平面向量的数量积、平面向量的基本定理、平面向量正交分解与坐标运算讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

平面向量：平面向量的数量积、平面向量的基本定理、平面向量正交分解与坐标运算讲义 平面向量：平面向量的数量积、平面向量的基本定理、平面向量正交分解与坐标运算讲义 考点目录 平面向量的数量积 平面向量的基本定理 平面向量正交分解与坐标运算 考点一 平面向量的数量积 【知识点解析】 1.数量积（内积）的定义：. ※为与的夹角，夹角必须有公共起点. 2.数量积（内积）的性质 (1)若，则. (2)当与同向时，；当与反向时，.特别地，，即. (3) 3.数量积（内积）的运算律 (1)交换律：. (2)分配律：. (3)结合律：. ※三个向量不满足结合律，即 4.夹角问题 (1)因为，所以. (2)若与所称之角为锐角，则且与不共线；若与所称之角为钝角，则且与不共线. 5.投影与投影向量 (1)投影：在上的投影为. (2)投影向量：在上的投影向量为. ※注意区分是哪个向量在哪个向量上的投影 【例题分析】 考向一 平面向量数量积的定义与运算 例1．（2026·四川巴中·一模）已知平面向量满足，与的夹角为，则（    ）． A．7 B．1 C． D． 【答案】B 【详解】因为. 故选：B. 例2．（21-22高一下·河北唐山·期末）已知等边△ABC的边长为2，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【详解】因为向量，的夹角为，所以， 故选：B. 例3．（25-26高三上·陕西宝鸡·月考）正方形的边长为2，为的中点，为的中点，则 ． 【答案】0 【详解】在正方形中，，且， ，， . 故答案为：0. 例4．（25-26高三上·安徽合肥·月考）已知在矩形中，，点是边的中点， 则 . 【答案】 【详解】在矩形中，因为，所以. 由平面向量的运算法则可得： . 故答案为：. 考向二 数量积与向量的模 例1．（25-26高二上·四川成都·期末）已知空间向量的夹角为60°，且，则（ ） A． B．2 C． D．7 【答案】A 【详解】由题意，， 因， 故. 故选：A. 例2．（2026·广东湛江·一模）设为单位向量，且，则（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【详解】因为为单位向量，所以， 因为，平方得，即， 所以，即. 故选：B． 例3．（2026·山东济南·一模）若向量满足，且，则的值为 . 【答案】 【详解】因为，所以两边平方得，则， 因为，所以. 故答案为： 例4．（25-26高二上·浙江绍兴·月考）若为空间两两夹角都是的三个单位向量，则 ． 【答案】 【详解】因为为空间两两夹角都是的三个单位向量， 所以 . 故答案为： 考向三 向量垂直问题 例1．（2026·贵州毕节·一模）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 展开得，又，所以. 因为，则，所以， 解得（负值舍去）. 故选： 例2．（25-26高三上·浙江·期末）已知向量满足，且，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【详解】因为，所以， 两式相减得，即． 又，所以，联立，解得,即． 故选：C． 例3．（25-26高三上·安徽阜阳·期末）已知向量与满足，，向量与的夹角为，，则实数= . 【答案】 【详解】由题可知， 因为，所以， 即，解得. 故答案为：. 例4．（2026·四川泸州·二模）已知平面向量，若，则实数 ． 【答案】 【详解】由向量，可得， 因为，所以， 解得. 故答案为：. 考向四 投影与投影向量 例1．（2026·湖南邵阳·一模）已知非零向量，满足，，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由， 所以. 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：A 例2．（24-25高一下·贵州遵义·月考）若向量，且向量在向量上的投影向量为，则（   ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【详解】由题意可知，，则， 因为，所以，则. 故选：C 例3．（25-26高一上·湖南长沙·期末）已知向量与的夹角是，且 ，则向量在向量上的投影向量是 【答案】 【详解】由题意，， 则向量在向量上的投影向量为. 故答案为：. 例4．（25-26高三上·辽宁锦州·月考）已知向量在向量方向上的投影向量为，则 【答案】4 【详解】因向量在向量上的投影向量为， 则，即， 又，则有， 故. 故答案为：4. 考向五 求向量的夹角 例1．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知向量，，，设向量与的夹角为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，即， 又，，向量与的夹角为， 所以，解得. 