第10章 培优课11 概率统计与其他知识的交汇问题-【优化探究】2026高考数学一轮复习高考总复习配套课件（湘教版）

培优课11　 概率统计与其他知识的交汇问题 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 内容索引 培优　随堂演练 2 [例1]　(2023·新课标Ⅰ卷)甲、乙两人投篮,每次由其中一人投篮,规则如下:若命中则此人继续投篮,若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何,甲每次投篮的命中率均为0.6,乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选,第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5. (1)求第2次投篮的人是乙的概率. 考点一　概率统计与数列 [解]　第2次投篮的人是乙分为两种情况: 第1次投篮的人是甲且投篮未命中,其概率为0.5×(1-0.6)=0.2; 第1次投篮的人是乙且投篮命中,其概率为0.5×0.8=0.4, 所以第2次投篮的人是乙的概率为0.2+0.4=0.6. (2)求第i次投篮的人是甲的概率. [解]　设第i次投篮的人是甲为事件Ai, 则P(A1)=0.5,P()=P(Ai)×0.6+[1-P(Ai)]×(1-0.8)=P(Ai)+, 所以P()-=,所以是以为首项,为公比的等比数列, 所以P(Ai)-=×,所以P(Ai)=+×,i∈N+. (3)已知:若随机变量Xi服从两点分布,且P(Xi=1)=1-P(Xi=0)=qi,i=1,2,…,n,则E(Xi)=qi.记前n次(即从第1次到第n次投篮)中甲投篮的次数为Y,求E(Y). [解]　由(2)知,第i次投篮的人是甲的概率为P(Ai)=+×,i∈N+, 第i次投篮的人是甲记为Xi=1,否则记为Xi=0,则Xi服从两点分布,且P(Xi=1)=+×, 由题意知E(Y)=E(Xi)=qi=P(Xi=1)==-·. 方法总结 概率与数列问题的交汇,多以概率的求解为主线,建立关于概率的递推关系.解决此类问题的基本步骤为: (1)精准定性:即明确所求概率的“事件属性”,这是确定概率概型的依据,也是建立递推关系的准则. (2)准确建模:即通过概率的求解,建立递推关系,转化为数列模型问题. (3)解决模型:也就是递推数列的求解,多通过构造的方法转化为等差、等比数列的问题求解.求解过程应灵活运用数列的性质,准确应用相关公式. 跟踪训练 (2025·浙江宁波模拟)某中学篮球训练营有一项三人间的传球训练.训练规则是确定一人第一次将球传出,每次传球时,传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人,每次必须将球传出.若刚好抽到甲、乙、丙三个人相互做传球训练,且第1次由甲将球传出,记n次传球后球在甲手中的概率为pn,n=1,2,3,…. (1)写出p1,p2,p3的值; 解:传球一次,球一定不在甲手中,所以p1=0; 传球两次,球在甲手中时,有两种情况,甲→乙→甲,甲→丙→甲, 所以p2=×+×=; 传球三次,球在甲手中,说明传球两次时球不在甲手中,概率为,此时传给甲的概率为,所以p3=×=. (2)求pn+1与pn的关系式(n∈N+),并求pn. 解: 传球n+1次时球在甲手中,说明传球n次时球不在甲手中,概率为1-pn, 此时,传球给甲的概率为,所以有pn+1=(1-pn),所以pn+1=-pn+, 所以pn+1-=-,因为p1-=-, 所以数列是首项为-,公比为-的等比数列, 所以pn-=-×,即pn=-×, 故pn+1与pn的关系式为pn+1=-pn+,pn=-×. [例2]　(2025·安徽合肥模拟)某中学为了舒展学子身心,在一周内(周一到周五)举行了“舞动青春,梦想飞扬”的竞技活动,每天活动共计有两场,第一场获胜得3分,第二场获胜得2分,无论哪一场失败均得1分,某同学周一到周五每天都参加了两场的竞技活动,已知该同学第一场和第二场竞技获胜的概率分别为p(0<p<1),,且各场比赛互不影响. (1)若p=,记该同学一天中参加此竞技活动的得分为ξ,求ξ的分布列和数学期望; 考点二　概率统计与函数 [解]　(1)由题可知,ξ的可能取值为2,3,4,5. 因为p=,所以P(ξ=2)=×=,P(ξ=3)=×=,P(ξ=4)=×=,P(ξ=5)=×=, 故ξ的分布列为 ξ的数学期望E(ξ)=2×+3×+4×+5×=. ξ 2 3 4 5 P (2)设该同学在一周5天的竞技活动中,恰有3天每天得分不低于4分的概率为f(p),试求当p取何值时,f(p)取得最大值,并求出最大值. [解]　设一天得分不低于4分为事件A,则P(A)=p×+p×=p, 则f(p)=p3(1-p)2=10p3(1-p)2,0<p<1, 则f'(p)=30p2(1-p)2-20p3(1-p)=10p2(1-p)(3-5p), 当0<p<时,f'(p)>0;当<p<1时,f'(p)<0, 所以f(p)在上单调递增,在上单调递减,故当p=时,f(p)取得最大值. 方法总结 概率与函数的交汇问题,多以概率问题为解题主线,通过设置变量,利用随机变量的概率、均值与方差的计算公式构造函数.求解时可借助二次函数的性质、函数的单调性或导数确定最优解.解决此类问题应注意以下两点: (1)准确构造函数,利用公式搭建函数模型时,由于随机变量的均值、方差,随机事件概率的计算中涉及变量较多,式子较为复杂,所以准确运算化简是关键. (2)注意变量的范围,一是题中给出的范围,二是实际问题中变量自身范围的限制. 跟踪训练 (2025·福建泉州模拟)已知某精密制造企业根据长期检测结果,把生产的产品分为优等品与一等品.假如企业包装时要求把2件优等品和n(n≥2,且n∈N+)件一等品装在同一个箱子中,质检员从某箱子中摸出两件产品进行检验,若抽取到的两件产品等级相同则该箱产品记为A,否则该箱产品记为B. (1)试用含n的代数式表示某箱产品抽检被记为B的概率p; 解:从n+2件产品中任选两件,有种选法,其中等级不同有·=2n种选法, 故某箱产品抽检被记为B的概率为p===. (2)设抽检5箱产品恰有3箱被记为B的概率为f(p),求当n为何值时,f(p)取得最大值,并求出最大值. 解: 由题意,一箱产品抽检被记为B的概率为p,则5箱产品恰有3箱被记为B的概率为 f(p)=p3(1-p)2=10p3(1-2p+p2)=10(p3-2p4+p5), 由f'(p)=10(3p2-8p3+5p4)=10p2(3-8p+5p2)=10p2(p-1)(5p-3), 所以当p∈时,f'(p)>0,函数f(p)单调递增,当p∈时,f'(p)<0,函数f(p)单调递减, 所以当p=时,f(p)取得最大值,最大值为f=·×=. 此时由p==,n≥2,且n∈N+,可解得n=3, 所以n=3时,5箱产品恰有3箱被记为B的概率最大,最大值为. 培优　随堂演练 1.(2025·山东临沂模拟)强基计划主要选拔有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生.为选拔培养对象,某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学学科夏令营活动. (1)若数学组的7名学员中恰有4人来自A中学,从这7名学员中随机选取4人,ξ表示选取的人中来自A中学的人数,求ξ的分布列和数学期望; 解:ξ的所有可能取值是1,2,3,4. P(ξ=1)==,P(ξ=2)==, P(ξ=3)==,P(ξ=4)==, 所以ξ的分布列为 数学期望E(ξ)=1×+2×+3×+4×=. ξ 1 2 3 4 P (2)在夏令营开幕式的晚会上,物理组举行了一次学科知识竞答活动,规则如下:两人一组,每一轮竞答中,每人分别答两题,若小组答对题数不小于3,则取得本轮胜利.已知甲、乙两位同学组成一组,甲、乙答对每道题的概率分别为p1,p2.假设甲、乙两人每次答题相互独立,且互不影响.当p1+p2=时,求甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值. 解: 设甲、乙两位同学在每轮答题中取胜为事件A,则 P(A)=+2p1(1-p1)+2p2(1-p2) =p1p2[p1p2+2(1-p1)p2+2p1(1-p2)]=p1p2[2p1+2p2-3p1p2], 由p1+p2=,得P(A)=p1p2. 令x=p1p2=p1=-+,因为0≤p1≤1,0≤p2≤1,所以≤p1≤1, 所以x∈,设f(x)=x,则f(x)=-3x2+x=-3+, 因为<,所以当x=时,f(x)取得最大值, 所以,当p1=时,甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率取得最大值为. 2.(2025·山东菏泽模拟)菏泽牡丹栽培始于隋,兴于唐,盛于明清,自古享有“曹州牡丹甲天下”的美誉.四月,菏泽大地上牡丹次第绽放,观赏牡丹拥有9大色系、10大花型、1 280余个品种,以最亮眼的姿态恭迎八方游人.某旅行团带游客来菏泽观赏牡丹,游客可自由选择曹州牡丹园和中国牡丹园的一处游览,若每位游客选择曹州牡丹园的概率是,选择中国牡丹园的概率是,游客之间选择意愿相互独立. (1)从游客中随机选取3人,记3人中选择曹州牡丹区的人数为X,求X的分布列、均值与方差; 解:随机变量X的可能取值为0,1,2,3,且X~B,其中n=3,p=, 所以P(X=0)==,P(X=1)==, P(X=2)==,P(X=3)==, 所以随机变量X的分布列为 所以均值为E(X)=np=3×=, 方差为D(X)=np(1-p)=3××=. X 0 1 2 3 P (2)现对游客进行问卷调查,若选择曹州牡丹园记2分,选择中国牡丹园记1分,记已调查过的累计得分为n分的概率为Pn,求Pn. 解: 由题意可知,P1=,P2=+×=,P3=×+×, 所以当n≥3时,Pn=Pn-1+Pn-2, 则Pn+Pn-1=Pn-1+Pn-2, 所以为常数数列,且Pn+Pn-1=P2+P1=+×=1(n≥2), 所以Pn-=-(n≥2), 所以是以P1-=-为首项,公比为-的等比数列, 所以Pn-=-×,所以Pn=-×+, 当n=1时,P1=-×1+=成立, 故Pn=-×+. $$