6.4.3.1·余弦定理【寒假预习讲义】-2025-2026学年高一数学人教A版必修第二册

2026年寒假高一数学下学期常考题型归纳 【6.4.3.1·余弦定理】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 1.余弦定理的文字表述（基础定义，必记） 知识点：在任意一个三角形中，任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍；简言之，“边的平方=另两边平方和−2×另两边×夹角余弦”；核心关联：三角形的三边与任意一角的对应关系，实现“边→角”“角→边”的双向转化，适用于任意三角形（锐角、直角、钝角三角形均成立） 易错辨析：①误将余弦定理局限于“钝角三角形”，忽略其对任意三角形均成立（直角三角形中，夹角为90°时，cos90°=0，余弦定理退化为勾股定理）；②文字表述遗漏“两倍”，误记为“一边的平方等于其他两边平方和减去这两边与夹角余弦的积”；③混淆“夹角”定义，误将某边与另一边的对角当作“夹角”（夹角是指两个边之间的角，即“边的夹角”，而非对角）；④文字表述中，颠倒“边”与“角”的对应关系，误说为“角的余弦等于两边平方和减去第三边平方” 重点记忆：①核心口诀：“边方等于另两边方和，减去两倍两边乘夹角余弦”（精准对应公式，易记不遗漏）；②关键前提：任意三角形均适用，无三角形类型限制；③夹角定义：两条边的夹角，是这两条边公共端点所对的角，如边a、b的夹角为C，边b、c的夹角为A；④与勾股定理的关系：余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特殊情况（夹角为90°） 常考结论：①若三角形为直角三角形，设C=90°，则余弦定理变为（勾股定理），可用于验证余弦定理的正确性；②文字表述是公式记忆的基础，题干若出现“文字描述转化为公式”题型，需精准对应边与角的关系；③任意三角形中，三边与一角必满足余弦定理的文字逻辑，无例外情况 2.余弦定理的公式表示 知识点：设△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c（边角对应原则：角A对边a，角B对边b，角C对边c），则余弦定理的标准公式、变式公式如下： ①标准公式（边的平方形式，高频应用）： ②变式公式（角的余弦形式，求角专用）： 易错辨析：①标准公式中，漏写“2”或符号错误，误记为或；②边角对应错误，这是高频易错点，如误将写成（边a的平方对应角A的余弦，而非角C）；③变式公式中，分子、分母颠倒，误记为；④字母书写不规范，如将角A对应的边a写成大写A，混淆边与角的符号（边用小写字母，角用大写字母，固定规范） 重点记忆：①边角对应核心原则（必记，规避高频错误）：“边的平方，对应其对角的余弦”，即对应，对应，对应；②公式书写规范：标准公式中，“2bc”“2ac”“2ab”的系数2不可遗漏，符号为“−”，变式公式中，分子是“另两边平方和减去对应边的平方”，分母是“2×另两边的积”；③优先记忆顺序：先记标准公式（求边专用），再记变式公式（求角专用），结合口诀辅助记忆；④公式适配场景：已知两边及夹角，用标准公式求第三边；已知三边，用变式公式求任意一角 常考结论：①公式变形拓展（高频应用）：，，（用于等式变形、求值）；②若已知三角形两边及其中一边的对角，不可直接用余弦定理求第三边（需结合正弦定理，或判断三角形解的个数）；③变式公式中，分子的符号决定角的类型（锐角、直角、钝角），为后续判断三角形形状提供依据 3.余弦定理的推导过程 知识点：余弦定理的推导方法有多种，教材重点讲解“向量法”（贴合本章向量知识点，高频考点），辅助讲解“几何法”（直观易懂，适配基础薄弱学生），两种推导均需掌握，核心推导过程如下： ①向量法（教材重点，必记推导逻辑）：在△ABC中，以点A为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(c,0)，C(bcosA, bsinA)；由向量模长公式，，，故；展开化简：；由，得，同理可推导其他两个标准公式 ②几何法（辅助理解）：在△ABC中，过点C作CD⊥AB于点D，在Rt△ACD和Rt△BCD中，利用勾股定理表示CD²，联立化简可得余弦定理（钝角三角形中，垂足在AB延长线上，推导逻辑一致，符号不变） 易错辨析：①向量法推导中，误将点C的坐标写错，如写成(bcosB, bsinB)，混淆角的对应关系；②展开时，漏写中间项“−2bccosA”，误展开为；③推导时，忽略的三角恒等式，无法完成化简；④几何法推导中，钝角三角形的垂足位置判断错误，误以为垂足一定在AB边上，导致推导出错；⑤推导过程中，混淆向量与的模长（二者模长相等，不影响结果，但向量坐标符号相反，需注意） 重点记忆：①向量法推导核心：建立坐标系→用坐标表示向量→利用向量模长公式→结合三角恒等式化简，贴合本章向量知识点，是考试中“推导类题型”的重点；②关键步骤：点C坐标的表示（bcosA, bsinA）、向量模长的平方等于坐标分量的平方和、的应用；③几何法推导核心：构造直角三角形，利用勾股定理联立求解，重点理解“任意三角形均可构造直角三角形推导”；④推导结论：无论用哪种方法，最终均得到余弦定理的标准公式，可相互验证 常考结论：①向量法推导是高频推导题型，需熟练掌握完整步骤，尤其注意点的坐标表示和展开化简过程；②推导过程中用到的“向量模长公式”“三角恒等式”，是连接向量与三角的核心，可结合本章前面知识点综合考查；③钝角三角形中，余弦定理的推导的符号不变，因为垂足在延长线上时，边长的平方差会自动抵消符号差异，无需单独记忆钝角三角形的特殊公式 4.余弦定理的核心应用（一）：已知两边及夹角，求第三边（高频实操考点） 知识点：这是余弦定理最基础、最高频的应用，适配题型：已知△ABC中，任意两边的长度及这两边的夹角，求第三边的长度；核心步骤：①确定已知条件（两边a、b，夹角C；或两边b、c，夹角A；或两边a、c，夹角B）；②匹配对应的余弦定理标准公式；③代入数值（边长、夹角余弦值），计算第三边的平方，再开平方得到第三边长度（边长为正，取算术平方根） 示例：已知△ABC中，b=3，c=4，夹角A=60°，求边a的长度；解：由余弦定理，代入得，故（边长为正，舍去负根） 易错辨析：①代入公式时，边角对应错误，如已知a、b及夹角C，误代入；②夹角的余弦值计算错误，如将cos60°误算为，cos30°误算为；③计算边长的平方时，漏算“2×两边×夹角余弦”，或符号错误（将“−”算成“+”）；④最终结果未开平方，误将第三边的平方当作边长；⑤开平方时，忽略边长为正，保留负根（边长无负值，需取算术平方根） 重点记忆：①解题核心口诀：“两边夹角求第三边，标准公式直接套，代入计算开平方”；②关键步骤：先匹配公式（确认两边及夹角，对应正确的边与角）→计算夹角余弦值（特殊角的余弦值需牢记，非特殊角保留原式或按题干要求计算）→计算边的平方→开平方取正根；③特殊角余弦值（必记，避免计算错误）：，，，，，，；④计算技巧：先计算“2×两边×夹角余弦”，再计算“两边平方和”，最后做差，避免计算混乱 常考结论：①若夹角为锐角（），则，第三边的平方小于另两边的平方和；②若夹角为钝角（），则，第三边的平方大于另两边的平方和；③若夹角为90°，则，第三边的平方等于另两边的平方和（勾股定理）；④计算结果若为无理数，需按题干要求保留根号或近似值（教辅中通常保留最简根号形式） 5.余弦定理的核心应用（二）：已知三边，求任意一角（高频实操考点） 知识点：适配题型：已知△ABC中，三边a、b、c的长度，求任意一个角A、B、C的大小；核心步骤：①确定要求的角，匹配对应的余弦定理变式公式；②代入三边长度，计算角的余弦值；③根据余弦值的大小，结合角的范围（三角形内角范围），确定角的大小（特殊角直接判断，非特殊角按题干要求用反余弦表示或近似计算） 示例：已知△ABC中，a=3，b=4，c=5，求角C的大小；解：由余弦定理变式，代入得；又因为，故 易错辨析：①代入变式公式时，分子、分母颠倒，或边角对应错误，如求角A，误代入求角C的变式公式；②计算余弦值时，符号错误，如将“b²+c²-a²”误算为“a²-b²-c²”，导致余弦值符号错误；③忽略三角形内角的范围（），误将对应的角算成60°（正确为120°）；④非特殊角的余弦值，误直接写出角度（如可写60°，需用表示）；⑤计算时，三边平方计算错误，导致后续余弦值和角度全部出错 重点记忆：①解题核心口诀：“已知三边求一角，变式公式来帮忙，算出余弦定角度”；②关键步骤：匹配公式（求哪个角，用对应边的平方差）→计算余弦值（注意分子的符号）→结合内角范围确定角度；③角度判断技巧（高频）：→角为锐角（）；→角为直角（）；→角为钝角（）；④注意事项：计算余弦值时，先化简分子、分母，再计算比值，减少计算误差；特殊角的余弦值需熟练记忆，避免角度判断错误 常考结论：①已知三边求角时，优先求最大角（最大边所对的角），可快速判断三角形的形状（最大角为锐角→锐角三角形，最大角为直角→直角三角形，最大角为钝角→钝角三角形）；②若三边满足（等边三角形），则每个角的余弦值均为，每个角均为60°；③若三边满足，则角C为90°，三角形为直角三角形（勾股定理的逆用，本质是余弦定理的特殊情况）；④非特殊角的角度表示：教辅中通常用表示，如，无需近似计算（题干有要求除外） 6.余弦定理的核心应用（三）：判断三角形的形状（高频综合考点） 知识点：利用余弦定理的变式公式，结合三角形内角的范围，通过判断三角形最大角的类型（锐角、直角、钝角），确定三角形的形状；核心思路：①找出三角形的最大边（最长的边），其对的角为最大角；②利用余弦定理变式公式，计算最大角的余弦值；③根据余弦值的符号，判断最大角的类型，进而确定三角形的形状 分类判断：设△ABC中，最大边为c，对应最大角为C，则：①若（即）→直角三角形；②若（即）→锐角三角形；③若（即）→钝角三角形 易错辨析：①判断三角形形状时，未找最大边，仅判断任意一个角的类型，误将“一个锐角三角形”判断为锐角三角形（需所有角均为锐角，即最大角为锐角）；②混淆“最大边”与“最大角”的对应关系，误将最短边对应的角当作最大角；③计算最大角的余弦值时，符号错误，导致三角形形状判断错误；④误将“”当作“锐角三角形”的充分必要条件，忽略“最大边”的前提（若c不是最大边，该式不成立）；⑤等边三角形、等腰三角形的判断，未结合余弦定理（如等腰三角形a=b，可推出） 重点记忆：①核心原则：三角形的形状由最大角决定，最大角为锐角→锐角三角形，最大角为直角→直角三角形，最大角为钝角→钝角三角形；②解题步骤：找出最大边→确定最大角→计算最大角的余弦值→根据符号判断形状；③快速判断技巧：最大边的平方与另两边平方和的关系：→直角，→锐角，→钝角；④等腰三角形的补充判断：若a=b，则（反之亦然）；等边三角形：a=b=c，则，三个角均为60° 常考结论：①锐角三角形的充要条件：最大边的平方小于另两边的平方和（即，c为最大边）；②钝角三角形的充要条件：最大边的平方大于另两边的平方和（即，c为最大边）；③直角三角形的充要条件：最大边的平方等于另两边的平方和（勾股定理，余弦定理特殊情况）；④等腰直角三角形：a=b，且，则角C=90°，角A=角B=45° 7.余弦定理的易错点汇总与解题技巧 知识点：整合前面所有知识点的易错点，结合网络名师解题技巧，提炼高频解题方法，帮助规避错误、提升解题效率，适配教辅书“易错总结”“解题技巧”模块，可直接复制使用 易错辨析：①通用易错：边角对应错误（高频中的高频）、公式漏写系数2或符号错误、夹角定义理解偏差、三角形内角范围忽略、计算错误（平方、开方、余弦值计算）；②应用易错：已知两边及其中一边的对角，误用余弦定理求第三边（需结合正弦定理）、判断三角形形状未找最大边、非特殊角角度表示错误；③推导易错：向量法推导中点坐标错误、展开化简漏项、三角恒等式误用 重点记忆：①解题技巧：“先定条件，再套公式，再算结果，最后验证”；先明确题干给出的条件（两边及夹角、三边），再匹配对应的标准公式或变式公式，计算过程中注意符号和系数，最后验证结果是否合理（如边长为正、角度在0°~180°之间）；②规避易错的关键：牢记“边角对应原则”和“最大角判断原则”，熟练记忆公式和特殊角的余弦值，计算时分步进行，避免一步到位出错；③题干隐含条件挖掘：题目中若出现“三角形”，默认内角和为180°，边长为正，可结合该隐含条件验证结果 常考结论：①高频解题技巧：已知两边及夹角求第三边，可先计算“2bccosA”，再代入公式，减少计算量；已知三边求角，优先求最大角，快速判断三角形形状，同时规避多余计算；②公式逆用技巧：可利用余弦定理进行等式变形，如，用于求解与三角形边角相关的代数式的值；③综合考查趋势：余弦定理常与向量数量积、三角恒等式、正弦定理结合考查，核心仍是“边角转化”，需灵活套用公式 二、高频易错+核心公式 核心易错点总览（精简版，适配教辅侧边栏）：1.公式错误：漏写系数2、符号错误、边角对应错误、分子分母颠倒；2.概念错误：夹角定义偏差、三角形内角范围忽略、最大边与最大角对应错误；3.计算错误：平方、开方、特殊角余弦值、符号计算出错；4.应用错误：误用公式场景、判断三角形形状未找最大边 核心公式汇总：1.标准公式（求边专用）： 2.变式公式（求角专用）： 3.辅助公式（推导/计算专用）： 4.三角形形状判断公式（c为最大边）： （直角三角形） （锐角三角形） （钝角三角形） 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：利用余弦定理解三角形】 （25-26高一上·北京东城·期末）在中，若，，，则等于（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用余弦定理可得出关于的方程，即可解得的长. 【详解】在中，，，， 由余弦定理可得， 即，整理得， 解得或（舍去），故. 故选：D. （2025高二上·河南·学业考试）在中，内角的对边分别为，若，则 ．经典例题2例题 【答案】2 【分析】根据余弦定理列出关于的方程，然后解方程得到的值. 【详解】在中，由余弦定理得， 得， 整理得，解得或（舍去）. 所以. 故答案：2 （23-24高一下·贵州遵义·月考）在中，已知，则（    ）小试牛刀1 A．3 B． C． D．1 【答案】A 【分析】利用余弦定理直接计算求解即可. 【详解】在中，由余弦定理可得， 所以，即， 解得或（舍去）， 故选：A （24-25高一下·贵州遵义·月考）在中，角的对边分别为，若，则 ．小试牛刀2 【答案】2 【分析】根据条件及余弦定理得，再由数量积的定义，即可求解. 【详解】由余弦定理可知， 由，得， 即，所以， 故答案为：. （25-26高三上·重庆·月考）在中，，则（    ）小试牛刀3 A．3 B．5 C．4 D． 【答案】D 【分析】应用二倍角余弦公式求得，再应用余弦定理求边长. 【详解】由，且， 所以，可得. 故选：D 【题型2：利用余弦定理求角】 （2025·湖南永州·模拟预测）在中，，则最大的内角为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由大边对大角及余弦定理求最大内角. 【详解】因为三条边中最大，所以最大的内角为， 由余弦定理得， 由，所以. 故选：C （25-26高三上·宁夏银川·月考）已知中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据余弦定理求解. 【详解】根据余弦定理得. 故选：C （25-26高三上·云南昆明·开学考试）在中，内角，，的对边分别为，，，若，则（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用余弦定理列式求解. 【详解】由及余弦定理，得，而， 所以. 故选：C （25-26高三上·广西来宾·月考）在中，，则（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用余弦定理即可直接求解. 【详解】由余弦定理得． 因为为的内角，所以． 故选：C （25-26高三上·广西·开学考试）在中，，，，则（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】已知三边求角，利用余弦定理即可求解. 【详解】由余弦定理， 又，所以. 故选：B. 【题型3：利用余弦定理边角互化】 （25-26高三上·陕西西安·自主招生）在中，、、分别是、、的对边，且.则 .经典例题1例题 【答案】 【分析】先化简所求式子的形式，结合对应的余弦定理结论，替换式子中的部分项，进而得到式子的结果. 【详解】， 由，得，即. 将代入分子，得 分子与分母相等，故. 故答案为：. （2025·江西南昌·二模）在中，角的对边分别是，若，则 （    ）经典例题2例题 A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】由余弦定理计算可得. 【详解】由余弦定理可得，化简可得， 因为，所以. 故选：A （2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知的内角，，的对边分别为，，，，，则 .小试牛刀1 【答案】或2 【分析】由余弦定理得，解方程即可得解. 【详解】由余弦定理有，所以， 解得 或2. 故答案为：或2. （24-25高一下·福建泉州·月考）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，则 小试牛刀2 【答案】 【分析】根据题意整理可得，结合余弦定理即可得结果. 【详解】因为，整理可得， 则， 且，所以. 故答案为：. （24-25高一下·上海·期中）已知，，分别为三个内角，，的对边，且.则角 .小试牛刀3 【答案】 【分析】由已知及余弦边角关系得，再应用余弦定理求角的大小. 【详解】由题设，，则， 所以，，则. 故答案为： 【题型4：余弦定理判断三角形的形状】 （24-25高一下·江苏南京·期中）在中，其内角A，B，C的对边分别为，，，若，则的形状是（ ）经典例题1例题 A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】B 【分析】由已知条件，利用余弦定理角化边即可得到关系式. 【详解】因为，由余弦定理知， 所以， 整理得， 即的形状是直角三角形. 故选：B. （24-25高一下·江苏盐城·期中）在中，角A、B、C所对边分别为a、b、c.若，则该三角形一定是（    ）经典例题2例题 A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】应用二倍角余弦公式及余弦边角关系得到，即可得. 【详解】由，则， 所以，可得，不能确定是否成立， 所以一定是直角三角形. 故选：B （2024高三·全国·专题练习）在中，若内角的对边分别为，，则的形状为（    ）小试牛刀1 A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】根据二倍角公式可得，即可利用余弦定理化简得求解. 【详解】在中，由已知得，所以， 根据余弦定理，得 所以，即， 因此是直角三角形. 故选：B. （23-24高一下·江苏淮安·期中）在中，角的对边分别为，若，则的形状是（ ）小试牛刀2 A．等腰三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】B 【分析】由已知条件即结合余弦定理和即可得解. 【详解】因为， 所以，且， 所以由余弦定理得，整理得，又， 所以，故是等边三角形. 故选：B. （23-24高一下·天津滨海新·期末）已知的三个内角的对边分别为，且满足，则的形状为（    ）小试牛刀3 A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【分析】由余弦定理化角为边，整理后得，即得结论. 【详解】由和余弦定理得，， 化简得，， 整理得，，则得，或， 即为等腰或直角三角形. 故选：D. 【题型5：余弦定理与三角形周长及边长最值】 （25-26高三上·云南红河·月考）已知函数，.经典例题1例题 (1)求函数在区间上的最大值和最小值； (2)设的内角的对边分别为且，，若，求的周长. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用正弦型函数最值的求法可得答案； （2）通过求出角，再利用角的余弦定理可得答案. 【详解】（1）因为，所以， 当，即时，； 当，即时，. （2），则， ，，所以， 所以，， 由余弦定理得，即，① 又，② 把②代入①得，又由得， 所以， 的周长为. （2025·广东·模拟预测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若.经典例题2例题 (1)求A； (2)若，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二倍角公式求出，即可得解； （2）利用余弦定理及基本不等式求出的取值范围，即可得解. 【详解】（1）因为，所以， 即，解得， 又，所以 . （2）由余弦定理， 即， 故，当且仅当时取等号， 又，故，即周长的取值范围是. （2024·上海虹口·一模）设．小试牛刀1 (1)当函数的最小正周期为时，求在上的最大值； (2)若，且在中，角、、所对的边长为、、，锐角满足，，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数的最小正周期求出，即可得到的解析式，再根据正弦函数的性质计算可得； （2）依题意可得，即可求出，由数量积的定义求出，再由余弦定理及基本不等式求出的最小值. 【详解】（1）因为且函数的最小正周期为， 所以，解得，所以， 则， 由，则， 所以当，即时取得最大值. （2）当时，，则， 因为，所以，则，解得； 因为，所以， 由余弦定理， 得，所以，当且仅当时取等号， 故的最小值为. （25-26高三上·安徽·月考）在平面四边形中，已知，且，则a的最大值为 ．小试牛刀2 【答案】5 【分析】取点E满足，从而可得的值，再根据余弦定理的值，结合三角形三边关系即可求得a的最大值. 【详解】如图，点E满足，则,    因为， 所以可得， 在中，由余弦定理可得， 所以，当且仅当C，B，E三点共线，即时等号成立, 所以a的最大值为5. 故答案为：5. （25-26高二上·上海·开学考试）在中，内角所对的边分别为，则当取得最大值时， 小试牛刀3 【答案】 【分析】由余弦定理求出的最大值及等号成立的条件，再结合诱导公式和半角公式求出. 【详解】中，， 由余弦定理， 得， 所以，当且仅当时，等号成立， 此时为等腰三角形，. 由，有， 所以. 故答案为：. 【题型6：余弦定理与三角形中线（或线段）及最值】 （24-25高一下·上海·期末）在中，，，点满足，，则 经典例题1例题 【答案】2 【分析】根据余弦定理进行求解即可. 【详解】设，则， 在中，由余弦定理可知：， 在中，由余弦定理可知：， 因为， 所以， 舍去， 故答案为：2 （2025高三·全国·专题练习）在中，内角的对边分别是，且，若点满足，且线段，则的最大值为 .经典例题2例题 【答案】6 【分析】利用降幂公式、二倍角公式结合诱导公式得到，再在中，利用余弦定理得到，再利用不等式求最值即可. 【详解】由，得 . 在中，， 即， 解得或. ∴，    如图所示，点D满足，∴ ∵， 在中，由余弦定理，得 ， 当且仅当时取等号. ∴，∴. 即的最大值为6． 故答案为：6. （24-25高一下·北京丰台·期末）如图，在中，已知，，，边上的两条中线交于点，则 ， ．小试牛刀1 【答案】 / 【分析】根据余弦定理可得；利用平面向量基本定理可得，然后利用向量夹角公式计算. 【详解】由题可知：， 由边上的两条中线交于点，所以为的重心， ，， ， , ， 所以. 故答案为： ， （2025高一·全国·专题练习）已知的内角的对边分别为，且边上中线长为1，则最大值为 ．小试牛刀2 【答案】 【分析】根据两角互补余弦值之和等于0，然后分别在三角形中利用余弦定理求出两角的余弦，列出方程求出，然后利用基本不等式求出最值即可． 【详解】由题意得， 所以， 又，且D是的中点，所以， 在中，， 在中，， 所以， 即，得，当且仅当取等号， 所以最大值为. 故答案为：. （2025高三下·全国·专题练习）在中，若，，边上的中线长为，则 .小试牛刀3 【答案】18 【分析】根据余弦定理结合题意可得，代入数据计算可得的值. 【详解】中，， 在中，， 即 故， ∵，所以 设，又，，边上的中线长为， 代入数值，得，解得. ∴. 故答案为：18. 【题型7：余弦定理与角的最值】 （25-26高三上·辽宁沈阳·期末）在中，，则的最小值为（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用向量数量积的概念，结合余弦定理，探索三角形边的关系，再利用余弦定理结合基本不等式，可求的最小值. 【详解】由，可得， 根据余弦定理，可得， 所以 ，即. 由 ，当且仅当，即时取等号. 故选：B （25-26高三上·安徽·月考）在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且，D为的中点，则的最小值为（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，由余弦定理得，，再利用，得到，继而得到，接着利用基本不等式求解即可． 【详解】设，因为D为的中点，，所以， 由三角形的三边关系，可知且，解得． 在中，由余弦定理得；　① 在中，由余弦定理得．　② 因为，所以， 所以，解得， 则， 当且仅当，即时，等号成立，此时，满足条件， 所以的最小值为． 故选：A． （25-26高二上·黑龙江·开学考试）在中，角，，的对边分别为，，，若，则的最大值为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由余弦定理求出，再根据三角形内角范围及余弦函数的单调性求出范围. 【详解】由余弦定理得，当且仅当时取等号， 因为，在单调递减，所以，即A的最大值为． 故选：B． （24-25高一下·福建漳州·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，的平分线交边于D，，则的最小值为（    ）．小试牛刀2 A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】根据题设结合余弦定理可得，由的平分线交边于D，可得，进而得到，，再根据余弦定理及三角恒等变换公式可得，进而根据基本不等式求解即可. 【详解】由余弦定理得，则， 由，则， 因为的平分线交边于D， 所以，则， 所以，则，， 所以 ，， 则，当且仅当，即时等号成立， 即的最小值为. 故选：D. （24-25高一下·福建泉州·期中）在中，角、、所对的边分别为、、，若，，则当角取最大值时，的周长为（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知条件得出，结合基本不等式可求得的最小值，即可得出角的最大值，利用等号成立的条件可得出，进而得出，结合可得出各边边长，即可得解. 【详解】因为，，则， 由余弦定理可得， 当且仅当时，即当时等号成立，即， 因为余弦函数在上单调递减，且，故， 故的最大值为，此时，则， 再由可得，则，此时的周长为. 故选：B. 【题型8：余弦定理综合计算】 （2026·河北·模拟预测）在中，角的对边分别为，，，．经典例题1例题 (1)求； (2)若为上一点，且，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理即可求得的值. （2）先利用余弦定理求出的值，再利用余弦定理求出的值，然后利用勾股定理的逆定理求出，再求解. 【详解】（1）中，， 由余弦定理得： ，即， 解得. （2）在中，， 由余弦定理得：. 在中， ，由余弦定理得：. 即，得. 又，所以. 故. （2026高三上·河北石家庄·专题练习）已知，，．经典例题2例题 (1)求的对称轴方程； (2)已知内角满足，且点在线段上，，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由平面向量数量积的坐标运算以及辅助角公式化简函数的解析式，利用正弦型函数的对称性可得出函数的对称轴方程； （2）由结合的取值范围可得出，结合诱导公式可得出的值，结合余弦定理可求得的长. 【详解】（1）由，， 得， 由，得， 所以图象的对称轴为． （2）在中，由，得，即， 而，即，则，解得， 由，得， 而，由余弦定理可得，    即，整理得， 因为，解得. 【多选题】（25-26高三上·河北石家庄·期中）在中，角的对边分别为，已知，以下说法正确的是（   ）小试牛刀1 A． B．若为的外心，则 C．若，则 D．若点为所在平面内一动点，且，则的最小值为 【答案】ACD 【分析】根据余弦定理和条件计算判断A，建立坐标系，先计算外心的坐标，再结合向量的数量积坐标公式计算判断B，根据向量关系计算得到点坐标，进而计算向量的模判断C，根据条件和两点间距离公式，结合三角函数计算得到最值判断D. 【详解】因为，结合余弦定理的推论可得 ， 对于A，由余弦定理推论，因为，所以，A正确. 对于B，以点为原点，为轴建立坐标系，， 外心在垂直平分线上，代入的垂直平分线方程 得，，，B错误. 对于C，设，因为，， ，所以， 解得,C正确. 对于D，设满足则 ， 由圆的方程得代入化简得， 设，得 ，其中， 因为，得的最小值为，D正确. 故选：ACD. 【多选题】（25-26高三上·河北·月考）在中，，点满足，延长至点，使得.点在线段上，则下列结论正确的是（   ）小试牛刀2 A． B．的面积为 C．当时，四点共圆 D．当时， 【答案】AB 【分析】设，，，，，利用平面向量的基底进行运算，由平行线段的距离等价于一条线段上任意一点到另一条线段的距离，判断四点是否共圆，利用其中三点确定一圆，验证第四个点是否在圆上求解，过程中利用余弦定理和直角三角形的性质进行求解. 【详解】设，，，，， 因为，则,故， 设，则，, 因为, 则即, 从而 化简，即，因为， 故解得.故. 又，故即 从而， 化简得，即， ，所以，. 对于A选项，因为， , 故A选项正确. 对于B选项，因为，故即， 点在线段上，点到线段距离为定值， 故, 中，,., 则,， 所以， 故B选项正确. 对于C选项，因为平面内三点确定一个圆， 因为，，，,所以为直角三角形， 故过的圆的圆心在线段的中点处， 若四点共圆，则圆与线段交点为，连接,, 可得, 又因为在中，，， 可得，故， 所以,为等边三角形，此时， 故C选项错误. 对于D选项，连接,当时 故，， 在中, ,, ,， 故， 又因为, 所以,所以, 故, 故D选项错误. 故选:AB. 【多选题】（25-26高二上·湖南常德·月考）在中，角的对边分别为，为边上的中线，，以下说法正确的是（   ）小试牛刀3 A．若，则是直角三角形 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【分析】由直角三角形的判定A；由中点向量公式及模的意义判断B；利用数量积的运算律及余弦定理求解判断C；由数量积的运算律及余弦定理化简，结合基本不等式判断D. 【详解】对于A，当时，，则是以为斜边的直角三角形，A正确； 对于B，当时，，则，B正确； 对于C，当时，，由2，得， 即， 由余弦定理得， 即，则，C错误； 对于D，，，则 ，，当时，，， 即，而，因此， 即，当且仅当时取等号，， 又，则，D正确. 故选：ABD 课后针对训练 一、单选题 1．（25-26高三上·陕西商洛·期中）在中，内角，，的对边分别为，，，且，，则角（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用余弦定理计算，再结合角的范围求值. 【详解】在中，，， 则，， 则角. 故选：C. 2．（22-23高三上·河南濮阳·月考）在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且．若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】将已知等式利用余弦定理统一成边的形式，化简变形可求得结果. 【详解】， ， ，． ，即． ，，即． 故选：D 3．（25-26高三上·安徽六安·月考）在中，角的对边分别为．若，为中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据余弦定理直接求解. 【详解】根据余弦定理， ， 所以. 故选：B 4．（24-25高一下·广东·月考）记的内角的对边分别为．已知，则为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】利用二倍角公式和余弦定理化简给定条件，最后利用勾股定理逆定理求解即可. 【详解】因为，所以， 则，即， 得到，即， 则，即， 由勾股定理逆定理得为直角三角形，故B正确. 故选：B 5．（25-26高三上·陕西咸阳·月考）在中，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由余弦定理求出，再由同角的三角函数关系可得. 【详解】由余弦定理可得， 因为为三角形内角，所以， 所以. 故选：C 二、多选题 6．（24-25高二上·山西·月考）若的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则下列结论正确的是（   ） A．角C为钝角 B． C． D．的最小值为 【答案】ABC 【分析】由同角的三角函数关系和降幂公式可得A正确；由余弦定理结合A的结果可得B正确；由同角的三角函数关系结合余弦定理可得C正确；由两角和的正切展开式再结合基本不等式可得D正确； 【详解】对于A，∵， ∴，即， ∴，又，∴一定为钝角，故选项A正确； 对于B，由余弦定理知，，化简得，故选项B正确； 对于C，∵， ∴，故选项C正确； 对于D，∵， ∴， ∵为钝角，则，， ∴，当且仅当，即时，等号成立，此时取得最大值，故选项D错误. 故选：ABC. 三、填空题 7．（22-23高二上·陕西西安·期中）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．若，则 ． 【答案】 【分析】已知两边及夹角，由余弦定理直接求得结果. 【详解】已知， 由余弦定理得，解得. 故答案为：. 8．（24-25高一下·云南楚雄·月考）在中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c．若，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】根据余弦定理计算即可. 【详解】因为， 所以由余弦定理可得. 故答案为： 9．（23-24高三上·辽宁朝阳·开学考试）分别为内角的对边．已知，则的最小值为 ． 【答案】/0.6 【分析】因为，所以代入，得到，并结合基本不等式，得到的最小值. 【详解】由余弦定理得． 当且仅当时，取等号. 所以的最小值为 故答案为： 10．（25-26高二上·湖南·月考）在中，角的对边分别为，已知，则 . 【答案】7 【分析】本题考查余弦定理的应用.利用余弦定理列方程即可求得. 【详解】由余弦定理可得，即，解得（负值舍去）. 故答案为：7. 11．（25-26高三上·湖南常德·月考）已知D是斜边上一点，，，且，则的长 【答案】 【分析】在中，求得，在中，由余弦定理即可求解. 【详解】由，且知，又，则， 所以中，由为斜边，则， 则， 在中，由余弦定理得 ， 所以. 故答案为： 12．（23-24高二上·福建福州·月考）在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，，则的值为 . 【答案】3 【分析】首先分析题意，运用余弦定理求解即可. 【详解】， 即，解得. 故答案为：3 四、解答题 13．（24-25高一下·山西大同·月考）在中角、、所对边、、满足，，，求的值. 【答案】 【分析】由条件结合余弦定理化角为边，解方程可求结论. 【详解】由得， 所以， 所以， 又，， 所以， 所以或（舍） 14．（25-26高二上·河南焦作·期中）在中，角、、的对边分别为、、.已知. (1)求； (2)若，，点在边上，且，求 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用两角和的正切公式结合诱导公式可得出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）由余弦定理可得出关于的等式，结合可得出的值，根据题意可得出的长，然后在中利用余弦定理可求得的长. 【详解】（1）由两角和的正切公式可得， 即，故， 因为，故. （2）由余弦定理可得，即，即， 因为，解得， 因为点在边上，且，故， 在中，，，， 由余弦定理可得， 故. 15．（25-26高三上·山东·月考）已知为内一点，满足，. (1)若，求的值； (2)求的最小值. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）先求出，再延长交于点，由为的重心结合解直角三角形可得的值； （2）延长交于点，由余弦定理可得，结合为的重心可得，再由基本不等式可求的最小值. 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以，而为锐角，故. 延长交于点，所以. 因为，所以为的重心，所以； 所以. （2） 设的对边分别为，延长交于点， 由（1）知，是的重心，所以为线段的中点，且. 因为为的中线，故， 在中，由余弦定理有， 在中，由余弦定理有， 而，故， 故即， 所以. 在中，由余弦定理可得， 当且仅当时取等号，所以的最小值为. 16．（2025高三上·湖北黄冈·专题练习）在中，已知，，边上的中点是，若相交于点， (1)求长 (2)求的余弦值 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理即可求解； （2）由题意有和，计算，，利用向量的夹角公式即可求解. 【详解】（1）由题意有：，， 在中，由余弦定理有：， 所以，所以； （2）由题意有：， ， 所以 ， 所以 ， 所以， 由 ， 所以， 所以. 17．（25-26高三上·江苏无锡·月考）已知函数，且恒成立． (1)求实数m的值． (2)在中，，且，若E为BC中点，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意可得，再由辅助角公式，可得，联立即可求得； （2）先由条件求得，利用余弦定理推得，借助于基本不等式求出的最大值，再由线段中点的向量表达式，应用数量积的运算律即可求得的最大值. 【详解】（1）对于函数，因恒成立， 则， 又因，其中， 依题意，，两边取平方，， 整理得，解得. （2）由（1）可得， 由，可得，因，则得，解得， 设的三个内角所对的边分别为，则， 由余弦定理，，即（*）. 由基本不等式，，即， 当且仅当时，等号成立. 又因E为BC中点，则，两边取平方，可得： ， 将（*）代入，可得， 故当时，取得最大值为. 18．（25-26高三上·重庆·月考）如图是函数，一个周期内的图象，把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变；再将所得的图像向右平移个单位长度，得到函数的图象. (1)求函数的解析式; (2)在△ABC中， 若， AB=2， BC=3， 求AC. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由图像得到函数 的，，所以，再由得到，所以，由图像变换得到. （2）由，得到，再利用余弦定理得到. 【详解】（1）由图象可知，周期 ，因此; ，即， 所以 ,所以 因为，所以， 所以， 将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变得到 ， 将图像向右平移个单位长度得到. 所以. （2）因为，所以,所以， 因为,所以 ,所以，所以. 由余弦定理，， 即， 所以. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年寒假高一数学下学期常考题型归纳 【6.4.3.1·余弦定理】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 1.余弦定理的文字表述（基础定义，必记） 知识点：在任意一个三角形中，任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍；简言之，“边的平方=另两边平方和−2×另两边×夹角余弦”；核心关联：三角形的三边与任意一角的对应关系，实现“边→角”“角→边”的双向转化，适用于任意三角形（锐角、直角、钝角三角形均成立） 易错辨析：①误将余弦定理局限于“钝角三角形”，忽略其对任意三角形均成立（直角三角形中，夹角为90°时，cos90°=0，余弦定理退化为勾股定理）；②文字表述遗漏“两倍”，误记为“一边的平方等于其他两边平方和减去这两边与夹角余弦的积”；③混淆“夹角”定义，误将某边与另一边的对角当作“夹角”（夹角是指两个边之间的角，即“边的夹角”，而非对角）；④文字表述中，颠倒“边”与“角”的对应关系，误说为“角的余弦等于两边平方和减去第三边平方” 重点记忆：①核心口诀：“边方等于另两边方和，减去两倍两边乘夹角余弦”（精准对应公式，易记不遗漏）；②关键前提：任意三角形均适用，无三角形类型限制；③夹角定义：两条边的夹角，是这两条边公共端点所对的角，如边a、b的夹角为C，边b、c的夹角为A；④与勾股定理的关系：余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特殊情况（夹角为90°） 常考结论：①若三角形为直角三角形，设C=90°，则余弦定理变为（勾股定理），可用于验证余弦定理的正确性；②文字表述是公式记忆的基础，题干若出现“文字描述转化为公式”题型，需精准对应边与角的关系；③任意三角形中，三边与一角必满足余弦定理的文字逻辑，无例外情况 2.余弦定理的公式表示 知识点：设△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c（边角对应原则：角A对边a，角B对边b，角C对边c），则余弦定理的标准公式、变式公式如下： ①标准公式（边的平方形式，高频应用）： ②变式公式（角的余弦形式，求角专用）： 易错辨析：①标准公式中，漏写“2”或符号错误，误记为或；②边角对应错误，这是高频易错点，如误将写成（边a的平方对应角A的余弦，而非角C）；③变式公式中，分子、分母颠倒，误记为；④字母书写不规范，如将角A对应的边a写成大写A，混淆边与角的符号（边用小写字母，角用大写字母，固定规范） 重点记忆：①边角对应核心原则（必记，规避高频错误）：“边的平方，对应其对角的余弦”，即对应，对应，对应；②公式书写规范：标准公式中，“2bc”“2ac”“2ab”的系数2不可遗漏，符号为“−”，变式公式中，分子是“另两边平方和减去对应边的平方”，分母是“2×另两边的积”；③优先记忆顺序：先记标准公式（求边专用），再记变式公式（求角专用），结合口诀辅助记忆；④公式适配场景：已知两边及夹角，用标准公式求第三边；已知三边，用变式公式求任意一角 常考结论：①公式变形拓展（高频应用）：，，（用于等式变形、求值）；②若已知三角形两边及其中一边的对角，不可直接用余弦定理求第三边（需结合正弦定理，或判断三角形解的个数）；③变式公式中，分子的符号决定角的类型（锐角、直角、钝角），为后续判断三角形形状提供依据 3.余弦定理的推导过程 知识点：余弦定理的推导方法有多种，教材重点讲解“向量法”（贴合本章向量知识点，高频考点），辅助讲解“几何法”（直观易懂，适配基础薄弱学生），两种推导均需掌握，核心推导过程如下： ①向量法（教材重点，必记推导逻辑）：在△ABC中，以点A为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(c,0)，C(bcosA, bsinA)；由向量模长公式，，，故；展开化简：；由，得，同理可推导其他两个标准公式 ②几何法（辅助理解）：在△ABC中，过点C作CD⊥AB于点D，在Rt△ACD和Rt△BCD中，利用勾股定理表示CD²，联立化简可得余弦定理（钝角三角形中，垂足在AB延长线上，推导逻辑一致，符号不变） 易错辨析：①向量法推导中，误将点C的坐标写错，如写成(bcosB, bsinB)，混淆角的对应关系；②展开时，漏写中间项“−2bccosA”，误展开为；③推导时，忽略的三角恒等式，无法完成化简；④几何法推导中，钝角三角形的垂足位置判断错误，误以为垂足一定在AB边上，导致推导出错；⑤推导过程中，混淆向量与的模长（二者模长相等，不影响结果，但向量坐标符号相反，需注意） 重点记忆：①向量法推导核心：建立坐标系→用坐标表示向量→利用向量模长公式→结合三角恒等式化简，贴合本章向量知识点，是考试中“推导类题型”的重点；②关键步骤：点C坐标的表示（bcosA, bsinA）、向量模长的平方等于坐标分量的平方和、的应用；③几何法推导核心：构造直角三角形，利用勾股定理联立求解，重点理解“任意三角形均可构造直角三角形推导”；④推导结论：无论用哪种方法，最终均得到余弦定理的标准公式，可相互验证 常考结论：①向量法推导是高频推导题型，需熟练掌握完整步骤，尤其注意点的坐标表示和展开化简过程；②推导过程中用到的“向量模长公式”“三角恒等式”，是连接向量与三角的核心，可结合本章前面知识点综合考查；③钝角三角形中，余弦定理的推导的符号不变，因为垂足在延长线上时，边长的平方差会自动抵消符号差异，无需单独记忆钝角三角形的特殊公式 4.余弦定理的核心应用（一）：已知两边及夹角，求第三边（高频实操考点） 知识点：这是余弦定理最基础、最高频的应用，适配题型：已知△ABC中，任意两边的长度及这两边的夹角，求第三边的长度；核心步骤：①确定已知条件（两边a、b，夹角C；或两边b、c，夹角A；或两边a、c，夹角B）；②匹配对应的余弦定理标准公式；③代入数值（边长、夹角余弦值），计算第三边的平方，再开平方得到第三边长度（边长为正，取算术平方根） 示例：已知△ABC中，b=3，c=4，夹角A=60°，求边a的长度；解：由余弦定理，代入得，故（边长为正，舍去负根） 易错辨析：①代入公式时，边角对应错误，如已知a、b及夹角C，误代入；②夹角的余弦值计算错误，如将cos60°误算为，cos30°误算为；③计算边长的平方时，漏算“2×两边×夹角余弦”，或符号错误（将“−”算成“+”）；④最终结果未开平方，误将第三边的平方当作边长；⑤开平方时，忽略边长为正，保留负根（边长无负值，需取算术平方根） 重点记忆：①解题核心口诀：“两边夹角求第三边，标准公式直接套，代入计算开平方”；②关键步骤：先匹配公式（确认两边及夹角，对应正确的边与角）→计算夹角余弦值（特殊角的余弦值需牢记，非特殊角保留原式或按题干要求计算）→计算边的平方→开平方取正根；③特殊角余弦值（必记，避免计算错误）：，，，，，，；④计算技巧：先计算“2×两边×夹角余弦”，再计算“两边平方和”，最后做差，避免计算混乱 常考结论：①若夹角为锐角（），则，第三边的平方小于另两边的平方和；②若夹角为钝角（），则，第三边的平方大于另两边的平方和；③若夹角为90°，则，第三边的平方等于另两边的平方和（勾股定理）；④计算结果若为无理数，需按题干要求保留根号或近似值（教辅中通常保留最简根号形式） 5.余弦定理的核心应用（二）：已知三边，求任意一角（高频实操考点） 知识点：适配题型：已知△ABC中，三边a、b、c的长度，求任意一个角A、B、C的大小；核心步骤：①确定要求的角，匹配对应的余弦定理变式公式；②代入三边长度，计算角的余弦值；③根据余弦值的大小，结合角的范围（三角形内角范围），确定角的大小（特殊角直接判断，非特殊角按题干要求用反余弦表示或近似计算） 示例：已知△ABC中，a=3，b=4，c=5，求角C的大小；解：由余弦定理变式，代入得；又因为，故 易错辨析：①代入变式公式时，分子、分母颠倒，或边角对应错误，如求角A，误代入求角C的变式公式；②计算余弦值时，符号错误，如将“b²+c²-a²”误算为“a²-b²-c²”，导致余弦值符号错误；③忽略三角形内角的范围（），误将对应的角算成60°（正确为120°）；④非特殊角的余弦值，误直接写出角度（如可写60°，需用表示）；⑤计算时，三边平方计算错误，导致后续余弦值和角度全部出错 重点记忆：①解题核心口诀：“已知三边求一角，变式公式来帮忙，算出余弦定角度”；②关键步骤：匹配公式（求哪个角，用对应边的平方差）→计算余弦值（注意分子的符号）→结合内角范围确定角度；③角度判断技巧（高频）：→角为锐角（）；→角为直角（）；→角为钝角（）；④注意事项：计算余弦值时，先化简分子、分母，再计算比值，减少计算误差；特殊角的余弦值需熟练记忆，避免角度判断错误 常考结论：①已知三边求角时，优先求最大角（最大边所对的角），可快速判断三角形的形状（最大角为锐角→锐角三角形，最大角为直角→直角三角形，最大角为钝角→钝角三角形）；②若三边满足（等边三角形），则每个角的余弦值均为，每个角均为60°；③若三边满足，则角C为90°，三角形为直角三角形（勾股定理的逆用，本质是余弦定理的特殊情况）；④非特殊角的角度表示：教辅中通常用表示，如，无需近似计算（题干有要求除外） 6.余弦定理的核心应用（三）：判断三角形的形状（高频综合考点） 知识点：利用余弦定理的变式公式，结合三角形内角的范围，通过判断三角形最大角的类型（锐角、直角、钝角），确定三角形的形状；核心思路：①找出三角形的最大边（最长的边），其对的角为最大角；②利用余弦定理变式公式，计算最大角的余弦值；③根据余弦值的符号，判断最大角的类型，进而确定三角形的形状 分类判断：设△ABC中，最大边为c，对应最大角为C，则：①若（即）→直角三角形；②若（即）→锐角三角形；③若（即）→钝角三角形 易错辨析：①判断三角形形状时，未找最大边，仅判断任意一个角的类型，误将“一个锐角三角形”判断为锐角三角形（需所有角均为锐角，即最大角为锐角）；②混淆“最大边”与“最大角”的对应关系，误将最短边对应的角当作最大角；③计算最大角的余弦值时，符号错误，导致三角形形状判断错误；④误将“”当作“锐角三角形”的充分必要条件，忽略“最大边”的前提（若c不是最大边，该式不成立）；⑤等边三角形、等腰三角形的判断，未结合余弦定理（如等腰三角形a=b，可推出） 重点记忆：①核心原则：三角形的形状由最大角决定，最大角为锐角→锐角三角形，最大角为直角→直角三角形，最大角为钝角→钝角三角形；②解题步骤：找出最大边→确定最大角→计算最大角的余弦值→根据符号判断形状；③快速判断技巧：最大边的平方与另两边平方和的关系：→直角，→锐角，→钝角；④等腰三角形的补充判断：若a=b，则（反之亦然）；等边三角形：a=b=c，则，三个角均为60° 常考结论：①锐角三角形的充要条件：最大边的平方小于另两边的平方和（即，c为最大边）；②钝角三角形的充要条件：最大边的平方大于另两边的平方和（即，c为最大边）；③直角三角形的充要条件：最大边的平方等于另两边的平方和（勾股定理，余弦定理特殊情况）；④等腰直角三角形：a=b，且，则角C=90°，角A=角B=45° 7.余弦定理的易错点汇总与解题技巧 知识点：整合前面所有知识点的易错点，结合网络名师解题技巧，提炼高频解题方法，帮助规避错误、提升解题效率，适配教辅书“易错总结”“解题技巧”模块，可直接复制使用 易错辨析：①通用易错：边角对应错误（高频中的高频）、公式漏写系数2或符号错误、夹角定义理解偏差、三角形内角范围忽略、计算错误（平方、开方、余弦值计算）；②应用易错：已知两边及其中一边的对角，误用余弦定理求第三边（需结合正弦定理）、判断三角形形状未找最大边、非特殊角角度表示错误；③推导易错：向量法推导中点坐标错误、展开化简漏项、三角恒等式误用 重点记忆：①解题技巧：“先定条件，再套公式，再算结果，最后验证”；先明确题干给出的条件（两边及夹角、三边），再匹配对应的标准公式或变式公式，计算过程中注意符号和系数，最后验证结果是否合理（如边长为正、角度在0°~180°之间）；②规避易错的关键：牢记“边角对应原则”和“最大角判断原则”，熟练记忆公式和特殊角的余弦值，计算时分步进行，避免一步到位出错；③题干隐含条件挖掘：题目中若出现“三角形”，默认内角和为180°，边长为正，可结合该隐含条件验证结果 常考结论：①高频解题技巧：已知两边及夹角求第三边，可先计算“2bccosA”，再代入公式，减少计算量；已知三边求角，优先求最大角，快速判断三角形形状，同时规避多余计算；②公式逆用技巧：可利用余弦定理进行等式变形，如，用于求解与三角形边角相关的代数式的值；③综合考查趋势：余弦定理常与向量数量积、三角恒等式、正弦定理结合考查，核心仍是“边角转化”，需灵活套用公式 二、高频易错+核心公式 核心易错点总览（精简版，适配教辅侧边栏）：1.公式错误：漏写系数2、符号错误、边角对应错误、分子分母颠倒；2.概念错误：夹角定义偏差、三角形内角范围忽略、最大边与最大角对应错误；3.计算错误：平方、开方、特殊角余弦值、符号计算出错；4.应用错误：误用公式场景、判断三角形形状未找最大边 核心公式汇总：1.标准公式（求边专用）： 2.变式公式（求角专用）： 3.辅助公式（推导/计算专用）： 4.三角形形状判断公式（c为最大边）： （直角三角形） （锐角三角形） （钝角三角形） 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：利用余弦定理解三角形】 （25-26高一上·北京东城·期末）在中，若，，，则等于（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． （2025高二上·河南·学业考试）在中，内角的对边分别为，若，则 ．经典例题2例题 （23-24高一下·贵州遵义·月考）在中，已知，则（    ）小试牛刀1 A．3 B． C． D．1 （24-25高一下·贵州遵义·月考）在中，角的对边分别为，若，则 ．小试牛刀2 （25-26高三上·重庆·月考）在中，，则（    ）小试牛刀3 A．3 B．5 C．4 D． 【题型2：利用余弦定理求角】 （2025·湖南永州·模拟预测）在中，，则最大的内角为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高三上·宁夏银川·月考）已知中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． （25-26高三上·云南昆明·开学考试）在中，内角，，的对边分别为，，，若，则（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高三上·广西来宾·月考）在中，，则（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高三上·广西·开学考试）在中，，，，则（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型3：利用余弦定理边角互化】 （25-26高三上·陕西西安·自主招生）在中，、、分别是、、的对边，且.则 .经典例题1例题 （2025·江西南昌·二模）在中，角的对边分别是，若，则 （    ）经典例题2例题 A．2 B．3 C． D． （2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知的内角，，的对边分别为，，，，，则 .小试牛刀1 （24-25高一下·福建泉州·月考）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，则 小试牛刀2 （24-25高一下·上海·期中）已知，，分别为三个内角，，的对边，且.则角 .小试牛刀3 【题型4：余弦定理判断三角形的形状】 （24-25高一下·江苏南京·期中）在中，其内角A，B，C的对边分别为，，，若，则的形状是（ ）经典例题1例题 A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 （24-25高一下·江苏盐城·期中）在中，角A、B、C所对边分别为a、b、c.若，则该三角形一定是（    ）经典例题2例题 A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 （2024高三·全国·专题练习）在中，若内角的对边分别为，，则的形状为（    ）小试牛刀1 A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 （23-24高一下·江苏淮安·期中）在中，角的对边分别为，若，则的形状是（ ）小试牛刀2 A．等腰三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 （23-24高一下·天津滨海新·期末）已知的三个内角的对边分别为，且满足，则的形状为（    ）小试牛刀3 A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【题型5：余弦定理与三角形周长及边长最值】 （25-26高三上·云南红河·月考）已知函数，.经典例题1例题 (1)求函数在区间上的最大值和最小值； (2)设的内角的对边分别为且，，若，求的周长. （2025·广东·模拟预测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若.经典例题2例题 (1)求A； (2)若，求周长的取值范围. （2024·上海虹口·一模）设．小试牛刀1 (1)当函数的最小正周期为时，求在上的最大值； (2)若，且在中，角、、所对的边长为、、，锐角满足，，求的最小值． （25-26高三上·安徽·月考）在平面四边形中，已知，且，则a的最大值为 ．小试牛刀2 （25-26高二上·上海·开学考试）在中，内角所对的边分别为，则当取得最大值时， 小试牛刀3 【题型6：余弦定理与三角形中线（或线段）及最值】 （24-25高一下·上海·期末）在中，，，点满足，，则 经典例题1例题 （2025高三·全国·专题练习）在中，内角的对边分别是，且，若点满足，且线段，则的最大值为 .经典例题2例题 （24-25高一下·北京丰台·期末）如图，在中，已知，，，边上的两条中线交于点，则 ， ．小试牛刀1 （2025高一·全国·专题练习）已知的内角的对边分别为，且边上中线长为1，则最大值为 ．小试牛刀2 （2025高三下·全国·专题练习）在中，若，，边上的中线长为，则 .小试牛刀3 【题型7：余弦定理与角的最值】 （25-26高三上·辽宁沈阳·期末）在中，，则的最小值为（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高三上·安徽·月考）在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且，D为的中点，则的最小值为（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． （25-26高二上·黑龙江·开学考试）在中，角，，的对边分别为，，，若，则的最大值为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （24-25高一下·福建漳州·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，的平分线交边于D，，则的最小值为（    ）．小试牛刀2 A． B．3 C． D． （24-25高一下·福建泉州·期中）在中，角、、所对的边分别为、、，若，，则当角取最大值时，的周长为（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型8：余弦定理综合计算】 （2026·河北·模拟预测）在中，角的对边分别为，，，．经典例题1例题 (1)求； (2)若为上一点，且，求． （2026高三上·河北石家庄·专题练习）已知，，．经典例题2例题 (1)求的对称轴方程； (2)已知内角满足，且点在线段上，，，求的长． 【多选题】（25-26高三上·河北石家庄·期中）在中，角的对边分别为，已知，以下说法正确的是（   ）小试牛刀1 A． B．若为的外心，则 C．若，则 D．若点为所在平面内一动点，且，则的最小值为 【多选题】（25-26高三上·河北·月考）在中，，点满足，延长至点，使得.点在线段上，则下列结论正确的是（   ）小试牛刀2 A． B．的面积为 C．当时，四点共圆 D．当时， 【多选题】（25-26高二上·湖南常德·月考）在中，角的对边分别为，为边上的中线，，以下说法正确的是（   ）小试牛刀3 A．若，则是直角三角形 B．若，则 C．若，则 D．若，则 课后针对训练 一、单选题 1．（25-26高三上·陕西商洛·期中）在中，内角，，的对边分别为，，，且，，则角（   ） A． B． C． D． 2．（22-23高三上·河南濮阳·月考）在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且．若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26高三上·安徽六安·月考）在中，角的对边分别为．若，为中点，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·广东·月考）记的内角的对边分别为．已知，则为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 5．（25-26高三上·陕西咸阳·月考）在中，，，，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（24-25高二上·山西·月考）若的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则下列结论正确的是（   ） A．角C为钝角 B． C． D．的最小值为 三、填空题 7．（22-23高二上·陕西西安·期中）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．若，则 ． 8．（24-25高一下·云南楚雄·月考）在中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c．若，则的值为 ． 9．（23-24高三上·辽宁朝阳·开学考试）分别为内角的对边．已知，则的最小值为 ． 10．（25-26高二上·湖南·月考）在中，角的对边分别为，已知，则 . 11．（25-26高三上·湖南常德·月考）已知D是斜边上一点，，，且，则的长 12．（23-24高二上·福建福州·月考）在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，，则的值为 . 四、解答题 13．（24-25高一下·山西大同·月考）在中角、、所对边、、满足，，，求的值. 14．（25-26高二上·河南焦作·期中）在中，角、、的对边分别为、、.已知. (1)求； (2)若，，点在边上，且，求 15．（25-26高三上·山东·月考）已知为内一点，满足，. (1)若，求的值； (2)求的最小值. 16．（2025高三上·湖北黄冈·专题练习）在中，已知，，边上的中点是，若相交于点， (1)求长 (2)求的余弦值 17．（25-26高三上·江苏无锡·月考）已知函数，且恒成立． (1)求实数m的值． (2)在中，，且，若E为BC中点，求的最大值． 18．（25-26高三上·重庆·月考）如图是函数，一个周期内的图象，把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变；再将所得的图像向右平移个单位长度，得到函数的图象. (1)求函数的解析式; (2)在△ABC中， 若， AB=2， BC=3， 求AC. 1 学科网（北京）股份有限公司 $