专题4 第3讲 统计与成对数据的分析 基础课-【优化探究】2026年高考数学二轮专题复习配套课件（提升版）

该高中数学高考复习课件聚焦统计与成对数据的分析，覆盖统计图表与数字特征、回归分析、独立性检验三大核心考点，依据高考评价体系，通过近五年真题及模拟题分析，明确频率分布表解读、相关系数计算、χ²检验等高频题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“真题解析+方法总结+素养培养”，如以2024新课标Ⅱ卷亩产量统计题为例，解析中位数、极差计算，培养数学眼光；通过回归模型选择中相关系数判断，训练数学思维；独立性检验中χ²值与临界值比较，强化数学语言表达，助力学生掌握解题技巧，教师可精准教学，提升备考效率。

第三讲　统计与成对数据的分析 基础课 第一部分　专题突破 专题四　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考分析 高考通常以实际问题为背景，考查随机抽样与用样本估计总体、经验回归方程的求解与运用、独立性检验问题，常与概率综合考查，注重情境创新，中等难度． 考点一　统计图表、数字特征 内容索引 考点二　回归分析 考点三　独立性检验 3 考点一　统计图表、数字特征 考点一　统计图表、数字特征 1．(2024·新课标Ⅱ卷)某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量(单位：kg)并整理得下表： 亩产量 [900，950) [950，1 000) [1 000，1 050) 频数 6 12 18 亩产量 [1 050，1 100) [1 100，1 150) [1 150，1 200) 频数 30 24 10 考点一　统计图表、数字特征 根据表中数据，下列结论中正确的是(　　) A．100块稻田亩产量的中位数小于1 050 kg B．100块稻田中亩产量低于1 100 kg的稻田所占比例超过80% C．100块稻田亩产量的极差介于200 kg至300 kg之间 D．100块稻田亩产量的平均值介于900 kg至1 000 kg之间 C 考点一　统计图表、数字特征 考点一　统计图表、数字特征 2．(2021·全国甲卷)为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图： 考点一　统计图表、数字特征 根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是(　　) A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6% B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10% C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元 D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间 C 考点一　统计图表、数字特征 解析：因为频率直方图中的组距为1，所以各组的直方图的高度等于频率．样本频率直方图中的频率即可作为总体的相应比率的估计值． 该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户的比率估计值为0.02＋0.04＝0.06＝6%，故A正确； 该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为0.04＋0.02×3＝0.10＝10%，故B正确； 考点一　统计图表、数字特征 该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的农户比率估计值为0.10＋0.14＋0.20×2＝0.64＝64%>50%，故D正确； 该地农户家庭年收入的平均值的估计值为3×0.02＋4×0.04＋5×0.10＋6×0.14＋7×0.20＋8×0.20＋9×0.10＋10×0.10＋11×0.04＋12×0.02＋13×0.02＋14×0.02＝7.68(万元)，超过6.5万元，故C错误． 考点一　统计图表、数字特征 3．(多选)(2025·四川绵阳模拟)某家电公司生产了A，B两种不同型号的空调，公司统计了某地区2025年的前6个月这两种型号空调的销售情况，得到销售量的折线统计图如图所示，分析这6个月的销售数据，下列说法正确的是(　 　) A.A型号空调月销售量的极差比B型号空调 月销售量的极差大 B．A型号空调月平均销售量比B型号空调 月平均销售量大 C．A型号空调月销售量的上四分位数比B型号空调销售量的上四分位数大 D．A型号空调月销售量的方差比B型号空调月销售量的方差小 ABC 考点一　统计图表、数字特征 考点一　统计图表、数字特征 考点一　统计图表、数字特征 考点一　统计图表、数字特征 4．(多选)(2023·新课标Ⅰ卷)有一组样本数据x1，x2，…，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，则(　　) A．x2，x3，x4，x5的平均数等于x1，x2，…，x6的平均数 B．x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，…，x6的中位数 C．x2，x3，x4，x5的标准差不小于x1，x2，…，x6的标准差 D．x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，…，x6的极差 BD 考点一　统计图表、数字特征 考点一　统计图表、数字特征 考点一　统计图表、数字特征 　解题的关键是理解统计图表的含义，平均数、众数、中位数描述数据的集中趋势，方差与标准差描述数据的波动大小，标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定． [注意]　频率分布直方图中纵坐标不要误认为是频率． 方法总结 考点二　回归分析 考点二　回归分析 [例1]　(2025·山东济南模拟)某中学举办了幸福种植计划，一名同学记录了种子的发芽情况． 天数x 1 2 3 4 5 胚芽长度y (厘米) 0.8 1.1 1.5 2.4 4.2 考点二　回归分析 (1)根据以上数据，计算模型①中的y关于x的相关系数r(结果精确到0.01)，若0.95≤|r|≤1，则选择模型①，否则选择模型②，试问应该选择哪个模型？ 考点二　回归分析 考点二　回归分析 (2)根据(1)的结果，试建立y关于x的经验回归方程，并预测第6天种子的胚芽长度(结果精确到0.01). 考点二　回归分析 考点二　回归分析 考点二　回归分析 考点二　回归分析 考点二　回归分析 3．利用样本相关系数判断线性相关程度强弱时，看|r|的大小，而不是r的大小． 4．区分样本相关系数r与决定系数R2. 5．通过经验回归方程求出的都是估计值，而不是真实值． 方法总结 考点二　回归分析 对点训练 A．若企业9月份物流成本预计为85万元，预测9月企业利润约为117.7万元 B．1月到8月企业的月平均利润约为115万元 C．数据(80，106)对应的残差为－1.8 D．删除一组数据(80，106)后，重新求得的回归直线的斜率变小 AB 考点二　回归分析 考点二　回归分析 考点二　回归分析 考点二　回归分析 答案：ABD 考点二　回归分析 考点二　回归分析 考点三　独立性检验 考点三　独立性检验 [例2]　(2025·全国一卷)为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1 000人，得到如下列联表： 超声波检查结果 组别　　　　 正常 不正常 合计 患该疾病 20 180 200 未患该疾病 780 20 800 合计 800 200 1 000 考点三　独立性检验 (1)记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为p，求p的估计值； 考点三　独立性检验 P(χ2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 考点三　独立性检验 考点三　独立性检验 　χ2越大两分类变量无关的可能性越小，推断犯错误的概率越小． 方法总结 考点三　独立性检验 3．(多选)(2025·山东济南模拟)为了验证牛的毛色(黑色、红色)和角(有角、无角)这两对相对性状是否相关，某学院进行了一次数据统计，并根据形成的2×2列联表，计算得到χ2≈2.727，根据小概率值为α的独立性检验，则(　　) 附： 对点训练 α 0.100 0.050 0.010 xα 2.706 3.841 6.635 考点三　独立性检验 A.若α＝0.100，则认为“毛色”和“角”无关 B．若α＝0.100，则认为“毛色”和“角”有关，此推断犯错误的概率不超过10% C．若α＝0.010，则认为“毛色”和“角”无关 D．若α＝0.010，则认为“毛色”和“角”有关，此推断犯错误的概率不超过1% 答案：BC 考点三　独立性检验 解析：对于A，B，若α＝0.100，因为2.706<2.727 ，则认为“毛色”和“角”有关，此推断犯错误的概率不超过10%，故A错，B对；对于C，D，若α＝0.010，因为6.635>2.727，则认为“毛色”和“角”无关，故C对，D错． 考点三　独立性检验 4．(2025·江苏南通模拟)某校为研究“支持增加中学生体育锻炼时间的政策是否与性别有关”，从某校男女生中各随机抽取80名学生进行问卷调查，得到如下数据(10≤m≤20，m∈N*).若根据小概率值α＝0.05的独立性检验，认为“支持增加中学生体育锻炼时间的政策与性别有关”，则在这被调查的80名女生中支持增加中学生体育锻炼时间的人数的最小值为________．   支持 不支持 男生 70－m 10＋m 女生 50＋m 30－m 考点三　独立性检验 α 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 答案：66 考点三　独立性检验 感谢您的观看 解析：对于A，因为前3组的频率之和0.06＋0.12＋0.18＝0.36<0.5，前4组的频率之和0.36＋0.30＝0.66>0.5，所以100块稻田亩产量的中位数所在的区间为[1 050，1 100)，故A不正确；对于B，100块稻田中亩产量低于1 100 kg的稻田所占比例为×100%＝66%，故B不正确；对于C，因为1 200－900＝300，1 150－950＝200，所以100块稻田亩产量的极差介于200 kg至300 kg之间，故C正确；对于D，100块稻田亩产量的平均值约为×(925×6＋975×12＋1 025×18＋1 075×30＋1 125×24＋1 175×10)＝1 067(kg)，故D不正确． 解析：由题图可知，A型号空调月销售量的极差为50－25＝25， B型号空调月销售量的极差为45－22＝23，故A正确； A型号空调月平均销售量为×(25＋28＋27＋42＋38＋50)＝35， B型号空调月平均销售量为×(22＋25＋30＋ 37＋40＋45)≈33.2，故B正确； 将A型号空调月销售量数据从小到大排列为 25，27，28，38，42，50， 由6×75%＝4.5，则A型号空调月销售量的上四分位数为42， 将B型号空调月销售量数据从小到大排列为22，25，30，37，40，45， 由6×75%＝4.5，则B型号空调月销售量的上四分位数为40，故C正确； A型号空调月销售量的方差为 ×[(25－35)2＋(28－35)2＋(27－35)2 ＋(42－35)2＋(38－35)2＋(50－35)2]≈82.7， B型号空调月销售量的方差为 ×[(22－33.2)2＋(25－33.2)2＋(30－33.2)2＋(37－33.2)2＋(40－33.2)2＋(45－33.2)2]＝67.14，故D错误． 解析：对于A，设x2，x3，x4，x5的平均数为m，x1，x2，…，x6的平均数为n，则n－m＝－＝ ，因为不能确定2(x1＋x6)与x2＋x3＋x4＋x5的大小关系，所以无法判断m，n的大小，故A错误；对于B，不妨设x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6，可知x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，…，x6的中位数，均为，故B正确；对于C，因为x1是最小值，x6是最大 值，则x2，x3，x4，x5的波动性不大于x1，x2，…，x6的波动性，即x2，x3，x4，x5的标准差不大于x1，x2，…，x6的标准差，例如： 1，4，4，4，4，7，则平均数n＝×(1＋4×4＋7)＝4，标准差s1＝，4，4，4，4，则平均数m＝4，标准差s2＝0，显然>0，即s1>s2，故C错误；对于D，不妨设x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6，则x6－x1≥x5－x2，当且仅当x1＝x2，x5＝x6时，等号成立，故D正确． 通过对表中数据进行分析，分别提出了两个回归模型：①＝x＋；②＝x2＋， [解]　由题设得，＝＝3，所以(xi－)2＝(1－3)2＋(2－3)2＋…＋(5－3)2＝10， 所以r＝＝≈≈0.94，故应选模型②. 附：经验回归方程＝x＋中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝，＝－. 样本相关系数为r＝. 参考数据：(xi－)(yi－)＝8.1，(yi－)2＝7.5，≈8.660. 令ui＝x，(ui－)(yi－)＝52.1. [解]　令ui＝x，则求出线性回归方程＝u＋， 所以＝＝11， ＝＝2， 所以(ui－)2＝(1－11)2＋(4－11)2＋…＋(25－11)2＝374， 所以＝＝≈0.139， 又2＝0.139×11＋，则≈0.47，故＝0.14u＋0.47， 所以经验回归方程为＝0.14x2＋0.47，当x＝6时，有＝0.14×36＋0.47＝5.51(厘米)， 所以预测第6天种子的胚芽长度为5.51厘米． 　 1.样本点不一定在经验回归直线上，但点(，)一定在经验回归直线上． 2．求时，灵活选择公式，注意公式的推导和记忆． 1．(多选)(2025·山东泰安模拟)某企业为了研究物流成本和企业利润的数据关系，记录了1月到8月的物流成本x(单位：万元)和企业利润y(单位：万元)的数据(xi，yi)(i＝1，2，…，8)，已知其中一组数据为(80，106)且i＝672，根据最小二乘法公式求得经验回归方程为＝2.7x－111.8，则(　　) 解析：根据回归方程为＝2.7x－111.8可得，当x＝85时，＝2.7×85－111.8＝117.7， 预测9月企业利润约为117.7万元，故A正确； 由i＝672，可得1月到8月的物流成本x的平均值＝i＝×672＝84，设1月到8月企业的月平均利润为，且点(，)满足回归直线，所以＝2.7×84－111.8＝115，即1月到8月企业的月平均利润约为115万元，故B正确； 当x＝80时，＝2.7×80－111.8＝104.2，数据(80，106)对应的残差为106－104.2＝1.8，故C不正确； 删除该组数据(80，106)后，因为80小于样本中心点的横坐标84，且106大于通过回归方程计算出的80对应的预测值104.2，所以删除改点后，样本中心点向右上方移动，重新求得的回归直线的斜率变大，故D不正确． 2．(多选)(2025·广东广州模拟)一组成对样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥10，n∈N*)的散点位于一条直线附近，它的样本相关系数r＝(其中＝i，＝i)，由最小二乘法求得经验回归方程＝x＋(其中＝)，则(　　) A．若r>0，则>0 B．若zi＝yi－2(i＝1，2，…，n)，则成对数据(xi，zi)的样本相关系数r1等于r C．若zi＝2yi(i＝1，2，…，n)，则成对数据(xi，zi)的样本相关系数r2大于r D．若zi＝2yi(i＝1，2，…，n)，则成对数据(xi，zi)的经验回归方程＝2x＋2 解析：当r>0时，变量正相关，所以>0，故A正确； 因为zi＝yi－2(i＝1，2，…，n)，所以成对数据(xi，zi)对应点相当于把成对数据(xi，yi)对应的点向下平移2个单位，不改变变量的相关性，故B正确； 因为zi＝2yi(i＝1，2，…，n)，所以成对数据(xi，zi)对应点相当于把成对数据(xi，yi)对应的点横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，故变量间的相关性不变，故C错误； 当zi＝2yi(i＝1，2，…，n)，由＝可知，新的回归直线方程中′＝2，′＝2－2＝2(－)＝2，则成对数据(xi，zi)的经验回归方程＝2x＋2，故D正确． [解]　根据表格可知，检查结果不正常的200人中有180人患病，所以p的估计值为＝0.9. (2)根据小概率值α＝0.001的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关． 附：χ2＝. [解]　零假设为H0：超声波检查结果与患该疾病无关， 根据表中数据可得，χ2＝＝765.625>10.828， 根据小概率值α＝0.001的独立性检验，推断H0不成立，即认为超声波检查结果与患该疾病有关． 附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. 解析：零假设为H0：支持增加中学生体育锻炼时间的政策与性别无关．因为根据小概率值α＝0.05的独立性检验，推断H0不成立， 所以χ2＝≥3.841＝x0.05，即(m－10)2≥28.807 5.因为函数y＝(m－10)2在10≤m≤20时单调递增，且m∈N*，则(15－10)2<28.807 5，(16－10)2>28.807 5，所以m的最小值为16，所以在这被调查的80名女生中支持增加中学生体育锻炼时间的人数的最小值为50＋16＝66. $