝对值：一个正实数的绝对值是它本身；0的绝对值是0；一个负实数的绝对值是它的相反数，即设a表示一个实数，则. 3）倒数：实数a的倒数是（a≠0），若a与b互为倒数，则ab=1；若ab=1，则a与b互为倒数. 考点三：实数的运算 实数的运算：当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算，又增加了非负数的开平方运算，任意实数可以进行开立方运算.进行实数运算时，有理数的运算法则及性质等同样适用. 1）实数的加法法则： 1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； 2)异号两数相加，绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 2）实数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数. 3）实数的乘法法则：1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； 2）任何数同0相乘，都得0. 4）实数的除法法则：1）除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数； 2）0除以任何不为0的数，都得0. 5）运算律 类别 表示 加法交换律 加法结合律 乘法交换律 乘法结合律 乘法分配律 6）运算顺序：先进行乘方和开方运算，再算乘除，最后算加减，如果遇到括号，则先进行括号里的运算. 题型一：无理数的识别 1）有理数都可以写成的形式，其中m，n为整数且m≠0. 2）无理数不能写成的形式，而且判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数． 1．（24-25七年级下·全国·期中）在一组数 ，，(相邻的两个1之间依次多一个3)中，无理数的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25七年级下·广东江门·月考）将下列各数填入相应的集合内．（用序号填空） ①，②，③，④0，⑤    ⑥，⑦，⑧0.13030030003…（相邻的两个3之间依次多1个0），⑨3.14． （1）整数集合：{ …}； （2）分数集合：{ …}； （3）无理数集合：{ …}． 3．（24-25七年级下·四川绵阳·月考）观察一列无理数：，根据排列规律，知是这列无理数中的第 数． 4．（24-25七年级下·湖南长沙·月考）把下列各数填入相应的集合中：，，，，，，，， (1)有理数集合：{                    ⋯⋯}； (2)无理数集合：{                     ⋯⋯}； (3)负实数集合：{                     ⋯⋯}． 题型二：估算无理数的大小 现实生活中，很多情况下需要估算无理数的值，估算的一般步骤: 1）估算被开方数在哪两个平方数(立方数)之间； 2）确定无理数的整数部分； 3）按要求估算. 5．（24-25七年级下·吉林辽源·期中）实数在哪两个连续整数之间（     ） A．3与4 B．4与5 C．5与6 D．12与13 6．（24-25七年级下·全国·周测）如图，若将，，，对应的点表示在数轴上，则其中被墨迹覆盖住的点对应的数是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·山西临汾·月考）已知a，b为相邻整数，且，则下列关于a和b的描述正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 8．（2025·四川成都·二模）若，且a为整数，则 ． 题型三：无理数整数部分的有关计算 确定一个无理数的整数部分和小数部分的方法: 把这个无理数夹在相邻的两个整数之间，则较小的整数就是这个数的整数部分，用这个数减去整数部分就得到它的小数部分. 9．（24-25七年级下·贵州黔东南·月考）若的小数部分为a，的小数部分为b，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D．2 10．（24-25八年级下·广东江门·期末）设的整数部分是，小数部分是，则的值是（    ） A． B． C． D． 11．（24-25七年级下·山西朔州·期中）若的整数部分为，小数部分为，则代数式的值为（   ） A． B．1 C． D． 12．（24-25七年级下·重庆丰都·期末）规定用符号表示一个实数m的整数部分，表示一个实数m的小数部分，例如：，，按此规定的值为 13．（24-25七年级下·河北承德·期末）规定用符号表示一个实数的整数部分，例如，，按此规律 ． 14．（24-25七年级下·广西河池·期末）阅读与理解 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是我用来表示的小数部分，你同意我的表示方法吗？事实上，我的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，所以将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 例如：，即， 的整数部分是2，小数部分是 根据以上内容，请完成如下任务． (1)任务一：的小数部分为______． (2)任务二：a为的小数部分，b为的整数部分，请计算的值． (3)任务三：，其中x是整数，且，求的相反数． 题型四：实数的概念理解 15．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）已知下列结论：①在数轴上只能表示无理数；②任何一个无理数都能用数轴上的点表示；③实数与数轴上的点一一对应；④有理数有无限个，无理数有有限个．其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 16．（22-23八年级上·全国·单元测试）下列说法正确的是（   ） A．正实数和负实数统称实数 B．正数、和负数统称有理数 C．带根号的数和负数统称实数 D．无理数和有理数统称实数 17．（22-23七年级下·福建福州·期末）下列说法正确的是(   ) A．实数分为正实数和负实数 B．无限小数都是无理数 C．带根号的数都是无理数 D．无理数都是无限不循环小数 18．（25-26八年级上·上海杨浦·期中）下列说法错误的是（   ） A．实数可分为正实数和负实数两类 B．正实数包括正有理数和正无理数 C．实数在数轴上都有唯一对应的点 D．数轴上任一点都有唯一对应的实数 题型五：实数的性质 19．（24-25七年级下·广西南宁·月考）下列说法错误的是（   ） A．9的平方根是 B．1的立方根是1 C．的相反数是 D．π的绝对值是π 20．（24-25七年级下·广西南宁·月考）下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 21．（24-25七年级下·全国·月考）的相反数是 ，绝对值是 ；若，则 ． 22．（24-25八年级下·福建厦门·期末）化简：（1） ；（2） ；（3） ． 题型六：实数与数轴 23．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图所示的数轴上，点A表示的数为，点B到点A的距离为1个单位长度，则点B所表示的数为（    ） A． B． C．或 D．或 24．（24-25七年级下·河北邯郸·月考）如图，面积为6的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为1，将正方形在数轴上滚动（无滑动）一圈，则滚动后点在数轴上所表示的数为（    ） A． B． C．或 D．或 25．（24-25七年级下·福建龙岩·月考）如图，数轴上点表示的数为2，点表示的数为3，以为边在数轴上方作一个正方形，以为圆心，为半径作圆与数轴交于、两点（点在点的左侧）若点、表示的数分别是、，则的值是（    ） A． B． C． D． 26．（24-25七年级下·广西南宁·期末）如图，把一个半径为1的半圆形纸片放在数轴上的原点处，此时它的直径与数轴平行，将它向右无滑行地滚动，直至其直径再一次与数轴平行，此时它与数轴的交点为，那么点所表示的数是 ． 27．（24-25七年级下·贵州铜仁·月考）如图所示，，，是数轴上三个点，，所对应的实数．其中是的一个平方根，是的立方根，是的相反数． (1)填空： ， ， ； (2)先化简，再求值： 题型七：实数的比较大小 28．（24-25七年级下·甘肃酒泉·月考）比较大小： ． 29．（24-25七年级下·安徽蚌埠·月考）比较大小： （填“”或“”或“”）．比较大小： ．（填写“”，“”或“”） 30．（24-25七年级下·山东济南·月考） （选填“”“=”或“”）． 31．（24-25七年级下·全国·课后作业）将数－2，，，在数轴上表示出来，并将原数用“＜”连接起来． 32．（24-25七年级下·全国·单元测试）利用，比较与的大小． 33．（24-25七年级下·吉林·期末）阅读下面的材料，并完成相应的任务． 【概念理解】“作差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法， 即： 例如：比较与2的大小． 又则 ，． 【完成任务】请根据上述方法解答以下问题： （1）的整数部分是________，的小数部分是________． （2）比较大小：________； 【迁移应用】（3）制作某产品有两种用料方案．方案一：用4块A型钢板，8块B型钢板；方案二：用3块A型钢板，9块B型钢板．A型钢板的面积比B型钢板大，从省料的角度考虑，应该选哪种方案？ 题型八：实数的混合运算 34．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： ． 35．（24-25七年级下·全国·单元测试）嘉淇做一个数学游戏，给，，添加运算符号使结果等于4，下图为嘉淇所给方法，如果给一种正确的方法得25分，则嘉淇的得分为 ． ①； ②； ③； ④． 36．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 37．（24-25七年级下·全国·期中）计算： (1)； (2)． 38．（24-25七年级下·湖北襄阳·月考）计算： (1) (2) 题型九：实数运算的实际应用 39．（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图1的瓶子中盛满水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图2的杯子中，一共需要 个图2这样的杯子．（单位：）（温馨提示：） 40．（24-25八年级上·河南周口·月考）团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均为．完成扇面后，需对扇面边缘用缎带进行包边处理（接口处长度忽略不计），如图所示． (1)圆形团扇的半径为 （结果保留），正方形团扇的边长为 ； (2)请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短． 41．（23-24七年级下·河南商丘·期中） 阅读下列材料∶ 在学习完实数的相关运算之后，某数学兴趣小组提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么关系？小诚和小乐分别用自己的方法进行了验证： 小诚：而，， ，即． 小乐：，，这就说明， 与都是 的算术平方根，而的算术平方根只有一个，所以 ． 回答以下问题： (1)结合材料直接写出当，时， 和 之间存在怎样的关系？ (2)运用以上结论，计算： ； ； (3)解决实际问题：已知一个长方形的长为，宽为 ，求这个长方形的面积． 42．（21-22七年级下·湖北宜昌·期中）某农场有一块用铁栅栏围墙围成面积为700平方米的长方形空地，长方形长宽之比为7：4． (1)求该长方形的长宽各为多少？ (2)农场打算把长方形空地沿边的方向改造出两块不相连的正方形试验田，两个小正方形的边长比为4：3，面积之和为600平方米，并把原来长方形空地的铁栅栏围墙全部用来围两个小正方形试验田，请问能改造出这样的两块不相连的正方形试验田吗，如果能，原来的铁栅栏围墙够用吗？ 题型十：程序流程图问题 43．（23-24七年级下·山东济宁·期中）小明是一个电脑爱好者，设计了一个程序如图，当输入的值是有理数64时，输出的值是（   ） A．8 B． C． D．2 44．（24-25七年级下·山东济宁·期中）如图所示的是一个数值转换器． 当输入x值后，经过两次取算术平方根运算，输出的y值为时，输入的x值为 ． 45．（24-25七年级下·江苏南通·期末）一个数值转换器如图所示： (1)当输入的值为25时，输出的的值是________； (2)若输出的值是，试写出两个满足要求的的值：________； (3)若输入（为非负数）值后，始终输不出的值，请直接写出所有满足要求的的值． 46．（24-25七年级上·浙江舟山·期中）如图所示为一个数值转换器． (1)当输入的的值为49时，输出的的值是______； (2)若输入有效的值后，始终无法输出的值，请写出所有满足要求的的值：______； (3)若输出的值是，请写出两个满足要求的的值：______． 题型十一：新定义问题 47．（24-25七年级下·全国·单元测试）定义新运算：对于任意实数a，b，都有，比如，数字2和5在该新运算下的结果为4，计算过程如下：，则的值为（　　） A．3 B． C． D．3 48．（24-25七年级下·湖南益阳·期末）若用[x]表示任意正实数的整数部分，例如：，，，则式子（式子中的“＋”，“－”依次相间）的值为（    ） A．－5 B．5 C．－6 D．6 49．（24-25七年级下·全国·周测）定义：对于任意的实数a，b，有．例如：，则 ． 50．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）规定关于任意正整数，的一种新运算：． 例如：若，则． 请根据这种新运算解决以下问题： (1)若，求，的值． (2)若，求的值． (3)若，化简：．（用含的代数式表示） 题型十二：规律探究问题 51．（24-25七年级下·四川绵阳·期中）将1，，，按如图方式排列，若规定表示第排从左向右第个数，则与表示的两数之差是 . 52．（24-25七年级下·全国·期末）已知整数满足下列条件：，，，， 依此类推，则的值为 ． 53．（24-25七年级下·广东湛江·月考）对于含算术平方根的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将算术平方根符号去掉，例如：， 观察上述式子的特征，解答下列问题： (1)把下列各式写成去掉算术平方根符号的形式（不用写出计算结果）： ______________；______________． (2)当时，______________；当时，______________． (3)计算：． 54．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）观察个位上的数字是5的两位数的平方（任意一个个位数字为5的两位数可用代数式来表示，其中，n为正整数），会发现一些有趣的规律．请你仔细观察，探索其规律． 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：；… (1)写出第5个等式：________________； (2)用含n的等式表示你的猜想，并证明； (3)请用（2）中的规律计算：． 1．（24-25七年级下·全国·周测）计算：（结果精确到0.01，参考数据：，，） (1)． (2)． 2．（24-25七年级下·吉林白山·期中）阅读下面的文字，解答问题． 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理的，因为，所以，所以的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分．请解答： (1)求的整数部分和小数部分； (2)已知，其中是整数，且，请你确定、的值． 3．（24-25七年级下·云南普洱·期末）【问题提出】 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或两个代数式的大小．解决此类问题时一般要进行转化，其中“作差法”就是常用的方法之一，其依据是不等式（或等式）的性质；若，则；若，则；若，则． 例：已知，其中．求证：． 证明：． ，，． 【尝试应用】 （1）两个长方形的长和宽如图所示，请比较图中两个长方形周长的大小． 【拓展提升】 （2）已知满足，试比较代数式与的大小． 4．（24-25七年级下·广西南宁·期末）数形结合是重要的数学思想．如图（1），把两个边长为1dm的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个面积为的大正方形，试根据这个研究方法回答下列问题： (1)所得到的面积为的大正方形的边长就是原先边长为1dm的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为______ dm； (2)由此，我们得到了一种方法．能在数轴上画出无理数所对应的点，则图（2）中A、B两点表示的数分别为______，______； (3)通过动手操作，小张同学把长为5，宽为1的长方形如图（3）所示进行裁剪并拼成一个正方形，则图中大正方形的边长为______； (4)若，，求代数式的值，并用（2）中相同的方法在图（4）的数轴上表示对应的点．保留作图痕迹 5．（24-25七年级下·云南大理·期中）阅读下列材料： 在学习完实数的相关运算之后，某数学兴趣小组提出了一个有趣的问题；两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么关系？小聪和小明分别用自己的方法进行了验证： 小聪：，而， 所以，即． 小明：， 这就说明与都是的算术平方根，而的算术平方根只有一个， 所以． 回答以下问题： (1)结合材料猜想．当时，直接写出和之间的关系？并运用你的结论．计算：； (2)解决实际问题：已知一个长方形的宽为，长为，求这个长方形的面积． 6．（25-26七年级下·全国·单元测试）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬行3个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． (1)求m的值； (2)求的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $