专题5 第1讲 直线、圆与新曲线 基础课-【优化探究】2026年高考数学二轮专题复习配套课件（提升版）

该高中数学高考复习课件聚焦直线与圆、隐形圆、新曲线三大核心考点，依据高考评价体系明确直线与圆为中低档选择填空题，新曲线结合圆锥曲线与函数考查逻辑推理，通过真题解析归纳弦长计算、轨迹方程推导等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于2024-2025年高考真题与模拟题训练，如阿氏圆轨迹方程推导、蒙日圆性质应用等实例，培养学生数学思维与转化能力，方法总结涵盖弦长公式等技巧，助力学生掌握答题规律，教师可据此精准指导高考冲刺。

第一讲　直线、圆与新曲线 基础课 第一部分　专题突破 专题五　平面解析几何 高考分析 1.直线的方程、直线与直线的位置关系、直线与圆、圆与圆的位置关系,考查形式多样,难度属于中低档,以选择题、填空题为主.　2.新曲线常与圆锥曲线、函数相结合,考查逻辑推理与转化的方法的应用. 考点一　直线与圆 内容索引 考点二　隐形圆 考点三　新曲线 3 考点一　直线与圆 考点一　直线与圆 1.(2024·北京卷)圆x2+y2-2x+6y=0的圆心到直线x-y+2=0的距离为(　　) A.　　　　　　　　　 B.2 C.3 D.3 解析:由题意得x2+y2-2x+6y=0,即(x-1)2+(y+3)2=10, 则圆心坐标为(1,-3),则圆心到直线x-y+2=0的距离为=3. D 考点一　直线与圆 2.(2024·全国甲卷)已知b是a,c的等差中项,直线ax+by+c=0与圆x2+y2+4y-1=0交于A,B两点,则|AB|的最小值为(　　) A.1 B.2 C.4 D.2 C 考点一　直线与圆 解析:因为a,b,c成等差数列,所以2b=a+c,c=2b-a,代入直线方程ax+by+c=0得ax+by+2b-a=0,即a(x-1)+b(y+2)=0,令 故直线恒过定点(1,-2),设P(1,-2),圆化为标准方程得:x2+(y+2)2=5, 设圆心为C,如图,当PC⊥AB时,|AB|最小,|PC|=1,|AC|=,此时|AB|=2|AP|=2=2×=4. 考点一　直线与圆 3.(2025·全国一卷)已知圆x2+(y+2)2=r2(r>0)上到直线y=x+2的距离为1的点有且仅有两个,则r的取值范围是(　　) A.(0,1)　　　　　　　　 B.(1,3) C.(3,+∞) D.(0,+∞) B 考点一　直线与圆 解析:由题意,在圆x2+(y+2)2=r2(r>0)中,设圆心E(0,-2),半径为r. 则圆心E(0,-2)到直线y=x+2的距离为d==2,如图可知,当r=1时, 圆x2+(y+2)2=r2(r>0)上有且仅有1个点(A点)到直线y=x+2的距离等于1; 当r=3时,圆x2+(y+2)2=r2(r>0)上有且仅有3个点(B,C,D点)到直线y=x+2的距离等于1; 所以当r的取值范围为(1,3)时,圆x2+(y+2)2=r2(r>0)上有 且仅有2个点到直线y=x+2的距离等于1. 考点一　直线与圆 4.(2025·天津卷)l1:x-y+6=0与x轴交于点A,与y轴交于点B,与圆(x+1)2+ (y-3)2=r2(r>0)交于C,D两点,|AB|=3|CD|,则r=　　　　.  解析:因为直线l1:x-y+6=0与x轴交于点A(-6,0),与y轴交于点B(0,6),所以|AB|==6,所以|CD|=2,圆(x+1)2+(y-3)2=r2的半径为r,圆心 (-1,3)到直线l1:x-y+6=0的距离为d==, 故|CD|=2=2=2,解得r=2. 2 考点一　直线与圆 　1.弦长用圆的半径和圆心到直线的距离表示,l=2 (其中l为弦长, r为圆的半径,d为圆心到直线的距离). 2.过圆x2+y2=r2上一点(x0,y0)的切线方程为x·x0+y·y0=r2. 3.两圆相交时,方程相减即得公共弦的方程. 方法总结 考点二　隐形圆 考点二　隐形圆 角度1　阿氏圆(阿波罗尼斯圆) 1.定义:平面内,到两定点距离的比为常数λ(λ>0且λ≠1)的点的轨迹是圆,这个圆称为阿氏圆,又称为阿波罗尼斯圆. 2.性质:(1)圆心位置:阿氏圆的圆心在两定点所连线段的延长线上,且分两定点所连线段的比等于已知常数λ(λ>0且λ≠1)的平方. (2)半径公式:设两定点A,B的距离为d,点 P到A,B两点距离之比为λ(λ>0且λ≠1),则阿氏圆半径r=. 考点二　隐形圆 [例1]　(多选)(2025·江西宜春模拟)古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中给出了阿波罗尼斯圆的定义:在平面内,已知两定点A,B之间的距离为a(非零常数),动点M到A,B的距离之比为常数λ(λ>0且λ≠1),则点M的轨迹是圆,简称为阿氏圆.在平面直角坐标系Oxy中,已知A(-4,0),B(2,0),点M满足|MA|=2|MB|,则下列说法正确的是( 　　) A.△AMB面积的最大值为12 B.·的最大值为72 C.若Q(8,8),则|MA|+2|MQ|的最小值为10 D.当点M不在x轴上时,MO始终平分∠AMB ABD 考点二　隐形圆 [解析]　对于A,设点M(x,y),由|MA|=2|MB|,得=2,化为(x-4)2+y2=16,所以点M的轨迹是以点(4,0)为圆心、4为半径的圆, 所以△AMB面积的最大值为|AB|r=×6×4=12,故A正确; 对于B,设线段AB的中点为N,·=(+)·(+)=||2-||2≤(8+1)2-(-1+4)2=72, 当且仅当点M的坐标为(8,0)时取等号,故·的 最大值为72,故B正确; 考点二　隐形圆 对于C,显然点Q(8,8)在圆外,点B(2,0)在圆内, |MA|+2|MQ|=2|MB|+2|MQ|=2(|MB|+|MQ|)≥2|BQ|=2=20,当B,M,Q三点共线且点M在线段BQ之间时,(|MA|+2|MQ|)min=20,故C错误; 对于D,由|OA|=4,|OB|=2,有=2=,当点M不在x轴上时, 由三角形内角平分线分线段成比例定理的逆定理知, MO是△AMB中∠AMB的平分线,故D正确. 考点二　隐形圆 角度2　蒙日圆 1.定义:(1)设椭圆的方程为+=1(a>b>0),则该椭圆两条互相垂直的切线PA,PB的交点P的轨迹是蒙日圆x2+y2=a2+b2. (2)双曲线-=1(a>b>0)的两条互相垂直的切线PA,PB交点P的轨迹是蒙日圆:x2+y2=a2-b2(只有当a>b时才有蒙日圆). 考点二　隐形圆 2.性质:设P为蒙日圆上任一点,过点P作椭圆的两条切线,分别交椭圆于点A,B,O为原点. 性质1:PA⊥PB. 性质2: kOP·kAB=-;kOA·kPA=-,kOB·kPB=-. 性质3:PO平分椭圆的切点弦AB. 考点二　隐形圆 [例2]　(2025·安徽黄山模拟)蒙日是法国的数学家,他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆,这个圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆C:+=1的焦点在x轴上,A,B为椭圆上任意两点,动点P在直线x-y-6=0上.若∠APB恒为锐角,根据蒙日圆的相关知识得椭圆C的离心率的取值范围为(　　) A.(0,)　　　　　　　　 B.(0,) C.(,1) D.(,1) B 考点二　隐形圆 [解析]　∵椭圆C的焦点在x轴上,∴m>3.∵直线x=±,y=±与椭圆C都相切,∴x=±,y=±所围成矩形的外接圆为x2+y2=3+m即为椭圆C:+=1的蒙日圆.∵A,B为椭圆C:+=1上任意两个动点,动点P满足∠APB为锐角, ∴点P在圆x2+y2=3+m外,又动点P在直线x-y-6=0上,∴直线x-y-6=0与圆x2+y2=3+m相离,∴>,解得m<9,又m>3,∴3<m<9. ∵椭圆C的离心率e==,∈(,1),∴e∈(0,). 考点二　隐形圆 　1.若出现平面内到两定点距离的比为常数或求两垂直切线交点的轨迹,可直接根据定义得到方程. 2.已知椭圆或双曲线的蒙日圆,若题目中出现两条垂直切线相关的问题,可考虑利用蒙日圆的性质.若已知点在蒙日圆上,可利用其与椭圆或双曲线的位置关系,来判断过该点的切线情况等. 方法总结 考点二　隐形圆 1.(2025·山东日照模拟)已知平面上两定点A,B,则平面上所有满足=λ(λ>0且λ≠1)的点P的轨迹是一个圆心在直线AB上,半径为·|AB|的圆.这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现,故称作阿氏圆.已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1表面上有一动点P满足|PA|=|PB|,则点P在侧面B1BCC1上的轨迹长度为(　　) A.π B.π C. D.π 对点训练 C 考点二　隐形圆 解析:以B为原点,AB为x轴建立平面直角坐标系如图,设阿氏圆圆心O(a,0),半径为r. 因为|PA|=|PB|,所以=, 所以r=|AB|=. 因为|BM|=-|BO|=-a, 所以|AM|=|BM|=2-a, 考点二　隐形圆 所以2-a+-a=1,解得a=1,所以圆心O(1,0),所以点P在空间内轨迹是以O(1,0)为球心,半径为的球.因为OB⊥平面B1BCC1,平面B1BCC1截球所得小圆是以B为圆心,以BP为半径的圆,且BP==1,所以点P在侧面B1BCC1上的轨迹长度为2π·1×=. 考点二　隐形圆 2.(多选)已知椭圆C:+=1(a>b>0),我们把圆x2+y2=a2+b2称为C的蒙日圆,O为原点,点P在C上,延长OP与C的蒙日圆交于点Q,则(　　) A.|PQ|的最大值为-b B.若P为OQ的中点,则C的离心率的最大值为 C.过点Q不可能作两条互相垂直的直线都与C相切 D.若点(2,1)在C上,则C的蒙日圆面积最小为9π AD 考点二　隐形圆 解析:对于A,因为圆x2+y2=a2+b2的圆心为O(0,0),半径为r=, 又椭圆C:+=1(a>b>0),所以|OP|≥b, 所以|PQ|=|OQ|-|OP|≤r-b=-b,A正确; 对于B,若P为OQ的中点,则|OP|=≥b, 则a2≥3b2,故e=≥=,B错误; 考点二　隐形圆 对于C,取Q(a,b),则直线x=a,y=b互相垂直,且都与C相切,C错误; 对于D,因为点(2,1)在C上,所以+=1, 则r2=a2+b2=(a2+b2)(+)=5++≥5+2=9, 当且仅当=,即a=b=时取等号,所以C的蒙日圆面积最小为9π,D正确. 考点三　新曲线 考点三　新曲线 [例3]　(1)(多选)(2024·新课标Ⅰ卷)设计一条美丽的丝带,其造型 可以看作图中的曲线C的一部分.已知C过坐标原点O,且C上的点满足:横坐标大于-2;到点F(2,0)的距离与到定直线x=a(a<0)的距离之积为4,则(　 　) A.a=-2 B.点(2,0)在C上 C.C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1 D.当点(x0,y0)在C上时,y0≤ ABD 考点三　新曲线 [解析]　对于A,设曲线上的动点P(x,y),则x>-2且×|x-a|=4, 因为曲线过坐标原点,故×|0-a|=4,a<0,解得a=-2,故A正确. 对于B,曲线C的方程为×|x+2|=4,而x>-2,故×(x+2)=4. 当x=2,y=0时,×(2+2)=8-4=4,故(2,0) 在曲线C上,故B正确. 考点三　新曲线 对于C,由曲线C的方程可得y2=-(x-2)2,取x=,则y2=-,而--1=-=>0,故此时y2>1,故C在第一象限内点的纵坐标的最大值大于1,故C错误. 对于D,当点(x0,y0)在曲线上时,=-(x0-2)2≤, 故-≤y0≤, 又因为x0>-2,所以y0≤,故D正确. 考点三　新曲线 (2)(2025·八省联考)已知曲线C:y=x3-,两条直线l1,l2均过坐标原点O,l1和C交于M,N两点,l2和C交于P,Q两点.若△OPM的面积为,则△MNQ的面积为　　　　　　.  2 考点三　新曲线 [解析]　因为f'(x)=3x2+>0,所以f(x)在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递增,f(x)为奇函数. l1,l2都是过原点的直线,l1,l2对应的都是奇函数,则P,Q关于原点对称,M,N关于原点对称. 则四边形PNQM为平行四边形,S△OPM=,则S△MNQ=2. 考点三　新曲线 　将新曲线问题通过坐标变换、变量代换等方法转化为熟悉的曲线问题,然后结合熟悉曲线的定义、性质等解决问题;另外新曲线通常与函数相结合,还需要借助函数的性质解决问题. 方法总结 考点三　新曲线 3.(多选)(2025·山东聊城模拟)笛卡尔叶形线是一种非常优美且具有丰富几何性质的代数曲线,它的形状如图所示,其标准方程为x3+y3=3axy(a>0),其中a是参数.已知某笛卡尔叶形线过点(,),点P(x0,y0)(x0>0,y0>0)是该曲线上的一点,则(　　 ) A.当x0=时,y0取到最大值 B.x0的取值范围是(0,] C.直线x+y=3是曲线的一条切线 D.若x+y=t是曲线的渐近线,则t=-1 对点训练 BCD 考点三　新曲线 解析:由笛卡尔叶形线过点(,)得,()3+()3=3a×,解得a=1,所以x3+y3=3xy. 对于A,设y0的最大值为m>0,则曲线与y=m在第一象限只有一个交点,联立得x3+m3=3xm,设f(x)=x3-3mx+m3,x>0, 令f'(x)=3x2-3m=0,解得x=, 当x∈(0,)时,f'(x)<0,则f(x)在(0,)上单调递减,当x∈(,+∞)时,f'(x)>0,则f(x)在(,+∞)上单调递增,又f(0)=m3>0,所以必满足f()=0, 即f()=-3m·+m3=-2+m3=(-2+)=0,解得m=, 所以y0的最大值为,此时x0==(=,故A错误; 考点三　新曲线 对于B,设x0的最大值为t>0,则曲线与x=t在第一象限只有一个交点,联立得t3+y3=3ty,与A同理得,t==,所以x0的取值范围是(0,],故B正确; 对于C,若直线x+y=3是曲线的一条切线,则x+y=3与曲线在第一象限只有一个交点, 联立得x3+(3-x)3=3x(3-x),整理得4x2-12x+9=(2x-3)2=0,所以方程有2个相等的实数根,所以x+y=3与曲线在第一象限只有一个交点,故C正确; 考点三　新曲线 对于D,因为曲线过点(0,0),所以x=0不是曲线渐近线,设曲线的渐近线为y=mx+b(m≠0),代入曲线方程得(m3+1)x3+(3m2b-3m)x2+(3b2m-3b)x+b3=0, 同时除以x3≠0得,(m3+1)+++=0, 当x→∞时,→0,→0,→0,此时m=-1, 则上式为++=0⇒(3b+3)++=0, 当x→∞,→0,→0,此时b=-1,所以曲线的渐近线为y=-x-1,即x+y=-1,故D正确. 考点三　新曲线 4.(2025·北京模拟)已知曲线C:xy-x2+x-y+1=0.给出下列四个结论: ①曲线C为中心对称图形; ②曲线C与直线y=x+1有两个交点; ③曲线C恰好经过两个整点(即横、纵坐标均为整数的点); ④曲线C上任意两点A(x1,y1),B(x2,y2),当x1<1<x2时,|AB|≥2.其中正确结论的序号是　　　　.  ①③ 考点三　新曲线 解析:对于①,假设曲线C的对称中心为(h,k),将对称点(2h-x,2k-y)代入原方程: (2h-x)(2k-y)-(2h-x)2+(2h-x)-(2k-y)+1=0,整理得xy-x2+(4h-2k-1)x+(1-2h)y+4hk-4h2+2h-2k+1=0, 则 解得说明曲线C关于点(1,1)中心对称,故①正确; 考点三　新曲线 对于②,联立y=x+1与xy-x2+x-y+1=0,消去y并整理可得x=0,此时y=1, 故曲线C与直线y=x+1有一个交点(0,1),故②错误; 对于③,当x=1时,原方程不成立,故曲线C可变形为y==x-, 若横、纵坐标均为整数,则必须为整数,故x=0或x=2;当x=0时,y=1,当x=2时,y=1,故曲线C恰好经过两个整点(0,1)和(2,1),故③正确; 对于④,由③可知C:y=,设M(1,1), 考点三　新曲线 因为|BM|2=(x2-1)2+(y2-1)2=(x2-1)2+(-1)2, 令t=x2-1,因为x2>1所以t>0,所以x2=t+1, 所以|BM|2=t2+[-1]2 =2t2+-2≥2-2, 当且仅当2t2=,即t2=时等号成立,同理|AM|2≥2-2, 由①知曲线C关于点M(1,1)中心对称,所以当|BM|2和|AM|2都最小时,A,B,M三点共线,此时|AB|最小,所以|AB=4|BM=8-8<4,故④错误. 感谢您的观看 $