以平面向量的数量积为背景的最值问题、平面向量的实际应用问题讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

平面向量：以平面向量的数量积为背景的最值问题、平面向量的实际应用问题讲义 平面向量：以平面向量的数量积为背景的最值问题、平面向量的实际应用问题讲义 考点目录 以平面向量的数量积为背景的最值问题 平面向量的实际应用问题 考点一 以平面向量的数量积为背景的最值问题 【知识点解析】 1.若求平面向量的数量积，常见的处理方法有以下四种： 方法一：定义直接展开：； 方法二：线性运算代换：若，则； 方法三：建系坐标代换：若，则； 方法四：利用三角函数进行代换：在中，为直角，，在任意中，可利用正弦定理进行转换; 适用条件：若已知、和，可用方法一； 若、与存在未知数且能线性代换，可用方法二； 若存在特殊的三角形或特殊的四边形等特殊图形，可用方法三； 若存在直角三角形或知道两角一边，可利用方法四. 2.以平面向量的数量积为背景的最值问题常见处理方法： 方法一：三角函数法：若代数式可化为的性质，可利用三角函数的值域进行求解； 方法二：基本不等式法：若代数式可化为的形式，可利用基本不等式进行求解； 方法三：二次函数法：若代数式可化为的形式，可利用二次函数进行求解； 方法四：投影法：若中，已知或，则或可利用向量投影进行求解； 注意事项：①不管使用哪种方法求最值，均需讨论最值何时能取到； ②若换元，则需注意新变量的取值范围. 【例题分析】 考向一 利用三角函数求最值 例1．（2025·重庆·模拟预测）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，则 ， 因为，所以当时，取最小值， 故选：C. 例2．（2025·吉林长春·模拟预测）已知平面内两个非零向量满足，且与的夹角为，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则， 因为，与的夹角为， 所以在中，，，如图所示， 由正弦定理得外接圆的半径为， 则为圆上与不重合的动点， 设， 由正弦定理可得， 则 ， 当，即时，取得最大值. 故选：B. 考向二 利用基本不等式求最值 例1．（25-26高三上·湖北·月考）如图，在中，，，为与的交点，且,则向量在上的投影向量的模取得最小值时，（   ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【详解】因为三点共线，所以设， 又三点共线，所以， 故，所以， 则在上的投影向量的模为： ， 当且仅当，即时等号成立. 故选：A． 例2．（25-26高二上·上海青浦·月考）已知平面向量满足：，，则的最小值为（　　） A．2 B． C．2 D． 【答案】C 【详解】设，，,由得：，解得， ， 由基本不等式得，当且仅当，即时取等号. 所以 故选：C 考向三 利用二次函数求最值 例1．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在梯形中，，，，若是线段上的动点，且，则的最小值为（    ）    A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【详解】以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，   ，， 设，则（其中）， ， ， 所以，当时，取得最小值11. 故选：C 例2．（24-25高一下·河南·月考）在中，，是上一动点，则 的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，因为，所以. 因为，所以. 则， 因为， . 所以. 令， 这是一个二次函数，二次项系数，函数图象开口向上，对称轴为. 因为，所以当时，取得最小值， . 即的最小值为. 故选：D. 例3．（24-25高一下·辽宁朝阳·期末）已知向量满足：，且，若，其中且，则的最小值为（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】D 【详解】由题意得 ， 等号成立当且仅当，故的最小值为. 故选：D. 考向四 利用投影法求最值 例1．（24-25高一下·江苏南京·月考）《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，其中有一种几何图形与正六边形相关.假设正六边形代表六种不同的卦象元素，边长为20，点是正六边形边内部（包括边界）上的动点，则的最小值是（   ） A． B． C． D．100 【答案】C 【详解】设与的夹角为，所以， 因为表示在方向上的投影， 当点与点重合时，最小， 此时，， 所以的最小值是. 故选：. 【变式训练】 考向一 利用三角函数求最值 变式1．（25-26高三上·陕西商洛·期末）设向量，，则的最大值为（   ） A．13 B．8 C．5 D．10 【答案】B 【详解】 ，其中， 当时，取得最大值8. 故选：B. 变式2．（2025·江苏泰州·二模）在等边中，，P为所在平面内的一个动点，若，则的最大值为（） A．4 B． C． D．6 【答案】B 【详解】以为原点，建立如图所示的平面直角坐标系， ， 点在以为圆心，1为半径的圆上，设 为等边三角形，， ， ， ， 当，即时，， 故选：B. 考向二 利用基本不等式求最值 变式1．（4-25高一下·福建厦门·月考）已知平面向量满足，则的最小值为（　　） A．1 B． C．2 D．3 【答案】D 【详解】在平面直角坐标系中，设， ， ，得. 由， 得， 当且仅当时，等号成立. 因此，的最小值为. 故选：D. 变式2．（4-25高一下·河北唐山·月考）已知平面向量，满足，则的最小值为（   ） A． B． C．12 D．18 【答案】C 【详解】， 当且仅当与反向，且，即，时取等号， 故的最小值为12． 故选：C. 考向三 利用二次函数求最值 变式1．（25-26高三上·安徽·月考）在等腰梯形 中， ，， 是线段 上的动点，则 的最小值为（     ） A． B． C． D．0 【答案】B 【详解】方法一：以 为原点，射线 为 轴正半轴建立直角坐标系，如图所示：    ，则 ， 设 ，其中 ，则 ， ， 当 时， 取得最小值为 . 方法二：极化恒等式 设 的中点为 ，则 ， 当 为 中点时， 取得最小值为 . 故选：B. 变式2．（24-25高一下·河南商丘·期末）已知正方形ABCD的边长为3，点E是边BC上的一点，且，点P是边DC上的一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】以A为坐标原点，AB，AD所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系， 如图所示，则， 设，则，， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为． 故选：C． 考向四 利用投影法求最值 变式1．（24-25高三上·湖南·期中）已知为边长为4的正六边形ABCDEF内部及其边界上的一点，则的取值范围是 . 【答案】[-8，24] 【详解】 由题意可得的模为4， 根据正六边形的特征及投影的定义可以得到在方向上的投影长度的取值范围是， 由数量积定义可知等于的模与在方向上的投影长度的乘积， 所以的取值范围是， 故答案为：. 考点二 平面向量的实际应用问题 【知识点解析】 1. 实际应用的通用解题步骤 （1）建模：根据实际问题，建立平面直角坐标系（优先）或选取合适的基底向量，将所有相关物理量 / 几何量转化为向量； （2）表示：用已知向量表示待求量对应的向量； （3）运算：根据问题需求，选择向量的线性运算、模长、数量积、夹角公式进行计算； （4）还原：将向量运算的结果转化为实际问题的结论（如长度、角度、力的大小、速度方向等）。 2. 解题技巧与注意事项 （1）坐标系建立技巧：优先将定点（如起点、垂足、几何中心）设为原点，将已知的直线（如河岸、斜面、正东 / 正北）设为坐标轴，简化向量坐标表示； （2）区分矢量与标量：物理中矢量（力、速度、位移）用向量运算，标量（路程、功、功率）用模长 / 数量积计算（如功，θ为力与位移的夹角）； （3）平衡问题关键：合向量为零，正交分解后两个垂直方向的分向量和分别为零； （4）避免易错点：向量的夹角必须是共起点的夹角，若向量起点不同，需先平移至共起点再计算夹角。 3. 常见的应用模型 向量是矢量的数学表示，物理中力、速度、位移、加速度都是矢量，可直接用向量运算求解，核心是合成（加法）和分解（正交分解）。 （1）位移问题 原理：总位移为各段位移的向量和，路程为各段位移的模长和（位移是矢量，路程是标量）。 （2）速度问题 原理：合速度为各分速度的向量和，常见船速与水速的合成（渡河问题）。 关键结论： · 船渡河的最短时间：当船速垂直河岸时， ​（d为河宽，v船​为船在静水中的速度）； · 船渡河的最短位移：若​，最短位移为河宽（船速偏向上游，合速度垂直河岸）；若​，最短位移为。 （3）力的问题 原理： · 物体平衡：合外力为零向量（）； · 两个力的合力： ​​，合力大小由平行四边形法则计算，夹角越大，合力越小； · 力的分解：常用正交分解，将力分解到互相垂直的两个方向，分别平衡。 【例题分析】 例1．（25-26高三上·湖北黄冈·月考）如图，一条河的两岸平行，河面宽度为1km.一艘轮船从河岸边的A点出发，向河对岸航行.已知轮船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为.设，的夹角为，当轮船的航程最短时，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图所示，当与的合速度垂直于河岸时，轮船的航程最短， 则， 又，故，. 故选：C 例2．（25-26高三上·河北秦皇岛·月考）已知平面上两个力同时作用于某质点上，其中，若对该质点再施加一个力，使该质点恰好处于平衡状态，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以， 则. 故选：C. 例3．（24-25高一下·广东湛江·月考·多选）如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列四个选项中，其中正确的是（    ） A．绳子的拉力不断增大 B．绳子的拉力不断变小 C．船的浮力不断变小 D．船的浮力保持不变 【答案】AC 【详解】设水的阻力为，绳的拉力为， 绳与水平方向的夹角为， 则， . 增大，减小， 增大， 增大， 船的浮力减小. 故选：AC. 例4．（23-24高一下·山东枣庄·期末·多选）如图，一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行.已知船在静水中的速度的大小，水流方向为正东方向，其速度的大小为，这艘船到达河对岸的时间精确到0.1min，采用四舍五入法.则（    ） 参考数据：    A．这艘船到达河对岸的渡河时间最短时， B．这艘船到达河对岸的渡河时间最短为3min C．这艘船到达河对岸的渡河时间最短为3.1min D．这艘船到达河对岸的航程最短时，渡河时间最短 【答案】AB 【详解】对于A：设与的夹角为，船行驶的时间为， ，    当为钝角时， 当为锐角时， 当为直角时， 则当为钝角时，， 当为锐角时，， 所以当船垂直于对岸行驶，即，所用时间最短，故A正确； 对于B：由A可知，这艘船到达河对岸的渡河时间最短为，故B正确，C错误； 对于D：设点是河对岸一点，与河岸垂直， 那么当这艘船实际沿着方向行驶时，船的航程最短， 由下图可知，设，则， 此时，船的航行时间，故D错误；    故选：AB 例5．（25-26高一上·辽宁·期末）如图所示，把一个物体放在倾斜角为的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力G，沿着斜面向上的摩擦力，垂直斜面向上的弹力，已知那么 N.（）    【答案】100 【详解】以平行于斜坡方向为x轴，垂直于斜坡方向为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，    则，设，， 所以，，， 由题意可得， 所以，即， 解得，. 故答案为：100 例6．（24-25高一下·江苏无锡·期中）若平面上的三个力、、作用于一点，且处于平衡状态.已知，，与的夹角为，则与夹角的大小为 ． 【答案】 【详解】作，，，以、为邻边作平行四边形， 则，    由题意可得，，， ， ， ， 所以，， 因为，故，则， 因此，与夹角的大小为. 故答案为：. 例7．（24-25高一下·云南曲靖·开学考试）三人夺球的游戏规则是：在小球上均匀系上三条绳子，由三人在一水平面上分别拉绳，要求每两人与球连线夹角相等，得到小球者为胜．现甲、乙、丙三人玩此游戏，若甲、乙两人的力量相同，则丙需要多大力才能使小球静止？若甲、乙两人的力量不等，则小球可能静止吗？ 【答案】答案见解析 【详解】设小球为点，甲、乙、丙三人的拉力为， ，，如图所示，    若，则， 且，， 所以只要，， 即丙的力量与甲、乙相同即可使小球静止； 若，则与不在一条直线上，则小球不能静止. 例8．（24-25高一下·山东济宁·月考）已知某发射管内1个原子核裂变成，两个粒子，这两个粒子被加速器加速后同时射出，在某一时刻，它们的位移分别是，． (1)写出此时粒子相对于的位移； (2)计算在上的投影向量． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由题设，粒子相对于的位移； （2）由在上的投影向量为. 【变式训练】 变式1．（25-26高三上·浙江温州·月考）冰球运动是一种以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的相互对抗的集体性竞技运动．在冰球运动中冰球运动员脚穿冰鞋，身着防护装备，以球杆击球，球入对方球门，多者为胜．小华同学在练习冰球的过程中，以力，作用于冰球，使冰球从点移动到点，则力对冰球所做的功的最大值为（   ）（动力做的功） A． B．3 C．4 D．5 【答案】D 【详解】由题，可得，又， ，其中， 当且仅当，时，取得最大值5. 故选：D. 变式2．（24-25高一下·云南曲靖·开学考试）一条河的宽度为，一船从A出发到河的正对岸B处，船速的大小为，水速大小为，则船行到B处时，行驶速度的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知要使船从A出发到河的正对岸B处， 需满足船的实际速度垂直于河的正对岸，如图： 即船速的方向偏向水的上游方向，船速和水速的和即为垂直于对岸， 故船行驶速度的大小为， 故选：D 变式3．（24-25高一下·云南保山·月考·多选）在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包．假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，且与的夹角为．下列结论中正确的是（    ） A．越大越费力，越小越省力 B．的取值范围为 C．当时， D．当时， 【答案】AD 【详解】对于A，根据题意，得，所以， 解得，因为时，单调递减，所以越大越费力，越小越省力，故A正确； 对于B，由题意知的取值范围是，故B错误； 对于C，因为，所以当时，，所以，故C错误； 对于D，因为，所以当时，，所以，故D正确. 故选：AD 变式4．（24-25高一下·江苏南通·月考·多选）长江某段南北两岸平行，如图，江面宽度．一艘游船从南岸码头A点出发航行到北岸．已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流速度的大小为．设和的夹角为θ（），则（    ）．    A．当船的航行时间最短时， B．当船的航行距离最短时， C．当时，船的航行时间为12分钟 D．当时，船的航行距离为 【答案】AB 【详解】对于A，船的航行时间为（），若要船的航行时间最短时，则最大，也就是说当且仅当时，船的航行时间最短时，故A正确； 对于B，当船的航行距离最短时，的方向与河岸垂直，从而，故B正确； 对于C，当时，船的航行时间为小时，也就是6分钟，故C错误； 对于D，由题意设位移分量为，位移为， 则，其中（小时）， 又因为，，和的夹角为， 从而，故D错误. 故选：AB. 变式5．（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考）某人在静水中游泳，速度为km/h．若此人沿垂直于水流的方向游向河对岸，水的流速为4km/h，则此人实际沿与水流方向成 （填弧度数）方向前进，速度为 km/h 【答案】 8 【详解】将此人的游泳速度与水的流速平移至共同起点，作出其和速度， 由此人的游泳速度为km/h，水的流速为4km/h， 可得此人实际速度为 km/h，且与水流方向成. 故答案为： ；8. 变式6．（24-25高一下·山东菏泽·月考）一质点在力，的共同作用下，由点移动到，则，的合力对该质点所做的功为 【答案】16 【详解】由题意得：， ， 则合力对该质点所做的功为. 故答案为：16 变式7．（24-25高一下·云南昭通·期中）某人在静水中游泳，速度为千米/小时，现在他在水流速度为4千米/小时的河中游泳． (1)若他沿垂直于岸边的方向游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度大小为多少？ (2)他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度大小为多少？ 【答案】(1)此人沿与河岸成的夹角顺着水流的方向前进，速度大小为8千米/小时 (2)此人沿向量的方向逆着水流且与河岸所成夹角的余弦值为方向游，实际前进的速度大小为千米/小时 【详解】（1）如图， 设此人游泳的速度为，水流的速度为， 以为邻边作，则此人的实际速度为， 由勾股定理知，且在中，，即， 故此人沿与河岸成的夹角顺着水流的方向前进，速度大小为8千米/小时． （2）如图，设此人的实际速度为，水流速度为，则游速为， 在中，，则， 故此人沿向量的方向逆着水流且与河岸所成夹角的余弦值为方向游， 实际前进的速度大小为千米/小时． 变式8．（24-25高一下·湖北随州·月考）若平面上的三个力作用于一点，且处于平衡状态，已知,,与的夹角为，求： (1)的大小； (2)与夹角的大小. 【答案】(1)（1+）N. (2) 【详解】（1）因为三个力平衡，所以， 所以 , 故的大小为. （2）解法一：设与的夹角为θ， 则， 即=，解得， 因为，所以. 解法二：设与的夹角为θ，得， 因为，所以. 2 学科网（北京）股份有限公司 $平面向量：以平面向量的数量积为背景的最值问题、平面向量的实际应用问题讲义 平面向量：以平面向量的数量积为背景的最值问题、平面向量的实际应用问题讲义 考点目录 以平面向量的数量积为背景的最值问题 平面向量的实际应用问题 考点一 以平面向量的数量积为背景的最值问题 【知识点解析】 1.若求平面向量的数量积，常见的处理方法有以下四种： 方法一：定义直接展开：； 方法二：线性运算代换：若，则； 方法三：建系坐标代换：若，则； 方法四：利用三角函数进行代换：在中，为直角，，在任意中，可利用正弦定理进行转换; 适用条件：若已知、和，可用方法一； 若、与存在未知数且能线性代换，可用方法二； 若存在特殊的三角形或特殊的四边形等特殊图形，可用方法三； 若存在直角三角形或知道两角一边，可利用方法四. 2.以平面向量的数量积为背景的最值问题常见处理方法： 方法一：三角函数法：若代数式可化为的性质，可利用三角函数的值域进行求解； 方法二：基本不等式法：若代数式可化为的形式，可利用基本不等式进行求解； 方法三：二次函数法：若代数式可化为的形式，可利用二次函数进行求解； 方法四：投影法：若中，已知或，则或可利用向量投影进行求解； 注意事项：①不管使用哪种方法求最值，均需讨论最值何时能取到； ②若换元，则需注意新变量的取值范围. 【例题分析】 考向一 利用三角函数求最值 例1．（2025·重庆·模拟预测）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 例2．（2025·吉林长春·模拟预测）已知平面内两个非零向量满足，且与的夹角为，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 考向二 利用基本不等式求最值 例1．（25-26高三上·湖北·月考）如图，在中，，，为与的交点，且,则向量在上的投影向量的模取得最小值时，（   ） A． B．1 C．2 D． 例2．（25-26高二上·上海青浦·月考）已知平面向量满足：，，则的最小值为（　　） A．2 B． C．2 D． 考向三 利用二次函数求最值 例1．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在梯形中，，，，若是线段上的动点，且，则的最小值为（    ）    A．9 B．10 C．11 D．12 例2．（24-25高一下·河南·月考）在中，，是上一动点，则 的最小值为（    ） A． B． C． D． 例3．（24-25高一下·辽宁朝阳·期末）已知向量满足：，且，若，其中且，则的最小值为（    ） A．1 B． C．3 D． 考向四 利用投影法求最值 例1．（24-25高一下·江苏南京·月考）《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，其中有一种几何图形与正六边形相关.假设正六边形代表六种不同的卦象元素，边长为20，点是正六边形边内部（包括边界）上的动点，则的最小值是（   ） A． B． C． D．100 【变式训练】 考向一 利用三角函数求最值 变式1．（25-26高三上·陕西商洛·期末）设向量，，则的最大值为（   ） A．13 B．8 C．5 D．10 变式2．（2025·江苏泰州·二模）在等边中，，P为所在平面内的一个动点，若，则的最大值为（） A．4 B． C． D．6 考向二 利用基本不等式求最值 变式1．（4-25高一下·福建厦门·月考）已知平面向量满足，则的最小值为（　　） A．1 B． C．2 D．3 变式2．（4-25高一下·河北唐山·月考）已知平面向量，满足，则的最小值为（   ） A． B． C．12 D．18 考向三 利用二次函数求最值 变式1．（25-26高三上·安徽·月考）在等腰梯形 中， ，， 是线段 上的动点，则 的最小值为（     ） A． B． C． D．0 变式2．（24-25高一下·河南商丘·期末）已知正方形ABCD的边长为3，点E是边BC上的一点，且，点P是边DC上的一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 考向四 利用投影法求最值 变式1．（24-25高三上·湖南·期中）已知为边长为4的正六边形ABCDEF内部及其边界上的一点，则的取值范围是 . 考点二 平面向量的实际应用问题 【知识点解析】 1. 实际应用的通用解题步骤 （1）建模：根据实际问题，建立平面直角坐标系（优先）或选取合适的基底向量，将所有相关物理量 / 几何量转化为向量； （2）表示：用已知向量表示待求量对应的向量； （3）运算：根据问题需求，选择向量的线性运算、模长、数量积、夹角公式进行计算； （4）还原：将向量运算的结果转化为实际问题的结论（如长度、角度、力的大小、速度方向等）。 2. 解题技巧与注意事项 （1）坐标系建立技巧：优先将定点（如起点、垂足、几何中心）设为原点，将已知的直线（如河岸、斜面、正东 / 正北）设为坐标轴，简化向量坐标表示； （2）区分矢量与标量：物理中矢量（力、速度、位移）用向量运算，标量（路程、功、功率）用模长 / 数量积计算（如功，θ为力与位移的夹角）； （3）平衡问题关键：合向量为零，正交分解后两个垂直方向的分向量和分别为零； （4）避免易错点：向量的夹角必须是共起点的夹角，若向量起点不同，需先平移至共起点再计算夹角。 3. 常见的应用模型 向量是矢量的数学表示，物理中力、速度、位移、加速度都是矢量，可直接用向量运算求解，核心是合成（加法）和分解（正交分解）。 （1）位移问题 原理：总位移为各段位移的向量和，路程为各段位移的模长和（位移是矢量，路程是标量）。 （2）速度问题 原理：合速度为各分速度的向量和，常见船速与水速的合成（渡河问题）。 关键结论： · 船渡河的最短时间：当船速垂直河岸时， ​（d为河宽，v船​为船在静水中的速度）； · 船渡河的最短位移：若​，最短位移为河宽（船速偏向上游，合速度垂直河岸）；若​，最短位移为。 （3）力的问题 原理： · 物体平衡：合外力为零向量（）； · 两个力的合力： ​​，合力大小由平行四边形法则计算，夹角越大，合力越小； · 力的分解：常用正交分解，将力分解到互相垂直的两个方向，分别平衡。 【例题分析】 例1．（25-26高三上·湖北黄冈·月考）如图，一条河的两岸平行，河面宽度为1km.一艘轮船从河岸边的A点出发，向河对岸航行.已知轮船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为.设，的夹角为，当轮船的航程最短时，则（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26高三上·河北秦皇岛·月考）已知平面上两个力同时作用于某质点上，其中，若对该质点再施加一个力，使该质点恰好处于平衡状态，则（   ） A． B． C． D． 例3．（24-25高一下·广东湛江·月考·多选）如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列四个选项中，其中正确的是（    ） A．绳子的拉力不断增大 B．绳子的拉力不断变小 C．船的浮力不断变小 D．船的浮力保持不变 例4．（23-24高一下·山东枣庄·期末·多选）如图，一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行.已知船在静水中的速度的大小，水流方向为正东方向，其速度的大小为，这艘船到达河对岸的时间精确到0.1min，采用四舍五入法.则（    ） 参考数据：    A．这艘船到达河对岸的渡河时间最短时， B．这艘船到达河对岸的渡河时间最短为3min C．这艘船到达河对岸的渡河时间最短为3.1min D．这艘船到达河对岸的航程最短时，渡河时间最短 例5．（25-26高一上·辽宁·期末）如图所示，把一个物体放在倾斜角为的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力G，沿着斜面向上的摩擦力，垂直斜面向上的弹力，已知那么 N.（）    例6．（24-25高一下·江苏无锡·期中）若平面上的三个力、、作用于一点，且处于平衡状态.已知，，与的夹角为，则与夹角的大小为 ． 例7．（24-25高一下·云南曲靖·开学考试）三人夺球的游戏规则是：在小球上均匀系上三条绳子，由三人在一水平面上分别拉绳，要求每两人与球连线夹角相等，得到小球者为胜．现甲、乙、丙三人玩此游戏，若甲、乙两人的力量相同，则丙需要多大力才能使小球静止？若甲、乙两人的力量不等，则小球可能静止吗？ 例8．（24-25高一下·山东济宁·月考）已知某发射管内1个原子核裂变成，两个粒子，这两个粒子被加速器加速后同时射出，在某一时刻，它们的位移分别是，． (1)写出此时粒子相对于的位移； (2)计算在上的投影向量． 【变式训练】 变式1．（25-26高三上·浙江温州·月考）冰球运动是一种以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的相互对抗的集体性竞技运动．在冰球运动中冰球运动员脚穿冰鞋，身着防护装备，以球杆击球，球入对方球门，多者为胜．小华同学在练习冰球的过程中，以力，作用于冰球，使冰球从点移动到点，则力对冰球所做的功的最大值为（   ）（动力做的功） A． B．3 C．4 D．5 变式2．（24-25高一下·云南曲靖·开学考试）一条河的宽度为，一船从A出发到河的正对岸B处，船速的大小为，水速大小为，则船行到B处时，行驶速度的大小为（   ） A． B． C． D． 变式3．（24-25高一下·云南保山·月考·多选）在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包．假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，且与的夹角为．下列结论中正确的是（    ） A．越大越费力，越小越省力 B．的取值范围为 C．当时， D．当时， 变式4．（24-25高一下·江苏南通·月考·多选）长江某段南北两岸平行，如图，江面宽度．一艘游船从南岸码头A点出发航行到北岸．已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流速度的大小为．设和的夹角为θ（），则（    ）．    A．当船的航行时间最短时， B．当船的航行距离最短时， C．当时，船的航行时间为12分钟 D．当时，船的航行距离为 变式5．（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考）某人在静水中游泳，速度为km/h．若此人沿垂直于水流的方向游向河对岸，水的流速为4km/h，则此人实际沿与水流方向成 （填弧度数）方向前进，速度为 km/h 变式6．（24-25高一下·山东菏泽·月考）一质点在力，的共同作用下，由点移动到，则，的合力对该质点所做的功为 变式7．（24-25高一下·云南昭通·期中）某人在静水中游泳，速度为千米/小时，现在他在水流速度为4千米/小时的河中游泳． (1)若他沿垂直于岸边的方向游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度大小为多少？ (2)他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度大小为多少？ 变式8．（24-25高一下·湖北随州·月考）若平面上的三个力作用于一点，且处于平衡状态，已知,,与的夹角为，求： (1)的大小； (2)与夹角的大小. 2 学科网（北京）股份有限公司 $