第1章 整式的乘除单元复习（寒假预习讲义）（5大知识点预习+ 9大分层题型精练+巩固练习）2025-2026学年北师大版七年级数学下学期

第1章 整式的乘除 知识点1：幂的基本运算（同底数幂的乘除、幂的乘方、积的乘方） 运算类型 公式（正用） 法则 逆用公式 注意事项 同底数幂的乘法 （，、为正整数） 底数不变，指数相加 （用于拆分指数） 1.底数必须相同； 2.指数为正整数； 3.底数可为单项式或多项式 幂的乘方 （，、为正整数） 底数不变，指数相乘 （用于统一指数） 区别于同底数幂乘法，指数是“相乘”而非“相加” 积的乘方 （为正整数） 积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘 （用于合并因式） 1.因式包括系数和字母； 2.符号需遵循“奇负偶正”（系数为负数时） 同底数幂的除法 （，、为正整数，且） 底数不变，指数相减 （用于拆分指数） 底数不能为0，否则无意义 知识点2：零指数幂与负整数指数幂 零指数幂：（），即任何不等于0的数的0次幂都等于1。 负整数指数幂：（，为正整数），即任何不等于0的数的次幂等于这个数的次幂的倒数。 科学记数法：表示较小的数时，形式为（，为正整数）；表示较大的数时，形式为（，为正整数）。 知识点3：整式的乘法 运算类型 法则 示例 单项式×单项式 系数相乘，同底数幂相乘，单独字母连同指数作为积的因式 单项式×多项式 用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加（分配律） 多项式×多项式 先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加 知识点4：整式的除法 运算类型 法则 示例 单项式÷单项式 系数相除，同底数幂相除，单独字母连同指数作为商的因式 多项式÷单项式 把多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加 知识点5：乘法公式 公式名称 公式（正用） 结构特征 常见变形（逆用/拓展） 平方差公式 左边：两个二项式相乘，一项相同，一项互为相反数；右边：相同项平方减相反项平方 ；（添括号变形） 完全平方公式 ； 左边：二项式的平方；右边：平方和加（或减）积的2倍 ； 【基础必考题型】 【题型1】幂的基本运算（公式直接应用） 1.核心知识点： 同底数幂的乘除法则 幂的乘方、积的乘方法则 2.解题方法技巧： 先判断运算类型，匹配对应公式； 系数、字母分别运算，最后合并结果； 符号处理：积的乘方中负数的奇次幂为负，偶次幂为正。 【例题1】.（25-26八年级上·云南保山·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（25-26八年级上·河南南阳·月考）下列各式①；②；③；④；⑤，运算正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式题1-2】.（25-26八年级上·湖南衡阳·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式题1-3】.（25-26八年级上·北京朝阳·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型2】零指数幂与负整数指数幂计算 1.核心知识点： 零指数幂的定义（，） 负整数指数幂的定义（，） 2.解题方法技巧： 先判断底数是否为0，排除无意义情况； 负指数幂转化为正指数幂后计算； 结合科学记数法表示结果（如需要）。 【例题2】.（25-26八年级上·陕西安康·期末）计算：等于（   ） A．1 B． C． D．0 【变式题2-1】.（25-26八年级上·山东滨州·期末）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式题2-2】.（25-26八年级上·重庆开州·期末）下列计算错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式题2-3】.（25-26八年级上·福建福州·期末）计算： 【题型3】乘法公式的直接应用 1.核心知识点： 平方差公式、完全平方公式的结构特征 2.解题方法技巧： 平方差公式：识别“相同项”和“相反项”，直接套用； 完全平方公式：牢记中间项“2ab”，避免漏乘2； 结果按字母降幂排列。 【例题3】.（25-26八年级上·天津和平·月考）下列各式能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【变式题3-1】.（25-26八年级上·广东江门·月考）下列等式中，一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式题3-2】.（25-26八年级上·山西忻州·月考）定义为二阶行列式，规定它的运算法则为，那么当时，二阶行列式的值为 ． 【变式题3-3】.（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，求的值． 【培优高频题型】 【题型4】幂的运算逆向应用（求值问题） 1.核心知识点： 幂的运算公式逆用（、等） 2.解题方法技巧： 观察所求代数式的指数特征，拆分或合并指数； 整体代入：将已知幂作为一个整体，代入变形后的式子； 常用技巧：、。 【例题4】.（25-26七年级上·上海·期末）若，则的值是 ． 【变式题4-1】.（25-26九年级上·重庆·期中）已知实数a，b，c满足，，，则的值为 ． 【变式题4-2】.（25-26七年级上·山东枣庄·期末）阅读：已知，求的值． 分析：考虑到x，y的可能值较多，不能逐一代入求解，故考虑整体思想，将整体代入． 解： ． 你能用上述方法解决以下问题吗？ (1)已知，求的值； (2)已知，求代数式的值． 【变式题4-3】.（25-26八年级上·吉林·期末）（1）已知，求的值．（用含m，n的代数式表示） （2）已知，求的值． 【题型5】整式乘法中“不含某项”问题 1.核心知识点： 多项式×多项式法则 合并同类项（同类项的系数相加，字母及指数不变） 2.解题方法技巧： 先展开多项式，合并同类项； 令“不含项”的系数为0，建立方程； 解方程求出参数值。 【例题5】.（25-26八年级上·广东广州·期中）若的结果中不含x项，则 ． 【变式题5-1】.（25-26八年级上·陕西榆林·月考）若的结果中不含x的一次项，求a的值． 【变式题5-2】.（25-26八年级上·河南周口·月考）【知识回顾】 我们在学习代数式求值时，有这样一类题：代数式的值与的取值无关，求的值．通常的解题思路是：把、看作字母，看作系数，合并同类项．因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为．故原式，∵代数式的值与的取值无关，∴，解得． 【理解应用】 （1）若关于的代数式的值与的取值无关，则的值为________； （2）已知，，且的值与的取值无关，求的值； 【能力提升】 （3）将七张如图1的小长方形（长为，宽为）按图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个阴影部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，直接写出的值． 【变式题5-3】.（25-26八年级上·广西南宁·期中）【知识回顾】有这样一类题：代数式的值与的取值无关，求的值；通常的解题方法：把，看作字母，看作系数，合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，所以，即． 【理解应用】（1）的值与的取值无关，求的值； 【能力提升】（2）如图1，小长方形纸片的长为、宽为，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，设．请解决以下问题： ①填空： ②已知的值与的取值无关，求与的数量关系． 【题型6】乘法公式变形求值（整体思想） 1.核心知识点： 完全平方公式的变形（等） 平方差公式的拓展应用 2.解题方法技巧： 分析已知条件与所求代数式的联系，选择合适变形公式； 整体代入已知的、、等代数式； 避免单独求解、，简化计算。 【例题6】.（25-26八年级上·云南昆明·月考）已知，则（    ） A．4 B．6 C．7 D．9 【变式题6-1】.（25-26八年级上·河南信阳·月考）图①是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形． (1)观察图②请你写出下列三个代数式；，，之间的等量关系； (2)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，，求的值． ②已知：求的值． 【变式题6-2】.（25-26七年级上·山东济南·期末）【知识生成】 （1）通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形．把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2）．图1中阴影部分面积可表示为：_____，图2中阴影部分面积可表示为_____，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：_____． 【拓展探究】 图3是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个正方形． （2）用两种不同方法表示图4中阴影部分面积： 方法1：_____，方法2：_____，所以可得到等式：_____； 【迁移运用】 （3）结合以上信息，灵活运用公式，解决如下问题： ①已知，则_____； ②已知，求的值． 【变式题6-3】.（25-26八年级上·湖北黄石·期末）阅读下列文字：我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．例如，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式． (1)模拟练习：如图，写出一个我们熟悉的数学公式： ； (2)解决问题：如果，，求的值； (3)类比探究：如果一个长方形的长和宽分别为和，且，求这个长方形的面积． 【压轴素养题型】 【题型7】生活情境下的幂运算与科学记数法 1.核心知识点： 幂的运算、科学记数法 单位换算（如毫米与纳米、秒与年） 2.解题方法技巧： 提取题目中的数量关系，转化为数学运算； 单位换算时注意指数的变化（如1毫米=10^6纳米）； 科学记数法表示结果时，确保。 【例题7】.（25-26七年级上·河南周口·期中）据科学家测算，用1吨废纸造出的再生好纸相当于亩森林木材的造纸量．某市今年大约有名初中毕业生，每个毕业生离校时大约有12千克废纸，若他们都把废纸送到回收站生产再生好纸，那么至少可使多少亩森林免遭砍伐？ 【变式题7-1】.（25-26七年级上·安徽·期中）一个三位数先四舍五入到十位，所得的数为， 再将四舍五入到百位，所得的数恰好为． (1)数的最大值和最小值分别是多少？ (2)将数x 的最大值和最小值的差用科学记数法表示出来（精确到百位）． 【变式题7-2】.（25-26七年级下·全国·课后作业）光年是一种距离单位，光在真空中一年内走过的路程为1光年，一般被用于计算恒星间的距离． (1)已知光的速度约为，如果按1年为365天、每天为计算，1光年约等于多少千米？（可以借助计算器计算） (2)太阳系以外离地球最近的恒星是比邻星，它与地球的距离大约为．比邻星与地球的距离约合多少光年？（可以借助计算器计算） 【变式题7-3】.（25-26七年级上·贵州贵阳·月考）某银行去年新增加居民存款10亿元人民币．（结果用科学记数法表示） (1)经测量，100 张面值为 100 元的新版人民币大约厚厘米，如果将10亿元面值为 100 元的新版人民币摞起来，大约有多高？ (2)一台激光点钞机的点钞速度是张/时，按每天点钞5小时计算，如果让点钞机点一遍10亿元面值为100元的新版人民币，点钞机大约要点多少天？ 【题型8】乘法公式的几何背景验证 1.核心知识点： 平方差公式、完全平方公式的几何意义 图形面积的和差计算 2.解题方法技巧： 两种方法表示同一图形的面积（整体面积、部分面积和/差）； 建立面积等式，推导乘法公式； 结合图形拆分与拼接，理解公式的本质。 【例题8】.（25-26八年级上·福建厦门·期末）【知识生成】 我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式，例如由图1可以得到 请解答下列问题： （1）写出图2 中所表示的数学等式 ： ； （2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，，求 的值； 【知识迁移】 （3）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图3 表示的是一个棱长为的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图3中图形的变化关系，写出一个数学等式： ． 【变式题8-1】.（25-26八年级上·四川巴中·期末）如图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． (1)观察图2．请你直接写出下列三个式子：之间的关系___________； (2)若x、y均为实数，且，求的值 (3)如图3，分别表示两个正方形的面积，且A、B、C三点在一条直线上，若图中两个正方形的周长之和为，求的值． 【变式题8-2】.（25-26八年级上·吉林·期末）通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． (1)观察图①，请写出之间的等量关系是 ； (2)若，则的值为 ； (3)如图②，点C为线段上的一点，分别以，为边在异侧作正方形和正方形， 连接． 若正方形和正方形的面积之和为20，的面积为4，那么 ； (4)若，写出的值为 ． 【变式题8-3】.（2025八年级上·湖北武汉·专题练习）问题发现： （1）用四个长为a、宽为b的长方形拼成如图①所示的正方形，由此可以得到、、的等量关系是 ； 问题探究： （2）如图②，将边长为a的正方形和边长为b正方形拼在一起，使得A、P、B共线，点E落在上，连接．若，的面积为8，求的长度； 问题解决： （3）如图③，某小区物业准备在小区内规划设计一块休闲娱乐区，其中、为两条互相垂直的道路，且，四边形与四边形为长方形．现计划在两个三角形区域种植花草，两个长方形区域铺设塑胶地面，按规划要求，道路的长度为80米，若种植花草每平方米需要120元，铺设塑胶地面每平方米需要40元，若物业为本次修建休闲娱乐区筹集了30万元，请你通过计算说明该物业筹集的资金是否够用？（道路的宽度均不计） 【题型9】创新定义运算与整式结合 1.核心知识点： 新定义运算的理解 整式的乘除与乘法公式 2.解题方法技巧： 紧扣新定义的运算规则，转化为常规整式运算； 结合幂的运算或乘法公式化简； 注意新定义中字母的取值范围。 【例题9】.（24-25七年级下·四川成都·期末）【定义理解】对于两个正数a，，定义一种新的运算，记作，即：如果，那么例如： 【问题初探】 根据你对定义的理解，请填空：_____；_____；_____ 【归纳猜想】 先观察，与的结果之间的关系．再观察的三个数4，16，64之间的关系．试着归纳：_____ 【初步应用】 如图，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若，，求图中阴影部分的面积． 【变式题9-1】.（25-26八年级上·北京·期中）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)根据上述规定填空：_____，_____； (2)记，，．判断、、之间的等量关系，并说明理由． 【变式题9-2】.（24-25七年级下·江苏泰州·月考）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)【理解】根据上述规定， ①填空： ； ； ②若，则 ；若，则 ； (2)【应用】 已知，，，若，求y的值； (3)【拓展】 若，，求的值． 【变式题9-3】.（25-26八年级上·全国·月考）对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对与．我们规定：．例如：． (1)若是一个完全平方式，求常数k的值： (2)若，且，求的值： (3)在（2）的条件下，将长方形及长方形按照如图方式放置，其中点、分别在边、上，连接、、、．若，，，，求图中阴影部分的面积． 易错点 1.幂的运算中指数混淆：同底数幂相乘（指数相加）与幂的乘方（指数相乘）混淆，如误将、。 2.乘法公式符号错误：完全平方公式中间项符号错误（如）；平方差3.公式相反项判断错误（如误判为平方差）。 4.零指数幂与负指数幂忽略底数限制：如、等错误。 5.整式除法漏项：多项式除以单项式时，遗漏常数项或一次项，如（漏除常数项）。 6.科学记数法表示错误：表示较小数时指数符号错误，如（正确应为）。 重点 1.幂的四大运算性质（同底数幂的乘除、幂的乘方、积的乘方）的正用与逆用，是整式运算的基础。 2.整式的乘除法则（单项式×单项式、单项式×多项式、多项式×多项式、多项式÷单项式）的熟练应用。 3.乘法公式（平方差公式、完全平方公式）的结构识别与灵活应用，包括正向计算、逆向求值、变形拓展。 4.零指数幂、负整数指数幂的定义及应用，科学记数法表示大数与小数。 难点 1.幂的运算与乘法公式的逆向应用：如利用拆分指数求值，利用整体代入。 2.整式运算与实际情境/跨学科融合的建模：将科技、物理、生活中的问题转化为整式运算或乘法公式问题。 3.规律探究题的归纳与证明：从特殊算式/图形中提炼一般规律，并用代数方法验证。 4.含参数的整式运算综合题：根据题目条件建立方程，求解参数，体现方程思想与整体思想的综合应用。 【对应练习题】 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 整式的乘除 知识点1：幂的基本运算（同底数幂的乘除、幂的乘方、积的乘方） 运算类型 公式（正用） 法则 逆用公式 注意事项 同底数幂的乘法 （，、为正整数） 底数不变，指数相加 （用于拆分指数） 1.底数必须相同； 2.指数为正整数； 3.底数可为单项式或多项式 幂的乘方 （，、为正整数） 底数不变，指数相乘 （用于统一指数） 区别于同底数幂乘法，指数是“相乘”而非“相加” 积的乘方 （为正整数） 积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘 （用于合并因式） 1.因式包括系数和字母； 2.符号需遵循“奇负偶正”（系数为负数时） 同底数幂的除法 （，、为正整数，且） 底数不变，指数相减 （用于拆分指数） 底数不能为0，否则无意义 知识点2：零指数幂与负整数指数幂 零指数幂：（），即任何不等于0的数的0次幂都等于1。 负整数指数幂：（，为正整数），即任何不等于0的数的次幂等于这个数的次幂的倒数。 科学记数法：表示较小的数时，形式为（，为正整数）；表示较大的数时，形式为（，为正整数）。 知识点3：整式的乘法 运算类型 法则 示例 单项式×单项式 系数相乘，同底数幂相乘，单独字母连同指数作为积的因式 单项式×多项式 用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加（分配律） 多项式×多项式 先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加 知识点4：整式的除法 运算类型 法则 示例 单项式÷单项式 系数相除，同底数幂相除，单独字母连同指数作为商的因式 多项式÷单项式 把多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加 知识点5：乘法公式 公式名称 公式（正用） 结构特征 常见变形（逆用/拓展） 平方差公式 左边：两个二项式相乘，一项相同，一项互为相反数；右边：相同项平方减相反项平方 ；（添括号变形） 完全平方公式 ； 左边：二项式的平方；右边：平方和加（或减）积的2倍 ； 【基础必考题型】 【题型1】幂的基本运算（公式直接应用） 1.核心知识点： 同底数幂的乘除法则 幂的乘方、积的乘方法则 2.解题方法技巧： 先判断运算类型，匹配对应公式； 系数、字母分别运算，最后合并结果； 符号处理：积的乘方中负数的奇次幂为负，偶次幂为正。 【例题1】.（25-26八年级上·云南保山·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法运算，幂的乘方和积的乘方的运算，合并同类项，根据相关运算法则求解判断即可． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选；C． 【变式题1-1】.（25-26八年级上·河南南阳·月考）下列各式①；②；③；④；⑤，运算正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查了完全平方公式，同底数幂乘法和积的乘方计算，合并同类项，根据相关计算法则求出对应式子的结果即可得到答案． 【详解】解：①，原式计算错误； ②，原式计算错误； ③，原式计算正确； ④，原式计算错误； ⑤，原式计算错误； 故选：A． 【变式题1-2】.（25-26八年级上·湖南衡阳·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查指数运算规则，包括幂的乘方、同底数幂相乘、积的乘方以及合并同类项，根据运算法则逐项判断即可得出结果，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：A、，故原选项计算正确，符合题意； B、，故原选项计算错误，不符合题意； C、，故原选项计算错误，不符合题意； D、，故原选项计算错误，不符合题意； 故选：A． 【变式题1-3】.（25-26八年级上·北京朝阳·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查幂的运算，包括同底数幂相乘、幂的乘方和积的乘方，解题时需注意符号处理，特别是负数的乘方以及运算法则． （1）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加求解； （2）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加求解； （3）根据幂的乘方运算，底数不变，指数相乘求解； （4）根据积的乘方运算，等于每个因式分别乘方． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解：． 【题型2】零指数幂与负整数指数幂计算 1.核心知识点： 零指数幂的定义（，） 负整数指数幂的定义（，） 2.解题方法技巧： 先判断底数是否为0，排除无意义情况； 负指数幂转化为正指数幂后计算； 结合科学记数法表示结果（如需要）。 【例题2】.（25-26八年级上·陕西安康·期末）计算：等于（   ） A．1 B． C． D．0 【答案】A 【分析】本题考查零次幂，掌握相关知识是解决问题的关键．根据零指数幂的定义，任何非零数的零次幂都等于 1． 【详解】解：∵ （），且 ， ∴ ． 故选：A 【变式题2-1】.（25-26八年级上·山东滨州·期末）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了负整数指数幂，根据负整数指数幂的定义，，直接计算即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 【变式题2-2】.（25-26八年级上·重庆开州·期末）下列计算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整数指数幂．根据有理数的乘方，非零数的0次幂等于1，负整数指数幂的性质即可解得． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项符合题意； 故选：D． 【变式题2-3】.（25-26八年级上·福建福州·期末）计算： 【答案】 【分析】本题考查了含负整数指数幂和零指数幂的运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． 分别计算绝对值、零指数幂和负整数指数幂，再进行加减计算． 【详解】解：原式           ． 【题型3】乘法公式的直接应用 1.核心知识点： 平方差公式、完全平方公式的结构特征 2.解题方法技巧： 平方差公式：识别“相同项”和“相反项”，直接套用； 完全平方公式：牢记中间项“2ab”，避免漏乘2； 结果按字母降幂排列。 【例题3】.（25-26八年级上·天津和平·月考）下列各式能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式的结构特征是解本题的关键． 利用平方差公式的结构特征判断即可． 【详解】解：A、，符合公式，该选项符合题意； B、，不符合公式，该选项不符合题意； C、，是完全平方公式，非平方差，该选项不符合题意； D、∵， ∴，非平方差公式，该选项不符合题意． 故选A． 【变式题3-1】.（25-26八年级上·广东江门·月考）下列等式中，一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了运用平方差公式进行运算，运用完全平方公式进行运算等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 通过乘法公式判断各选项是否正确． 【详解】解： ， 故 A错误； ， 故 B错误； ， 故 C错误； ，符合平方差公式， 故D正确， 故选：D． 【变式题3-2】.（25-26八年级上·山西忻州·月考）定义为二阶行列式，规定它的运算法则为，那么当时，二阶行列式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义二阶行列式基本运算法则，整式的乘法相关知识点，解题的关键是读懂新定义的运算法则，根据二阶行列式的运算法则，将行列式转化为代数式后代入计算即可． 【详解】解：由二阶行列式的运算法则，得 当时，原式 ． 故答案为． 【变式题3-3】.（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，求的值． 【答案】4 【分析】本题考查完全平方公式，整体代入思想，熟练掌握完全平方公式的计算法则是解题的关键． 直接利用完全平方公式计算，合并同类项后，整体代入即可得出答案． 【详解】解：原式 ． 当时，原式． 【培优高频题型】 【题型4】幂的运算逆向应用（求值问题） 1.核心知识点： 幂的运算公式逆用（、等） 2.解题方法技巧： 观察所求代数式的指数特征，拆分或合并指数； 整体代入：将已知幂作为一个整体，代入变形后的式子； 常用技巧：、。 【例题4】.（25-26七年级上·上海·期末）若，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，积的乘方的逆用． 先计算单项式乘以多项式，再逆用积的乘方将各项化为的形式，进而根据计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式题4-1】.（25-26九年级上·重庆·期中）已知实数a，b，c满足，，，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方的逆运算等知识﹒根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方的逆运算将变形为结合已知条件求出，即可求出﹒ 【详解】解：∵，，， ∴， ∴﹒ 故答案为：2 【变式题4-2】.（25-26七年级上·山东枣庄·期末）阅读：已知，求的值． 分析：考虑到x，y的可能值较多，不能逐一代入求解，故考虑整体思想，将整体代入． 解： ． 你能用上述方法解决以下问题吗？ (1)已知，求的值； (2)已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2)2026 【分析】本题考查了单项式乘以多项式运算，积的乘方逆运算，代数式求值． （1）先利用单项式乘以多项式运算法则计算，再利用积的乘方逆运算变形，然后代入求值； （2）先将原式变形为，再整体代入求值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， ． 【变式题4-3】.（25-26八年级上·吉林·期末）（1）已知，求的值．（用含m，n的代数式表示） （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）1 【分析】本题考查了同底数幂的除法，幂的乘方法则的逆用，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）逆用同底数幂的除法法则解答即可； （2）逆用同底数幂的除法法则和幂的乘方法则解答即可． 【详解】解：（1）∵， ∴； （2）∵， ∴ ． 【题型5】整式乘法中“不含某项”问题 1.核心知识点： 多项式×多项式法则 合并同类项（同类项的系数相加，字母及指数不变） 2.解题方法技巧： 先展开多项式，合并同类项； 令“不含项”的系数为0，建立方程； 解方程求出参数值。 【例题5】.（25-26八年级上·广东广州·期中）若的结果中不含x项，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查多项式的乘法、合并同类项，正确理解的系数等于零是解题的关键． 先将多项式展开，合并同类项后，令的系数等于零，解方程求出a的值即可． 【详解】解：原式为，展开得：， 令x的系数为0得：， 解得, 故答案为：2． 【变式题5-1】.（25-26八年级上·陕西榆林·月考）若的结果中不含x的一次项，求a的值． 【答案】2 【分析】本题主要考查整式的无关型问题，先利用多项式乘以多项式法则展开，再合并同类项，最后结果中不含x的一次项可知，一次项系数为零，即，求解即可． 【详解】解：∵，且结果中不含x的一次项， ∴， ∴． 【变式题5-2】.（25-26八年级上·河南周口·月考）【知识回顾】 我们在学习代数式求值时，有这样一类题：代数式的值与的取值无关，求的值．通常的解题思路是：把、看作字母，看作系数，合并同类项．因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为．故原式，∵代数式的值与的取值无关，∴，解得． 【理解应用】 （1）若关于的代数式的值与的取值无关，则的值为________； （2）已知，，且的值与的取值无关，求的值； 【能力提升】 （3）将七张如图1的小长方形（长为，宽为）按图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个阴影部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，直接写出的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，单项式乘以多项式在几何图形中的应用，多项式乘法中的无关型问题，正确理解题意是解题的关键． （1）把原式合并同类项，再令含x的项的系数为0，据此列式求解即可； （2）根据整式的相关计算法则求出的展开结果，，再令含x的项的系数为0，据此列式求解即可； （3）根据题意分别用a、b、的长表示出，进而表示出，再根据的值与的长无关列式求解即可． 【详解】解：（1）∵关于的代数式的值与的取值无关， ∴， ∴； （2）∵，， ∴ ， ∵的值与的取值无关， ∴， ∴； （2）由题意得，，， ∴ ， ∵当的长变化时，的值始终保持不变， ∴， ∴， ∴． 【变式题5-3】.（25-26八年级上·广西南宁·期中）【知识回顾】有这样一类题：代数式的值与的取值无关，求的值；通常的解题方法：把，看作字母，看作系数，合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，所以，即． 【理解应用】（1）的值与的取值无关，求的值； 【能力提升】（2）如图1，小长方形纸片的长为、宽为，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，设．请解决以下问题： ①填空： ②已知的值与的取值无关，求与的数量关系． 【答案】（1）；（2）①，；② 【分析】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，涉及整式的乘法、整式的加减知识，熟练掌握整式加减乘法的运算法则是解题关键． （1）先根据整式的加减化简整式，再根据含项的系数为0建立方程，解方程即可得； （2）①，根据图形求出；②由①得到，再根据的值与的取值无关，则． 【详解】（1）解： ， ∵的值与x无关， ， 解得； （2）解：①， 由图可知，，， 故答案为：，； ②则 ， 当的长变化时，的值始终保持不变， 的值与的值无关， ， ． 【题型6】乘法公式变形求值（整体思想） 1.核心知识点： 完全平方公式的变形（等） 平方差公式的拓展应用 2.解题方法技巧： 分析已知条件与所求代数式的联系，选择合适变形公式； 整体代入已知的、、等代数式； 避免单独求解、，简化计算。 【例题6】.（25-26八年级上·云南昆明·月考）已知，则（    ） A．4 B．6 C．7 D．9 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式的应用．熟练掌握完全平方公式变形求值，是解题的关键．利用完全平方公式，将已知条件平方后展开，即可求解． 【详解】∵ ， ∴ ， 即 ， ∴ ． 故选：C． 【变式题6-1】.（25-26八年级上·河南信阳·月考）图①是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形． (1)观察图②请你写出下列三个代数式；，，之间的等量关系； (2)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，，求的值． ②已知：求的值． 【答案】(1) (2)；② 【分析】本题考查对完全平方公式几何意义的理解，应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义；主要围绕图形面积展开分析即可． （1）理解每个代数式的意义，根据不同方法表示的阴影部分的面积相同列式即可； （2）根据（1）的结论代入进行计算即可． 【详解】（1）解： 观察图②可知为大正方形的面积，为小正方形的面积，为一个长方形面积；根据不同方法表示的阴影部分的面积相同得； （2）解：① 【变式题6-2】.（25-26七年级上·山东济南·期末）【知识生成】 （1）通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形．把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2）．图1中阴影部分面积可表示为：_____，图2中阴影部分面积可表示为_____，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：_____． 【拓展探究】 图3是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个正方形． （2）用两种不同方法表示图4中阴影部分面积： 方法1：_____，方法2：_____，所以可得到等式：_____； 【迁移运用】 （3）结合以上信息，灵活运用公式，解决如下问题： ①已知，则_____； ②已知，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）①5；② 【分析】本题考查了完全平方公式的变形与几何意义，掌握完全平方公式的灵活变形是解决问题的关键． （1）图1中阴影部分的面积为大正方形的面积减去小正方形的面积，图1中阴影部分的面积为长方形的面积，分别表示出来，再根据两个图中的阴影部分面积是相同的，即可得到等式； （2）图4中阴影正方形边长为，其面积可以由面积公式求解，也可以由边长为的大正方形的面积减去4个长方形的面积求得； （3）①由（2）得，再代值计算即可； ②利用整体思想，将，分别看成一个整体，结合完全平方公式可得，从而可求出的值． 【详解】解：（1）图1中阴影部分面积可表示为：，图2中阴影部分面积可表示为，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：． 故答案为：； （2）方法1：阴影部分面积为阴影部分正方形的面积，表示为：， 方法2：用大正方形的面积减四个长方形的面积，表示为：， 所以可得到等式：； 故答案为：； （3）①由（2）得， ∵， ∴， 故答案为：5； ②方法1：， ． 方法2：令， 则， 所以． 【变式题6-3】.（25-26八年级上·湖北黄石·期末）阅读下列文字：我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．例如，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式． (1)模拟练习：如图，写出一个我们熟悉的数学公式： ； (2)解决问题：如果，，求的值； (3)类比探究：如果一个长方形的长和宽分别为和，且，求这个长方形的面积． 【答案】(1) (2)13 (3)这个长方形的面积为30 【分析】本题考查了完全平方公式： （1）利用大正方形的两种面积表示方法，整体面积与分割后各部分面积之和相等得到等式； （2）用（1）中的公式变形，整体代入计算； （3）通过换元法，设，将问题转化为（1）中的已知公式，再利用完全平方公式变形求出长方形的面积． 【详解】（1）解：大正方形的面积可以表示为，也可以表示为， ， 故答案为：． （2）解：， ， ． （3）解：设，则该长方形的面积为， ， ， ． ∴这个长方形的面积为30． 【压轴素养题型】 【题型7】生活情境下的幂运算与科学记数法 1.核心知识点： 幂的运算、科学记数法 单位换算（如毫米与纳米、秒与年） 2.解题方法技巧： 提取题目中的数量关系，转化为数学运算； 单位换算时注意指数的变化（如1毫米=10^6纳米）； 科学记数法表示结果时，确保。 【例题7】.（25-26七年级上·河南周口·期中）据科学家测算，用1吨废纸造出的再生好纸相当于亩森林木材的造纸量．某市今年大约有名初中毕业生，每个毕业生离校时大约有12千克废纸，若他们都把废纸送到回收站生产再生好纸，那么至少可使多少亩森林免遭砍伐？ 【答案】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法、有理数乘法运算等知识点，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解题的关键． 先根据毕业生人数和人均废纸量计算废纸总重量，然后将单位换算为吨；最后根据题干“至少”的要求，即乘以系数，从而计算出可使森林免遭砍伐的最小亩数，最后将结果用科学记数法表示即可． 【详解】解：所有毕业生共有废纸：（吨）， （亩）． 答：至少可使森林免遭砍伐亩． 【变式题7-1】.（25-26七年级上·安徽·期中）一个三位数先四舍五入到十位，所得的数为， 再将四舍五入到百位，所得的数恰好为． (1)数的最大值和最小值分别是多少？ (2)将数x 的最大值和最小值的差用科学记数法表示出来（精确到百位）． 【答案】(1)最大值是544，最小值是445 (2) 【分析】本题考查了四舍五入和科学记数法，熟悉掌握四舍五入的运算特征和科学记数法是解题的关键． （1）根据四舍五入的运算特征解答即可； （2）先运算出差值进行四舍五入，再进行科学记数法即可． 【详解】（1）解：∵ ∴四舍五入到十位后的数最大是540，四舍五入到十位后的数最小是450， ∴的最大值是，最小值是； （2）解：∵， ∴． 【变式题7-2】.（25-26七年级下·全国·课后作业）光年是一种距离单位，光在真空中一年内走过的路程为1光年，一般被用于计算恒星间的距离． (1)已知光的速度约为，如果按1年为365天、每天为计算，1光年约等于多少千米？（可以借助计算器计算） (2)太阳系以外离地球最近的恒星是比邻星，它与地球的距离大约为．比邻星与地球的距离约合多少光年？（可以借助计算器计算） 【答案】(1) 千米 (2)光年 【分析】本题考查了科学记数法的定义，有理数的运算． （1）利用路程等于速度乘以时间的公式，计算光在一年内走过的距离； （2）将比邻星与地球的距离除以1光年的距离，得到对应的光年数． 【详解】（1）解：光速为千米/秒，一年时间为秒， ， 所以一年时间为秒， 1光年等于千米， 约等于千米； （2）解：比邻星与地球的距离为千米，1光年约千米， （光年）． 答：比邻星与地球的距离约合光年 【变式题7-3】.（25-26七年级上·贵州贵阳·月考）某银行去年新增加居民存款10亿元人民币．（结果用科学记数法表示） (1)经测量，100 张面值为 100 元的新版人民币大约厚厘米，如果将10亿元面值为 100 元的新版人民币摞起来，大约有多高？ (2)一台激光点钞机的点钞速度是张/时，按每天点钞5小时计算，如果让点钞机点一遍10亿元面值为100元的新版人民币，点钞机大约要点多少天？ 【答案】(1)厘米 (2)天 【分析】本题考查了科学记数法及其计算，正确表示各数是解题的关键； （1）先求出10亿元人民币的总张数，再计算高度； （2）用10亿元人民币的张数除以1天点钞机点的张数列式求解即可． 【详解】（1）解：10 亿， 所以10亿元面值为100元的新版人民币的总张数为， （厘米）； 答：将10亿元面值为 100 元的新版人民币摞起来，大约有厘米高． （2）解：； 答：点钞机大约要点天． 【题型8】乘法公式的几何背景验证 1.核心知识点： 平方差公式、完全平方公式的几何意义 图形面积的和差计算 2.解题方法技巧： 两种方法表示同一图形的面积（整体面积、部分面积和/差）； 建立面积等式，推导乘法公式； 结合图形拆分与拼接，理解公式的本质。 【例题8】.（25-26八年级上·福建厦门·期末）【知识生成】 我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式，例如由图1可以得到 请解答下列问题： （1）写出图2 中所表示的数学等式 ： ； （2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，，求 的值； 【知识迁移】 （3）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图3 表示的是一个棱长为的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图3中图形的变化关系，写出一个数学等式： ． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了完全平方公式，多项式的乘法，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）图2是一个边长为的大正方形，其面积可以表示为，同时，大正方形又可以分割为一个边长为的正方形，一个边长为的正方形，一个边长为的正方形，两个长为、宽为的长方形，两个长为、宽为的长方形，两个长为、宽为的长方形，它们的面积之和为，由此即可得出结果； （2）根据（1）中得出的公式计算即可得出结果； （3）分别表示出左边图形的体积为，右边图形的体积为，即可得出结果． 【详解】解：（1）图2是一个边长为的大正方形，其面积可以表示为， 同时，大正方形又可以分割为一个边长为的正方形，一个边长为的正方形，一个边长为的正方形，两个长为、宽为的长方形，两个长为、宽为的长方形，两个长为、宽为的长方形，它们的面积之和为， ∴； （2）∵，，且， ∴； （3）由图3可得，左边图形的体积为大正方形的体积减去挖去的长方形的体积，为， 右边图形的体积为， 故． 【变式题8-1】.（25-26八年级上·四川巴中·期末）如图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． (1)观察图2．请你直接写出下列三个式子：之间的关系___________； (2)若x、y均为实数，且，求的值 (3)如图3，分别表示两个正方形的面积，且A、B、C三点在一条直线上，若图中两个正方形的周长之和为，求的值． 【答案】(1) (2) (3)40 【分析】本题主要考查完全平方式的运用与转化，解题的关键在于灵活运用求解． （1）根据图2可知大正方形面积=四个矩形的面积+中间小正方形的面积，从而可得到关系式． （2）先求出的值，再利用第（1）问中的关系式，求解即可． （3）设小正方形边长为，大正方形边长为．得，根据图中两个正方形的周长之和为列式解答即可． 【详解】（1）解：由图可知，大正方形面积=四个矩形的面积+中间小正方形的面积， 即， 故答案为：． （2）解：∵， ∴， ； （3）解：设小正方形边长为，大正方形边长为． 由题意得， ， ． 【变式题8-2】.（25-26八年级上·吉林·期末）通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． (1)观察图①，请写出之间的等量关系是 ； (2)若，则的值为 ； (3)如图②，点C为线段上的一点，分别以，为边在异侧作正方形和正方形， 连接． 若正方形和正方形的面积之和为20，的面积为4，那么 ； (4)若，写出的值为 ． 【答案】(1) (2)22 (3)6 (4) 【分析】本题考查了整式的应用，观察图形，正确表示出图形的面积是解题关键． （1）根据正方形的面积公式即可求解； （2）利用（1）中得到的等式进行计算即可； （3）设正方形的边长为，正方形的边长为，表示出正方形的面积，正方形的面积，的面积，再利用（1）中的等式进行计算即可； （4）设，得到，，进而可利用（1）中等式进行变形计算即可． 【详解】（1）解：大正方形的面积可以表示为：， 还可以表示为两个小正方形的面积加上两个小长方形的面积：， ∴， 故答案为：． （2）解：∵由（1）可得， ∵， ∴， 故答案为：． （3）解：设正方形的边长为，正方形的边长为， ∴正方形的面积为，正方形的面积为， ∴正方形的面积和正方形的面积为， ∴的面积为：，故， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． （4）解：设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式题8-3】.（2025八年级上·湖北武汉·专题练习）问题发现： （1）用四个长为a、宽为b的长方形拼成如图①所示的正方形，由此可以得到、、的等量关系是 ； 问题探究： （2）如图②，将边长为a的正方形和边长为b正方形拼在一起，使得A、P、B共线，点E落在上，连接．若，的面积为8，求的长度； 问题解决： （3）如图③，某小区物业准备在小区内规划设计一块休闲娱乐区，其中、为两条互相垂直的道路，且，四边形与四边形为长方形．现计划在两个三角形区域种植花草，两个长方形区域铺设塑胶地面，按规划要求，道路的长度为80米，若种植花草每平方米需要120元，铺设塑胶地面每平方米需要40元，若物业为本次修建休闲娱乐区筹集了30万元，请你通过计算说明该物业筹集的资金是否够用？（道路的宽度均不计） 【答案】（1）；（2）6；（3）该物业筹集的资金不够用，理由见详解． 【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用： （1）根据不同方法求正方形的面积，列等式即可； （2）设，，求出，，结合，求出即可； （3）设，，求出， 两个三角形区域的面积之和为，两个长方形区域的面积之和为， 一共需要的资金为，再求出，得即可解答． 【详解】（1）解：正方形的面积可以表示为， 又可以表示为四个长为a、宽为b的长方形面积加上一个边长为的正方形面积， 即， ∴； （2）解：设，， ∴， ∵的面积为8， ∴，即， ∵， ∴， ∴或（舍去） ∴； （3）解：该物业筹集的资金不够用，理由如下： 设，， 由题意得， ∴， 两个三角形区域的面积之和为， 两个长方形区域的面积之和为， 一共需要的资金为 ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴该物业筹集的资金不够用． 【题型9】创新定义运算与整式结合 1.核心知识点： 新定义运算的理解 整式的乘除与乘法公式 2.解题方法技巧： 紧扣新定义的运算规则，转化为常规整式运算； 结合幂的运算或乘法公式化简； 注意新定义中字母的取值范围。 【例题9】.（24-25七年级下·四川成都·期末）【定义理解】对于两个正数a，，定义一种新的运算，记作，即：如果，那么例如： 【问题初探】 根据你对定义的理解，请填空：_____；_____；_____ 【归纳猜想】 先观察，与的结果之间的关系．再观察的三个数4，16，64之间的关系．试着归纳：_____ 【初步应用】 如图，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】问题初探：2；4；6；归纳猜想：；初步应用：96 【分析】本题主要考查了幂的乘方计算，新定义，完全平方公在几何图形中的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据新运算的法则计算即可求解； （2）根据（1）的运算结果，归纳得； （3）根据（2）所求可得，再根据列式求解即可． 【详解】解：问题初探：∵， ∴；；； 归纳猜想：∵，，， ∴， ∴， 又∵， ∴； 初步应用：∵，，， ∴， ∵， ∴ ． 【变式题9-1】.（25-26八年级上·北京·期中）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)根据上述规定填空：_____，_____； (2)记，，．判断、、之间的等量关系，并说明理由． 【答案】(1)3，4 (2)，理由见解析 【分析】本题考查有理数的乘方运算和同底数幂的乘法运算； （1）直接利用有理数乘方运算法则计算得出答案； （2）直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案． 【详解】（1）解：∵， ； ， ． 故答案为：3，4； （2）解：，理由如下， ∵， ， ， ， ． 【变式题9-2】.（24-25七年级下·江苏泰州·月考）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)【理解】根据上述规定， ①填空： ； ； ②若，则 ；若，则 ； (2)【应用】 已知，，，若，求y的值； (3)【拓展】 若，，求的值． 【答案】(1)①；；②32；4 (2) (3) 【分析】本题主要考查有理数的乘方、同底数幂的乘除法，负整数指数幂，熟练掌握有理数的乘方、同底数幂的乘除法法则是解决本题的关键． （1）①根据规定的两数之间的运算法则解答；②根据规定的两数之间的运算法则解答； （2）根据规定的运算可得，，，结合同底数幂的乘法法则计算即可； （3）根据规定的运算和同底数幂乘法的逆用进行求解即可． 【详解】（1）解：①∵，， ∴；； 故答案为：；； ②∵， ∴， ， ∴； 故答案为：32；4； （2）∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3），， ，， ∴，    ∴． 【变式题9-3】.（25-26八年级上·全国·月考）对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对与．我们规定：．例如：． (1)若是一个完全平方式，求常数k的值： (2)若，且，求的值： (3)在（2）的条件下，将长方形及长方形按照如图方式放置，其中点、分别在边、上，连接、、、．若，，，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了新定义公式，完全平方式，完全平方公式变形应用，整式的混合运算，熟练掌握新定义公式，完全平方式是解题的关键． （1）根据新定义，求出，再根据完全平方式的特征，即可求出； （2）根据新定义，求出的左边，从而得出方程，再配方将整体代入，即可求出； （3）根据阴影部分的面积等于，，把阴影部分的面积表示出来，从得到含有，的整式，再把（2）的条件和结论整体代入即可． 【详解】（1）解：， ∵是一个完全平方式， ∴； （2）解： ， 去括号得：， 合并同类项得：， ， ， ， ， 解得：； （3）解：，， ， ， ， ， ， 阴影部分的面积为：， ，， 阴影部分的面积为：． 易错点 1.幂的运算中指数混淆：同底数幂相乘（指数相加）与幂的乘方（指数相乘）混淆，如误将、。 2.乘法公式符号错误：完全平方公式中间项符号错误（如）；平方差3.公式相反项判断错误（如误判为平方差）。 4.零指数幂与负指数幂忽略底数限制：如、等错误。 5.整式除法漏项：多项式除以单项式时，遗漏常数项或一次项，如（漏除常数项）。 6.科学记数法表示错误：表示较小数时指数符号错误，如（正确应为）。 重点 1.幂的四大运算性质（同底数幂的乘除、幂的乘方、积的乘方）的正用与逆用，是整式运算的基础。 2.整式的乘除法则（单项式×单项式、单项式×多项式、多项式×多项式、多项式÷单项式）的熟练应用。 3.乘法公式（平方差公式、完全平方公式）的结构识别与灵活应用，包括正向计算、逆向求值、变形拓展。 4.零指数幂、负整数指数幂的定义及应用，科学记数法表示大数与小数。 难点 1.幂的运算与乘法公式的逆向应用：如利用拆分指数求值，利用整体代入。 2.整式运算与实际情境/跨学科融合的建模：将科技、物理、生活中的问题转化为整式运算或乘法公式问题。 3.规律探究题的归纳与证明：从特殊算式/图形中提炼一般规律，并用代数方法验证。 4.含参数的整式运算综合题：根据题目条件建立方程，求解参数，体现方程思想与整体思想的综合应用。 【对应练习题】 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $