精品解析：2025-2026学年高三上学期1月月考数学试题

2026年1月高三数学月考试题 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 全集，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由补集的定义即可求解. 【详解】由题意，，又，所以. 故选：D. 2. 若复数满足，则复数在复平面内所对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法求得，则，再判断即可． 【详解】，则， ，在复平面内所对应的点为，位于第二象限． 故选：B． 3. 将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用降幂公式整理可得，结合图象变换运算求解. 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度， 得到函数的图象. 结合选项可知A正确. 故选：A. 4. 函数，若，则x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数单调性可得，运算求解即可. 【详解】因为在定义域上单调递增， 若，则，解得， 所以x的取值范围为. 故选：C. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦函数二倍角公式，结合特殊角的正余弦函数值进行求解即可. 【详解】由， 因为，所以， 所以由， 因为，所以. 故选：A 6. 已知幂函数在上单调递增，若实数满足，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据幂函数的定义和单调性求出，得到，代入利用基本不等式求解即可. 【详解】因为是幂函数，且在上单调递增， 所以，解得， 所以， 易知，则， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为， 故选：B 7. 椭圆：的左、右顶点为，，椭圆C的右焦点为F，点P是椭圆C上异于，的一动点，过F作直线的垂线，垂足为M，若椭圆C的离心率为，三角形的面积最大值为6，则椭圆C的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由得到点在以为直径的圆上，，结合，解得和的值，利用求出，从而得到椭圆C的方程. 【详解】因为，所以点在以为直径的圆上， 所以边上的高为半径时，的面积最大， 即， 又因为，即，所以， 解得，所以，得， 故椭圆C的方程为. 故选：C. 8. 已知是锐角三角形，，且，则的最大内接正方形的面积为（ ） A. B. 1 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形的面积公式可求解面积，进而根据等面积法可得，即可根据相似求解正方形的边长得解. 【详解】设，则， 则， 如图：当正方形的一边在直线AB上时，为，过作于，交于， 设正方形的边长为，则，故， 由相似可得，即，故，则， 故，因此正方形的面积为； 同理，当正方形的一边在直线AC或BC上时，不妨设在AC上，可得, 因为,所以,； 则的最大内接正方形的面积为. 故选：A 9. 函数满足：当时，且，，若函数（且）共有6个零点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出，由得到的图像关于直线对称，由求得，从而得到是以4为周期的周期函数.求出的单调性和值域，函数的零点个数就是函数图像与函数图像的交点个数.作出函数与的图像，通过观察图像，分别按照当和时，且当时，得到的不等式组，解出的取值范围即为所求. 【详解】设，， ，， ，， ，函数的图像关于直线对称， ，， 函数是以4为周期的周期函数. 在上是单调递增函数且， 在上是单调递增函数且， ，在上，， 函数在区间上单调递增，且值域为， 在区间上单调递减，在区间上单调递增， 且当时， 当时. 函数的零点个数就是函数图像与函数， （，）图像的交点个数. 作出函数与的图像如下： 函数，（，）共有6个零点， 当，时，，得，， 当，时，，得，， 实数的取值范围是. 故选：C. 二、多选题（每题5分，共10分） 10. 下列说法正确的是（ ） A. 某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，“至少一名男生”和“全是女生”是对立事件 B. 抛掷一颗质地均匀的骰子一次，事件“向上点数1或4”，事件“向上点数是奇数”则 C. 数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的分位数是23 D. 数据的平均数为2，方差为3，则数据的平均数为11，方差为27 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据对立事件的定义即可求解A，根据古典概型概率公式求解B，将数据重新排列，即可根据百分位数的计算公式求解C，根据平均数以及方差的性质即可求解D即可． 【详解】对于A，任选2名同学包含“两名男生”，“两名女生”以及“一男一女”， 则“至少一名男生”和“全是女生”是对立事件，故A正确， 对于B，由题意得， 得到，故B正确， 对于C，将数据从小到大排列为12，13，14，15，17，19，23，24，27，30， 由于，故分位数为，故C错误， 对于D，数据的平均数为2，方差为3， 则数据的平均数为， 方差为，故D正确. 故选：ABD 11. 在棱长为的正方体中，分别为的中点，点是正方体侧面上的一动点（含边界），则下列说法正确的是（     ） A. 异面直线与所成角的余弦值为 B. 当点为棱的中点时，直线与直线平行 C. 若保持，则点在侧面内运动路径的长度为 D. 过直线的平面截该正方体的内切球所得截面圆的面积的最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】以正方体顶点为原点建立空间直角坐标系，得到顶点坐标和中点坐标，然后由空间向量的数量求得异面直线与所成角的余弦值，判断A选项；写出点坐标，由空间向量的坐标关系判断直线与直线是否平行，判断B选项；由得到点的运动轨迹，然后求得圆弧的圆心角即可求得路径长，判断C选项；由空间向量投影求得圆心到直线的距离，即可求得圆心到过直线的平面的最大距离，从前求得切面圆的半径，然后得到面积，判断D选项. 【详解】如图，以正方体的顶点为坐标原点建立空间直角坐标系， ∴，，，，，，， 因分别为的中点，则，，则，， 对于A，设与所成的角为，则，故A正确； 对于B，，，则，，故不存在实数使得，故B错误； 对于C，∵， ∴点在侧面的运动轨迹为平面与球截面的圆弧， 球心到平面的距离为，∴圆弧的半径， 故在正方体侧面的运动轨迹圆弧，其长度为，故C错误； 对于D，易得该正方体的内切球的球心，半径，则向量， ∴球心到直线的距离， ∴球心到过直线的平面最大距离为，此时截面为面积最小的圆， 圆的半径，∴此时截面面积，故D正确. 故选：AD. 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知圆与直线，若直线l与圆C相交于A，B两点，且为等边三角形，则______． 【答案】 【解析】 【分析】将圆的方程转化为标准方程，求得其圆心和半径，根据为等边三角形可知等于圆的半径，由此求得圆心到直线的距离，结合点到直线的距离公式，即可求得的值. 【详解】由圆，得. 所以圆心的坐标为，半径. 因为为等边三角形，所以. 所以圆心到直线的距离为. 即，所以. 故答案为：. 13. 记等差数列的前项和为，若则__________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等差数列性质结合前项和公式求解即可. 【详解】由题意得，所以. 故答案为：. 14. 数列满足，数列满足，.将中的项按从小到大的顺序插入中，且在任意的，之间插入项，从而构成一个新数列：，设的前n项和为，则_____（请用数字作答）. 【答案】12182 【解析】 【分析】根据新数列的结构特点，分组求和即可. 【详解】对于数列，由可得，又， 所以，所以数列是首项为4，公比为2的等比数列， 故，得. 又， 新数列结构为：后插1项，后插3项，…，后插项，到， 总项数为. 当时，到共项， 和为， 插入的到的和， 第92到100项为后插的9项，即到，其和为， 故. 故答案为：12182 四、解答题（共80分） 15. 已知数列 的首项 且满足 （1）求证: 是等比数列； （2）求数列 的前n项和 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）由题可得，据此可完成证明； （2）由（1）结合分组求和法可得答案. 【小问1详解】 因，则， 又，所以， 从而，则是以为首项，公比为4的等比数列. 【小问2详解】 由（1）可得：. 则 16. 函数. （1）若，求的极小值； （2）当时，证明：. 【答案】（1）； （2） 当时，， 令 ，定义域为， 则，其中， 由在上单调递增，且，， 则存在，使得， 当时，，，在上单调递减； 当时，，，在上单调递增； 所以的最小值为， 由，可得，， 所以，即的最小值为0， 综上，，即得证. 【解析】 【分析】（1）代入，求导判断函数单调性，根据单调性求解函数的极小值 （2）要证，即证，令，求导判断单调性，求出的最小值，得证. 【小问1详解】 函数的定义域为，当时，， 由，得，即在上单调递增； 由，得，即在区间上单调递减， 所以的极小值为. 【小问2详解】 略 17. 如图，在四棱锥中，为等腰三角形，底面，，，，，，M为棱的中点. （1）证明：平面； （2）求平面和平面所成夹角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取线段中点N，连接，，易证四边形是平行四边形，再由线面平行判定证结论； （2）构建空间直角坐标系，应用向量法求面面角的余弦值，从而求得正弦值. 【小问1详解】 取的中点N，连接，，如图所示： 在中，因为M，N分别是棱，的中点，所以为的中位线， 所以，且，易知，， 所以，且，所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面，所以平面. 【小问2详解】 由已知，，，所以， 即，得，因为底面，所以，由于为等腰三角形，所以， 以为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 所以，，，，， 因为为棱的中点，所以， 所以，，， 设平面的法向量为，则 令，则，，即平面的一个法向量为， 又平面，平面，所以，由， 且，、在平面上，所以平面，即平面， 所以为平面的一个法向量， 所以， 所以平面和平面所成夹角的正弦值为. 18. 已知函数 （1）求函数的单调区间； （2）当时，对任意，均有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）求导得，再分和讨论即可； （2）根据必要性探路得，再验证充分性成立即可. 【小问1详解】 由题可知函数的定义域为， ， 当时，，所以的单调递增区间是； 当时，令，解得（舍去）， 所以时，时，时，， 所以的单调递减区间是，单调递增区间是． 综上所述，时，的单调递增区间是，无单调减区间； 时，的单调递减区间是，单调递增区间是． 【小问2详解】 由题可知，可得， 只需证明当时，恒成立， 等价于，令，则， 设，对称轴， 故有． 令， 则， 所以在区间上单调递增，且， 所以，所以恒成立. 即，均有恒成立， 所以实数的取值范围为． 19. 在平面直角坐标系中，已知椭圆：的两个焦点分别为，，为椭圆上一动点，设，当时，的面积取得最大值． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线与椭圆交于不同的两点，（点在点，之间）． （i）求的取值范围； （ii）若为椭圆上一点，且，求四边形的面积． 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）设，则，设为椭圆的半焦距，则，可求出，求的面积的最大值就是求的最大值，根据的范围可得，由得到，通过解方程组得到的值，从而得到椭圆的标准方程； （2）（i）设直线的方程，直线和椭圆联立方程组，消去，得到的一元二次方程，设的坐标，由题意可知的一元二次方程的，从而解出的取值范围，利用韦达定理求出和，从而得到同号，求出，由和求出，由的范围求出的范围，换元法设，由点在点，之间得到， 由的范围求出的范围，即得到的范围，继而得到的范围即为所求；（ii）得到和四边形为平行四边形，求出即得的坐标，将点代入椭圆的方程求出的值，利用弦长公式求出，设点直线的距离为，利用点到直线的距离公式求出，则代入数集求解即可. 【小问1详解】 设，则，设为椭圆的半焦距，则， ， 当取最大值时，的面积取得最大值时， ，时，取最大值，此时，或， 的最大面积为，的最大面积为， ，此时，则， ，， 又，联立，解得， 椭圆的标准方程； 【小问2详解】 （i）如图，直线的方程为时，不存在，不满足题意， 设直线的方程为， 联立，消去，得到， 整理得， 设，，， 过点的直线与椭圆交于不同的两点，， ，， ，，同号， ， ，同号，， ，， ，，， ， 设，点在点，之间，则， 转化为， ，，，， ，，，， 的取值范围. （ii）如图，作出符合题意的图形， ，， ，，且四边形为平行四边形， ，， ，为椭圆上一点，， ，， ， ，， 设点直线的距离为，， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年1月高三数学月考试题 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 全集，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则复数在复平面内所对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 4. 函数，若，则x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知幂函数在上单调递增，若实数满足，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 7. 椭圆：的左、右顶点为，，椭圆C的右焦点为F，点P是椭圆C上异于，的一动点，过F作直线的垂线，垂足为M，若椭圆C的离心率为，三角形的面积最大值为6，则椭圆C的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知是锐角三角形，，且，则的最大内接正方形的面积为（ ） A. B. 1 C. D. 4 9. 函数满足：当时，且，，若函数（且）共有6个零点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题5分，共10分） 10. 下列说法正确的是（ ） A. 某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，“至少一名男生”和“全是女生”是对立事件 B. 抛掷一颗质地均匀的骰子一次，事件“向上点数1或4”，事件“向上点数是奇数”则 C. 数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的分位数是23 D. 数据的平均数为2，方差为3，则数据的平均数为11，方差为27 11. 在棱长为的正方体中，分别为的中点，点是正方体侧面上的一动点（含边界），则下列说法正确的是（     ） A. 异面直线与所成角的余弦值为 B. 当点为棱的中点时，直线与直线平行 C. 若保持，则点在侧面内运动路径的长度为 D. 过直线的平面截该正方体的内切球所得截面圆的面积的最小值为 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知圆与直线，若直线l与圆C相交于A，B两点，且为等边三角形，则______． 13. 记等差数列的前项和为，若则__________. 14. 数列满足，数列满足，.将中的项按从小到大的顺序插入中，且在任意的，之间插入项，从而构成一个新数列：，设的前n项和为，则_____（请用数字作答）. 四、解答题（共80分） 15. 已知数列 的首项 且满足 （1）求证: 是等比数列； （2）求数列 的前n项和 16. 函数. （1）若，求的极小值； （2）当时，证明：. 17. 如图，在四棱锥中，为等腰三角形，底面，，，，，，M为棱的中点. （1）证明：平面； （2）求平面和平面所成夹角的正弦值. 18. 已知函数 （1）求函数的单调区间； （2）当时，对任意，均有恒成立，求实数的取值范围. 19. 在平面直角坐标系中，已知椭圆：的两个焦点分别为，，为椭圆上一动点，设，当时，的面积取得最大值． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线与椭圆交于不同的两点，（点在点，之间）． （i）求的取值范围； （ii）若为椭圆上一点，且，求四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $