解三角形：正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、正余弦定理综合使用专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

解三角形：正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、正余弦定理综合使用专项训练 解三角形：正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、正余弦定理综合使用专项训练 考点目录 正弦定理解三角形 余弦定理解三角形 正余弦定理综合使用 考点一 正弦定理解三角形 例1．（24-25高一下·北京朝阳·期中）在中，已知，，，则的大小为（   ） A． B． C．或 D．或 例2．（24-25高一下·贵州毕节·期中）在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，，，则（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26高一上·广东汕头·期末）在中，角的对边分别为，若，则外接圆半径为 . 例4．（25-26高一上·上海浦东新·期末）已知中，，则外接圆半径为 . 变式1．（25-26高三上·云南昆明·月考）在中，，且，则的最小边长为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 变式2．（24-25高一下·福建福州·月考）在中，和均为锐角，且．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高三上·山东枣庄·月考）在中，已知，，，则 ． 变式4．（25-26高三上·湖南长沙·月考）记的内角，，的对边分别为，，，已知，，则 . 考点二 余弦定理解三角形 例1．（25-26高一上·北京东城·期末）在中，若，，，则等于（   ） A． B． C． D． 例2．（2025·湖南永州·模拟预测）在中，，则最大的内角为（    ） A． B． C． D． 例3．（2025·四川成都·模拟预测）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，.若，则 ． 例4．（2025高二上·河南·学业考试）在中，内角的对边分别为，若，则 ． 变式1．（25-26高三上·河南鹤壁·月考）在中，角的对边分别是，若，，则（   ） A． B． C． D． 变式2．（2025高三上·江苏·学业考试）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，则（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高三上·安徽宿州·月考）在中，D在边AB上，CD平分，若，且，则 ． 变式4．（25-26高三上·山东·月考）在四边形ABCD中，，，，，则 . 考点三 正余弦定理综合使用 例1．（24-25高一下·江苏南通·月考·多选）如图，在圆的内接四边形中，，下列说法正确的是（    ）    A． B． C． D．四边形的面积为 例2．（24-25高一下·吉林长春·月考·多选）已知的内角的对边分别为，若，，则下列说法正确的是（    ） A．周长为 B． C．为钝角三角形 D．的外接圆面积为 例3．（25-26高二上·山东潍坊·月考）记的内角，，的对边分别为，，.已知，，. (1)求； (2)若是的中点，，求的面积. 例4．（25-26高一上·北京东城·期末）在中，． (1)求； (2)若，且的面积为，求的周长． 例5．（25-26高三上·天津和平·期末）在中，角所对的边分别为，已知. (1)求角的大小； (2)若. （i）求的值； （ii）求的值. 例6．（25-26高三上·甘肃兰州·期末）在中，角所对的边分别为，且满足． (1)求角的大小； (2)若，求的周长的最大值． 变式1．（24-25高一下·辽宁大连·期末·多选）在中，角，，的对边分别为，，，且，则下列选项中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 变式2．（24-25高一下·江西南昌·期末·多选）已知锐角三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且，，则下列结论正确的是（   ） A．B的取值范围为 B．的最小值为 C．c的值可能为3 D．的面积最大值为 变式3．（25-26高一上·北京海淀·期末）在中，． (1)求； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一，求的周长． 条件①：；条件②：的面积为；条件③：边上的高等于． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 变式4．（25-26高三上·北京·月考）在中，，． (1)求A； (2)从下列三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一，求BC边上的高h． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 变式5．（24-25高一下·贵州遵义·月考）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，． (1)求A； (2)在AB边上存在一点E，使得，连接CE，若的面积为，∠BAC的平分线交CE于F点，求的值． 变式6．（2025·上海徐汇·一模）在中，角、、的对边分别为、、，已知，． (1)若，求的面积； (2)若内角的对边，求角的正弦值及外接圆的半径． 2 学科网（北京）股份有限公司 $解三角形：正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、正余弦定理综合使用专项训练 解三角形：正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、正余弦定理综合使用专项训练 考点目录 正弦定理解三角形 余弦定理解三角形 正余弦定理综合使用 考点一 正弦定理解三角形 例1．（24-25高一下·北京朝阳·期中）在中，已知，，，则的大小为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【详解】由正弦定理得，即， 解得，又为三角形内角，所以或， 又因为，所以，又，所以． 故选：A． 例2．（24-25高一下·贵州毕节·期中）在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由正弦定理可得． 故选：C 例3．（25-26高一上·广东汕头·期末）在中，角的对边分别为，若，则外接圆半径为 . 【答案】 【详解】因为， 所以外接圆半径为. 故答案为： 例4．（25-26高一上·上海浦东新·期末）已知中，，则外接圆半径为 . 【答案】 【详解】中，， 根据正弦定理可知，，即，得. 故答案为： 变式1．（25-26高三上·云南昆明·月考）在中，，且，则的最小边长为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【详解】由以及正弦定理可得，故， ，又，解得（舍）， 又因为最小的边长为，故. 故选：B 变式2．（24-25高一下·福建福州·月考）在中，和均为锐角，且．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可知， 由正弦定理得， 即，解得． 故选：A． 变式3．（25-26高三上·山东枣庄·月考）在中，已知，，，则 ． 【答案】 【详解】已知，，， 所以由正弦定理可得，解得. 因为，所以. 故答案为： 变式4．（25-26高三上·湖南长沙·月考）记的内角，，的对边分别为，，，已知，，则 . 【答案】 【详解】因为，所以， 又，则，由正弦定理可得， 又因为，可得，所以，所以， 又因为，可得. 故答案为： 考点二 余弦定理解三角形 例1．（25-26高一上·北京东城·期末）在中，若，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在中，，，， 由余弦定理可得， 即，整理得， 解得或（舍去），故. 故选：D. 例2．（2025·湖南永州·模拟预测）在中，，则最大的内角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为三条边中最大，所以最大的内角为， 由余弦定理得， 由，所以. 故选：C 例3．（2025·四川成都·模拟预测）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，.若，则 ． 【答案】1 【详解】由及正弦定理得， 又，所以， 因为，所以. 由余弦定理知， 即， 即， 所以， 所以． 故答案为：1． 例4．（2025高二上·河南·学业考试）在中，内角的对边分别为，若，则 ． 【答案】2 【分析】根据余弦定理列出关于的方程，然后解方程得到的值. 【详解】在中，由余弦定理得， 得， 整理得，解得或（舍去）. 所以. 故答案：2 变式1．（25-26高三上·河南鹤壁·月考）在中，角的对边分别是，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，根据正弦定理，得，即：， 代入，得：，所以， 所以由余弦定理得： ， 故选：D . 变式2．（2025高三上·江苏·学业考试）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由余弦定理，可得， 又因为，故. 故选：C. 变式3．（25-26高三上·安徽宿州·月考）在中，D在边AB上，CD平分，若，且，则 ． 【答案】 【详解】由题意，如图，设，由角平分线定理可得， 由于，所以由余弦定理可得：， 即：，解得：， 可得：，， ． 故答案为： 变式4．（25-26高三上·山东·月考）在四边形ABCD中，，，，，则 . 【答案】 【详解】在中，，则， 因为，则， 所以A、B、C、D四点共圆，其中为圆的直径， 所以. 故答案为：. 考点三 正余弦定理综合使用 例1．（24-25高一下·江苏南通·月考·多选）如图，在圆的内接四边形中，，下列说法正确的是（    ）    A． B． C． D．四边形的面积为 【答案】AD 【详解】在圆内接四边形中，连接，，，    对于A，由余弦定理得，， 即，解得，而，则，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，解得，C错误； 对于D，四边形的面积，D正确. 故选：AD 例2．（24-25高一下·吉林长春·月考·多选）已知的内角的对边分别为，若，，则下列说法正确的是（    ） A．周长为 B． C．为钝角三角形 D．的外接圆面积为 【答案】ABD 【详解】在中，因为，所以由正弦定理可得. 又，∴，，∴周长为，故选项A正确； 由余弦定理可得.因为，所以，故选项B正确； 又，所以，所以为的最大角. 由余弦定理可得，结合，可知为锐角，所以为锐角三角形，故选项C错误； 由选项B知，所以.设的外接圆半径为，则由正弦定理可得，解得， 所以的外接圆面积为，故选项D正确. 故选：ABD. 例3．（25-26高二上·山东潍坊·月考）记的内角，，的对边分别为，，.已知，，. (1)求； (2)若是的中点，，求的面积. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）对等式移项， 得， 即①. 由 ， 且，故，则， 代入①得， 即. 因，且是三角形的内角，故，， 约去后得，即. 又，故. （2）因为，则. 在中，，，， 由余弦定理：， 即，化简得， 整理为，解得（舍去负根）. 的面积为. 例4．（25-26高一上·北京东城·期末）在中，． (1)求； (2)若，且的面积为，求的周长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，得， 因为，，所以， 所以，所以，所以； （2）由，解得． 由余弦定理可得，， 所以，所以的周长为． 例5．（25-26高三上·天津和平·期末）在中，角所对的边分别为，已知. (1)求角的大小； (2)若. （i）求的值； （ii）求的值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【详解】（1）由正弦定理及二倍角公式可得， 又因为，所以，解得， 由，可得. （2）（i）将代入余弦定理，得， 解得. （ii）因为，故， 由正弦定理，解得， 由，故， 代入. 例6．（25-26高三上·甘肃兰州·期末）在中，角所对的边分别为，且满足． (1)求角的大小； (2)若，求的周长的最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 所以， 因为，所以， 即，即， 所以， 因为，所以，； （2）由余弦定理及， 得，即， 即，又，即， 所以，即，当且仅当时，等号成立， 所以周长， 所以周长最大值为． 变式1．（24-25高一下·辽宁大连·期末·多选）在中，角，，的对边分别为，，，且，则下列选项中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【详解】A：由，化简得，即， 又，则，则为等腰直角三角形，故，故A正确. B：由，可得，因，即， 当，时满足，但此时，故B错误； C：由，则可化简为，即， 即，故C错误； D：若，则，则，则 代入得，整理得，即， 所以，故D正确. 故选：AD. 变式2．（24-25高一下·江西南昌·期末·多选）已知锐角三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且，，则下列结论正确的是（   ） A．B的取值范围为 B．的最小值为 C．c的值可能为3 D．的面积最大值为 【答案】AC 【详解】A选项，因为，为锐角三角形，即，解得； 所以B的取值范围为，即A正确； B选项，因为，，由余弦定理可知， 所以，所以， 因为， 所以当时，取得最小值0，不是；即B错误； C选项，由正弦定理可得，所以c的值可能为3；即C正确； D选项，，故最大值不是，即D错误. 故选：AC 变式3．（25-26高一上·北京海淀·期末）在中，． (1)求； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一，求的周长． 条件①：；条件②：的面积为；条件③：边上的高等于． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在中利用余弦定理可得，， 因为，所以， 又，所以； （2）由，结合正弦定理可得，， 因为，所以， 选①：若，则，则（负值舍去），则， 故的周长为； 选②：，则， 则，则，得（负值舍去）， 故，，， 故的周长为； 选③：因为边上的高等于，所以， 因为，所以，则（负值舍去），则， 故的周长为； 变式4．（25-26高三上·北京·月考）在中，，． (1)求A； (2)从下列三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一，求BC边上的高h． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）解：因为，由正弦定理得， 因为，且， 所以，得， 因为，即， 则，又因为，可得， 所以，可得，可得. （2）解：选择条件①：，因为且， 由余弦定理得， 即，解得， 所以为方程的根，解得或， 即或，所以三角形的元素不唯一，不符合题意. 选择条件②：，因为，可得, 由正弦定理，可得， 因为且，所以为锐角且唯一，所以存在且唯一， 又由， 由正弦定理可得，所以， 可得，即，解得，即边上的高为. 条件③：，由正弦定理，可得， 因为，所以， 又因为，所以为锐角，且唯一确定，所以存在且唯一， 又由， 因为， 所以， 又由正弦定理得，所以， 可得，即，解得，即边上的高为. 变式5．（24-25高一下·贵州遵义·月考）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，． (1)求A； (2)在AB边上存在一点E，使得，连接CE，若的面积为，∠BAC的平分线交CE于F点，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，由可得, 即，由正弦定理得 代入上式得， 因为，所以，即， 解得，因为，所以，所以. （2）由，，则，， 因为，所以， 又，所以， 即，解得，又，所以， 因为AF是角平分线，由角平分线定理得：. 变式6．（2025·上海徐汇·一模）在中，角、、的对边分别为、、，已知，． (1)若，求的面积； (2)若内角的对边，求角的正弦值及外接圆的半径． 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）由二倍角余弦公式可得，可得， 因为，所以，故， 故的面积为. （2）在中，，，， 由余弦定理可得， 故为锐角，且， 由正弦定理可得，故. 2 学科网（北京）股份有限公司 $