故选：D. 例2．（2026高二上·辽宁·学业考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由得， 又因为，代入解得， 由， 因为，所以. 故选：C. 例3．（2026·四川绵阳·模拟预测）已知，若，则与的夹角为 ． 【答案】/ 【详解】由可得：， 又因为，所以， 即， 又因为，所以， 故答案为： 例4．（2026·四川攀枝花·一模）若平面向量，，均为单位向量，且，则与的夹角为 ． 【答案】 【详解】由可得，，即， 因为，，均为单位向量，所以， 所以，即. 设与的夹角为， 则，所以. 故答案为： 【变式训练】 考向一 平面向量数量积的定义与运算 变式1．（2025·河南周口·二模）在等边中，，点M为AB的中点，点N满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】    在等边中，， 由于点M为AB的中点，点N满足， 所以. 故选：D. 变式2．（24-25高三上·辽宁·期中）等边的边长为1，，分别是边和上的点，且，，与交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 如图，不妨设，则 因三点共线，故存在，使, 又因三点共线，故存在，使, 对照可得：，解得， 即， 于是 故选：C. 变式3．（25-26高三上·河北衡水·期末）已知单位向量，，，满足，则 . 【答案】 【详解】由，得，又向量是单位向量， 两边平方得，即，所以. 故答案为： 变式4．（2025·江西景德镇·模拟预测）已知边长为6的等边三角形的内心为，则 . 【答案】-6 【详解】记的中点为，等边三角形的内心，也是三角形的重心，所以 ， 则. 故答案为：-6 考向二 数量积与向量的模 变式1．（24-25高二上·贵州遵义·期末）已知向量，满足，，则（   ） A．-2 B． C． D．2 【答案】A 【详解】因为，， 所以. 故选：A 变式2．（2026·河北·一模）已知向量均为单位向量，且 ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由向量均为单位向量，且 ， 得，整理得， 即，所以. 故选：D 变式3．（24-25高二下·贵州遵义·月考）已知向量满足，，，则 ． 【答案】 【详解】因为，所以， 即， 又，所以，① 由， 所以，② 由①②得：， 故答案为：. 变式4．（25-26高一上·浙江宁波·期末）已知，均为单位向量，且，则，的夹角为 . 【答案】 【详解】因为，均为单位向量，且， 所以， 所以， 所以， 所以,的夹角余弦值为，所以,的夹角为. 故答案为：. 考向三 向量垂直问题 变式1．（25-26高三上·重庆沙坪坝·月考）已知向量 满足： ，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 则， 即，解得， 所以， 又，所以. 故选：B 变式2．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期末）平面向量满足，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由可得， 又，所以，所以 所以. 故选：D. 变式3．（25-26高三上·贵州贵阳·期中）已知向量、满足，，且，则与的夹角 . 【答案】 【详解】因为，则， 所以， 又因为，故. 故答案为：. 变式4．（2025·湖南·一模）设为单位向量，且，与的夹角为，则的值为 ． 【答案】4 【详解】因为，所以，所以， 又因为为单位向量，与的夹角为， 所以， 故答案为：4． 考向四 投影与投影向量 变式1．（25-26高三上·安徽阜阳·月考）已知向量，，若向量在向量上的投影向量为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， 由题意知，所以，所以，即=2， 解得. 故选：C. 变式2．（24-25高一下·福建福州·期末）已知向量，，满足，，，则在方向上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得，即， 将，代入上式可得：，即， 根据投影向量的计算公式，在方向上的投影向量为， 则. 故选：B. 变式3．（25-26高三上·甘肃兰州·月考）若非零向量满足，则在方向上的投影向量为 ． 【答案】 【详解】因， 则， 得， 在方向上的投影向量为 ． 故答案为： 考向五 求向量的夹角 变式1．（25-26高二上·湖南·期末）已知向量满足，且，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为 ， 而，则与的夹角为， 故选：B． 变式2．（2026·云南红河·模拟预测）已知非零向量，的夹角为，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，即，即． 又因为，所以，又， 解得． 故选：D． 变式3．（25-26高三上·四川泸州·月考）单位向量，满足，则与的夹角为 ． 【答案】/ 【详解】由是单位向量，则，由，则 ， 设的夹角为，则，即，解得. 由，则. 故答案为：. 变式4．（24-25高一下·贵州·月考）已知，为单位向量，且，若，则 . 【答案】/ 【详解】因，，， 由， 而， 所以， 故答案为：. 考点二 平面向量的基本定理 【知识点解析】 1.基底：如果是平面内的两个不共线向量，则是平面内的一组基底. 2.平面向量基本定理：如果是平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数,使得. 3.平面向量的共线定理：向量与非零向量共线，则有且只有一个实数，使得． 4.鸡爪模型：如图，在中，为底边上的一点，且，则. 5.常见的结论 (1)在中，记,，中点为，则. (2)在中，记,，，. (3)在中，记,， ①若或平分角和或平分角和，则为菱形. ②若，则为矩形. 【例题分析】 考向一 基底的概念 例1．（24-25高一下·山东青岛·期中）若是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A,，故共线，不可作为基底， 对于B, ,故共线，不可作为基底， 对于C, ,故共线，不可作为基底， 对于D, 由于，故不存在实数，使得，因此不共线，故可以作为基底向量， 故选：D 例2．（24-25高一下·山西运城·期中）设是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【详解】是平面内所有向量的一组基底，所以与不共线. 对于A，假设与共线，则存在实数，使，所以，所以假设不成立. 所以与不共线，所以能作为基底，所以A错误； 对于B， 假设与共线，则存在实数，使，所以，所以假设不成立. 所以与不共线，所以能作为基底，所以B错误； 对于C，因为，所以与共线，不能作为基底，所以C正确； 对于D，假设与共线，则存在实数，使，所以，所以假设不成立. 与不共线，所以能作为基底，所以D错误. 故选：C. 考向二 平行向量与共线向量 例1．（24-25高一下·新疆·期中）已知，是平面内的一组基底，，，，若，，三点共线，则实数的值为（    ） A．9 B．13 C．15 D．18 【答案】C 【详解】解：因为，，， 所以， ， 又因为，，三点共线， 所以存在实数，使得， 即， 因为，是平面内的一组基底， 所以由平面向量基本定理可得：， 解得. 故选：C． 例2．（24-25高一下·北京朝阳·月考）已知两个不共线的向量，，且，，，若A，B，D三点共线，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，，， 所以， 因为A，B，D三点共线，所以存在实数，使得， 则， 因为向量，不共线， 所以，解得：， 故选：D 考向三 用基底表示向量 例1．（2026·四川绵阳·模拟预测）已知的两条对角线相交于点O，M为CD的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为,，, 所以 则. 故选：D. 例2．（25-26高一上·浙江宁波·期末）已知，则下列等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为 ， 所以， 即 ， 所以， 故选：C 例3．（2026·江苏南通·一模）在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 所以， 故选：C. 例4．（25-26高三上·天津南开·期末）如图，在等腰梯形中，，E是的中点，连接，相交于点F，连接，若，则 ； ． 【答案】 【详解】： 设，， 等腰梯形性质得，又因为， 所以，① 又因为，② 由①②代入得， ，③ 由题目，得，， 因此， ： 已知，，， 故 ，，， 设，， 因为， 因此，， 所以， 又， 可以得， 解得，， 所以， 又， 所以，（4） 由③④代入得, , , , , 所以. 故答案为：， 例5．（2026高三上·广东·学业考试）如图，在中，，用表示，则 ．    【答案】 【详解】因为，由向量的三角形法则，得 ． 故答案为： 例6．（24-25高一下·江苏宿迁·月考）如图，在中，，分别为边，上的点，若，，则 . 【答案】 【详解】 由已知可得：， 所以，设，则， 因为，所以，即， 因为三点共线，所以， 即，所以， 把代入可得： ， 即，所以， 故答案为： 【变式训练】 考向一 基底的概念 变式1．（24-25高一下·广西南宁·期中）设为平面内的一个基底，则下面四组向量中不能作为基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】根据基底的定义，结合共线向量的性质判断即可. 【详解】平面向量的基底由两个不共线的非零向量组成， C选项中，，即和为共线向量， 所以它们不能作为基底． 其他选项中的两个向量都不共线，所以可以作为基底． 故选：C 变式2．（24-25高一下·云南德宏·期中）若是平面内的一个基底，则下列四组向量中可以作为平面向量基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，，所以两向量共线，即不能构成一组基底，故A错误； 对于B，设则，显然无解，则向量与向量不共线，即能构成一组基底，故B正确； 对于C，，所以两向量共线，即不能构成一组基底，故C错误； 对于D，，所以两向量共线，即不能构成一组基底，故D错误. 故选：B. 考向二 平行向量与共线向量 变式1．（24-25高一下·安徽滁州·期中）是平面内不共线的两向量，已知，若三点共线，则的值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【详解】由得，由三点共线，得， 又不共线，则，所以. 故选：A. 变式2．（24-25高一下·广西防城港·期中）已知与为非零向量，，若A，B，C三点共线，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【详解】由题意知，当A，B，C三点共线时， ，， 且共线，故不妨设， 则，所以，解得. 故选：D 考向三 用基底表示向量 变式1．（24-25高一下·贵州遵义·月考）在中，，过点的直线分别交直线，于点，，设，，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】 由，得， 则， 又，， 则， 又共线，因此，即. 故选：C 变式2．（25-26高三上·新疆·月考）在中，是线段的中点，点E满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为是线段的中点， 所以. 因为，所以， 则. 故选：A 变式3．（25-26高三上·广东珠海·月考）如图，是的中线，G为的中点，过点G的直线分别与交于点，且，，其中，则的最小值为（   ）    A．4 B．9 C． D． 【答案】D 【详解】因为G为的中点，所以， 又是的中线，即为的中点，所以， 所以. 由，，其中，得，， 所以. 因为三点共线，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为. 故选：D. 变式4．（25-26高三上·河北·月考）如图，在中，为的中点，为上一点，且满足，.若，则 . 【答案】/0.4 【详解】因为， 所以. 设，所以①. 因为为的中点，所以. 设，又， 所以 ②. 由①②可得，解得. 所以，所以. 故答案为： 变式5．（24-25高一下·广东广州·月考）如图，在中，，点E是CD的中点，，则 ．(用表示) 【答案】 【详解】由，得， 因为点E是CD的中点，所以. 故答案为： 变式6．（25-26高二上·河南新乡·月考）在四面体中，点在棱上，且，点是线段的中点，点在线段上，.用表示，则 . 【答案】 【详解】由题意得， 所以 . 故答案为：. 考点三 平面向量正交分解与坐标运算 【知识点解析】 1.平面向量的正交分解与坐标表示 如图，在平面直角坐标系中，设与轴、轴方向相同的两个单位向量分别为、，取作为基底.对于平面内的任意一个，由平面向量的基本定理可知，有且只有一对实数、，使得. 这样，平面内的任一向量都可由、唯一确定，我们把有序数对叫做的坐标，记作. 2.在平面直角坐标系中，已知点，，. 3.平面向量的坐标运算 设，，则 ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥. 4.夹角问题： . 【例题分析】 例1．（25-26高三上·河北沧州·月考）已知向量，，若，则实数（    ） A．1 B．2 C．－2 D．－1 【答案】B 【详解】由已知得， 因为 ， 所以，解得， 故选：B． 例2．（25-26高三上·福建·月考）若向量，记，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题设， 所以， 所以. 故选：C. 例3．（24-25高三上·安徽合肥·月考）已知非零向量，若向量在向量上的投影向量为，则 . 【答案】 【详解】， ， 由题意得，即， 解得. 故答案为：. 例4．（24-25高一下·上海·月考）若向量，则在方向上的投影向量的坐标为 ． 【答案】 【详解】因为，所以，， 所以， 所以，即在方向上的投影向量为零向量，坐标为. 故答案为：. 例5．（25-26高一上·北京西城·期末）已知平行四边形的三个顶点，，，设向量，． (1)若实数x，y满足，求x，y的值； (2)若单位向量与向量的方向相反，求的坐标； (3)若与平行，求实数k的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）平行四边形ABCD的三个顶点，，， 向量，， 由，即， 所以，得； （2）设， 根据，即， 所以，即， 所以； （3）由于，， 又与平行， 所以，得. 例6．（25-26高三上·河北张家口·期末）已知向量； (1)求； (2)若，求的值； (3)求与的夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为，则， 则． （2）， 则， 因为，所以， 即，解得． （3）由题知， 则，又， 所以， 又，， 所以． 例7．（25-26高一上·北京海淀·期末）在平面直角坐标系中，，设． (1)若，求的值； (2)若向量满足，且，求向量的坐标． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）由题意得，， 则， 又，所以，得； （2）设，则，即， 因为，，所以，即， 故或， 故向量的坐标为或. 【变式训练】 变式1．（2025·四川南充·一模）已知向量，，，若，则（   ） A． B． C．1 D．5 【答案】C 【详解】因为，，，所以， 因为，所以，解得. 故选：C. 变式2．（25-26高二上·广东汕头·期末）已知向量，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】易知，所以， 则，即. 故选：D 变式3．（2026·安徽芜湖·一模）已知向量，若，则实数 . 【答案】6 【详解】若，则，则， 故答案为：. 变式4．（25-26高二上·陕西渭南·期末）已知空间向量，，若向量与垂直，则 . 【答案】5 【详解】因为，， 所以，， 又因为向量与垂直， 所以， 解得. 故答案为：5. 变式5．（25-26高一上·北京·期末）已知向量． (1)分别求出的值； (2)若，求实数的值； (3)若，求实数的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为， 所以， . （2）因为， 所以由 ， 所以. （3）因为， 所以，， 因为， 所以. 变式6．（25-26高一上·辽宁大连·期末）已知平面向量，，. (1)若，且，求和的值； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为平面向量，，，且， 所以. 则有，解得. （2）因为平面向量，，， 所以，解得，所以向量，， 所以. 所以. 变式7．（24-25高一下·贵州·月考）已知向量，，且. (1)求在上的投影向量； (2)若向量与的夹角为钝角，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，， 所以， 由，可得， 即，解得， 所以， 又与同方向的单位向量，， 故在上的投影向量为. （2），， 向量与的夹角为钝角的充要条件是，且向量与 不共线，即， 解得且， 故m的取值范围是. 2 学科网（北京）股份有限公司 $平面向量：平面向量的数量积、平面向量的基本定理、平面向量正交分解与坐标运算讲义 平面向量：平面向量的数量积、平面向量的基本定理、平面向量正交分解与坐标运算讲义 考点目录 平面向量的数量积 平面向量的基本定理 平面向量正交分解与坐标运算 考点一 平面向量的数量积 【知识点解析】 1.数量积（内积）的定义：. ※为与的夹角，夹角必须有公共起点. 2.数量积（内积）的性质 (1)若，则. (2)当与同向时，；当与反向时，.特别地，，即. (3) 3.数量积（内积）的运算律 (1)交换律：. (2)分配律：. (3)结合律：. ※三个向量不满足结合律，即 4.夹角问题 (1)因为，所以. (2)若与所称之角为锐角，则且与不共线；若与所称之角为钝角，则且与不共线. 5.投影与投影向量 (1)投影：在上的投影为. (2)投影向量：在上的投影向量为. ※注意区分是哪个向量在哪个向量上的投影 【例题分析】 考向一 平面向量数量积的定义与运算 例1．（2026·四川巴中·一模）已知平面向量满足，与的夹角为，则（    ）． A．7 B．1 C． D． 例2．（21-22高一下·河北唐山·期末）已知等边△ABC的边长为2，则（    ） A．2 B． C． D． 例3．（25-26高三上·陕西宝鸡·月考）正方形的边长为2，为的中点，为的中点，则 ． 例4．（25-26高三上·安徽合肥·月考）已知在矩形中，，点是边的中点， 则 . 考向二 数量积与向量的模 例1．（25-26高二上·四川成都·期末）已知空间向量的夹角为60°，且，则（ ） A． B．2 C． D．7 例2．（2026·广东湛江·一模）设为单位向量，且，则（   ） A．1 B． C． D．2 例3．（2026·山东济南·一模）若向量满足，且，则的值为 . 例4．（25-26高二上·浙江绍兴·月考）若为空间两两夹角都是的三个单位向量，则 ． 考向三 向量垂直问题 例1．（2026·贵州毕节·一模）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高三上·浙江·期末）已知向量满足，且，则（   ） A． B． C． D．2 例3．（25-26高三上·安徽阜阳·期末）已知向量与满足，，向量与的夹角为，，则实数= . 例4．（2026·四川泸州·二模）已知平面向量，若，则实数 ． 考向四 投影与投影向量 例1．（2026·湖南邵阳·一模）已知非零向量，满足，，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 例2．（24-25高一下·贵州遵义·月考）若向量，且向量在向量上的投影向量为，则（   ） A． B．1 C．2 D．4 例3．（25-26高一上·湖南长沙·期末）已知向量与的夹角是，且 ，则向量在向量上的投影向量是 例4．（25-26高三上·辽宁锦州·月考）已知向量在向量方向上的投影向量为，则 考向五 求向量的夹角 例1．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知向量，，，设向量与的夹角为，则（   ） A． B． C． D． 例2．（2026高二上·辽宁·学业考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 例3．（2026·四川绵阳·模拟预测）已知，若，则与的夹角为 ． 例4．（2026·四川攀枝花·一模）若平面向量，，均为单位向量，且，则与的夹角为 ． 【变式训练】 考向一 平面向量数量积的定义与运算 变式1．（2025·河南周口·二模）在等边中，，点M为AB的中点，点N满足，则（   ） A． B． C． D． 变式2．（24-25高三上·辽宁·期中）等边的边长为1，，分别是边和上的点，且，，与交于点，则（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高三上·河北衡水·期末）已知单位向量，，，满足，则 . 变式4．（2025·江西景德镇·模拟预测）已知边长为6的等边三角形的内心为，则 . 考向二 数量积与向量的模 变式1．（24-25高二上·贵州遵义·期末）已知向量，满足，，则（   ） A．-2 B． C． D．2 变式2．（2026·河北·一模）已知向量均为单位向量，且 ，则（ ） A． B． C． D． 变式3．（24-25高二下·贵州遵义·月考）已知向量满足，，，则 ． 变式4．（25-26高一上·浙江宁波·期末）已知，均为单位向量，且，则，的夹角为 . 考向三 向量垂直问题 变式1．（25-26高三上·重庆沙坪坝·月考）已知向量 满足： ，则 （    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期末）平面向量满足，，则的值为（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高三上·贵州贵阳·期中）已知向量、满足，，且，则与的夹角 . 变式4．（2025·湖南·一模）设为单位向量，且，与的夹角为，则的值为 ． 考向四 投影与投影向量 变式1．（25-26高三上·安徽阜阳·月考）已知向量，，若向量在向量上的投影向量为，则（   ） A． B． C． D． 变式2．（24-25高一下·福建福州·期末）已知向量，，满足，，，则在方向上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高三上·甘肃兰州·月考）若非零向量满足，则在方向上的投影向量为 ． 考向五 求向量的夹角 变式1．（25-26高二上·湖南·期末）已知向量满足，且，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 变式2．（2026·云南红河·模拟预测）已知非零向量，的夹角为，且，，则（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高三上·四川泸州·月考）单位向量，满足，则与的夹角为 ． 变式4．（24-25高一下·贵州·月考）已知，为单位向量，且，若，则 . 考点二 平面向量的基本定理 【知识点解析】 1.基底：如果是平面内的两个不共线向量，则是平面内的一组基底. 2.平面向量基本定理：如果是平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数,使得. 3.平面向量的共线定理：向量与非零向量共线，则有且只有一个实数，使得． 4.鸡爪模型：如图，在中，为底边上的一点，且，则. 5.常见的结论 (1)在中，记,，中点为，则. (2)在中，记,，，. (3)在中，记,， ①若或平分角和或平分角和，则为菱形. ②若，则为矩形. 【例题分析】 考向一 基底的概念 例1．（24-25高一下·山东青岛·期中）若是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（   ） A． B． C． D． 例2．（24-25高一下·山西运城·期中）设是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 考向二 平行向量与共线向量 例1．（24-25高一下·新疆·期中）已知，是平面内的一组基底，，，，若，，三点共线，则实数的值为（    ） A．9 B．13 C．15 D．18 例2．（24-25高一下·北京朝阳·月考）已知两个不共线的向量，，且，，，若A，B，D三点共线，则的值为（   ） A． B． C． D． 考向三 用基底表示向量 例1．（2026·四川绵阳·模拟预测）已知的两条对角线相交于点O，M为CD的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高一上·浙江宁波·期末）已知，则下列等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 例3．（2026·江苏南通·一模）在中，，则（    ） A． B． C． D． 例4．（25-26高三上·天津南开·期末）如图，在等腰梯形中，，E是的中点，连接，相交于点F，连接，若，则 ； ． 例5．（2026高三上·广东·学业考试）如图，在中，，用表示，则 ．    例6．（24-25高一下·江苏宿迁·月考）如图，在中，，分别为边，上的点，若，，则 . 【变式训练】 考向一 基底的概念 变式1．（24-25高一下·广西南宁·期中）设为平面内的一个基底，则下面四组向量中不能作为基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 变式2．（24-25高一下·云南德宏·期中）若是平面内的一个基底，则下列四组向量中可以作为平面向量基底的是（    ） A． B． C． D． 考向二 平行向量与共线向量 变式1．（24-25高一下·安徽滁州·期中）是平面内不共线的两向量，已知，若三点共线，则的值为（    ） A． B． C． D．3 变式2．（24-25高一下·广西防城港·期中）已知与为非零向量，，若A，B，C三点共线，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 考向三 用基底表示向量 变式1．（24-25高一下·贵州遵义·月考）在中，，过点的直线分别交直线，于点，，设，，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式2．（25-26高三上·新疆·月考）在中，是线段的中点，点E满足，则（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高三上·广东珠海·月考）如图，是的中线，G为的中点，过点G的直线分别与交于点，且，，其中，则的最小值为（   ）    A．4 B．9 C． D． 变式4．（25-26高三上·河北·月考）如图，在中，为的中点，为上一点，且满足，.若，则 . 变式5．（24-25高一下·广东广州·月考）如图，在中，，点E是CD的中点，，则 ．(用表示) 变式6．（25-26高二上·河南新乡·月考）在四面体中，点在棱上，且，点是线段的中点，点在线段上，.用表示，则 . 考点三 平面向量正交分解与坐标运算 【知识点解析】 1.平面向量的正交分解与坐标表示 如图，在平面直角坐标系中，设与轴、轴方向相同的两个单位向量分别为、，取作为基底.对于平面内的任意一个，由平面向量的基本定理可知，有且只有一对实数、，使得. 这样，平面内的任一向量都可由、唯一确定，我们把有序数对叫做的坐标，记作. 2.在平面直角坐标系中，已知点，，. 3.平面向量的坐标运算 设，，则 ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥. 4.夹角问题： . 【例题分析】 例1．（25-26高三上·河北沧州·月考）已知向量，，若，则实数（    ） A．1 B．2 C．－2 D．－1 例2．（25-26高三上·福建·月考）若向量，记，则（   ） A． B． C． D． 例3．（24-25高三上·安徽合肥·月考）已知非零向量，若向量在向量上的投影向量为，则 . 例4．（24-25高一下·上海·月考）若向量，则在方向上的投影向量的坐标为 ． 例5．（25-26高一上·北京西城·期末）已知平行四边形的三个顶点，，，设向量，． (1)若实数x，y满足，求x，y的值； (2)若单位向量与向量的方向相反，求的坐标； (3)若与平行，求实数k的值． 例6．（25-26高三上·河北张家口·期末）已知向量； (1)求； (2)若，求的值； (3)求与的夹角的余弦值． 例7．（25-26高一上·北京海淀·期末）在平面直角坐标系中，，设． (1)若，求的值； (2)若向量满足，且，求向量的坐标． 【变式训练】 变式1．（2025·四川南充·一模）已知向量，，，若，则（   ） A． B． C．1 D．5 变式2．（25-26高二上·广东汕头·期末）已知向量，，若，则（   ） A． B． C． D． 变式3．（2026·安徽芜湖·一模）已知向量，若，则实数 . 变式4．（25-26高二上·陕西渭南·期末）已知空间向量，，若向量与垂直，则 . 变式5．（25-26高一上·北京·期末）已知向量． (1)分别求出的值； (2)若，求实数的值； (3)若，求实数的值． 变式6．（25-26高一上·辽宁大连·期末）已知平面向量，，. (1)若，且，求和的值； (2)若，求的值. 变式7．（24-25高一下·贵州·月考）已知向量，，且. (1)求在上的投影向量； (2)若向量与的夹角为钝角，求实数m的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $