二元一次方程组的应用（销售与利润问题、方案问题、和差倍分问题）专项训练-2026年中考数学一轮复习

二元一次方程组的应用（销售与利润问题、方案问题、和差倍分问题）专项训练 二元一次方程组的应用（销售与利润问题、方案问题、和差倍分问题）专项训练 考点目录 二元一次方程组的应用：销售与利润问题 二元一次方程组的应用：方案问题 二元一次方程组的应用：和差倍分问题 考点一 二元一次方程组的应用：销售与利润问题 例1．（2026·山东临沂·模拟预测）文体书店老板到批发市场选购A、B两类书籍共240本，B类书籍的进货单价比A类书籍进货单价多20元，当购进A类书籍80本时，购进A、B两类书籍共需9200元． (1)求A、B这两种书籍的进货单价． (2)若该文体书店每销售1本A类书籍可获利6元，每销售1本B类书籍可获利13元，根据学生需求，书店老板决定仍购进A、B两类书籍共240本，准备用不超过8600元购进A、B两类书籍，且这两种书籍全部售出后获利不低于2336元，问该文体书店有哪几种进货方案． (3)哪种方案能使获利最大，最大获利为多少元？ 例2．（2025·四川成都·二模）某学校需要增加保洁物品，计划用不超过480元的总费用购买扫把簸箕套装与毛巾两种物品．现要求毛巾的数量是扫把簸箕套装数量的3倍，扫把簸箕套装不少于50套．已知买3条毛巾和2套扫把簸箕套装共需18元，买4条毛巾和3套扫把簸箕套装共需26元.某商店提供以下两种优惠方案：方案1：两种商品按原价的8折出售；方案2：两种商品总额不超过400元的按原价付费，超过400元的部分打6折． (1)求毛巾和扫把簸箕套装的单价； (2)如果学校只按商店提供的其中一种优惠方案来购买，学校该购进毛巾和扫把簸箕套装数量分别是多少？ 例3．（2026·云南·模拟预测）请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 某校计划购买云南扎染布和民族木雕，用于举办文化展览，增强学生对云南民族艺术的了解，提升文化自信． 素材一 购买3个扎染布与购买4个民族木雕需要的费用相等； 素材二 购买3个扎染布和5个民族木雕共需540元； 素材三 该校计划购买扎染布和民族木雕共60个，两种物品均需购买，且购买民族木雕的个数不超过购买扎染布个数的2倍． 请完成下列任务： 任务一 每个扎染布、每个民族木雕的价格分别是多少元？ 任务二 给出最节省费用的购买方案． 例4．（2026·江苏连云港·模拟预测）某中学开展爱心义卖活动，推出，两款帆布袋，深受该校广大师生喜爱．已知购买2个款帆布袋和3个款帆布袋共需31元，购买3个款帆布袋和2个款帆布袋共需34元． (1)求，两款帆布袋的单价分别为多少元． (2)某老师决定购买，两款帆布袋共12个，且购进款帆布袋的数量不少于款帆布袋数量的．当购买，两款帆布袋各多少个时，总费用最低？最低费用是多少元？ 变式1．（2025·四川雅安·二模）为了响应国家低碳出行号召和降低经营成本，某市出租车公司准备把油车更换成电车．现有A，B两种品牌的电车可供选择，若购买3辆A品牌电车和4辆B品牌电车，共需花费万元；若购买2辆A品牌电车和6辆B品牌电车，共需花费万元． (1)求每辆A品牌电车和每辆B品牌电车的价格； (2)若出租车公司需要购买A，B两种品牌的电车共辆（两种品牌的电车均需购买），购买B品牌电车数量不超过购买A品牌电车数量的，为使购买电车的总费用最低，应购买A品牌电车和B品牌电车各多少辆？购买电车的总费用最低为多少万元？ 变式2．（2025·贵州·一模）某店销售A，B两款木偶工艺品，如下是甲、乙两位销售员的对话： (1)求两款木偶工艺品的售价各为多少元； (2)某公司想购买40件木偶工艺品送给员工（两种款式均需购买），且购买A款木偶工艺品的数量不超过B款木偶工艺品数量的，至多购买A款木偶工艺品多少件？ 变式3．（2025·江西吉安·二模）今年清明假期，陶溪川创意集市吸引了大量游客，某摊位在集市销售两种特色陶瓷工艺品：A款手绘青花瓷杯和B款浮雕陶瓷摆件．已知第一天售出A款5个，B款8个，总销售额为800元；第二天售出A款8个，B款6个，总销售额为940元． (1)求A款手绘青花瓷杯和B款浮雕陶瓷摆件的单价； (2)该摊主第三天共带15个陶瓷工艺品到摊位售卖，全部售出后需保证总销售额不低于1000元，则至少需要带多少个A款陶瓷工艺品？ 变式4．（2025·云南丽江·一模）为积极响应乡村振兴的号召，小李依托苍山洱海的旅游资源，开办了一个民族特色旅游纪念品加工厂．该厂生产A，B两种型号的扎染挂件，但每天只能生产这两种型号中的一种．如果生产2天A型号挂件和3天B型号挂件，那么一共可以生产2100个；如果生产1天A型号挂件和2天B型号挂件，那么一共可以生产1300个． (1)该工厂每天能生产A型号挂件和B型号挂件各多少个？ (2)该工厂接到一个来自大理古城旅游节的订单，要求用10天时间至少交付3800个扎染挂件，其中A型号挂件的数量不少于1200个．已知生产A型号挂件每个可获利8元，生产B型号挂件每个可获利6元．在完成订单任务的前提下，应该怎样安排生产A型号和B型号挂件的天数，才能使获得的总利润最大？最大利润是多少万元？ 考点二 二元一次方程组的应用：方案问题 例1．（2025·安徽亳州·一模）学校计划租用客车送师生到金寨县某红色教育基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题． 材料一：租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，租用2辆A型客车和3辆B型客车共载客220人；租用4辆A型客车和1辆B型客车共载客240人． 材料二：A型客车租车费用为2400元/辆；B型客车租车费用为2000元/辆． 材料三：优惠方案：租用A型客车m辆，每辆车的费用减少元；租用B型客车，租车费用打七折． 材料四：租车公司最多提供6辆A型客车；学校参加研学活动师生共有430人，租用A，B两种型号客车共10辆． 任务一：A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少? 任务二：求m的取值范围； 任务三：若本次研学活动学校的租车费用为w元，求w与m之间的函数表达式，并求本次研学活动学校的最少租车费用是多少? 例2．（2025·湖南·模拟预测）试题情境：编钟是中国古代一种极具代表性的打击乐器，也是国家非物质文化遗产之一．在一场非遗文化展示活动中，演奏的编钟由大号钟和小号钟组成，它们在音阶上存在特定关系，从而演奏出美妙的乐曲． (1)若大号编钟的频率是小号编钟频率的一半，两者频率之和为150赫兹，求大小号编钟的频率分别是多少？ (2)为筹备下一次编钟演奏活动，工作人员要采购A．B两种不同材质的编钟配件，A配件每个30元，B配件每个50元，一共准备花费500元，在保证钱都花完且两种配件都要买的情况下，有几种采购方案？ 例3．（2024·安徽·模拟预测）某校进行校本课程时，要求学生们围桌而坐，桌子及座位（长方形表示桌子，黑点表示座位）摆放有以下两种方式可供选择： 请根据上述信息，解决下列问题： (1)若有5张桌子，按第一种方式摆放，最多可坐 人． (2)若有n张桌子，按第二种方式摆放，最多可坐 人． (3)无人机兴趣小组共有32名同学．分成2个小组，现有10张桌子，请你设计出一种座位恰好坐满的摆放方式． 例4．（2024·广东·模拟预测）为强化国防忧患意识，增强民族凝聚力和向心力，某校组织九年级600名师生到某国防研学营地开展以“深化国防教育，凝聚强国力量”为主题的国防教育活动，学校准备租用大巴车和小客车来接送师生．已知租用4辆大巴车和5辆小客车的租金为6200元，租用3辆大巴车和4辆小客车的租金为4800元，大巴车和小客车载客量分别为40人/辆和25人/辆(此处载客量不计司机)． (1)每辆大巴车和小客车的租金分别为多少元？ (2)该校准备租用大巴车和小客车共20辆，需要保证每一位参加活动的师生都有座位，且大巴车不超过9辆，那么共有几种租车方案？哪种租车方案最划算？ 变式1．（2025·山东青岛·模拟预测）某中学要为学校科技活动小组提供实验器材，计划购买A型、B型两种型号的放大镜，若购买8个A型放大镜和5个B型放大镜需用440元；若购买4个A型放大镜和6个B型放大镜需用304元． (1)求每个A型放大镜和每个B型放大镜各多少元？ (2)该中学决定购买A型和B型放大镜共75个，其中A型放大镜的数量不少于B型放大镜数量的3倍，则如何购买费用最少？最少费用多少元？ 变式2．（2025·广东佛山·模拟预测）中国初创企业（深度求索）公司，其自主研发的人工智能（）大语言模型，凭借“好用、开源、免费”三大特点，在全球范围内引发热烈反响．公司为提升服务能力，计划部署两种服务器：型号和型号．这两类新型服务器的维护需求各有不同，具体如表所示： 服务器类型 每台所需技术人员 每台服务器成本（万元） 型号 3 型号 5 公司共有技术人员人，全部参与维护且每人只负责一种服务器，总投入资金为万元．问和服务器的部署数量各是多少台？ 变式3．（2025·河南新乡·模拟预测）“读万卷书，行万里路”，这句话强调了通过旅行和阅读来增长见识的重要性．某学校计划租用甲、乙两种客车送名师生其中学生名、教师6名集体外出研学，要求每辆客车上至少要有1名教师．甲、乙两种客车的载客量和租金如下表： 甲种客车 乙种客车 载客量单位：人/辆 a b 租金单位：元/辆 (1)已知2辆甲种客车和3辆乙种客车满载可载客人，1辆甲种客车和2辆乙种客车满载可载客人，求a，b的值． (2)在（1）的条件下，求最节省费用的租车方案． 变式4．（2025·山东青岛·模拟预测）某公司要将总重量为的货物运送到距公司分别为和的A地和B地，公司拥有甲，乙两种型号车辆共辆，车辆的信息如下表： 车辆型号 装载量 每百千米油耗 甲 t 升 乙 8 t 升 (1)若每辆车都满载且刚好将货物运完，则公司拥有甲，乙两种型号的车辆各多少辆？ (2)在（1）的条件下，现公司将辆车派往A地，其中甲种车辆m辆，其余车辆派往B地，且运往A地的货物不得多于，公司该如何分派车辆才能使油耗最少？最少油耗多少升？ 考点三 二元一次方程组的应用：和差倍分问题 例1．（2025·安徽滁州·二模）某品牌新能源汽车店计划购进A，B两种型号的新能源汽车．已知购进2辆A型号的新能源汽车比购进1辆B型号的新能源汽车多4万元；购进1辆A型号和2辆B型号的新能源汽车共92万元．求A，B两种型号的新能源汽车的单价． 例2．（2025·重庆永川·模拟预测）随着科技的发展，智能芯片技术也达到了新的高度．某科技公司研发了甲 乙两型智能芯片． (1)已知一枚甲型芯片用时2秒进行的整数运算次数与一枚乙型芯用时片3秒进行的整数运算次数之和为 46 万亿次，一枚甲型芯片用时 4 秒进行的整数运算次数与一枚乙型芯用时片 5秒进行的整数运算次数之和为 84万亿次，求一枚甲芯片与一枚乙芯片每秒平均运算次数各为多少万亿次? (2)该科技公司对芯片进行算法优化，成功将甲型芯片每秒的整数运算次数提升到原来的，进行121万亿次整数运算，一枚优化算法后的甲型芯片用时比一枚原甲型芯片用时少1秒，求算法优化前、后一枚申型芯片每秒运算次数各为多少万亿次? 例3．（2025·云南昭通·二模）绿化树种具有过滤和滞纳大气污染颗粒物的能力，因此成为城市绿化的常用树种，其中榆树和白蜡树因其生长迅速，枝叶繁茂而被广泛种植．已知3棵榆树和2棵白蜡树的滞尘总量为23千克，5棵榆树和4棵白蜡树的滞尘总量为41千克． (1)每棵榆树和白蜡树的滞尘量分别是多少千克？ (2)一条新建的城市道路需要种植这两种树，一棵榆树的种植成本是400元，一棵白蜡树的种植成本是200元，种植两种树木的总棵数为60棵，要求滞尘总量不少于280千克，且种植总成本尽可能低，应该怎样种植这两种树才能使种植总成本最低？求出该费用． 变式1．（2025·江西九江·一模）某工厂生产型号和型号两种扎染图案挂件，每天只能生产一种型号的挂件．如果生产2天型号挂件和3天型号挂件，一共可以生产2100个；如果生产1天型号挂件和2天型号挂件，一共可以生产1300个． (1)每天能生产型号挂件或型号挂件多少个？ (2)工厂接到一个旅游节的订单，要求用10天时间至少交付3800个挂件，在完成订单任务的前提下，请问至少要安排生产型号挂件多少天？ 变式2．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）四年23班为学习成绩进步的学生购买奖品，计划购买同一品牌的钢笔和自动铅笔．若购买该品牌的1支钢笔和5支自动铅笔，则需50元；若购买该品牌的3支钢笔和2支自动铅笔，则需85元． (1)求该品牌的钢笔和自动铅笔每支的定价分别是多少元； (2)本班级决定购买该品牌的钢笔和自动铅笔共20支，总费用要低于340元，那么最多可购买该品牌的钢笔多少支？ 变式3．（2025·江西吉安·一模）2024年10月30日，神舟十九号载人飞船发射取得圆满成功，神舟十九号航天员乘组顺利进驻中国空间站．某航模商店购进A、两种航空模型进行销售，已知购进种航空模型和种航空模型各1个共65元，购进A种航空模型2个和种航空模型1个共需90元． (1)求A、两种航空模型进价分别多少元； (2)某商店计划购买、两种航空模型共80个，若、两种航空模型的售价分别是40元和50元，要使获得的利润不低于1100元，请问至少购买种航空模型多少个？ 2 学科网（北京）股份有限公司 $二元一次方程组的应用（销售与利润问题、方案问题、和差倍分问题）专项训练 二元一次方程组的应用（销售与利润问题、方案问题、和差倍分问题）专项训练 考点目录 二元一次方程组的应用：销售与利润问题 二元一次方程组的应用：方案问题 二元一次方程组的应用：和差倍分问题 考点一 二元一次方程组的应用：销售与利润问题 例1．（2026·山东临沂·模拟预测）文体书店老板到批发市场选购A、B两类书籍共240本，B类书籍的进货单价比A类书籍进货单价多20元，当购进A类书籍80本时，购进A、B两类书籍共需9200元． (1)求A、B这两种书籍的进货单价． (2)若该文体书店每销售1本A类书籍可获利6元，每销售1本B类书籍可获利13元，根据学生需求，书店老板决定仍购进A、B两类书籍共240本，准备用不超过8600元购进A、B两类书籍，且这两种书籍全部售出后获利不低于2336元，问该文体书店有哪几种进货方案． (3)哪种方案能使获利最大，最大获利为多少元？ 【答案】(1)A类书籍进货单价为25元，B为45元 (2)有三种方案：A进110本，B进130本；A进111本，B进129本；A进112本, B进128本 (3)A进110本，B进130本能使获利最大，最大获利为2350元 【详解】（1）解：设A 类书籍进货单价为x元，B类书籍进货单价为y元，根据题意，得 ， 解得， 答：A类书籍进货单价为25元，B类书籍进货单价为45元； （2）解：设购进A类书籍m本，B类书箱为本， ， 解：①得，， 解：②得，， ∴， ∴有三种方案： 1．A进110本，B进130本． 2．A进111本，B进129本． 3. A进112本, B进128本； （3）解：设获利为w元，根据题意，得 ， ∵， ∴获利w随着m的增大而减小， 当时，获利w最大， 当时，即， 选第一种方案： 获利（元）， 所以最大获利为2350元． 例2．（2025·四川成都·二模）某学校需要增加保洁物品，计划用不超过480元的总费用购买扫把簸箕套装与毛巾两种物品．现要求毛巾的数量是扫把簸箕套装数量的3倍，扫把簸箕套装不少于50套．已知买3条毛巾和2套扫把簸箕套装共需18元，买4条毛巾和3套扫把簸箕套装共需26元.某商店提供以下两种优惠方案：方案1：两种商品按原价的8折出售；方案2：两种商品总额不超过400元的按原价付费，超过400元的部分打6折． (1)求毛巾和扫把簸箕套装的单价； (2)如果学校只按商店提供的其中一种优惠方案来购买，学校该购进毛巾和扫把簸箕套装数量分别是多少？ 【答案】(1)毛巾的单价是2元，扫把簸箕套装的单价是6元 (2)学校应购进50套扫把簸箕套装，150条毛巾 【详解】（1）解：设毛巾的单价是元，扫把簸箕套装的单价是元， 根据题意得：， 解得． 答：毛巾的单价是2元，扫把簸箕套装的单价是6元． （2）解：设学校应购进套扫把簸箕套装，则购进条毛巾， 按方案1购买时， ，解得， ∴（条）． 按方案2购买时， ， ∵该不等式组无解，∴不能按方案2购买． 答：学校应购进50套扫把簸箕套装，150条毛巾． 例3．（2026·云南·模拟预测）请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 某校计划购买云南扎染布和民族木雕，用于举办文化展览，增强学生对云南民族艺术的了解，提升文化自信． 素材一 购买3个扎染布与购买4个民族木雕需要的费用相等； 素材二 购买3个扎染布和5个民族木雕共需540元； 素材三 该校计划购买扎染布和民族木雕共60个，两种物品均需购买，且购买民族木雕的个数不超过购买扎染布个数的2倍． 请完成下列任务： 任务一 每个扎染布、每个民族木雕的价格分别是多少元？ 任务二 给出最节省费用的购买方案． 【答案】任务一：每个扎染布80元，每个民族木雕60元； 任务二：当购买扎染布20个、民族木雕40个时，购买的总费用最低，最低总费用为4000元 【详解】解：任务一：每个扎染布x元，每个民族木雕y元， ∴， 解得，， ∴每个扎染布80元，每个民族木雕60元； 任务二：设购买扎染布个，则购买民族木雕个， ∵购买民族木雕的个数不超过购买扎染布个数的2倍 ∴， 解得，， 设购买总费用为， ∴， ∵， ∴越小，的值越小， ∴当购买扎染布20个时，购买总费用的最低，此时，购买民族木雕个，总费用为元， ∴当购买扎染布20个、民族木雕40个时，购买的总费用最低，最低总费用为4000元． 例4．（2026·江苏连云港·模拟预测）某中学开展爱心义卖活动，推出，两款帆布袋，深受该校广大师生喜爱．已知购买2个款帆布袋和3个款帆布袋共需31元，购买3个款帆布袋和2个款帆布袋共需34元． (1)求，两款帆布袋的单价分别为多少元． (2)某老师决定购买，两款帆布袋共12个，且购进款帆布袋的数量不少于款帆布袋数量的．当购买，两款帆布袋各多少个时，总费用最低？最低费用是多少元？ 【答案】(1)两款帆布袋的单价分别为8元和5元 (2)当购买款帆布袋4个，款帆布袋8个时，总费用最低，最低费用是72元 【详解】（1）解：设，两款帆布袋的单价分别为元，元， 由题意得：， 解得：， ，两款帆布袋的单价分别为8元和5元； （2）解：设购买款帆布袋个，则购买款帆布袋个，设总费用为元， ， ， 随的增大而增大． 购进款帆布袋的数量不少于款帆布袋数量的， ， 且为正整数， 当时，有最小值，最小值为， 此时， 购买，两款帆布袋分别为4个和8个时，总费用最低，最低费用为72元． 变式1．（2025·四川雅安·二模）为了响应国家低碳出行号召和降低经营成本，某市出租车公司准备把油车更换成电车．现有A，B两种品牌的电车可供选择，若购买3辆A品牌电车和4辆B品牌电车，共需花费万元；若购买2辆A品牌电车和6辆B品牌电车，共需花费万元． (1)求每辆A品牌电车和每辆B品牌电车的价格； (2)若出租车公司需要购买A，B两种品牌的电车共辆（两种品牌的电车均需购买），购买B品牌电车数量不超过购买A品牌电车数量的，为使购买电车的总费用最低，应购买A品牌电车和B品牌电车各多少辆？购买电车的总费用最低为多少万元？ 【答案】(1)A品牌电车万元/辆，B品牌电车万元/辆 (2)为使购买电车的总费用最低，购买辆A品牌电车，辆B品牌电车，购买电车的总费用最低为万元 【详解】（1）解：设A品牌电车万元/辆，B品牌电车万元/辆，根据题意， 依题意得， 解方程得， 答：A品牌电车万元/辆，B品牌电车万元/辆． （2）解：设购买B品牌电车辆，则应购买A品牌电车辆，根据题意， ， 得， 设购买电车的总费用为万元，则， ∵， ∴时，取得最小值，最小值为（万元）， ∴购买A品牌电车（辆）， 答：为使购买电车的总费用最低，购买辆A品牌电车，辆B品牌电车，购买电车的总费用最低为万元． 变式2．（2025·贵州·一模）某店销售A，B两款木偶工艺品，如下是甲、乙两位销售员的对话： (1)求两款木偶工艺品的售价各为多少元； (2)某公司想购买40件木偶工艺品送给员工（两种款式均需购买），且购买A款木偶工艺品的数量不超过B款木偶工艺品数量的，至多购买A款木偶工艺品多少件？ 【答案】(1)每件A款木偶工艺品的售价为20元，每件B款木偶工艺品的售价为25元 (2)至多购买款木偶工艺品10件 【详解】（1）解：设每件A款木偶工艺品的售价为m元，每件B款木偶工艺品的售价为n元， 则， 解得， 答：每件A款木偶工艺品的售价为20元，每件B款木偶工艺品的售价为25元； （2）解：设购买A款木偶工艺品x件，则购买B款木偶工艺品件， 购买款木偶工艺品的数量不超过款木偶工艺品数量的， ， 解得， 答：至多购买款木偶工艺品10件． 变式3．（2025·江西吉安·二模）今年清明假期，陶溪川创意集市吸引了大量游客，某摊位在集市销售两种特色陶瓷工艺品：A款手绘青花瓷杯和B款浮雕陶瓷摆件．已知第一天售出A款5个，B款8个，总销售额为800元；第二天售出A款8个，B款6个，总销售额为940元． (1)求A款手绘青花瓷杯和B款浮雕陶瓷摆件的单价； (2)该摊主第三天共带15个陶瓷工艺品到摊位售卖，全部售出后需保证总销售额不低于1000元，则至少需要带多少个A款陶瓷工艺品？ 【答案】(1)A款手绘青花瓷杯的单价为80元，B款浮雕陶瓷摆件的单价为50元 (2)至少需要带9个A款陶瓷工艺品 【详解】（1）解：设A款手绘青花瓷杯的单价为x元，B款浮雕陶瓷摆件的单价为y元， ∵第一天售出A款5个，B款8个，总销售额为800元；第二天售出A款8个，B款6个，总销售额为940元， ∴， 解得：， ∴A款手绘青花瓷杯的单价为80元，B款浮雕陶瓷摆件的单价为50元； （2）解：设至少需要带a个A款陶瓷工艺品，则需要带个B款陶瓷工艺品， 总销售额为元， ∵总销售额不低于1000元， ∴， 解得：， ∵a为整数， ∴a的最小值为9， 答：保证总销售额不低于1000元，至少需要带9个A款陶瓷工艺品． 变式4．（2025·云南丽江·一模）为积极响应乡村振兴的号召，小李依托苍山洱海的旅游资源，开办了一个民族特色旅游纪念品加工厂．该厂生产A，B两种型号的扎染挂件，但每天只能生产这两种型号中的一种．如果生产2天A型号挂件和3天B型号挂件，那么一共可以生产2100个；如果生产1天A型号挂件和2天B型号挂件，那么一共可以生产1300个． (1)该工厂每天能生产A型号挂件和B型号挂件各多少个？ (2)该工厂接到一个来自大理古城旅游节的订单，要求用10天时间至少交付3800个扎染挂件，其中A型号挂件的数量不少于1200个．已知生产A型号挂件每个可获利8元，生产B型号挂件每个可获利6元．在完成订单任务的前提下，应该怎样安排生产A型号和B型号挂件的天数，才能使获得的总利润最大？最大利润是多少万元？ 【答案】(1)每天能生产A型号挂件300个，B型号挂件500个； (2)安排生产A型号挂件4天，生产B型号挂件6天，最大利润为万元． 【详解】（1）解：设该工厂每天能生产A型号挂件x个，B型号挂件y个， 根据题意列方程组：，解得：， 答：该工厂每天能生产A型号挂件300个，B型号挂件500个． （2）设应安排生产A型号挂件a天，则生产B型号挂件天， 根据题意得：，解得：，且a为整数， 根据题意可求总利润为：， 当时，利润最大为：（元）， 答：应安排生产A型号挂件4天，生产B型号挂件6天，最大利润为万元． 考点二 二元一次方程组的应用：方案问题 例1．（2025·安徽亳州·一模）学校计划租用客车送师生到金寨县某红色教育基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题． 材料一：租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，租用2辆A型客车和3辆B型客车共载客220人；租用4辆A型客车和1辆B型客车共载客240人． 材料二：A型客车租车费用为2400元/辆；B型客车租车费用为2000元/辆． 材料三：优惠方案：租用A型客车m辆，每辆车的费用减少元；租用B型客车，租车费用打七折． 材料四：租车公司最多提供6辆A型客车；学校参加研学活动师生共有430人，租用A，B两种型号客车共10辆． 任务一：A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少? 任务二：求m的取值范围； 任务三：若本次研学活动学校的租车费用为w元，求w与m之间的函数表达式，并求本次研学活动学校的最少租车费用是多少? 【答案】任务一：A型号的客车每辆载客量是50人，B型号的客车每辆载客量是40人 任务二：m的取值范围是，且m为整数 任务三：w与m之间的函数表达式是，本次研学活动学校的最少租车费用是16100元 【详解】解：任务一：设：A，B两种型号的客车每辆载客量分别是x，y． 根据题意得 解得 答：A型号的客车每辆载客量是50人，B型号的客车每辆载客量是40人 任务二：租用A型客车m辆，则租用B型客车辆，学校参加研学活动师生共有430人， 则即 解得 因为租车公司最多提供6辆A型客车， 所以m的取值范围是，且m为整数； 任务三：根据题意得 即 函数图像开口向下，关于对称， 因为 所以当时取最小值 答：w与m之间的函数表达式是，本次研学活动学校的最少租车费用是16100元． 例2．（2025·湖南·模拟预测）试题情境：编钟是中国古代一种极具代表性的打击乐器，也是国家非物质文化遗产之一．在一场非遗文化展示活动中，演奏的编钟由大号钟和小号钟组成，它们在音阶上存在特定关系，从而演奏出美妙的乐曲． (1)若大号编钟的频率是小号编钟频率的一半，两者频率之和为150赫兹，求大小号编钟的频率分别是多少？ (2)为筹备下一次编钟演奏活动，工作人员要采购A．B两种不同材质的编钟配件，A配件每个30元，B配件每个50元，一共准备花费500元，在保证钱都花完且两种配件都要买的情况下，有几种采购方案？ 【答案】(1)大号 编钟的频率为50赫兹，小号编钟的频率为100赫兹 (2)有三种采购方案方案一：配件个，配件个；方案二：配件个，配件个；方案三：配件个，B配件个 【详解】（1）解：设大号编钟的频率为赫兹，小号编钟的频率为赫兹， 根据题意得：， 解这个方程组得， 答：大号 编钟的频率为50赫兹，小号编钟的频率为100赫兹． （2）解：设配件要买个，配件要买个． 根据题意得：， 整理得：，即， ∵和都为整数， ∴符合条件的解为：，，， 答：有三种采购方案，方案一：配件个，配件个；方案二：配件个，B配件个；方案三：配件个，B配件个． 例3．（2024·安徽·模拟预测）某校进行校本课程时，要求学生们围桌而坐，桌子及座位（长方形表示桌子，黑点表示座位）摆放有以下两种方式可供选择： 请根据上述信息，解决下列问题： (1)若有5张桌子，按第一种方式摆放，最多可坐 人． (2)若有n张桌子，按第二种方式摆放，最多可坐 人． (3)无人机兴趣小组共有32名同学．分成2个小组，现有10张桌子，请你设计出一种座位恰好坐满的摆放方式． 【答案】(1)22 (2) (3)张桌子按照方式一摆放，张桌子按照方式二摆放， 【详解】（1）解：观察可知，按照第一种方式摆放，只放1张桌子时，可坐6人，每多放一张桌子，就多坐4人， 故当有张桌子时，最多可坐人； ∴有5张桌子，按第一种方式摆放，最多可坐（人）； 故答案为：22； （2）观察可知，按照第二种方式摆放，只放1张桌子时，可坐6人，每多放一张桌子，就多坐2人， 故当有张桌子时，最多可坐人； 故答案为：； （3）设张桌子按照方式一摆放，张桌子按照方式二摆放， 由题意，得：， 解得：； 故张桌子按照方式一摆放，张桌子按照方式二摆放，即可满足题意． 例4．（2024·广东·模拟预测）为强化国防忧患意识，增强民族凝聚力和向心力，某校组织九年级600名师生到某国防研学营地开展以“深化国防教育，凝聚强国力量”为主题的国防教育活动，学校准备租用大巴车和小客车来接送师生．已知租用4辆大巴车和5辆小客车的租金为6200元，租用3辆大巴车和4辆小客车的租金为4800元，大巴车和小客车载客量分别为40人/辆和25人/辆(此处载客量不计司机)． (1)每辆大巴车和小客车的租金分别为多少元？ (2)该校准备租用大巴车和小客车共20辆，需要保证每一位参加活动的师生都有座位，且大巴车不超过9辆，那么共有几种租车方案？哪种租车方案最划算？ 【答案】(1)每辆大巴车租金为800元，每辆小客车的租金为600元 (2)共有3种租车方案，租用大巴车7辆，租用小客车13辆最划算 【详解】（1）解：设每辆大巴车租金为a元，每辆小客车的租金为b元， 由题意得， 解得． 答：每辆大巴车租金为800元，每辆小客车的租金为600元； （2）解：设租用大巴车x辆，则租用小客车辆， 由题意得， 解得． ∵x为整数， ∴x为7或8或9， ∴有三种租车方案； 方案1：租用大巴车7辆，租用小客车13辆，费用为：（元）； 方案2：租用大巴车8辆，租用小客车12辆，费用为：（元）； 方案3：租用大巴车9辆，租用小客车11辆，费用为：（元）； ∵， ∴租用大巴车7辆，租用小客车13辆最划算． 变式1．（2025·山东青岛·模拟预测）某中学要为学校科技活动小组提供实验器材，计划购买A型、B型两种型号的放大镜，若购买8个A型放大镜和5个B型放大镜需用440元；若购买4个A型放大镜和6个B型放大镜需用304元． (1)求每个A型放大镜和每个B型放大镜各多少元？ (2)该中学决定购买A型和B型放大镜共75个，其中A型放大镜的数量不少于B型放大镜数量的3倍，则如何购买费用最少？最少费用多少元？ 【答案】(1)每个A型放大镜和每个B型放大镜分别为40元，24元 (2)当购买A型放大镜57个，B型放大镜18个，购买费用最少，最少费用2712元． 【详解】（1）解：设每个A型放大镜和每个B型放大镜分别为x元，y元， 可得，解得：， 答：每个A型放大镜和每个B型放大镜分别为40元，24元． （2）解：设购买A型放大镜a个，则购买B型放大镜个， 根据题意可得：，解得：（a为整数），即a的最小值为， 所以购买费用为：， ∵， ∴w随a的增大而增大， ∴当时，最少费用2712元． ∴当购买A型放大镜57个，B型放大镜18个，购买费用最少，最少费用2712元． 变式2．（2025·广东佛山·模拟预测）中国初创企业（深度求索）公司，其自主研发的人工智能（）大语言模型，凭借“好用、开源、免费”三大特点，在全球范围内引发热烈反响．公司为提升服务能力，计划部署两种服务器：型号和型号．这两类新型服务器的维护需求各有不同，具体如表所示： 服务器类型 每台所需技术人员 每台服务器成本（万元） 型号 3 型号 5 公司共有技术人员人，全部参与维护且每人只负责一种服务器，总投入资金为万元．问和服务器的部署数量各是多少台？ 【答案】服务器的安装数量是8台，服务器的安装数量是6台． 【详解】解：设服务器的安装数量是台，服务器的安装数量是台， 由题意得：， 解得：． 答：服务器的安装数量是8台，服务器的安装数量是6台． 变式3．（2025·河南新乡·模拟预测）“读万卷书，行万里路”，这句话强调了通过旅行和阅读来增长见识的重要性．某学校计划租用甲、乙两种客车送名师生其中学生名、教师6名集体外出研学，要求每辆客车上至少要有1名教师．甲、乙两种客车的载客量和租金如下表： 甲种客车 乙种客车 载客量单位：人/辆 a b 租金单位：元/辆 (1)已知2辆甲种客车和3辆乙种客车满载可载客人，1辆甲种客车和2辆乙种客车满载可载客人，求a，b的值． (2)在（1）的条件下，求最节省费用的租车方案． 【答案】(1)a的值为，b的值为； (2)最节省费用的租车方案为：租用甲种客车4辆，乙种客车2辆． 【详解】（1）根据题意得：， 解得：． 答：a的值为，b的值为； （2）∵每辆客车上至少要有1名教师， ∴客车总数不能大于6， ∵要保证名师生有车坐， ∴客车总数不能小于，即客车总数不能小于6， ∴客车总数为． 设租用甲种客车x辆，则租用乙种客车辆， 根据题意得：， 解得：， 设租车总费用为y元，则， ∵， ∴随x的增大而增大， ∴当时，y取得最小值，此时（辆）， ∴最节省费用的租车方案为：租用甲种客车4辆，乙种客车2辆． 变式4．（2025·山东青岛·模拟预测）某公司要将总重量为的货物运送到距公司分别为和的A地和B地，公司拥有甲，乙两种型号车辆共辆，车辆的信息如下表： 车辆型号 装载量 每百千米油耗 甲 t 升 乙 8 t 升 (1)若每辆车都满载且刚好将货物运完，则公司拥有甲，乙两种型号的车辆各多少辆？ (2)在（1）的条件下，现公司将辆车派往A地，其中甲种车辆m辆，其余车辆派往B地，且运往A地的货物不得多于，公司该如何分派车辆才能使油耗最少？最少油耗多少升？ 【答案】(1)甲辆，乙辆 (2)当派往A地甲车5辆，乙车7辆，派往B地甲车9辆，乙车3辆时，油耗最少，最少为升 【详解】（1）解：设甲种车辆有辆，乙种车辆有辆， 根据题意， ， 解得， 则甲种车辆辆，乙种车辆辆； （2）设总油耗升， 已知派往A地的甲车m辆，则派往A地的乙车辆， 根据题意需满足∶ 解得 又∵乙车总数辆，而需辆车派往A地， ， ∴m的取值范围为， 油耗计算∶ A地∶甲车每辆油耗升，乙车每辆油耗升， B地∶甲车每辆油耗升，乙车每辆油耗升， ∴， ， 随增大而减小， ∴当最大为5时，最小， 升， ∴当派往A地甲车5辆，乙车7辆，派往B地甲车9辆，乙车3辆时，油耗最少，最少为升． 考点三 二元一次方程组的应用：和差倍分问题 例1．（2025·安徽滁州·二模）某品牌新能源汽车店计划购进A，B两种型号的新能源汽车．已知购进2辆A型号的新能源汽车比购进1辆B型号的新能源汽车多4万元；购进1辆A型号和2辆B型号的新能源汽车共92万元．求A，B两种型号的新能源汽车的单价． 【答案】A型号的新能源汽车的单价是20万元，B型号的新能源汽车的单价是36万元 【详解】解：设A型号的新能源汽车的单价是m万元，B型号的新能源汽车的单价是n万元， 根据题意得：， 解得：． 答：A型号的新能源汽车的单价是20万元，B型号的新能源汽车的单价是36万元． 例2．（2025·重庆永川·模拟预测）随着科技的发展，智能芯片技术也达到了新的高度．某科技公司研发了甲 乙两型智能芯片． (1)已知一枚甲型芯片用时2秒进行的整数运算次数与一枚乙型芯用时片3秒进行的整数运算次数之和为 46 万亿次，一枚甲型芯片用时 4 秒进行的整数运算次数与一枚乙型芯用时片 5秒进行的整数运算次数之和为 84万亿次，求一枚甲芯片与一枚乙芯片每秒平均运算次数各为多少万亿次? (2)该科技公司对芯片进行算法优化，成功将甲型芯片每秒的整数运算次数提升到原来的，进行121万亿次整数运算，一枚优化算法后的甲型芯片用时比一枚原甲型芯片用时少1秒，求算法优化前、后一枚申型芯片每秒运算次数各为多少万亿次? 【答案】(1)甲型芯片每秒运算11万亿次，乙型芯片每秒运算8万亿次 (2)优化前每秒运算11万亿次，优化后每秒运算12.1万亿次 【详解】（1）解：设甲型芯片每秒运算x万亿次，乙型芯片每秒运算y万亿次， 根据题意得，， 解得 答：甲型芯片每秒运算11万亿次，乙型芯片每秒运算8万亿次； （2）解：设优化前甲型芯片每秒运算a万亿次，则优化后为万亿次， 根据题意得，， 解得， 优化后为， 答：优化前每秒运算11万亿次，优化后每秒运算12.1万亿次． 例3．（2025·云南昭通·二模）绿化树种具有过滤和滞纳大气污染颗粒物的能力，因此成为城市绿化的常用树种，其中榆树和白蜡树因其生长迅速，枝叶繁茂而被广泛种植．已知3棵榆树和2棵白蜡树的滞尘总量为23千克，5棵榆树和4棵白蜡树的滞尘总量为41千克． (1)每棵榆树和白蜡树的滞尘量分别是多少千克？ (2)一条新建的城市道路需要种植这两种树，一棵榆树的种植成本是400元，一棵白蜡树的种植成本是200元，种植两种树木的总棵数为60棵，要求滞尘总量不少于280千克，且种植总成本尽可能低，应该怎样种植这两种树才能使种植总成本最低？求出该费用． 【答案】(1)每棵榆树的滞尘量为5千克，每棵白蜡树的滞尘量为4千克 (2)种植40棵榆树，20棵白蜡树，种植总成本最低，为20000元 【详解】（1）解；设每棵榆树的滞尘量为千克，每棵白蜡树的滞尘量为千克． 由题意得，， 解得． 答：每棵榆树的滞尘量为5千克，每棵白蜡树的滞尘量为4千克． （2）解：设种植棵榆树，种植棵白蜡树． 由题意得，， 解得，． 设种植总成本为元． 由题意得， ， 随的增大而增大． 当时，取得最小值，最小值为， 此时． 答：种植40棵榆树，20棵白蜡树，种植总成本最低，为20000元． 变式1．（2025·江西九江·一模）某工厂生产型号和型号两种扎染图案挂件，每天只能生产一种型号的挂件．如果生产2天型号挂件和3天型号挂件，一共可以生产2100个；如果生产1天型号挂件和2天型号挂件，一共可以生产1300个． (1)每天能生产型号挂件或型号挂件多少个？ (2)工厂接到一个旅游节的订单，要求用10天时间至少交付3800个挂件，在完成订单任务的前提下，请问至少要安排生产型号挂件多少天？ 【答案】(1)每天能生产型号挂件300个，或型号挂件500个 (2)4天 【详解】（1）解：设该工厂每天能生产型号挂件个，或型号挂件个． 根据题意，得， 解得， 答：该工厂每天能生产型号挂件300个，或型号挂件500个． （2）解：设应安排生产型号挂件天，则生产型号挂件天． 根据题意，得， 解得． 答：至少要安排生产型号挂件4天． 变式2．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）四年23班为学习成绩进步的学生购买奖品，计划购买同一品牌的钢笔和自动铅笔．若购买该品牌的1支钢笔和5支自动铅笔，则需50元；若购买该品牌的3支钢笔和2支自动铅笔，则需85元． (1)求该品牌的钢笔和自动铅笔每支的定价分别是多少元； (2)本班级决定购买该品牌的钢笔和自动铅笔共20支，总费用要低于340元，那么最多可购买该品牌的钢笔多少支？ 【答案】(1)该品牌的钢笔每支25元，自动铅笔每支5元 (2)11支 【详解】（1）解：设该品牌的钢笔每支x元，自动铅笔每支y元， 由题意得：， 解得：， 答该品牌的钢笔每支25元，自动铅笔每支5元． （2）解：设购买该品牌钢笔a支， ， 解得：． ∵取正整数， ∴的最大值为11． 答：最多购买该品牌钢笔至少11支． 变式3．（2025·江西吉安·一模）2024年10月30日，神舟十九号载人飞船发射取得圆满成功，神舟十九号航天员乘组顺利进驻中国空间站．某航模商店购进A、两种航空模型进行销售，已知购进种航空模型和种航空模型各1个共65元，购进A种航空模型2个和种航空模型1个共需90元． (1)求A、两种航空模型进价分别多少元； (2)某商店计划购买、两种航空模型共80个，若、两种航空模型的售价分别是40元和50元，要使获得的利润不低于1100元，请问至少购买种航空模型多少个？ 【答案】(1)种航空模型进价为25元，种航空模型进价为40元 (2)至少购买种航空模型60个 【详解】（1）解：设A种航空模型进价为元/个，种航空模型进价为元/个． 依题意可得， 解得， 答：A种航空模型进价为25元，种航空模型进价为40元． （2）解：设购买A种航模个，由题意可得： 解得， 答：至少购买A种航空模型60个． 2 学科网（北京）股份有限公司 $