专题5 第3讲 直线与圆锥曲线的位置关系 基础课-【优化探究】2026年高考数学二轮专题复习配套课件（提升版）

该高中数学高考复习课件聚焦“直线与圆锥曲线的位置关系”核心专题，依据高考评价体系梳理了弦长问题、面积问题、中点弦与焦点弦三大必考考点，通过真题分析明确弦长计算、三角形面积求解等高频题型，构建了“考点解析-真题示例-方法总结”的备考体系，体现高考备考的针对性。 课件亮点在于“真题实战+方法提炼+素养培养”，如以2023全国甲卷抛物线面积题为例，详解“韦达定理+弦长公式”解题流程，培养学生数学思维中的运算能力与推理意识，特设易错点警示（如忽略Δ>0）。教师可依托此课件实施精准复习，帮助学生高效掌握解题技巧，提升高考得分率。

第三讲　直线与圆锥曲线的位置关系 基础课 第一部分　专题突破 专题五　平面解析几何 高考分析 直线与圆锥曲线的位置关系是高考的必考内容,涉及直线与圆锥曲线的相交、相切、弦长、面积以及中点弦等问题,难度中等. 考点一　弦长问题 内容索引 考点二　面积问题 考点三　中点弦与焦点弦 3 考点一　弦长问题 考点一　弦长问题 [例1]　(2025·全国二卷)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,长轴长为4. (1)求C的方程. 考点一　弦长问题 [解]　依题意,设椭圆C的焦距为2c(c>0),则 解得 又b===, 所以椭圆C的方程为+=1. 考点一　弦长问题 (2)过点(0,-2)的直线l与C交于A,B两点,O为坐标原点.若△OAB的面积为,求|AB|. 考点一　弦长问题 [解]　依题意可知,直线l的斜率一定存在(提示:若直线l的斜率不存在,则不能构成△AOB),设直线l的方程为y=kx-2,A(x1,y1),B(x2,y2), 联立 消去y整理得(2k2+1)x2-8kx+4=0, 由Δ=64k2-16(2k2+1)=32k2-16>0,解得 k∈∪, 则 考点一　弦长问题 法一:则|AB|==·=4. 又坐标原点O到直线l的距离d=, 所以△AOB的面积S=|AB|·d=×4×=, 则=, 解得k=±∈∪, 所以|AB|=4=. 考点一　弦长问题 法二:依题意,不妨设 |x1|>|x2|,D(0,-2), 所以△AOB的面积S=S△DOA-S△DOB=×2|x1-x2|=, 所以|x1-x2|=, 所以==-4x1x2=-=2, 解得k=±∈∪, 所以|AB|=|x1-x2|=×=. 考点一　弦长问题 　1.设直线方程时,需考虑特殊直线,如直线的斜率不存在、斜率为0等. 2.涉及直线与圆锥曲线相交时,Δ>0易漏掉. 方法总结 考点一　弦长问题 1.(2025·江西南昌模拟)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线的倾斜角为,C的右焦点F到该渐近线的距离为2. (1)求C的方程. 对点训练 考点一　弦长问题 解:因为C的一条渐近线的倾斜角为,所以=,b=a, 则C的一条渐近线的方程为x-y=0. 因为=2a, 所以右焦点F(2a,0)到渐近线x-y=0的距离为=2, 所以a=2,b=2,所以C的方程为-=1. 考点一　弦长问题 (2)若过点F的直线与C的左、右两支分别交于点A,B,与圆O:x2+y2=a2交于与A,B不重合的M,N两点. ①求直线AB斜率的取值范围; ②求|AB|·|MN|的取值范围. 考点一　弦长问题 解:①由(1)知,F(4,0),设A(x1,y1),B(x2,y2), 由题意可得直线AB的斜率存在且不为零,设直线AB的方程为x=my+4(m≠0), 与-=1联立得(3m2-1)y2+24my+36=0, 所以3m2-1≠0,Δ=144(m2+1)>0,y1+y2=-,y1y2=, 又A,B两点在x轴同一侧,所以y1y2>0.此时3m2-1>0,即m2>. 又圆O的方程为x2+y2=4,点O到直线AB的距离d=, 考点一　弦长问题 由d<2得m2>3,由得m2>3,所以m>或m<-. 因为直线AB的斜率k=,所以直线AB斜率的取值范围是(-,0)∪(0,). ②由弦长公式得|AB|=|y1-y2|=·=· =, 考点一　弦长问题 |MN|=2=4, 所以|AB|·|MN|=·=, 其中m2>3,设t=3m2-1,t>8, 则|AB|·|MN|==16=16∈(0,16), 所以|AB|·|MN|的取值范围是(0,16). 考点二　面积问题 考点二　面积问题 [例2]　(2023·全国甲卷)已知直线x-2y+1=0与抛物线C:y2=2px(p>0)交于A,B两点,|AB|=4. (1)求p; 考点二　面积问题 [解]　设A(xA,yA),B(xB,yB), 由可得y2-4py+2p=0,Δ=16p2-8p>0, 所以p>,所以yA+yB=4p,yAyB=2p, 所以|AB|=|yA-yB| =×=4, 即2p2-p-6=0,因为p>,解得p=2. 考点二　面积问题 (2)设F为C的焦点,M,N为C上两点,且·=0,求△MFN面积的最小值. [解]　因为F(1,0),显然直线MN的斜率不可能为零, 设直线MN:x=my+n,M(x1,y1),N(x2,y2), 由可得y2-4my-4n=0,则Δ=16m2+16n>0,即m2+n>0,所以y1+y2=4m,y1y2=-4n. 考点二　面积问题 因为·=0,所以(x1-1)(x2-1)+y1y2=0,即(my1+n-1)(my2+n-1)+y1y2=0, 亦即(m2+1)y1y2+m(n-1)(y1+y2)+(n-1)2=0,将y1+y2=4m,y1y2=-4n代入得, 4m2=n2-6n+1,4(m2+n)=(n-1)2>0, 所以n≠1,且n2-6n+1≥0,解得n≥3+2或n≤3-2. 设点F到直线MN的距离为d,所以d=, |MN|=|y1-y2|= ==2|n-1|, 考点二　面积问题 所以△MFN的面积S=×|MN|×d=××2|n-1|=(n-1)2, 而n≥3+2或n≤3-2, 所以当n=3-2时,△MFN面积的最小值Smin=(2-2)2=12-8. 考点二　面积问题 　圆锥曲线中求解三角形面积时常用方法 1.面积公式:S=×底×高=absin C. 2.(1)过x轴上的定点:S=a|y1-y2|(a为x轴上定长); (2)过y轴上的定点:S=a|x1-x2|(a为y轴上定长). 方法总结 考点二　面积问题 2.(2024·新课标Ⅰ卷)已知A(0,3)和P(3,)为椭圆C:+=1(a>b>0)上两点. (1)求C的离心率; 解:由题意得 所以e===. 对点训练 考点二　面积问题 (2)若过P的直线l交C于另一点B,且△ABP的面积为9,求l的方程. 解:法一:kAP==-,则直线AP的方程为y=-x+3,即x+2y-6=0, |AP|==,由(1)知C:+=1, 设点B到直线AP的距离为d,则d==, 考点二　面积问题 则将直线AP沿着与AP垂直的方向平移个单位长度,所得平行线与椭圆的交点即为点B, 设该平行线的方程为x+2y+t=0, 则=,解得t=6或t=-18, 当t=6时,联立 考点二　面积问题 解得 即B(0,-3)或(-3,-), 当B(0,-3)时,此时kl=,直线l的方程为y=x-3,即3x-2y-6=0, 当B(-3,-)时,此时kl=,直线l的方程为y=x,即x-2y=0, 当t=-18时,联立得2y2-27y+117=0, Δ=272-4×2×117=-207<0,此时该直线与椭圆无交点. 综上,直线l的方程为3x-2y-6=0或x-2y=0. 考点二　面积问题 法二:当l的斜率不存在时,l:x=3,B(3,-),|PB|=3,点A到PB距离为3, 此时S△ABP=×3×3=≠9不满足条件. 当l的斜率存在时,设l:y-=k(x-3),P(x1,y1),B(x2,y2), 联立消去y可得(4k2+3)x2-(24k2-12k)x+36k2-36k-27=0, Δ=[-(24k2-12k)]2-4(4k2+3)(36k2-36k-27)>0,且k≠kAP,即k≠-, 考点二　面积问题 |PB|= =, 点A到直线PB距离为,S△PAB=··=9, 所以k=,均满足题意,所以l:y=x或y=x-3,即3x-2y-6=0或x-2y=0. 考点二　面积问题 法三:当l的斜率不存在时,l:x=3,B(3,-), |PB|=3,点A到PB距离为3, 此时S△ABP=×3×3=≠9不满足条件. 当直线l斜率存在时,设l:y=k(x-3)+, 设l与y轴的交点为Q,令x=0,则Q(0,-3k+), 联立则有(3+4k2)x2-8k(3k-)x+36k2-36k-27=0, 考点二　面积问题 其中Δ=[-8k(3k-)]2-4(3+4k2)(36k2-36k-27)>0,且k≠-, 则3xB=,xB=, 则S=|AQ||xP-xB| ==9, 解得k=或k=,经代入判别式验证均满足题意. 则直线l的方程为y=x或y=x-3,即3x-2y-6=0或x-2y=0. 考点三　中点弦与焦点弦 考点三　中点弦与焦点弦 [例3]　(1)(2023·全国乙卷)设A,B为双曲线x2-=1上两点,下列四个点中,可以为线段AB中点的是(　　) A.(1,1)　　　　　　　　 B.(-1,2) C.(1,3) D.(-1,-4) D 考点三　中点弦与焦点弦 [解析]　设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为M(x0,y0),由点A,B在双曲线上,得两式作差,得-=, 即(x1-x2)(x1+x2)=,化简得=9, 即·=kAB·=9,因此kAB=9·.由双曲线方程可得渐近线方程为y=±3x,如图. 考点三　中点弦与焦点弦 对于A,因为kAB=9×=9>3,所以直线AB与双曲线无交点,不符合题意; 对于B,因为kAB=9×=-<-3,所以直线AB与双曲线无交点,不符合题意; 对于C,kAB=9×=3,此时直线AB与渐近线y=3x平行,与双曲线不可能有两个交点,不符合题意; 对于D,因为kAB=9×=<3,所以直线AB 与双曲线有两个交点,满足题意. 考点三　中点弦与焦点弦 (2)(2022·新课标Ⅰ卷)已知椭圆C:+=1(a>b>0),C的上顶点为A,两个焦点为F1,F2,离心率为.过F1且垂直于AF2的直线与C交于D,E两点,|DE|=6,则△ADE的周长是　　　　.  13 考点三　中点弦与焦点弦 [解析]　∵椭圆的离心率为e==,∴a=2c,∴b2=a2-c2=3c2,∴椭圆的方程为+=1,即3x2+4y2-12c2=0,不妨设左焦点为F1,右焦点为F2,如图所示. 连接AF1,∵AF2=a,OF2=c,a=2c,∴∠AF2O=, ∴△AF1F2为正三角形. ∵过F1且垂直于AF2的直线与C交于D,E两点,DE为线段AF2的垂直平分线, ∴直线DE的斜率为,斜率倒数为, 直线DE的方程:x=y-c,代入椭圆方程3x2+4y2-12c2=0,整理化简得到:13y2-6cy-9c2=0, 考点三　中点弦与焦点弦 判别式Δ=(6c)2+4×13×9c2=62×16×c2, ∴|DE|=|y1-y2|=2×=2×6×4×=6, ∴ c=, 得a=2c=. 连接DF2,EF2,∵DE为线段AF2的垂直平分线,根据对称性,AD=DF2,AE=EF2,∴△ADE的周长等于△F2DE的周长,利用椭圆的定义得到△F2DE周长为|DF2|+|EF2|+|DE|=|DF2|+|EF2|+|DF1|+|EF1|=|DF1|+|DF2|+|EF1|+|EF2|=2a+2a=4a=13. 考点三　中点弦与焦点弦 　处理中点弦问题常用的求解方法 方法总结 考点三　中点弦与焦点弦 3.(2025·安徽芜湖模拟)已知椭圆+=1,一组斜率为的平行直线与椭圆相交,则这些直线被椭圆截得的线段的中点所在的直线方程为(　　) A.y=x B.y=-2x C.y=-x D.y=2x 对点训练 C 考点三　中点弦与焦点弦 解析:设斜率为的一条直线与椭圆相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,且AB的中点为M(x,y), 可得x1+x2=2x,y1+y2=2y. 由 两式相减得+=0, 整理得=-=-=,可得y=-x,即这些直线被椭圆截得的线段的中点所在的直线方程为y=-x. 考点三　中点弦与焦点弦 4.(多选)(2023·新课标Ⅱ卷)设O为坐标原点,直线y=-(x-1)过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,且与C交于M,N两点,l为C的准线,则(　　) A.p=2 B.|MN|= C.以MN为直径的圆与l相切 D.△OMN为等腰三角形 AC 考点三　中点弦与焦点弦 解析:因为直线y=-(x-1)过点(1,0),所以抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F(1,0), 所以=1,p=2,2p=4,抛物线C的方程为y2=4x,A选项正确. 设M(x1,y1),N(x2,y2), 由消去y并化简得3x2-10x+3=(x-3)(3x-1)=0, 解得x1=3,x2=,所以|MN|=x1+x2+p=3++2=,B选项错误. 设MN的中点为A,M,N,A到直线l的距离分别为d1,d2,d, 考点三　中点弦与焦点弦 因为d=(d1+d2)=(|MF|+|NF|)=|MN|, 即点A到直线l的距离等于MN的一半,所以以MN为直径的圆与直线l相切,C选项正确. 直线y=-(x-1),即x+y-=0, O到直线x+y-=0的距离为d=, 所以△OMN的面积为××=, 考点三　中点弦与焦点弦 由上述分析可知y1=-(3-1)=-2,y2=-(-1)=, 所以|OM|==,|ON|==, 所以三角形OMN不是等腰三角形,D选项错误. 感谢您的观看 $