专题2 第3讲 数列与不等式 提升课 课时作业-【优化探究】2026年高考数学二轮专题复习配套课件（提升版）

1 2 3 4 1.(2025·陕西西安模拟)已知数列{an}满足a1=1,an=3an-1+4(n≥2).设bn=log3(an+2). (1)求证:数列{an+2}是等比数列,并求数列{an}的通项公式; 解:由a1=1,an=3an-1+4(n≥2), 可得an+2=3an-1+6=3(an-1+2),又a1+2=3, 即数列{an+2}是首项和公比均为3的等比数列,则an+2=3n,即an=3n-2. 基础巩固练 1 2 3 4 (2)设数列cn=,且对任意正整数n,不等式cn≤λ恒成立,求实数λ的取值范围. 解:数列cn===, 则=·=<1, 可得{cn}为递减数列,可得cn≤c1=,对任意正整数n,不等式cn≤λ恒成立, 可得λ≥,即λ的取值范围是[,+∞). 1 2 3 4 2.(2024·天津卷)已知{an}为公比大于0的等比数列,其前n项和为Sn,且a1=1,S2=a3-1. (1)求{an}的通项公式及Sn; 解:设等比数列{an}的公比为q>0. 因为a1=1,S2=a3-1,即a1+a2=a3-1, 可得1+q=q2-1,整理得q2-q-2=0,解得q=2或q=-1(舍去), 所以an=2n-1,Sn==2n-1. 1 2 3 4 (2)设数列{bn}满足bn=其中k∈N*. 求证:当n=ak+1(k∈N*,且k>1)时,bn-1≥akbn. 1 2 3 4 证明:由(1)可知an=2n-1,且k∈N*,k≥2, 当n=ak+1=2k≥4时, 则 即ak<n-1<ak+1, 由上可知ak=2k-1,bn=k+1, 所以bn-1=+(ak+1-ak-1)·2k=k+2k(2k-1-1)=k(2k-1), 可得bn-1-akbn=k(2k-1)-(k+1)2k-1=(k-1)2k-1-k≥2(k-1)-k=k-2≥0, 当且仅当k=2时,等号成立,所以bn-1≥akbn. 1 2 3 4 3.(2025·湖北武汉模拟)已知数列{an}的首项为2,前n项和为Sn,且Sn+1+2=an+3n+Sn. (1)求数列{an}的通项公式; 解:由已知Sn+1+2=an+3n+Sn, 则an+1=Sn+1-Sn=an+3n-2, 即an+1-an=3n-2,则an-an-1=3n-5,an-1-an-2=3n-8,…,a2-a1=1, 以上等式左右两边分别相加可得an-a1=(3n-5)+(3n-8)+…+1==, 则an=+a1=. 能力提升练 1 2 3 4 (2)求满足an>的n的最小值; 解:由(1)得an=,且an>, 即>, 化简可得(3n-1)(n-3)>0. 又n∈N*,即n>3, 所以满足an>的n的最小值为4. 1 2 3 4 (3)已知bn=,记数列{bn}的前n项和为Tn,求证:-≤Tn<-. 证明:依题意得,bn====(-), 则Tn=(-1-+-+-+…+-)=(-1-)=--, 又n∈N*,所以∈(0,],所以Tn=--∈[-,-), 即-≤Tn<-. 1 2 3 4 4.(2025·四川南充模拟)对于无穷数列{xn}和函数f(x),若xn+1=f(xn)(n∈N*),则称f(x)是数列{xn}的生成函数. (1)定义在R上的函数g(x)满足:对任意n∈N*,都有g(2n+1)=2g(2n)+2n,且g(2)=1;又数列{an}满足an=g(2n). ①求证:f(x)=x+是数列的生成函数; ②求数列{an}的前n项和Sn. 1 2 3 4 ①证明:由题意知:a1=g(2)=1,g(2n+1)=2g(2n)+2n, 又an=g(2n),∴an+1=2an+2n,即=+, ∴f(x)=x+的生成函数. 1 2 3 4 ②解:由①知:=+,又=, ∴数列为首项,为公差的等差数列, ∴=+(n-1)×=n,∴an=n×2n-1, ∴Sn=1×20+2×21+3×22+…+n×2n-1, 2Sn=1×21+2×22+3×23+…+n×2n, 两式相减得-Sn=20+21+22+…+2n-1-n×2n=-n×2n=(1-n)×2n-1, ∴Sn=(n-1)×2n+1. 1 2 3 4 (2)已知f(x)=是数列{bn}的生成函数,且b1=2.若数列的前n项和为Tn,求证:25(1-0.99n)<Tn<250(1-0.999n)(n∈N*,n≥2). 1 2 3 4 证明:由题意知:bn+1=,b1=2, ∴bn+1-1==, bn+1+2==, ∴=·, 又=, ∴数列为首项,为公比的等比数列, 1 2 3 4 ∴=·()n-1,又0.99<<0.999, ∴·0.99n-1<·()n-1<·0.999n-1(n∈N*,n≥2), 则当n≥2时,0.99i-1<Tn<0.999i-1, 即·<Tn<·, ∴25(1-0.99n)<Tn<250(1-0.999n)(n∈N*,n≥2). 感谢您的观看 $