专题4 第2讲 随机变量及其分布 基础课-【优化探究】2026年高考数学二轮专题复习配套课件（提升版）

该高中数学高考复习课件聚焦“随机变量及其分布”专题，依据高考评价体系覆盖离散型随机变量分布列、二项分布与超几何分布、正态分布三大核心考点，分析中等难度的选择、填空、解答题考查要求，通过真题统计明确超几何分布、二项分布等高频考点权重，归纳分布列计算、均值方差等常考题型。 课件亮点在于“真题解析+方法总结+素养提升”策略，如结合2022浙江卷最小值问题解析离散型随机变量分布列与期望计算，运用数学思维梳理二项分布与超几何分布区别，通过正态分布结论培养数学语言表达能力。特设易错点警示和答题模板，助力学生掌握概率计算技巧，教师可依托此课件实现系统复习与高效备考。

第二讲　随机变量及其分布 基础课 第一部分　专题突破 专题四　计数原理、概率、随机变量及其分布 高考分析 离散型随机变量的分布列、均值、方差和概率的计算问题常常结合在一起进行考查,重点考查超几何分布、二项分布及正态分布,选择题、填空题、解答题都有出现,中等难度. 考点一　离散型随机变量分布列 内容索引 考点二　二项分布与超几何分布 考点三　正态分布 3 考点一　离散型随机变量分布列 考点一　离散型随机变量分布列 1.(2025·湖北黄冈模拟)若随机变量ξ的分布列如下表,表中数列{an}为等差数列,则P(ξ=5)的值是(　　) A.　　　　　　　　 B. C. ξ 3 4 5 6 7 P a1 a2 a3 a4 a5 D 考点一　离散型随机变量分布列 解析:由分布列的性质可知,a1+a2+a3+a4+a5=1,再根据数列{an}为等差数列, 则5a3=1,即a3=,则P(ξ=5)=. 考点一　离散型随机变量分布列 2.(多选)(2025·河北沧州模拟)已知随机变量X的分布列为 则下列结论正确的是(　 　) A.m= B.E(X)= C.E(2X-1)= D.D(X)= X 0 1 2 P m ACD 考点一　离散型随机变量分布列 解析:由+m+=1,得m=,A正确; E(X)=0×+1×+2×=,E(2X-1)=2E(X)-1=,B不正确,C正确; D(X)=×(0-)2+×(1-)2+×(2-)2=,D正确. 考点一　离散型随机变量分布列 3.(2022·浙江卷)现有7张卡片,分别写上数字1,2,2,3,4,5,6.从这7张卡片中随机抽取3张,记所抽取卡片上数字的最小值为ξ,则 P(ξ=2)=　　　　,E(ξ)=　　　　.  考点一　离散型随机变量分布列 解析:从写有数字1,2,2,3,4,5,6的7张卡片中任取3张共有种取法,其中所抽取的卡片上的数字的最小值为2的取法有+种,所以P(ξ=2)==, 由已知可得ξ的取值有1,2,3,4, P(ξ=1)==,P(ξ=2)=,P(ξ=3)==,P(ξ=4)==, 所以E(ξ)=1×+2×+3×+4×=. 考点一　离散型随机变量分布列 4.(2025·全国一卷)有5个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,从中有放回地随机取3次,每次取1个球.记X为这5个球中至少被取出1次的球的个数, 则X的数学期望E(X)=　　　　.  解析:P(X=1)=·=;P(X=3)=·×6=;P(X=2)=1-P(X=1)-P(X=3)=. 所以 E(X)=1×+2×+3×=. 考点一　离散型随机变量分布列 　解决离散型随机变量分布列问题的两个关键点 1.正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件,然后综合应用各类概率公式求概率. 2.正确求出随机变量的分布列,若随机变量服从特殊分布,则可直接使用公式求解. 方法总结 考点二　二项分布与超几何分布 考点二　二项分布与超几何分布 [例1]　(2025·江西南昌模拟)某校组织古诗词知识比赛,比赛分为两阶段,第一阶段为基础知识问答,每位选手都需要回答3个问题,答对其中至少2个问题,进入第二阶段,否则被淘汰;第二阶段分高分组和低分组,第一阶段3个问题都答对的选手进入高分组,共回答4个问题,每答对一个得20分,答错不得分;第一阶段答对2个问题的选手进入低分组,共回答4个问题,每答对一个得10分,答错不得分.第一阶段,每个问题选手甲答对的概率都是;第二阶段,若选手甲进入高分组,每个问题答对的概率都是,若选手甲进入低分组,每个问题答对的概率都是. (1)求选手甲第一阶段不被淘汰的概率; 考点二　二项分布与超几何分布 [解]　选手甲第一阶段不被淘汰,即甲回答三个问题答对其中2个或3个,其概率为 p1=()2()+()3=. 考点二　二项分布与超几何分布 (2)求选手甲在该次比赛得分为40分的概率; [解]　选手甲在该次比赛得分为40分有两种情况:进入高分组,答对2个问题;进入低分组,答对4个问题.故概率为p2=()2()()4+()3()2()2=. 考点二　二项分布与超几何分布 (3)已知该次比赛选手甲进入了高分组,记选手甲在该次比赛中得分为X,求随机变量X的分布列和期望值. 考点二　二项分布与超几何分布 [解]　X的可能取值有0,20,40,60,80, P(X=0)=()4=, P(X=20)=()3()1==, P(X=40)=()2()2==, P(X=60)=()()3==, P(X=80)=()4=, 考点二　二项分布与超几何分布 所以分布列为 所以E(X)=20×4×=20. X 0 20 40 60 80 P 考点二　二项分布与超几何分布 　1.二项分布的关键是厘清事件与事件之间的关系,确定二项分布的试验次数n和变量的概率. 2.超几何分布的特点和应用条件 (1)超几何分布的两个特点:①超几何分布是不放回抽样问题;②随机变量表示抽到的某类个体的个数. (2)超几何分布的应用条件:①两类不同的对象(物品、人或事);②已知各类对象的个数;③从中抽取若干个个体. 方法总结 考点二　二项分布与超几何分布 1.(2025·上海模拟)某区为推进教育数字化转型,通过聚合区域学校的教育资源,搭建了区域智慧题库系统,形成了“A通识过关—B综合拓展—C创新提升”三层动态原库,且A,B,C三层题量之比为7∶3∶2,设该题库中任意1道题被选到的可能性都相同. (1)现有4人参加一项比赛,若每人分别独立地从该题库中随机选取一道题作答,求这4人中至少有2人的选题来自B层的概率; 对点训练 考点二　二项分布与超几何分布 解:因为A,B,C三层题量之比为7∶3∶2,所以在B层选题的概率为=,不在B层选题的概率为1-=,设至少2人的选题来自B层的概率为P,从B层选题数量为X1,由题意得X1~B(4,), 则至少2人的选题来自B层的概率为P(X1=2)+P(X1=3)+P(X1=4), 故P=()2()2+()3()+()4=++=. 考点二　二项分布与超几何分布 (2)现采用分层随机抽样的方法,使用智能组卷系统从该题库中选取12道题生成试卷,若某老师要从生成的这份12道题的试卷中随机选取3道题做进一步改编,记该老师选到A层题的题数为X,求X的分布与期望E(X). 考点二　二项分布与超几何分布 解:因为A,B,C三层题量之比为7∶3∶2, 所以在A层最多抽到7道,且X可取0,1,2,3, 则P(X=0)==,P(X=1)==, P(X=2)==,P(X=3)==, 其分布列为 所以期望E(X)=0×+1×+2×+3×=. X 0 1 2 3 P 考点三　正态分布 考点三　正态分布 [例2]　(1)(2021·新课标Ⅱ卷)某物理量的测量结果服从正态分布N(10,σ2),下列结论中不正确的是(　　) A.σ越小,该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大 B.σ越小,该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5 C.σ越小,该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等 D.σ越小,该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等 D 考点三　正态分布 [解析]　对于A,σ2为数据的方差,所以σ越小,数据在μ=10附近越集中,所以测量结果落在(9.9,10.1)内的概率越大,故A正确;对于B,由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5,故B正确;对于C,由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等,故C正确;对于D,因为该物理量一次测量结果落在(9.9,10.0)的概率与落在(10.2,10.3)的概率不同,所以一次测量结果落在(9.9,10.2)的概率与落在(10,10.3)的概率不同,故D错误. 考点三　正态分布 (2)(多选)(2024·新课标Ⅰ卷)随着“一带一路”国际合作的深入,某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入(单位:万元)情况,从该种植区抽取样本,得到推动出口后亩收入的样本均值=2.1,样本方差s2=0.01.已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(1.8,0.12),假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N(,s2),则(　　) (若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(Z<μ+σ)≈0.841 3) A.P(X>2)>0.2　　　　 B.P(X>2)<0.5 C.P(Y>2)>0.5 D.P(Y>2)<0.8 BC 考点三　正态分布 [解析]　依题可知,=2.1,s2=0.01,所以Y~N(2.1,0.12), 故P(Y>2)=P(Y>2.1-0.1)=P(Y<2.1+0.1)≈0.841 3>0.5,C正确,D错误; 因为X~N(1.8,0.12),所以P(X>2)=P(X>1.8+2×0.1), 因为P(X<1.8+0.1)≈0.841 3,所以P(X>1.8+0.1)≈1-0.841 3=0.158 7<0.2, 而P(X>2)=P(X>1.8+2×0.1)<P(X>1.8+0.1)<0.2,B正确,A错误. 考点三　正态分布 　正态分布需注意以下结论的灵活运用 1.对任意的a,有P(X<μ-a)=P(X>μ+a). 2.P(X<x0)=1-P(X≥x0). 3.P(a<X<b)=P(X<b)-P(X≤a). 方法总结 考点三　正态分布 2.(2025·浙江台州模拟)无人机飞行的最大距离是衡量无人机性能的一个重要指标.某款无人机飞行的最大距离X(千米)服从正态分布X~N(15,σ2),记P(X>15-σ)=a,P(15-σ<X<15+3σ)=b,当σ变小时,则(　　) A.a变大 B.b变小 C.a+b不变 D.a-b变小 对点训练 C 考点三　正态分布 解析:随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ<X<μ+σ)≈0.682 7, P(μ-2σ<X<μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ<X<μ+3σ)≈0.997 3, 当X~N(15,σ2)时, a=P(X>15-σ)=0.5+0.5×(15-σ<X<15+σ)=0.841 35, b=P(15-σ<X<15+3σ)=0.5×P(15-σ<X<15+σ)+0.5×P(15-3σ<X<15+3σ) =0.5×0.682 7+0.5×0.997 3=0.84,当σ变小时,a与b的值不变,则a+b,a-b都不变. 考点三　正态分布 3.(多选)(2025·湖南娄底模拟)化学课上,老师带同学进行酸碱平衡测量实验,由于物质的量浓度差异,测量酸碱度pH值时会造成一定的误差,甲小组进行的实验数据的误差X和乙小组进行的实验数据的误差Y均符合正态分布,其中X~N(0.3,0.000 1),Y~N(0.28,0.000 4),已知正态分布密度函数f(x)=,记X和Y所对应的正态分布密度函数分别为f1(x),f2(x),则(　　) A.f1(0.3)>f2(0.28) B.乙小组的实验数据的误差相对于甲小组更集中 C.P(X<0.28)+P(X≤0.32)=1 D.P(Y<0.31)<P(X<0.31) AC 考点三　正态分布 解析:甲小组的标准差σ1==0.01,乙小组的标准差σ2==0.02, 显然甲小组的标准差更小,故峰值更大,数据相对乙小组更集中,故A正确,B错误; P(X<0.28)=P(X<μ1-2σ1)=P(X>μ1+2σ1),P(X≤0.32)=P(X≤μ1+2σ1), P(X<0.28)+P(X≤0.32)=P(X>μ1+2σ1)+P(X≤μ1+2σ1)=1,故C正确; P(Y<0.31)=P(Y<μ2+σ2)>P(Y<μ2+σ2)=+P(μ2-σ2<Y<μ2+σ2), P(X<0.31)=P(X<μ1+σ1)=+P(μ1-σ1<X<μ1+σ1), 而对于任何正态分布都有P(μ1-σ1<X<μ1+σ1)=P(μ2-σ2<Y<μ2+σ2), 故P(Y<0.31)>P(X<0.31),故D错误. 感谢您的观看 $