专题4 培优突破4 概率统计与其他知识的交汇-【优化探究】2026年高考数学二轮专题复习配套课件（提升版）

该高中数学高考复习课件聚焦概率统计与函数、数列交汇核心考点，依据高考评价体系梳理了随机变量分布、递推概率模型等考查维度，通过真题与模拟题分析明确交汇题型占比，归纳期望计算、分布列构建等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题解析+专题突破+素养培养”策略，如以2023新课标Ⅰ卷投篮问题为例，用数列递推求概率培养数学思维，结合导数分析函数极值提升运算能力，帮助学生掌握跨知识整合技巧，教师可据此精准教学，助力高效冲刺。

培优突破4　概率统计与其他知识的交汇 第一部分　专题突破 专题四　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考分析 概率统计与数列、函数的结合是高考命题的热点,综合考查知识间的联系;要从已知数表、题干信息中经过阅读分析判断获取关键信息,搞清各数据、各事件间的关系,建立相应的函数、数列模型求解. 考点一　概率统计与函数交汇 内容索引 考点二　概率统计与数列交汇 培优　题组集训 3 考点一　概率统计与函数交汇 考点一　概率统计与函数交汇 [例1]　(2025·广东揭阳模拟)一个质点在数轴上从原点开始运动,每次运动的结果可能是原地不动,也可能是向左或向右运动一个单位长度.记质点原地不动的概率为p,向右运动的概率为q,向左运动的概率为1-p-q,其中p∈[0,1),q∈(0,1). (1)若p=,q=,求质点运动3次后停在原点右侧的概率. 考点一　概率统计与函数交汇 [解]　质点运动3次后停在原点右侧的情况有4种,分别是3次向右;1次不动,2次向右;2次向右,1次向左;2次不动,1次向右.所以质点运动3次后停在原点右侧的概率P=()3+()2×+()2×(1--)+()2×=. 考点一　概率统计与函数交汇 (2)若p=0. ①规定质点只要运动到原点左侧就立即停止运动,求质点运动5次后停在原点右侧的概率; ②设计游戏规则如下:第一轮游戏,质点从原点开始运动,设置质点向右运动的概率q=x,若质点运动3次后停在原点右侧,则进入第二轮游戏,否则游戏结束;第二轮游戏,质点重新从原点开始运动,重新设置质点向右运动的概率q=a-x(0<a<2),运动3次后,若质点停在原点右侧,则以质点停留位置对应数轴上的数值作为两轮游戏的最终得分,若质点停在原点左侧或原点处,则两轮游戏的最终得分为0分(规定游戏第一轮结束的得分也是0分).记两轮游戏最终得分的期望E(X)=f(x),若f(x)存在极大值点,求a的取值范围. 考点一　概率统计与函数交汇 [解]　①质点运动5次后停在原点右侧的情况有4种, 分别是:5次向右;第1次向右,后4次有3次向右,1次向左;前2次向右,后3次有1次向右,2次向左;第1次向右,第2次向左,第3次向右,后2次有1次向右,1次向左. 所以运动5次后停在原点右侧的概率P1=q5+qq3(1-q)+q2q(1-q)2+q(1-q)qq(1-q) =q5+4q4(1-q)+3q3(1-q)2+2q3(1-q)2=q3(2q2-6q+5). 考点一　概率统计与函数交汇 ②第一轮游戏结束进入第二轮游戏的情况有2种,分别是3次向右;2次向右、1次向左.则其概率为x3+x2(1-x)=x2(3-2x). 设两轮游戏最终得分为随机变量X,则X的所有可能取值为0,1,3, 又P(X=1)=x2(3-2x)[(a-x)2(x+1-a)]=3x2(3-2x)(a-x)2(x+1-a), P(X=3)=x2(3-2x)(a-x)3, 所以E(X)=0P(X=0)+1P(X=1)+3P(X=3)=3x2(3-2x)(a-x)2(x+1-a)+3x2(3-2x)(a-x)3=3x2(3-2x)(a-x)2. 考点一　概率统计与函数交汇 因为0<q<1,所以 所以当0<a≤1时,0<x<a;当1<a<2时,a-1<x<1. 记f(x)=3x2(3-2x)(a-x)2,则f'(x)=-6x(x-a)[5x2-(6+3a)x+3a], 令g(x)=5x2-(6+3a)x+3a, 当0<a≤1时,0<x<a,因为g(0)=3a>0,g(a)=5a2-(6+3a)a+3a=a(2a-3)<0, g(2)=8-3a>0, 根据零点存在定理可得,存在x1∈(0,a)使得g(x1)=0,存在x2∈(a,2)使得g(x2)=0, 考点一　概率统计与函数交汇 所以当0<x<x1时,f'(x)>0,当x1<x<a时,f'(x)<0, 所以f(x)在(0,x1)上单调递增,在(x1,a)上单调递减, 所以x1是f(x)的极大值点,所以0<a≤1; 当1<a<2时,a-1<x<1, 因为g(0)=3a>0,g(1)=-1<0,g(2)=8-3a>0, 根据零点存在定理可得,存在x3∈(0,1)使得g(x3)=0,存在x4∈(1,2)使得g(x4)=0, 要使f(x)在(a-1,1)上存在极大值点, 考点一　概率统计与函数交汇 则g(a-1)=5(a-1)2-(6+3a)(a-1)+3a=2a2-10a+11>0, 解得a<或a>.因为1<a<2,所以1<a<. 综上所述0<a<. 考点一　概率统计与函数交汇 　概率与函数的综合问题,多以概率为载体,通过设置变量,利用随机变量的概率、均值与方差的计算公式构造函数.求解时要注意变量的选取,以及变量自身的隐含条件对变量范围的限制,然后借助二次函数的性质、函数的单调性或导数确定最优解. 方法总结 考点一　概率统计与函数交汇 1.(2023·新课标Ⅱ卷)某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异,经过大量调查,得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图: 对点训练 考点一　概率统计与函数交汇 利用该指标制定一个检测标准,需要确定临界值c,将该指标大于c的人判定为阳性,小于或等于c的人判定为阴性,此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率,记为p(c);误诊率是将未患病者判定为阳性的概率,记为q(c).假设数据在组内均匀分布.以事件发生的频率作为相应事件发生的概率. 考点一　概率统计与函数交汇 (1)当漏诊率p(c)=0.5%时,求临界值c和误诊率q(c); 考点一　概率统计与函数交汇 解:依题可知,图1第一个小矩形的面积为5×0.002>0.5%,所以95<c<100, 所以(c-95)×0.002=0.5%,解得c=97.5, q(c)=0.01×(100-97.5)+5×0.002=0.035=3.5%. 考点一　概率统计与函数交汇 (2)设函数f(c)=p(c)+q(c).当c∈[95,105]时,求f(c)的解析式,并求f(c)在区间[95,105]的最小值. 考点一　概率统计与函数交汇 解:当c∈[95,100]时, f(c)=p(c)+q(c)=(c-95)×0.002+(100-c)×0.01+5× 0.002 =-0.008c+0.82; 当c∈(100,105]时, f(c)=p(c)+q(c)=5×0.002+(c-100)×0.012+(105-c) ×0.002 =0.01c-0.98, 故f(c)= 由一次函数单调性知,函数f(c)在[95,100]上单调递减;f(c)在(100,105]上单调递增,故f(c)的最小值在c=100处取得,所以f(c)在区间[95,105]的最小值为0.02. 考点二　概率统计与数列交汇 考点二　概率统计与数列交汇 [例2]　(2023·新课标Ⅰ卷)甲、乙两人投篮,每次由其中一人投篮,规则如下:若命中则此人继续投篮,若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何,甲每次投篮的命中率均为0.6,乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选,第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5. (1)求第2次投篮的人是乙的概率; [解]　记“第i次投篮的人是甲”为事件Ai,“第i次投篮的人是乙”为事件Bi, 所以P(B2)=P(A1B2)+P(B1B2)=P(A1)P(B2|A1)+P(B1)P(B2|B1)=0.5×(1-0.6)+0.5×0.8=0.6. 考点二　概率统计与数列交汇 (2)求第i次投篮的人是甲的概率; [解]　设P(Ai)=pi,依题可知,P(Bi)=1-pi,则 P(Ai+1)=P(AiAi+1)+P(BiAi+1)=P(Ai)P(Ai+1|Ai)+P(Bi)P(Ai+1|Bi), 即pi+1=0.6pi+(1-0.8)×(1-pi)=0.4pi+0.2=Pi+, 设pi+1+λ=(pi+λ),解得λ=-,则pi+1-=(pi-), 又p1=,p1-=,所以,公比为的等比数列, 即pi-=×()i-1,pi=×()i-1+,i∈N*. 考点二　概率统计与数列交汇 (3)已知:若随机变量Xi服从两点分布,且P(Xi=1)=1-P(Xi=0)=qi,i=1,2,…,n,则E(Xi)=qi.记前n次(即从第1次到第n次投篮)中甲投篮的次数为Y,求E(Y). [解]　因为pi=×()i-1+,i∈N*, 所以E(Y)=p1+p2+…+pn=×+=[1-()n]+, 故E(Y)=[1-()n]+. 考点二　概率统计与数列交汇 　数列与概率结合的问题中,通过分析相邻事件的概率关系,建立数列递推公式,转化为等差、等比数列的问题求解. 方法总结 考点二　概率统计与数列交汇 2.(2025·山东菏泽模拟)在足球运动中,围圈传球是一个经典热身活动.A,B,C,D四个球员围成如图一个矩形,已知每个人传球给相邻球员的概率为,每个人传球给不相邻球员的概率为.例如:A传球给B,D的概率为,A传球给C的概率为.热身由A开始传球,记n次传球后,球在A,B,C,D脚下的概率分别为An,Bn,Cn,Dn. 对点训练 考点二　概率统计与数列交汇 (1)求出A2,B2; 解:由题意可知A2=×+×+×=,B2=×+×=. 考点二　概率统计与数列交汇 (2)证明:Bn=Dn,{Cn-An}是等比数列; 考点二　概率统计与数列交汇 证明:由题意可知An=Bn-1+Dn-1+Cn-1,Bn=An-1+Cn-1+Dn-1, Cn=Bn-1+Dn-1+An-1,Dn=An-1+Cn-1+Bn-1,n≥2, 因此Bn-Dn=-(Bn-1-Dn-1),注意到B1=D1=,所以Bn-Dn=0,即Bn=Dn. 又Cn-An=-(Cn-1-An-1), C1=,A1=0,C1-A1=, 所以{Cn-An}是首项为,公比为-的等比数列. 考点二　概率统计与数列交汇 (3)试求出Bn的通项公式. 考点二　概率统计与数列交汇 解:由(2)可知Cn-An=(-1)n-1()n, 且有An=Bn-1+Cn-1,Bn=An-1+Cn-1+Bn-1,n≥2, 联立后可得Cn+(-)n=Bn-1+Cn-1,Bn=Cn-1+Bn-1+×(-)n-1,n≥2, 消去Cn,有5Bn+1=2Bn+3Bn-1, 故有Bn+1-Bn=-(Bn-Bn-1),又B2-B1=-, 所以Bn-Bn-1=-(-)n-2,n≥2,即B3-B2=-(-)1,…,Bn-Bn-1=-(-)n-2, 则Bn-B1=-[1+(-)1+(-)2+…+(-)n-2]=-×=-[1-(-)n-1], 又B1=,所以Bn=+(-)n-1. 培优　题组集训 培优　题组集训 1.(2025·山东济南模拟)小王到某公司面试,一共要回答3道题,每道题答对得2分,答错倒扣1分,设他每道题答对的概率均为p(0<p<1),且每道题答对与否相互独立,记小王答完3道题的总得分为X,则当E(X)+D(X)取得最大值时,p=(　　) A.　　　　　　　　　 B. C. C 培优　题组集训 解析:设答对题的个数为Y,由已知可得Y~B(3,p),所以E(Y)=3p,D(Y)=3p(1-p),因为每道题答对得2分,答错倒扣1分,X为小王答完3道题的总得分,所以X=2Y-(3-Y)=3Y-3,所以E(X)=3E(Y)-3=9p-3, D(X)=9D(Y)=9×3p(1-p)=27p(1-p), 所以E(X)+D(X)=-27p2+36p-3=-27(p-)2+9,又0<p<1, 所以当p=时,E(X)+D(X)取最大值,最大值为9. 培优　题组集训 2.(2025·河南郑州模拟)张某经营A,B两家公司,张某随机到公司指导与管理,已知他第1个月去A公司的概率是.如果本月去A公司,那么下个月继续去A公司的概率为;如果本月去B公司,那么下个月去A公司的概率为,如此往复.设张某第n个月去A公司的概率为Pn,则P10=(　　) A.+×(-)9 B.+×(-)9 C.+×()10 D.+×(-)10 A 培优　题组集训 解析:设An表示第n个月去A公司,则Pn=P(An),P()=1-Pn, 根据题意,得P(An+1|An)=,P(An+1|)=, 由全概率公式,得 P(An+1)=P(An)P(An+1|An)+P()P(An+1|)=Pn+(1-Pn)=-Pn+, 即Pn+1=-Pn+,整理得Pn+1-=-(Pn-), 又P1-=-=≠0,所以为首项,-为公比的等比数列, 所以Pn=+×(-)n-1,则P10=+×(-)9. 培优　题组集训 3.某超市在春节期间举行抽奖活动,在箱子里装有n(n≥5)个写有“秋绥”的小球和5个写有“冬禧”的小球,这些小球除文字外完全相同.顾客从中一次性抽取两个小球,恰好抽出“秋绥”和“冬禧”视为中奖,其余情况均未中奖.设在连续3次抽奖中(每次抽完后将小球放回箱子再进行下一次抽奖)恰好中奖一次的概率为p,则当p取到最大值时n的值为(　　) A.15　　　 B.20 C.25　　　　 D.30 B 培优　题组集训 解析:依题意,单次抽奖中奖的概率pn==, 则连续3次抽奖中恰好中奖一次的概率p=pn(1-pn)2=3-6+3pn, 令f(x)=3x3-6x2+3x,x∈(0,1),求导得f'(x)=9x2-12x+3=3(3x-1)(x-1), 当0<x<时,f'(x)>0,当<x<1时,f'(x)<0, 函数f(x)在(0,)上单调递增,在(,1)上单调递减,当x=时,f(x)取得最大值, 因此当p取最大值时,pn==,而n≥5,解得n=20, 所以当p取到最大值时n的值为20. 培优　题组集训 4.(多选)(2025·安徽蚌埠模拟)已知随机变量X服从正态分布N(0,1),设函数f(x)=P(X≤x),则下列说法正确的是(　　) A.f(0)=1 B.f(x)是偶函数 C.f(x)的图象关于点(0,)中心对称 D.f(x)是增函数 CD 培优　题组集训 解析:因为X~N(0,1),故f(0)=P(X≤0)=,故A错误; 而f(2)=P(X≤2)>f(-2)=P(X≤-2),故f(x)不是偶函数,故B错误; 而f(x)=P(X≤x)=1-P(X>x)=1-P(X≤-x)=1-f(-x), 故f(x)+f(1-x)=1,故f(x)的图象关于点(0,)中心对称,故C正确; 设x1<x2,则P(X≤x1)<P(X≤x2),即f(x1)<f(x2),故f(x)是R上的增函数,故D正确. 培优　题组集训 5.(多选)(2025·安徽蚌埠模拟)某同学抛掷一枚质地均匀的骰子,规定:若掷出的数字不大于4,则加1分;若掷出的数字大于4,则加2分.每次投掷互不影响,记某同学一共得n分的概率为pn,则(　 　) A.p2= B.p3= C.3pn+2=2pn+1+pn(n∈N*) D.p2m>p2n+1>p2n-1(n,m∈N*) ACD 培优　题组集训 解析:掷出的数字不大于4的概率为,大于4的概率为,所以p2=()2+=,所以A正确; p3=()3+2××=,所以B错误; 因为pn+2=pn+1+pn,所以3pn+2=2pn+1+pn,所以C正确; 由3pn+2=2pn+1+pn,得3(pn+2-pn+1)=-(pn+1-pn), 所以pn+1-pn=(-)n-1(p2-p1),累加得pn-p1=[1-(-)n-1], 所以pn=+×(-)n,所以p2m>,p2n+1<,且p2n+1-p2n-1=×(-)×(-)2n-1>0,所以D正确. 培优　题组集训 6.(多选)(2025·浙江杭州模拟)如图,多面体PABCQ由正四面体P-ABC和正四面体Q-ABC拼接而成,一只蚂蚁从顶点P出发,沿着多面体的各条棱爬行,每次等概率地爬行到相邻顶点中的一个,记n次爬行后,该蚂蚁落在点P的概率为pn,落在点Q的概率为qn,则(　 　) A.p2= B.p3>q4 C.pn=qn D.p2n+1< ACD 培优　题组集训 解析:设n次爬行后,该蚂蚁落在点A或B或C的概率为rn, 则其中p1=0,r1=1,q1=0, 计算易得p2=,r2=,q2=,p3=,r3=,q3=,q4=,故A,C正确,B错误; 易得rn+2=rn+1+rn, 则rn+2+rn+1=rn+1+rn,所以为常数列,且rn+1+rn=1.① 同理rn+2-rn+1=-(rn+1-rn),且r2-r1=-,所以rn+1-rn=(-)n,② 由①②可知,rn=-(-)n,所以p2n+1=r2n=-·<,故D正确. 培优　题组集训 7.(2025·安徽安庆模拟)如图,一点从正方形的顶点A处出发在各顶点间移动,每次移动要么以的概率沿平行于BC方向(正、反方向均可)移动一步;要么以的概率沿平行于AB方向(正、反方向均可)移动一步.设移动2n(n∈N*)步后回到点A的概率为An,到达点C的概率为Cn,则 An-Cn=　　　　.  ()n 培优　题组集训 解析:依题意A1=()2+()2=,C1=2××=, 又An+1=[()2+()2]An+(2××)Cn=An+Cn, Cn+1=(2××)An+[()2+()2]Cn=An+Cn, 所以An+1-Cn+1=An+Cn-(An+Cn)=(An-Cn). 又A1-C1=-=,所以{An-Cn}是以为首项,为公比的等比数列,所以An-Cn=()n. 培优　题组集训 8.如图,在1×9的格子中,数字1,2,…,9从左到右为升序排列,现在用计算机随机生成一个整数a,若a为奇数,则将格子中数字1和9的位置互换,3和7的位置互换,其余位置不变;若a为偶数,则将格子中数字2和8的位置互换,4和6的位置互换.设电脑随机生成n(n∈N*)个数字后,1×9格子中的 数字恰好从左到右为降序排列的概率为Pn,则Pn=　　 　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 培优　题组集训 解析:由题可知,要使格子中的数字从左到右为降序排列,则生成的n个数字中,奇数与偶数的个数均为奇数,则n为偶数. 故当n为奇数时,Pn=0. 当n为偶数时,设n=2k(k∈N*),设电脑随机生成的n个数字中,恰有X个为奇数,则X的所有可能取值为1,3,5,…,2k-1. P(X=2t-1)=()2t-1·()n-(2t-1)=()n(t=1,2,…,k), 则Pn=P(X=2t-1)=()n·=()n·. 培优　题组集训 因为++==22k=2n,且==22k-1, 所以=22k-1=2n-1,则Pn=()n·=()n·2n-1=. 故Pn= 感谢您的观看 $