专题5 创新探究5 解析几何中的思维创新问题-【优化探究】2026年高考数学二轮专题复习配套课件（提升版）

该高中数学高考复习课件聚焦解析几何思维创新问题，覆盖新情境融合与新定义概念两大核心考点，对接高考评价体系，分析轨迹方程、最值求解、新定义证明等高频题型，通过模拟题实例归纳解题路径，体现备考针对性。 课件亮点在于“新情境建模+新定义转化”策略，如正三角形与抛物线结合题培养数学眼光，包络曲线定义题训练数学思维，总结“定义理解-坐标转化-代数运算”突破法，助力学生掌握得分技巧，教师可依此系统规划复习，提升备考效率。

创新探究5　解析几何中的思维创新问题 第一部分　专题突破 专题五　平面解析几何 高考分析 解析几何中的思维创新问题的表现形式有:与其他数学知识融合,如立体几何、导数等;与新情境结合或定义新的解析几何概念,如距离、曲线等.在解决解析几何创新题中理解新定义是基础、计算是关键. 类型一　与圆锥曲线有关的新情境问题 内容索引 类型二　与圆锥曲线有关的新定义问题 3 类型一　与圆锥曲线有关的新情境问题 类型一　与圆锥曲线有关的新情境问题 [例1]　(2025·上海模拟)如图,在平面直角坐标系Oxy中,△AiBiAi+1(i=1,2,…,n,…)为正三角形,且满足=(-,0),=(2i-1,0). (1)求点An的横坐标Xn关于正整数n的表达式; 类型一　与圆锥曲线有关的新情境问题 [解]　由=++…+, 可得Xn=-+(2i-1)=-+=-+(n-1)2. 类型一　与圆锥曲线有关的新情境问题 (2)求证:点B1,B2,…,Bn,…在抛物线Γ:y2=3x上; 类型一　与圆锥曲线有关的新情境问题 [证明]　设点Bn的坐标为(x,y), 则 即 所以y2=3(n-)2=3x,所以点B1,B2,…,Bn,…在抛物线Γ:y2=3x上. 类型一　与圆锥曲线有关的新情境问题 (3)过(2)中抛物线Γ:y2=3x的焦点F作两条互相垂直的弦AC和BD,求四边形ABCD面积的最小值. 类型一　与圆锥曲线有关的新情境问题 [解]　抛物线Γ:y2=3x的焦点为F(,0),互相垂直的弦AC和BD显然都不垂直坐标轴, 设直线AC的方程为x=my+,m≠0,代入Γ:y2=3x,得y2-3my-=0, 则有yA+yC=3m,yAyC=-,所以|AC|=|yA-yC|=3(1+m2), 将上式中的m用-代换,得|BD|=3(1+), 于是S四边形ABCD=|AC|·|BD|=(1+m2)(1+)=(2+m2+)≥18. 当且仅当m2=,即m=±1时,取等号,所以四边形ABCD面积的最小值为18. 类型一　与圆锥曲线有关的新情境问题 　以新情境为背景,在理解新定义的基础上转化为直线与圆锥曲线的位置关系,再求最值或范围. 方法总结 类型一　与圆锥曲线有关的新情境问题 1.(2025·广东汕头模拟)已知在矩形ABCD中,|AB|=4,|AD|=2.如图,以矩形的中心为坐标原点,分别平行于AB,AD的直线为x,y轴建立平面直角坐标系.设y轴分别交AB,DC于点E,F,点P为平面上的动点,且直线PE,PF的斜率的积为-. 对点训练 类型一　与圆锥曲线有关的新情境问题 (1)证明:点P不在矩形ABCD的外部. 证明:设P(x,y),由题设知E(0,-1),F(0,1), 从而·=-,整理得+y2=1(x≠0), 所以点P的轨迹为椭圆(去掉上下顶点),其范围是-2≤x≤2,-1<y<1, 故点P不可能在矩形外部. 类型一　与圆锥曲线有关的新情境问题 (2)现将矩形折叠,使A点落在线段DC上,设折痕所在直线l的斜率为k. ①求直线l的方程; ②重新展平矩形ABCD,当折痕的长最大时,求折痕被点P的轨迹所截得的弦长. 类型一　与圆锥曲线有关的新情境问题 解:①设折叠后A点落在线段DC上的点为G(t,1)(-2≤t≤2), 当k=0时,易得直线方程为y=0; 当k≠0时,由点A与点G关于折痕所在的直线对称,有kAG·k=-1,即·k=-1, 所以G(-2k-2,1)(-2≤k<0),AG中点坐标为(-k-2,0), 从而折痕所在的直线方程y=k[x-(-k-2)],即y=kx+k(k+2)(-2≤k<0). 综上:直线方程为y=kx+k(k+2),-2≤k≤0. 类型一　与圆锥曲线有关的新情境问题 ②由题可得,当k=0时,折痕的长为4; 当k≠0时,因为直线AD,BC所对应方程为x=-2,x=2, 则直线y=kx+k(k+2)与x=-2,x=2交点为(-2,k2),(2,k2+4k). (ⅰ)若折痕所在的直线分别与边AD,BC相交, 则交点坐标为N(-2,k2),M(2,k2+4k),则此时 此时,-2+<k<0,且|MN|2=16+16k2<64(2-). 类型一　与圆锥曲线有关的新情境问题 (ⅱ)若折痕所在的直线分别与边AD,AB相交, 则交点坐标为N(-2,k2),M(-,-1), 则 此时,-1≤k≤-2+,|MN|2=()2+(k2+1)2==f(k), f'(k)= =. 类型一　与圆锥曲线有关的新情境问题 令f'(k)=0得k=-, 列表得 所以f(k)max=f(-2+)=64(2-). k (-1,-) - (-,-2+) f'(k) - 0 + f(k) ↘   ↗ 类型一　与圆锥曲线有关的新情境问题 (ⅲ)若折痕所在的直线分别与边CD,AB相交, 则交点坐标为N(-,1), M(-,-1),则 此时,-2≤k<-1,|MN|2=+4<8. 综上可得,当且仅当k=-2+时,|MN=64(2-), 类型一　与圆锥曲线有关的新情境问题 即折痕长的最大值为=4(-), 由得(1+4k2)x2+8k2(k+2)x+4k2(k+2)2-4=0, 所以x1+x2=-,x1x2=, 故弦长d=·=·==. 类型二　与圆锥曲线有关的新定义问题 类型二　与圆锥曲线有关的新定义问题 [例2]　(2025·江苏南京模拟)设M是由直线构成的集合,对于曲线C,若C上任意一点处的切线均在M中,且M中的任意一条直线都是C上某点处的切线,则称C为M的包络曲线. (1)已知圆C1:x2+y2=1为M1的包络曲线,判断直线l:xsin θ-ycos θ=1(θ为常数,θ∈R)与集合M1的关系. [解]　圆心C1(0,0)到l的距离d==1, 即直线l与圆C1相切,所以l∈M1. 类型二　与圆锥曲线有关的新定义问题 (2)已知M2的包络曲线为C2:x2=4y,直线l1,l2∈M2.设l1,l2与C2的公共点分别为P,Q,记l1∩l2=A,C2的焦点为F. ①证明:|FA|是|FP|,|FQ|的等比中项; ②若点A在圆x2+(y+1)2=1上,求的最大值. 类型二　与圆锥曲线有关的新定义问题 法一:①[证明]　由y=x2,知F(0,1),C2的准线方程为y=-1,y'=x. 设A(s,t),P(x1,y1),Q(x2,y2). 因为l1∈M2,且l1与C2的公共点为P, 所以l1是曲线C2在点P处的切线, 其方程为PA:y=x1(x-x1)+y1, 即y=x1x-y1, 则t=x1s-y1,(*) 类型二　与圆锥曲线有关的新定义问题 同理,QA:y=x2x-y2,则t=x2s-y2,(**) 由(*)式和(**)式得直线PQ的方程为t=xs-y,即y=sx-t. 由消去x整理得y2+(2t-s2)y+t2=0,则y1+y2=s2-2t,y1y2=t2. 又因为|FP|=y1+1,|FQ|=y2+1, 则|FP|·|FQ|=(y1+1)(y2+1)=y1+y2+y1y2+1=s2-2t+t2+1=s2+(t-1)2. 又因为|FA|2=s2+(t-1)2, 所以|FA|2=|FP|·|FQ|, 故|FA|是|FP|,|FQ|的等比中项. 类型二　与圆锥曲线有关的新定义问题 ②[解]　由①知,==,则+=+=2+=2+. 因为s2+(t+1)2=1,所以s2+(t-1)2=1-4t,则+=2+. 又因为-2≤t<0,s2≤1,则≤=s2≤1, 从而可得+≤3,解得≤≤, 当A(1,-1),P(1-,)时,等号成立,故. 类型二　与圆锥曲线有关的新定义问题 法二:①[证明]　由题意知F(0,1),y=,则y'=. 设P(2m,m2),Q(2n,n2),m≠n. 因为l1∈M2,且l1与C2的公共点为P,所以l1是曲线C2在点P处的切线, 所以PA:y-m2=m(x-2m),即y=mx-m2,(*) 同理QA:y=nx-n2,(**) 联立(*)式和(**)式得x=m+n,y=mn,即A(m+n,mn), 所以|FA|2=(m+n)2+(mn-1)2=m2+n2+m2n2+1=(m2+1)(n2+1), 注意到|FP|=m2+1,|FQ|=n2+1, 因此|FA|2=|FP|·|FQ|, 所以|FA|是|FP|,|FQ|的等比中项. 类型二　与圆锥曲线有关的新定义问题 ②[解]　由①知,=,设t=, 则t+=+ = =2+ =2+ ≤2+(m+n)2. 类型二　与圆锥曲线有关的新定义问题 因为点A(m+n,mn)在圆x2+(y+1)2=1上, 所以(m+n)2+(mn+1)2=1,于是(m+n)2≤1,从而t+≤3, 解得≤t≤,即≤≤, 当A(1,-1),P(1-,)时,等号成立,故. 类型二　与圆锥曲线有关的新定义问题 2.(2025·广东中山模拟)在平面直角坐标系Oxy中,若在曲线E1的方程F(x,y)=0中,以(λx,λy)(λ为非零的正实数)代替(x,y)得到曲线E2的方程F(λx,λy)=0,则称曲线E1,E2关于原点“伸缩”,变换(x,y)→(λx,λy)称为“伸缩变换”,λ称为伸缩比. (1)已知曲线E1的方程为-y2=1,伸缩比λ=,求E1关于原点“伸缩变换”后所得曲线E2的方程; 对点训练 类型二　与圆锥曲线有关的新定义问题 解:由条件得-(y)2=1,整理得-=1, 所以E2的方程为-=1. 类型二　与圆锥曲线有关的新定义问题 (2)射线l的方程y=x(x≥0),如果椭圆E1:+y2=1经“伸缩变换”后得到椭圆E2,若射线l与椭圆E1,E2分别交于A,B两点,且|AB|=,求椭圆E2的方程; 类型二　与圆锥曲线有关的新定义问题 解:因为E1,E2关于原点“伸缩变换”, 对E1作变换(x,y)→(λx,λy)(λ>0),得E2:+λ2y2=1. 联立解得点A的坐标为(,). 联立解得点B的坐标为(,). 所以|AB|==,所以-=-=, 所以λ=2或λ=, 因此椭圆E2的方程为x2+4y2=1或+=1. 类型二　与圆锥曲线有关的新定义问题 (3)对抛物线E1:x2=2p1y,作变换(x,y)→(λ1x,λ1y),得抛物线E2:x2=2p2y;对E2作变换(x,y)→(λ2x,λ2y),得抛物线E3:x2=2p3y;如此进行下去,对抛物线En:x2=2pny作变换(x,y)→(λnx,λny),得抛物线En+1:x2=2pn+1y,….若p1=1,λn=2n,求数列{pn}的通项公式. 类型二　与圆锥曲线有关的新定义问题 解:对En:x2=2pny作变换(x,y)→(λnx,λny), 得抛物线En+1:(λnx)2=2pnλny,即x2=y. 又因为x2=2pn+1y,所以pn+1=,即=()n. 当n≥2时,···…···=()1+2+3+…+(n-1),得pn=(, p1=1适用上式,所以数列{pn}的通项公式为pn=(. 感谢您的观看 $