福建厦门第一中学2025-2026学年第一学期期末考试高二数学试卷

福建省厦门第一中学2025—2026学年度第一学期期末考试 数学试题参考答案与评分标准 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1~4： 5~8： 8．提示：设切点坐标为，切线方程为，代入，得 ，该方程有三个不同的解，，． 令，，易知的增区间为， ，减区间为，则满足题意． 此时，对比可得，故应 选． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．BCD 10． 11． 11． 提示：由及归纳可知，，故选项正确． 由递推公式知，，，，，选项错误． ， 累加得． ，累乘得． ，选项正确． ．因为，所以 ，，，所以 ，所以，选项正确． 综上，应选． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13． 14． 14．提示：如图，分别过，作的平行线，交，于点和点，过作平面的平行平面，分别交三条侧棱及，于，，，，． 可知，且为的中点． 如图，在平面内，以为坐标原点，的内，外角平分线为轴，轴建立平面直角坐标 系，则，. 设，，，则，即． 由，得，即． 所以． （第14题图1） （第14题答题图2） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．解：（1）设的方程为，代入，，的坐标，得 ， 2分 解得，，． 4分 所以的方程为． 5分 （2）设，由，得， 7分 化简得，也即， 所以点的轨迹是以为圆心，半径的圆． 9分 又的方程可化为，以为圆心，半径． 10分 因为，且， 12分 所以与点的轨迹相离． 13分 16．证明：（1）因为平面，平面， 所以，，． 2分 中，为斜边的中点，所以． 3分 又因为，所以，所以为直角三角形，． 5分 因为，，，平面，所以平面． 7分 （2）因为，，所以，所以，，两两垂直． 如图，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系． 由（1）知平面，平面，所以． 所以． 8分 中，， 所以，，，，，． 9分 所以，，，． 设，则． 10分 设平面和平面的法向量分别为，． 由，得，令，得，，． 12分 由，得，令，得，，． 14分 由二面角为直二面角，知，即， 解得． 综上可知，存在满足条件的点，其中． 15分 （第16题答题图） 17．解：（1）函数的定义域为． ，令． 2分 （ⅰ）当，即时，，即， 的减区间为，无增区间． 4分 （ⅱ）当时，由，，知，方程 在有两解，，且． 当时，，即；当时，，即， 的增区间为，减区间为，． 6分 综上所述，当时，的减区间为，无增区间； 当时，的增区间为， 减区间为，． 7分 （2）与函数关于对称的函数为． 若函数的图象上总存在两点关于对称，即函数与函数在上有 交点，也即方程在上有解， 也即函数在上有零点． 9分 又． 令，当时，，此时． 令，则在上有零点． 11分 由，知在上单调递减，若在上有零点， 必有，即． 13分 此时取，． 令，，所以在单调递减， 所以． 14分 由零点存在定理知在上存在唯一零点，此时在上也存 在唯一零点，从而在上存在唯一零点． 综上所述，实数的取值范围是． 15分 18．解：（1）设剪纸书籍的购入量为．由题意知，． 1分 第次开放借阅结束后，剪纸书籍的在馆数量为，借出数量为，第次开放借 阅时，在馆数量借出，剩下，已借出的归还数量为，故第次开放借阅结 束后，该类书籍在馆数量． 3分 所以，此时，． 5分 所以在以为首项，为公比的等比数列． 6分 （2）由（1）知，，所以， 则是递减数列，是其最大项． 7分 因为，所以，图书馆不会出现无剪纸书籍可供借阅的情况， 且当时，恒成立． 9分 若，则不成立； 若，令，得， 故当且时，，矛盾． 综上可知，实数的最大值为． 10分 （3）设次对折后，长方形的长被对折了次，宽被对折了次，，则二元有序数组 共有，，，…，共种取法，即可得到种不同规格的红纸，它们 的面积均为． 12分 所以． 13分 故， 则． 14分 两式相减，得 ． 16分 所以． 17分 19．解：（1）由题意知， 2分 即，化简得，即的方程为． 4分 （2）由（1）知是以，为焦点，为长轴长的椭圆． 设， （必存在）， 令，得，即，． 5分 联立，得． 6分 由，得，且 ，． 8分 所以． 9分 所以为定值． 10分 （3）由对称性知，若存在满足条件，则，均在轴上． 设，，． 11分 设，与联立，得 ， 其中，且，． 12分 由题意知，即 ． 13分 也即 ． 15分 令，解得，或，此时． 16分 综上可知，存在满足条件的，其方程为． 17分 高二数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 福建省厦门第一中学2025—2026学年度 第一学期期末考试 高二年数学试卷 命题教师：曾灿波 审核教师：周翔、刘明钦 2026.1 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若，则 A． B． C． D． 2．若数列是等比数列，且，则 A． B． C． D． 3．若直线的方向向量，，则倾斜角的取值范围是 A． B． C． D． 4．若等轴双曲线的焦点到渐近线的距离为，且上一点到它的一个焦点的距离为， 则到另一个焦点的距离为 A． B． C．或 D． 5．若的三个顶点分别为，，，则点到直线的距离为 A． B． C． D． 6．已知，分别为椭圆的左、右顶点，为上的动点，则的 最小值为 A． B． C． D． 7．水平面上放着半径为的球，球面上两点，满足，若直线与所成的角为，则点到距离的最大值为 A． B． C． D． 8．若过可作曲线的三条切线，切点的横坐标分别为，，，则 的取值范围是 A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．平行六面体中，，， ，点在线段上，满足，为线段的中点，则 A．与的夹角为 B． C．线段的长度为 D．直线与所成的角为 10．过曲线的焦点作两互相垂直的直线，分别交于点，和，，交直线于点，．，分别是以，为直径的圆． A．有最小值 B．是和的公切线 C．在外 D． 11．若数列满足．记，，则 A．是递增数列 B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知等差数列的公差为，，则的前项和 ▲ ． 13．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是 ▲ ． 14．如图，正三棱柱的高为，分别是棱，所在直线上的动点，且，为线段的中点，则的轨迹所在的圆锥曲线的离心率为 ▲ ． （第14题图） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 平面直角坐标系中，已知，，．记的外接圆为． （1）求的方程； （2）若，点满足，试判断点的轨迹与的位置关系． 16．（15分） 如图，在四棱锥中，平面，，，为的中点，， （1）证明：平面； （2）若，侧棱上是否存在一点，使二面角为直二面角？若存在，求的值；若不存在，说明理由． （第16题图） 17．（15分） 已知函数． （1）当时，讨论的单调性； （2）若函数的图象上总存在两点关于对称，求的取值范围． 18．（17分） 国家实施乡村振兴战略，回乡创业成为潮流，窗花剪纸是热门项目．某乡镇图书馆为支持项目发展，购进一批剪纸书籍，并定期开放借阅．试行一段时间统计发现，第一次开放借阅期间，共借出剪纸书籍的，且在后续每一次开放借阅期间，剪纸书籍在馆的有借出，已借出的有归还图书馆．假设上述统计数据在后续运行中没有发生变化，并设第次开放借阅结束后，剪纸书籍在馆数量占购入量的比重为数列． （1）证明：是等比数列； （2）试估计若干次开放借阅之后，图书馆是否将出现无剪纸书籍可供借阅的情况．若是，说明理由；否则，将有恒成立，求实数的最大值； （3）对折是剪纸艺术的重要技术，现有规格为的长方形红纸，对折一次可得到，两种规格的红纸，它们的面积和；对折两次可得到，，三种规格的红纸，它们的面积之和，以此类推．求数列的前项和． 19．（17分） 动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，记动点的轨迹为曲线． （1）求的方程； （2）若直线是在点处的切线，与相交于点． （ⅰ）证明：为定值； （ⅱ）是否存在定圆，使与交于，两点，且以为直径的圆过定点？若存在，求的方程；若不存在，说明理由． 高二数学试题 第1页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $