2025-2026学年高三数学寒假函数章节复习试卷（二）（人教A版）

2025-2026学年高三数学寒假函数章节复习试卷（二） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019必修第一册和相关章节内容。 5．难度系数：0.7。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，，，则实数，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用对数函数的单调性及中间值比较大小即可得解． 【详解】因为，故， ，， 综上所述，，即， 故选：D. 2．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复合函数单调性可知在区间上单调递减，解不等式即可． 【详解】在上单调递减， 又函数在区间上单调递增， 所以在区间上单调递减， ，解得． 3．已知函数，则的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】当时，即为，利用函数和的图像求解不等式；当时，即为，利用函数和函数的图象求解不等式，两类结果取并集即为所求. 【详解】当时，，即为， 画出函数和在上的图象如图所示， 当时，，所以的解为； 当时，不满足； 当时，，即为， 画出函数和函数的图象如图所示， 当时，，所以的解为. 综上，的解为. 故选：A 4．某地由于人们健康水平的不断提高，某种疾病的患病率正以每年16%的比例降低，要将当前的患病率降低一半，需要的时间约为（   ）（参考数据：，） A．3年 B．4年 C．5年 D．6年 【答案】B 【分析】根据已知条件列出函数关系，再解对应方程求得对应的时间即可. 【详解】设当前患病率为，需要年降低到原来的一半, 因为疾病的患病率正以每年16%的比例降低， 所以，经过年后，患病率为， 令，即， 所以 故选：B 5．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则方程的解的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】原题意等价于函数与函数图象的交点个数，作出函数图象即可得解. 【详解】因为方程的解的个数，等价于函数与函数图象的交点个数， 因为函数是定义在上的奇函数，当时，， 在同一直角坐标系中，分别作出它们的图象， 由图象可知，交点个数为3. 故选：B. 6．设函数，设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由指对运算以及不等式的性质求解即可. 【详解】注意到， 故，且. 故选：B. 7．已知函数，则不等式解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，即可判断的奇偶性与单调性，则不等式等价于，结合单调性与奇偶性转化为自变量的不等式，解得即可. 【详解】因为， 令， 则的定义域为且， 所以为奇函数，又、、均在上单调递增， 所以在上单调递增， 所以不等式， 即， 即，即， 等价于，解得， 所以不等式解集为. 故选：C 8．若关于的不等式恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先确定函数的定义域，当时根据的单调性及零点知其不满足条件，当时，根据的单调性及函数值的正负即可求出零点从而求得a. 【详解】令，的定义域为. ①若，在定义域内，不等式恒成立等价于恒成立， 又因为为单调递减函数，，所以当时，，不满足条件； ②若时，时，， 又因为连续且单调递减，所以，所以. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，，，，，则下列选项中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由函数的单调性和基本不等式得出答案. 【详解】已知是单调递增的函数，且; 因为 单调递增，因为，由基本不等式可得， 所以，即，选项A正确. ，而， 所以，选项D正确，C错误. 因为，所以，即，选项B正确. 故选：ABD 10．下列各式正确的有（    ） A．已知，，则 B．已知，则 C．若，，则 D． 【答案】AB 【分析】利用换底公式和对数的运算即可判断AD，利用指数的运算即可判断B，利用指数与对数互化结合指数运算即可判断C. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，由，， 所以，故C错误； 对于D，由 ，故D错误. 故选：AB. 11．已知函数的零点为，函数的零点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由题意可得，，即可判断A；先得到，再结合由于函数在上单调递增可得，进而得到，进而判断BCD. 【详解】由题意可得，，故A正确； 而，则， 由于函数在上单调递增， 且，所以，则， 所以，故B正确； 而，若，则，此时，与矛盾， ，故C错误； 而，故D正确. 故选：ABD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．函数，的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用换元法结合对数运算、对数函数性质、二次函数性质求值即可. 【详解】设，则. . 函数是开口向上的二次函数，对称轴为. 所以. 故答案为：. 13．已知正实数满足，则的最小值为 ． 【答案】16 【分析】首先根据对数化简得出的关系式，然后化简，最后用基本不等式求最值. 【详解】已知， 化简得，， 整理为， 由对数运算法则，得， 由题意， 已知. 由基本不等式：， 当且仅当，即时取等号. 将代入，得， . 故答案为：16 14．已知函数是定义在上的奇函数，，恒有，且当时，，则 【答案】3 【分析】由题设知4为函数的周期，根据已知求得，结合周期性即可得结果. 【详解】因为，则， 所以，可知4为函数的周期， 且， 当时，，则， 所以. 故答案为：3 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）（1）已知：，，求的值； （2）若，，用含、的式子表示. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）利用指数幂的运算性质计算可得出的值； （2）利用换底公式结合对数的运算性质可将用、表示. 【详解】（1）因为，，则； （2）因为，，所以. 16．（15分）已知函数，，. (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)解不等式. 【答案】(1)奇函数，理由见解析. (2) 【分析】（1）先化简并求出定义域，然后利用奇函数的定义判断即可. （2）对不等式进行化简，利用换元法对不等式进行变形，根据对数函数的定义域和单调性求出不等式的解集. 【详解】（1）因为函数，，. 所以. 所以，所以为奇函数. （2）由的定义域得到， 令，则，所以， 解得. 不等式变为. 那么不等式变为， 解不等式为，化简得. 所以且， 综上，且，即且， 所以不等式的解集为. 17．（15分）已知函数. (1)当时，求的值域； (2)当时，若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）令，结合二次函数的性质求出函数的值域. （2）利用换元法及基本不等式求出的最小值，再借助恒成立条件建立不等式求解. 【详解】（1）令，由，得， ， 当时，取最小值为；当时，取最大值为3，即， 所以函数的值域为. （2）依题意，， 令，则，且，于是 ， 而，当且仅当，即时取等号，， 即当时，，由恒成立， 得，解得， 所以实数的取值范围. 18．（17分）已知函数的定义域为. (1)求的取值范围； (2)设. （ⅰ）求证：函数是偶函数； （ⅱ）解关于的不等式. 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析（ⅱ） 【分析】（1）根据对数函数性质以及基本不等式，即可求出结果； （2）（ⅰ）利用与的关系直接判断函数奇偶性即可；（ⅱ）结合复合函数的单调性，即可解出不等式. 【详解】（1）因为的定义域为， 即，且， 令，则， 所以恒成立， 又，当且仅当时，等号成立， 所以. （2）（ⅰ）由题知， ， 所以， 所以函数是偶函数. （ⅱ）由（ⅰ）知，， 当时，，且为增函数， 又在上单调递减，单调递增， 所以在上单调递减， 因为是偶函数，所以在上单调递增， 由，可得，解得， 即不等式的解集为. 19．（17分）已知函数为奇函数，为偶函数，且满足为偶函数，为奇函数． (1)求函数与函数的解析式与定义域； (2)用分段函数的形式写出函数的解析式； (3)函数（）在上有三个零点，求的取值范围． 【答案】(1)，定义域为，，定义域为. (2) (3) 【分析】（1）由函数奇偶性定义列出关系式，然后解得，由函数解析式求得函数定义域； （2）由（1）写出及其定义域，求解集，由解集讨论的取值范围，然后通过对数的运算化简函数解析式，即可求得答案； （3）代入函数，求得函数，令，并讨论的取值得到两个方程，由二次方程的解的个数讨论的取值，然后借助二次函数零点存在性建立不等式组，求得的取值范围． 【详解】（1）由题意可知， ∴，即 ∵，即，∴， ∵，∴， ∴，定义域为，，定义域为. （2）， 由（1）可知函数定义域为， 当，即，则，又∵， ∴当时，，即， ∴， ∴当时，，即， ∴， 故， （3） ， ， 令，即， 当时，，即，∴， 当时，，即，∴， 当时，方程无解，要想有三个解，则二次方程需存在三个不同解，显然不成立， 当时，，则只有一个解，不成立， ∴，方程的解为，又∵， 则，∴，∴，∴ ∴二次方程需在存在两个不同解， 令，开口向上，且对称轴为， 即函数在上单调递减，在上单调递增， 则，，则， 解得， ∴. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高三数学寒假函数章节复习试卷（二） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019必修第一册和相关章节内容。 5．难度系数：0.7。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，，，则实数，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 2．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，则的解集是（   ） A． B． C． D． 4．某地由于人们健康水平的不断提高，某种疾病的患病率正以每年16%的比例降低，要将当前的患病率降低一半，需要的时间约为（   ）（参考数据：，） A．3年 B．4年 C．5年 D．6年 5．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则方程的解的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 6．设函数，设，，则（    ） A． B． C． D． 7．已知函数，则不等式解集为（    ） A． B． C． D． 8．若关于的不等式恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，，，，，则下列选项中正确的是（   ） A． B． C． D． 10．下列各式正确的有（    ） A．已知，，则 B．已知，则 C．若，，则 D． 11．已知函数的零点为，函数的零点为，则（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．函数，的最小值为 ． 13．已知正实数满足，则的最小值为 ． 14．已知函数是定义在上的奇函数，，恒有，且当时，，则 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）（1）已知：，，求的值； （2）若，，用含、的式子表示. 16．（15分）已知函数，，. (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)解不等式. 17．（15分）已知函数. (1)当时，求的值域； (2)当时，若恒成立，求实数的取值范围. 18．（17分）已知函数的定义域为. (1)求的取值范围； (2)设. （ⅰ）求证：函数是偶函数； （ⅱ）解关于的不等式. 19．（17分）已知函数为奇函数，为偶函数，且满足为偶函数，为奇函数． (1)求函数与函数的解析式与定义域； (2)用分段函数的形式写出函数的解析式； (3)函数（）在上有三个零点，求的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $