计数原理：涂色问题、数字排列问题、相邻问题与不相邻问题专项训练-2026届高三数学二轮复习

计数原理：涂色问题、数字排列问题、相邻问题与不相邻问题专项训练 计数原理：涂色问题、数字排列问题、相邻问题与不相邻问题专项训练 考点目录 涂色问题 数字排列问题 相邻问题与不相邻问题 考点一 涂色问题 例1．（25-26高三上·黑龙江·期末）给如图所示的由，，，，，，七个正六边形区域组成的平面图形涂色，有四种不同的颜色可供选择，每个区域只涂一种颜色，有公共边的两个正六边形区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为（    ） A．144 B．288 C．432 D．576 例2．（25-26高二上·辽宁抚顺·期末）给如图所示的六块区域，，，，，涂色，有四种不同的颜色可供选择（不一定每种颜色都要使用），要求相邻区域涂不同颜色，则不同的涂色方法种数是（    ）    A．192 B．168 C．224 D．208 例3．（25-26高三上·海南海口·月考）装修师傅要用红、黄、绿三种颜色的地砖铺设一条长10格的走廊，地砖宽度与走廊宽度相同，每块红色地砖长1格，每块黄色地砖长2格，每块绿色地砖长3格，地砖只能整块铺设，且3种颜色都要使用，相同颜色的地砖不作区分．已知装修师傅共使用了6块地砖，恰好铺满这条走廊，若要求相邻2块地砖的颜色不同，则共有 种不同的铺设方法． 例4．（2025·广东广州·模拟预测）如图，某停车场有2行4列共8个停车位，现有2辆红色汽车和2辆黑色汽车要停车，则相同颜色的车辆不停在同一行也不停在同一列的概率为 .    变式1．（2025·河北沧州·一模）如图，为了出黑板报，某班级为黑板四个区域进行涂色装饰，每个区域涂一种颜色，相邻区域（有公共边）不能用同一种颜色，若只有四种颜色可供使用，则恰好使用了3种颜色的涂色方法共有（    ） A．24种 B．48种 C．72种 D．84种 变式2．（2025·甘肃武威·模拟预测）如图所示的挂件由7个圆组成，中心圆为主挂件，从中心向三个方向延伸出分挂件，每个方向有两个分挂件，靠近主挂件的为第一层分挂件，远离主挂件的为第二层分挂件．现用四种不同的颜色给所有的挂件涂色，要求相邻的挂件涂不同的颜色，且同一层的分挂件涂不同的颜色，则所有的涂色方法种数为（   ） A． B． C． D． 变式3．（2026·重庆·一模）在矩形内部（不包含矩形边界）有个点，将这些点以及矩形的顶点作适当连接，把矩形分割成没有公共部分的三角形区域，则当时，三角形区域的个数为 ；若对如图所示的三角形区域进行着色，要求有公共边的区域不能同色，则至少需要 种不同的颜色． 变式4．（24-25高二下·陕西铜川·期末）如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在用7种颜色给5个小区域（A，B，C，D，E）涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法有 种. 考点二 数字排列问题 例1．（25-26高二上·江西赣州·月考）我们称各个数位上的数字之和为6的三位数为“lucky”数，例如105和213，则所有的“lucky”数有（　　） A．48个 B．30个 C．21个 D．18个 例2．（25-26高二上·江西南昌·月考）我们称各个数位上的数字之和为6的三位数为“吉祥数”，例如105和123，则所有的“吉祥数”共有（） A．21个 B．20个 C．19个 D．18个 例3．（24-25高二下·湖北咸宁·期末）从0，1，2，3，4，5这六个数字中任选3个数字，可组成无重复数字的三位数的个数为（    ） A．60 B．84 C．100 D．120 例4．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）用0、1、2、3、4可组成 个无重复数字的三位奇数. 例5．（25-26高二上·江西景德镇·月考）2025年4月23日是第三十一个世界读书日．若将，，，，，，这些数字排成一排组成一个七位数，则不同的七位数有 个 例6．（25-26高二上·甘肃兰州·期末）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的自然数，能够组成多少个小于2018的正偶数 ． 例7．（24-25高二下·内蒙古赤峰·月考）用0，1，…，9这十个数字可以组成多少个：（结果用数字作答） (1)三位数？ (2)无重复数字的三位数？ (3)小于的无重复数字的三位数？ (4)无重复数字的三位数的奇数？ 变式1．（24-25高二下·河南南阳·期末）从中任取个数字，从中任取个数字，用这个数字组成的没有重复数字的五位数的个数为（    ） A． B． C． D． 变式2．（24-25高二下·重庆·期末）公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率π的范围是：为纪念祖冲之在圆周率方面的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就．小明是个数学迷，他在设置手机的数字密码时，打算将圆周率的中间6位数字1，4，1，5，9，2进行某种排列得到密码．如果排列时要求数字9不在最后一位，那么小明可以设置的不同密码有（   ）个． A．180 B．240 C．300 D．360 变式3．（24-25高二下·山东·期中）用数字1~5组成没有重复数字的三位数，其中满足，且的三位数的个数是（   ） A．10 B．20 C．30 D．60 变式4．（25-26高三上·山东泰安·期末）从0，2，4中任取2个数字，从1，3，5中任取2个数字，一共可以组成没有重复数字的四位数有 . 变式5．（25-26高三上·湖南·月考）从0，1，2，…，9这10个数字中选出3个不同的数字组成三位数，其中小于329的共有 个. 变式6．（25-26高三上·河南·月考）初等数论中的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明．四平方和定理的内容是任意正整数都可以表示为不超过4个自然数的平方和，例如．设，其中均为自然数，则满足条件的有序自然数数组的个数为 ． 变式7．（24-25高二下·山东烟台·月考）用0，1，2，3，4，5这六个数字，能组成多少个符合下列条件的数字？（用数字作答） (1)无重复数字的四位奇数； (2)无重复数字且能被5整除的四位数； (3)无重复数字且比1203大的四位数. 考点三 相邻问题与不相邻问题 例1．（25-26高二上·广西·月考）某小组的成员由四位男生和三位女生组成，七位同学要站成一排照相，要求任意两男生及任意两女生均不能相邻的站法总数是（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高二上·辽宁朝阳·期末）《中国诗词大会》亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味．若《登鹳雀楼》、《春江花月夜》、《赋得古原草送别》、《念奴娇》和另外确定的两首诗词排在后六场，且《登鹳雀楼》排在《春江花月夜》的前面，《赋得古原草送别》与《念奴娇》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有（   ） A．720种 B．360种 C．288种 D．144种 例3．（25-26高二上·湖南长沙·期末）有一对双胞胎学生和3位老师站成一排拍照，双胞胎不站在一起的不同排法共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 例4．（25-26高三上·重庆·月考）6名同学排成一排，已知甲与乙不相邻，则丙与丁必须相邻的概率是 ． 例5．（2025高三下·甘肃白银·学业考试）如图，某农科所将一块试验田分成1，2，3，4共四个不同的区域，该农科所准备在这四个区域中栽种农作物，并要求相邻两个区域的农作物品种不同.现有4种不同的农作物品种可供选择，则不同的栽种方案共有 种；其中恰好用了3种不同农作物品种的概率为 . 1 2 3 4 例6．（24-25高二下·广东中山·月考）若将大小形状完全相同的三个红球和三个白球（除颜色外不考虑球的其他区别）排成一排，则有且只有两个白球相邻的排法有 例7．（25-26高二上·上海·月考）班级迎新晚会有3个唱歌节目、2个相声节目和1个魔术节目，要求排出一个节目单； (1)2个相声节目要排在一起，有多少种排法？ (2)魔术节目不排在最后一个节目，有多少种排法？ 变式1．（25-26高二上·江西抚州·期末）某教室有一排个座位，4位男同学和3位女同学要坐下，但为了减少聊天，规定同性别的同学不能相邻而坐（即任意两位男生不相邻，任意两位女生不相邻）的坐法总数为（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高二上·吉林长春·期末）2名男生和3名女生站成一排照相，其中恰有2名女生相邻的不同站法共有（　　） A．48种 B．60种 C．72种 D．96种 变式3．（25-26高二上·陕西汉中·月考）某学校在读书节活动中，甲，乙，丙3个班各有2名同学获奖，现将这6人站成一排拍照，其中甲班的2名同学相邻，且乙班的2名同学不相邻的站法种数共有（   ） A．24种 B．36种 C．72种 D．144种 变式4．（2025·贵州黔南·三模）有个空置车位排成一排，每个车位只能停放一辆车，现将3辆不同的车停放在车位上，若3辆车互不相邻与恰有2辆车相邻的停车方法数相等，则 （用数字作答）. 变式5．（24-25高二下·湖南·月考）设计一个五位的信息密码，每位数字均在中选取，则含有数字，且都只出现一次的信息密码有 个，含有数字，且只出现一次，与不相邻的信息密码有 个. 变式6．（24-25高三下·山东聊城·月考）某班组织了国庆文艺晚会，从甲、乙、丙、丁等7个节目中选出5个节目进行演出，选出的5个节目要求相邻依次演出，且要求甲、乙、丙必选，且甲、乙相邻，但甲、乙均不与丙相邻，若丁被选中，丁必须排在前两位，则不同的演出顺序种数为 .（用数字作答） 变式7．（24-25高二下·天津西青·月考）有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法种数． (1)全体排成一行，其中男生必须排在一起； (2)全体排成一行，男、女各不相邻； (3)全体排成一行，其中甲只能在中间或者两端位置； 2 学科网（北京）股份有限公司 $计数原理：涂色问题、数字排列问题、相邻问题与不相邻问题专项训练 计数原理：涂色问题、数字排列问题、相邻问题与不相邻问题专项训练 考点目录 涂色问题 数字排列问题 相邻问题与不相邻问题 考点一 涂色问题 例1．（25-26高三上·黑龙江·期末）给如图所示的由，，，，，，七个正六边形区域组成的平面图形涂色，有四种不同的颜色可供选择，每个区域只涂一种颜色，有公共边的两个正六边形区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为（    ） A．144 B．288 C．432 D．576 【答案】D 【详解】从四个不同的颜色中选出一种颜色给涂色，有4种可能，再给涂色，有3种可能， 给涂色，有2种可能，给涂色，有2种可能，给涂色，有3种可能， 给涂色，有2种可能，给涂色，有2种可能， 这样给七个正六边形区域，，，，，，涂色， 不同的涂色方案有． 故选：D． 例2．（25-26高二上·辽宁抚顺·期末）给如图所示的六块区域，，，，，涂色，有四种不同的颜色可供选择（不一定每种颜色都要使用），要求相邻区域涂不同颜色，则不同的涂色方法种数是（    ）    A．192 B．168 C．224 D．208 【答案】A 【详解】第一步，给，，三块区域涂色，有种涂色方法； 第二步，给区域涂色，有种涂色方法； 第三步，给区域涂色，有种涂色方法； 第四步，给区域涂色，有种涂色方法， 综上，不同的涂色方法种数是，故A正确. 故选：A. 例3．（25-26高三上·海南海口·月考）装修师傅要用红、黄、绿三种颜色的地砖铺设一条长10格的走廊，地砖宽度与走廊宽度相同，每块红色地砖长1格，每块黄色地砖长2格，每块绿色地砖长3格，地砖只能整块铺设，且3种颜色都要使用，相同颜色的地砖不作区分．已知装修师傅共使用了6块地砖，恰好铺满这条走廊，若要求相邻2块地砖的颜色不同，则共有 种不同的铺设方法． 【答案】 【详解】设使用红色地砖块，黄色地砖块，绿色地砖块， 由题意得，，解得 ， 即使用红色地砖3块，黄色地砖2块，绿色地砖1块． 下面分四种情形讨论： ①3块红色地砖使用在第1，3，5块地砖的位置时，1块绿色地砖有种方式铺设， 剩余2个位置铺设黄色地砖，所以共有3种不同的铺设方法； ②3块红色地砖使用在第2，4，6块地砖的位置时，1块绿色地砖有种方式铺设， 剩余2个位置铺设黄色地砖，所以共有3种不同的铺设方法； ③3块红色地砖使用在第1，3，6块地砖的位置时，1块绿色地砖只能在第4，5块地砖的位置铺设， 有种方法，剩余2个位置铺设黄色地砖，所以共有2种不同的铺设方法； ④3块红色地砖使用在第1，4，6块地砖的位置时，1块绿色地砖只能在第2，3块地砖的位置铺设， 有种方法，剩余2个位置铺设黄色地砖，所以共有2种不同的铺设方法. 综上，共有 种不同的铺设方法． 故答案为：. 例4．（2025·广东广州·模拟预测）如图，某停车场有2行4列共8个停车位，现有2辆红色汽车和2辆黑色汽车要停车，则相同颜色的车辆不停在同一行也不停在同一列的概率为 .    【答案】/ 【详解】先计算相同颜色的车辆不停在同一行也不停在同一列的情况种数. 第一步：停红色汽车，第一辆红色汽车在第一行选一个位置有四个位置可选，第二辆红色汽车在第二行有三个位置可选，由于两辆红色汽车可以互换，故有种； 第二步：停黑色汽车，分成两种情况：若第一辆黑色汽车停在第一行且与红色汽车同列，则另一辆黑色汽车有3种停法，若第一辆黑色汽车停在第一行且与红色汽车不同列有2种停法，此时另一辆黑色汽车有2种停法，由于两辆黑色汽车可以互换，故有种. 因此，相同颜色的车辆不停在同一行也不停在同一列的情况种数共有24×14种， 8个车位停入4辆车的试验共有种情况， 所以相同颜色的车辆不停在同一行也不停在同一列的概率为. 故答案为： 变式1．（2025·河北沧州·一模）如图，为了出黑板报，某班级为黑板四个区域进行涂色装饰，每个区域涂一种颜色，相邻区域（有公共边）不能用同一种颜色，若只有四种颜色可供使用，则恰好使用了3种颜色的涂色方法共有（    ） A．24种 B．48种 C．72种 D．84种 【答案】B 【详解】由题意可知，使用了3种颜色则只有和颜色相同，或只有和颜色相同， 则涂色方法共有种. 故选：B 变式2．（2025·甘肃武威·模拟预测）如图所示的挂件由7个圆组成，中心圆为主挂件，从中心向三个方向延伸出分挂件，每个方向有两个分挂件，靠近主挂件的为第一层分挂件，远离主挂件的为第二层分挂件．现用四种不同的颜色给所有的挂件涂色，要求相邻的挂件涂不同的颜色，且同一层的分挂件涂不同的颜色，则所有的涂色方法种数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】给挂件进行如图所示的编号， 中心圆为主挂件，从中心向三个方向延伸出分挂件，靠近主挂件的为第一层分挂件，远离主挂件的为第二层分挂件， 用四种不同的颜色给所有的挂件涂色，要求相邻的挂件涂不同的颜色，且同一层的分挂件涂不同的颜色， 1号有4种涂色方法，2，3，4号有种涂色方法， 分情况讨论5，6，7号的涂色方法： ①若5号与1号同色，6号与2号同色，则7号只有1种涂色方法， 5，6，7号有种涂色方法； ②若5号与1号同色，6号与2号异色，此时6号只有1种涂色方法，则7号有2种涂色方法， 5，6，7号有种涂色方法； ③若5号与1号异色，与3号同色，5号只有1种涂色方法， 当6号与4号同色时，7号有2种涂色方法； 当6号与4号异色时，6号有2种涂色方法，7号有1种涂色方法， 5，6，7号有种涂色方法； ④若5号与1号、3号均异色，则5号只有1种涂色方法，6号、7号均有2种涂色方法， 5，6，7号有种涂色方法； 综上，所有的涂色方法种数为，故C正确． 故选：C． 变式3．（2026·重庆·一模）在矩形内部（不包含矩形边界）有个点，将这些点以及矩形的顶点作适当连接，把矩形分割成没有公共部分的三角形区域，则当时，三角形区域的个数为 ；若对如图所示的三角形区域进行着色，要求有公共边的区域不能同色，则至少需要 种不同的颜色． 【答案】 【详解】在矩形内部（不包含矩形边界）有个点， 将这些点以及矩形的顶点作适当连接，把矩形分割成没有公共部分的三角形区域， 设三角形的个数为， 当时，在矩形内部（不包含矩形边界）有个点，这个点以及矩形的顶点作适当连接，把矩形分割成没有公共部分的三角形区域，即这个点和矩形的四个点构成个的满足条件的三角形，即； 当时，第二个点是在满足第一个点的三角形中的一个三角形内部，这个点和这个三角形的三个点构成三个满足条件的三角形，同时去掉这个点所在的大三角形，故； 同理，，故构成等差数列，首项为，公差为， 故 则三角形的个数为， 则当时，三角形的个数为； 若对如图所示的三角形区域进行着色，要求有公共边的区域不能同色， 如果用2种颜色，则同色且同色，且两色相异，则必定与中某块同色， 与题设不合； 如果用3种颜色， 假设在号区域内涂红色，在号区域内涂黑色，在号区域内涂黑色， 在号区域内涂红色，则在号区域内不能涂红色和黑色，只能涂第三种颜色， 假设在号区域内涂蓝色，在号区域内涂黑色，在号区域内涂红色， 故至少需要种不同的颜色． 故答案为：，. 变式4．（24-25高二下·陕西铜川·期末）如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在用7种颜色给5个小区域（A，B，C，D，E）涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法有 种. 【答案】4410 【详解】分4步进行分析： ①对于区域，有7种颜色可选； ②对于区域，与区域相邻，有6种颜色可选； ③对于区域，与、区域相邻，有5种颜色可选； ④对于区域、， 若与颜色相同，区域有5种颜色可选， 若与颜色不相同，区域有4种颜色可选，区域有4种颜色可选， 则区域、有种选择.综上所述， 不同的涂色方案有种. 故答案为：. 考点二 数字排列问题 例1．（25-26高二上·江西赣州·月考）我们称各个数位上的数字之和为6的三位数为“lucky”数，例如105和213，则所有的“lucky”数有（　　） A．48个 B．30个 C．21个 D．18个 【答案】C 【详解】当首位数字为1时，后两位相加为5，“lucky”数分别是105，150，114，141，123，132共6个； 当首位数字为2时，后两位相加为4，“lucky”数分别是204，240，213，231，222，共5个； 当首位数字为3时，后两位相加为3，“lucky”数分别是303，330，312，321，共4个； 当首位数字为4时，后两位相加为2，“lucky”数分别是402，420，411，共3个； 当首位数字为5时，后两位相加为1，“lucky”数分别是501，510，共2个； 当首位数字为6时，后两位相加为0，“lucky”数分别是600，共1个； 由分类计数原理得，共有个. 故选：C. 例2．（25-26高二上·江西南昌·月考）我们称各个数位上的数字之和为6的三位数为“吉祥数”，例如105和123，则所有的“吉祥数”共有（） A．21个 B．20个 C．19个 D．18个 【答案】A 【详解】当首位数字为时，后两位数字之和为，“吉祥数”有，共个； 当首位数字为时，后两位数字之和为，“吉祥数”有，共个； 当首位数字为时，后两位数字之和为，“吉祥数”有，共个； 当首位数字为时，后两位数字之和为，“吉祥数”有，共个； 当首位数字为时，后两位数字之和为，“吉祥数”有，共个； 当首位数字为时，后两位数字之和为，“吉祥数”有，共个； 因此，所有的“吉祥数”共有个. 故选：A 例3．（24-25高二下·湖北咸宁·期末）从0，1，2，3，4，5这六个数字中任选3个数字，可组成无重复数字的三位数的个数为（    ） A．60 B．84 C．100 D．120 【答案】C 【详解】从0，1，2，3，4，5这六个数字中任选3个数字，共有种选法， 若首位为，从剩下的五个数字中任选个数字，共有种选法， 所以组成无重复数字的三位数的个数为. 故选： 例4．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）用0、1、2、3、4可组成 个无重复数字的三位奇数. 【答案】18 【详解】第一步：确定个位数，从两个奇数中任选一个放在个位有种不同的选法； 第二步：确定百位数，百位数不能是，也不能是已经用在个位上的数，故有三个数可选， 任选一个放在百位有种不同的选法； 第三步：确定十位数，从剩下的三个数（包含0）中任选一个放在十位有种不同的选法； 根据分步乘法计数原理，可组成无重复数字的三位奇数共个. 故答案为：. 例5．（25-26高二上·江西景德镇·月考）2025年4月23日是第三十一个世界读书日．若将，，，，，，这些数字排成一排组成一个七位数，则不同的七位数有 个 【答案】 【详解】将七位数从左至右依次称作第一位，第二位，…，第七位， 易知不在第一位，则有个位置可以选择， 又数字中有三个， 将剩余个数字进行全排列共种排法， 所以排成不同的七位数共有种， 故答案为：. 例6．（25-26高二上·甘肃兰州·期末）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的自然数，能够组成多少个小于2018的正偶数 ． 【答案】个 【详解】有一位正偶数时，可选、， 当有两位正偶数时，个位可为、、，所以当最后一位为时，可能的结果为，当最后一位为或时，可能结果为，所以共有种， 当有三位正偶数时，个位可为、、，所以当最后一位为时，可能的结果为，当最后一位为或时，可能结果为，所以共有种， 当有四位正偶数时，首项为时，由种， 首位为时，只有符合条件，所以共有种. 故答案为：个. 例7．（24-25高二下·内蒙古赤峰·月考）用0，1，…，9这十个数字可以组成多少个：（结果用数字作答） (1)三位数？ (2)无重复数字的三位数？ (3)小于的无重复数字的三位数？ (4)无重复数字的三位数的奇数？ 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）百位非零，则百位有9个数可选，十位和个位无要求，则个数字均可，共有个； （2）百位非零，则百位有9个数可选，要求无重复数字，则出现过的数不能再选择，共有个； （3）百位可为1，2，3，4中的任意数字，共有4种可能，十位有9种，个位有8种，共有个； （4）十个数字中有5个奇数5个偶数， 第一类：百位为奇数，则可以有5种选择，个位还有4个奇数可选，十位无限制，还有8个数字可选，共有个； 第二类：百位为非零偶数，则共有4种，个位有5个奇数可选，十位无限制，还有8个数字可选，共有个； 综上，共有个. 变式1．（24-25高二下·河南南阳·期末）从中任取个数字，从中任取个数字，用这个数字组成的没有重复数字的五位数的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】若组成的位数中没有，则有个； 若组成的位数中有，则有个， 所以用这个数字组成的没有重复数字的五位数有个. 故选：C 变式2．（24-25高二下·重庆·期末）公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率π的范围是：为纪念祖冲之在圆周率方面的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就．小明是个数学迷，他在设置手机的数字密码时，打算将圆周率的中间6位数字1，4，1，5，9，2进行某种排列得到密码．如果排列时要求数字9不在最后一位，那么小明可以设置的不同密码有（   ）个． A．180 B．240 C．300 D．360 【答案】C 【详解】先排数字9得出有种， 因为有两个1，所以总数有种. 故选：C. 变式3．（24-25高二下·山东·期中）用数字1~5组成没有重复数字的三位数，其中满足，且的三位数的个数是（   ） A．10 B．20 C．30 D．60 【答案】B 【详解】从数字1~5中取出3个数字，有种取法； 将取出的3个数字中最大的一个作十位上的数字，另外2个数字分别作百位和个位上的数字，有种方法. 由分步乘法计数原理，得符合题意的三位数有个. 故选：B. 变式4．（25-26高三上·山东泰安·期末）从0，2，4中任取2个数字，从1，3，5中任取2个数字，一共可以组成没有重复数字的四位数有 . 【答案】 【详解】若取出的数字有，则有个没有重复数字的四位数； 若取出的数字没有，则有个没有重复数字的四位数； 综上可得一共有个没有重复数字的四位数. 故答案为： 变式5．（25-26高三上·湖南·月考）从0，1，2，…，9这10个数字中选出3个不同的数字组成三位数，其中小于329的共有 个. 【答案】167 【详解】当百位数小于3时，共有个； 当百位数为3，十位数小于2时，此时共有个； 当百位数为3，十位数为2时，共有个. 综上所述，共有个. 故答案为：167 变式6．（25-26高三上·河南·月考）初等数论中的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明．四平方和定理的内容是任意正整数都可以表示为不超过4个自然数的平方和，例如．设，其中均为自然数，则满足条件的有序自然数数组的个数为 ． 【答案】60 【详解】由题意知均为不超过6的自然数，下面分情况讨论： ①当最大数为6时，，此时共有种情况； ，此时共有种情况； ②当最大数为5时，，此时共有种情况； ③当最大数为4时，，此时共有种情况； 综上，满足条件的有序自然数数组的个数为， 故答案为：60 变式7．（24-25高二下·山东烟台·月考）用0，1，2，3，4，5这六个数字，能组成多少个符合下列条件的数字？（用数字作答） (1)无重复数字的四位奇数； (2)无重复数字且能被5整除的四位数； (3)无重复数字且比1203大的四位数. 【答案】(1)144 (2)108 (3)287 【详解】（1）符合要求的四位奇数为：先排个位有种，再排千位有种， 再排中间两位共种， 所以由分步计数原理，共有个； （2）符合要求的数可分为两类： 第一类：0在个位时有个； 第二类：5在个位时有个； 故满足条件的四位数共有（个）. （3）符合要求的比1203大的四位数可分为四类： 第一类：形如2，，，，共有个； 第二类：形如，，，共有个； 第三类：形如，共有个； 第四类：形如123，共有个； 第五类：形如，共有个， 由分类加法计数原理知， 无重复数字且比1203大的四位数共有（个）. 考点三 相邻问题与不相邻问题 例1．（25-26高二上·广西·月考）某小组的成员由四位男生和三位女生组成，七位同学要站成一排照相，要求任意两男生及任意两女生均不能相邻的站法总数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】先排好3位女生，有种排法，此时产生4个空位， 再将4位男生排入这4个空位，有种排法， 根据分步乘法计数原理，共有种站法． 故选：D． 例2．（25-26高二上·辽宁朝阳·期末）《中国诗词大会》亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味．若《登鹳雀楼》、《春江花月夜》、《赋得古原草送别》、《念奴娇》和另外确定的两首诗词排在后六场，且《登鹳雀楼》排在《春江花月夜》的前面，《赋得古原草送别》与《念奴娇》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有（   ） A．720种 B．360种 C．288种 D．144种 【答案】D 【详解】根据题意分步进行分析： ①将《登鹳雀楼》、《春江花月夜》和另外两首诗词的首诗词全排列，则有种顺序， 因为《登鹳雀楼》排在《春江花月夜》的前面，所以这首诗词的排法有种； ②这首诗词排好后，不含最后有个空位，在个空位中任选个， 安排《赋得古原草送别》与《念奴娇》，有种安排方法； 则后六场的排法有种 . 故选：D 例3．（25-26高二上·湖南长沙·期末）有一对双胞胎学生和3位老师站成一排拍照，双胞胎不站在一起的不同排法共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【详解】先排3位老师，3人全排列的方法为：； 3位老师形成4个空隙，将2个双胞胎插入4个空隙的方法数为：， 总的排列法为：种，故B正确． 故选：B． 例4．（25-26高三上·重庆·月考）6名同学排成一排，已知甲与乙不相邻，则丙与丁必须相邻的概率是 ． 【答案】/0.3 【详解】依题意，6名同学排成一排，记事件甲与乙不相邻，则， 记事件丙与丁相邻，则， 由条件概率公式可得. 所以在甲与乙不相邻的条件下，丙与丁相邻的概率为. 故答案为：. 例5．（2025高三下·甘肃白银·学业考试）如图，某农科所将一块试验田分成1，2，3，4共四个不同的区域，该农科所准备在这四个区域中栽种农作物，并要求相邻两个区域的农作物品种不同.现有4种不同的农作物品种可供选择，则不同的栽种方案共有 种；其中恰好用了3种不同农作物品种的概率为 . 1 2 3 4 【答案】 84 【详解】【答题空1】由题意， 若选择4种农作物，则有种种植方案， 若选择3种农作物， ∵相邻的区域种植的农作物品种不同， ∴只能是1、4区域或2、3区域相同， 若1、4区域种植相同农作物，有种方法， 同理若2、4区域种植相同农作物，也有24种方法， 若选择2种农作物，只能是1、4区域和2、3分别种植相同的农作物， 有种方法， ∴共有种植方案， 故答案为：84. 【答题空2】 由题意及（1）得， 共有84种植方案， 其中恰好用了3种不同农作物的方法有种方案， ∴恰好用了3种不同农作物品种的概率， 故答案为：. 例6．（24-25高二下·广东中山·月考）若将大小形状完全相同的三个红球和三个白球（除颜色外不考虑球的其他区别）排成一排，则有且只有两个白球相邻的排法有 【答案】12 【详解】三个红球有4个空挡，将2个白球（相邻）和一个白球插入4个空挡， 共有种方法，故有且只有两个白球相邻的排法有种， 故答案为：. 例7．（25-26高二上·上海·月考）班级迎新晚会有3个唱歌节目、2个相声节目和1个魔术节目，要求排出一个节目单； (1)2个相声节目要排在一起，有多少种排法？ (2)魔术节目不排在最后一个节目，有多少种排法？ 【答案】(1)240 (2)600 【详解】（1）2个相声节目捆绑在一起，内部排列，再与其他4个节目一起排列， 则共有种排法； （2）先排魔术节目，由于不排在最后一个，则共有5种排法， 再排另外5个节目，5个位置，则有种排法， 则共有种排法. 变式1．（25-26高二上·江西抚州·期末）某教室有一排个座位，4位男同学和3位女同学要坐下，但为了减少聊天，规定同性别的同学不能相邻而坐（即任意两位男生不相邻，任意两位女生不相邻）的坐法总数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】先排好3位女生，有种排法，此时产生4个空位，再将4位男生排入这4个空位，有种排法， 根据分步乘法计数原理，共有种坐法. 故选：D. 变式2．（25-26高二上·吉林长春·期末）2名男生和3名女生站成一排照相，其中恰有2名女生相邻的不同站法共有（　　） A．48种 B．60种 C．72种 D．96种 【答案】C 【详解】设3名女生为甲乙丙， 当甲乙相邻时， 第一步：当女生甲乙相邻时，看作一个整体，2人之间的排序有， 第二步：再将2名男生排成一排有， 第三步：2名男生，三个空，安排甲乙整体和丙，有， 故当甲乙相邻时，共有， 同理：乙丙相邻和甲丙相邻时也有24种， 故恰有2名女生相邻的不同站法共有， 故选：C 变式3．（25-26高二上·陕西汉中·月考）某学校在读书节活动中，甲，乙，丙3个班各有2名同学获奖，现将这6人站成一排拍照，其中甲班的2名同学相邻，且乙班的2名同学不相邻的站法种数共有（   ） A．24种 B．36种 C．72种 D．144种 【答案】D 【详解】第一步，将甲班的2人捆绑，连同丙班的2人作全排列，有种站法； 第二步，将乙班的2人插入前后4个空档，有种站法. 根据分步乘法计数原理，不同的站法共有种. 故选：D. 变式4．（2025·贵州黔南·三模）有个空置车位排成一排，每个车位只能停放一辆车，现将3辆不同的车停放在车位上，若3辆车互不相邻与恰有2辆车相邻的停车方法数相等，则 （用数字作答）. 【答案】 【详解】假设辆车自带了车位，余下还有个车位，产生了个空位， 现将辆车插空，则有种停放方法，使得3辆车互不相邻； 又恰有2辆车相邻，将两辆车捆绑作为一组，另外一辆车作为一组，则有种方法， 再两组车将插到个空位，则有种停放方法， 所以有种停放方法，使得恰有2辆车相邻， 依题意可得， 即，依题意，解得. 故答案为： 变式5．（24-25高二下·湖南·月考）设计一个五位的信息密码，每位数字均在中选取，则含有数字，且都只出现一次的信息密码有 个，含有数字，且只出现一次，与不相邻的信息密码有 个. 【答案】 【详解】先从个数位选择个数位分别排，剩余的个数位上的数字从中选择，每个数位有种选择， 由分步乘法计数原理可知，满足条件的信息码的个数为， 当均只出现次，且与不相邻，信息码的个数为， 当只出现次出现次或只出现次出现次，且与不相邻，信息码的个数为， 当只出现次出现次或只出现次出现次，且与不相邻，信息码的个数为， 当均出现次，且与不相邻，信息码的个数为， 由分步计数原理知，符合条件的信息码的个数为， 故答案为：. 变式6．（24-25高三下·山东聊城·月考）某班组织了国庆文艺晚会，从甲、乙、丙、丁等7个节目中选出5个节目进行演出，选出的5个节目要求相邻依次演出，且要求甲、乙、丙必选，且甲、乙相邻，但甲、乙均不与丙相邻，若丁被选中，丁必须排在前两位，则不同的演出顺序种数为 .（用数字作答） 【答案】96 【详解】当丁没有被选中时，不同的演出顺序种数为； 当丁被选中且排在第一位时，不同的演出顺序种数为； 当丁被选中且排在第二位时，不同的演出顺序种数为. 综上，不同的演出顺序种数为. 故答案为：. 变式7．（24-25高二下·天津西青·月考）有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法种数． (1)全体排成一行，其中男生必须排在一起； (2)全体排成一行，男、女各不相邻； (3)全体排成一行，其中甲只能在中间或者两端位置； 【答案】(1)720 (2)144 (3)2160 【详解】（1）先将男生绑定排列，有种，再与女生全排，有种， 由乘法原理可得种. （2）先排好男生，再将女生插入其中，有种. （3）先排甲，有种，其余6人全排列，有种， 再由乘法原理可得种. 2 学科网（北京）股份有限公司 $