专题4 第5讲 空间中的翻折与探索性问题 提升课-【优化探究】2026年高考数学二轮专题复习配套课件（基础版）

该高中数学高考复习课件聚焦立体几何“空间翻折与探索性问题”专题，依据高考评价体系明确线面关系证明、空间角与体积计算、点位置探索等考查要求，通过2025全国二卷等真题分析，梳理出翻折问题（占比约55%）和探索性问题（占比约45%）两大高频考点，归纳证明、计算、探索三类常考题型。 课件亮点在于“真题解析+方法建模+素养提升”，如翻折问题通过“变与不变量分析”（例1矩形翻折证线面平行）培养空间观念，探索性问题用“参数方程建系法”（例2动点M位置探索）发展推理能力。特设方法总结与答题模板，助力学生掌握二面角求解等技巧，教师可依托此课件实现考点精准突破，提升复习效率。

第五讲　空间中的翻折与探索性问题 提升课 第一部分　专题突破 专题四　立体几何 高考分析 1.翻折问题是将平面图形沿某条直线翻折成空间图形,涉及平面图形与空间图形的转化,主要考查空间中的线面关系、体积的求解以及空间角、距离的求解等.　 2.探索性问题是在立体几何的背景下,探索点的位置、线面关系是否存在或空间角存在的条件,计算量较大,一般以解答题的形式考查,难度中等偏上. 考点一　翻折问题 内容索引 考点二　空间中的探索性问题 3 考点一　翻折问题 考点一　翻折问题 [例1]　(2025·全国二卷)如图,在四边形ABCD中, AB∥CD,∠DAB=90°,F为CD的中点,点E在AB上, EF∥AD,AB=3AD,CD=2AD.将四边形EFDA沿EF翻折至四边形EFD'A',使得面EFD'A'与面EFCB所成的二面角为60°. (1)证明:A'B∥平面CD'F; 考点一　翻折问题 [证明]　如图,过点C作CG∥EF交EB于点G,连接A'G.因为EF∥AD,AB∥CD,∠DAB=90°,所以四边形ADFE为矩形,四边形EFCG为矩形,所以EF􀰿AD,EF􀰿CG,所以CG􀰿AD,所以CG􀰿A'D',所以四边形A'D'CG为平行四边形, 所以CD'∥A'G.又A'G⊂平面A'BE,CD'⊄平面A'BE,所以CD'∥平面A'BE. 因为CF∥EB,EB⊂平面A'BE,CF⊄平面A'BE,所以CF∥平面A'BE. 又CD',CF⊂平面CD'F,CD'∩CF=C,所以平面CD'F∥平面A'BE. 因为A'B⊂平面A'BE,所以A'B∥平面CD'F. 考点一　翻折问题 (2)求面BCD'与面EFD'A'所成的二面角的正弦值. 考点一　翻折问题 [解]　因为A'E⊥EF,BE⊥EF,所以由二面角的定义可知,∠A'EB即为平面EFD'A'与平面EFCB所成的二面角,所以∠A'EB=60°,同理∠D'FC=60°.又 D'F=DF=FC,所以△D'FC为等边三角形.过点A'作A'H⊥EB交EB于点H.因为EF⊥EB,EF⊥A'E,A'E∩EB=E,A'E,EB⊂平面A'EB,所以EF⊥平面A'EB.又A'H⊂平面A'EB,所以EF⊥A'H.又A'H⊥EB,EB∩EF=E,EB,EF⊂平面EFCB,所以A'H⊥平面EFCB.因此以F为坐标原点,直线FE、直线FC、过点F且平行于A'H的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系. 考点一　翻折问题 不妨设AD=1,则 F(0,0,0),E(1,0,0),B(1,2,0),C(0,1,0),D'(0,,), 所以 =(-1,-1,0),=(0,-,), =(1,0,0),=(0,,). 设平面BCD'的法向量为 m=(x1,y1,z1), 则 令x1=1,则m=(1,-1,-). 考点一　翻折问题 设平面EFD'A'的法向量为n=(x2,y2,z2), 则 令y2=1,则n=(0,1,-). 所以cos<m,n>===-, 所以 sin<m,n>=,即平面BCD'与平面EFD'A'所成二面角的正弦值为. 考点一　翻折问题 　1.解答翻折问题的关键是分清翻折前后图形的位置和数量关系的变与不变,一般地,位于“折痕”同侧的点、线、面之间的位置和数量关系不变,而位于“折痕”两侧的点、线、面之间的位置关系会发生变化. 2.对于不变的关系应在平面图形中处理,而对于变化的关系则要在立体图形中解决. 方法总结 考点一　翻折问题 1.(2024·新课标Ⅱ卷)如图,在平面四边形ABCD中, AB=8,CD=3,AD=5,∠ADC=90°,∠BAD=30°,点E,F满足=,=.将△AEF沿EF翻折至△PEF,使得PC=4. (1)证明:EF⊥PD; 对点训练 考点一　翻折问题 证明:由AB=8,AD=5,=,=,得AE=2,AF=4. 在△AEF中,∠EAF=30°,由余弦定理得 EF= ==2, 所以AE2+EF2=AF2,所以AE⊥EF,即EF⊥PE,EF⊥DE.又PE∩DE=E,PE,DE⊂平面PDE,所以EF⊥平面PDE. 又PD⊂平面PDE,所以EF⊥PD. 考点一　翻折问题 (2)求面PCD与面PBF所成的二面角的正弦值. 考点一　翻折问题 解:连接CE.由题可得,ED=3,CD=3.因为∠ADC=90°,所以CE2=ED2+CD2=36,所以EC=6,所以EC2+PE2=PC2,所以PE⊥EC.又PE⊥EF,EC∩EF=E,EC,EF⊂平面ABCD, 所以PE⊥平面ABCD.又ED⊂平面ABCD, 所以PE⊥ED,则PE,EF,ED两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系Exyz, 则E(0,0,0),P(0,0,2),D(0,3,0),C(3,3,0),F(2,0,0), A(0,-2,0),B(4,2,0), 考点一　翻折问题 所以=(3,3,-2),=(0,3,-2),=(4,2,-2),=(2,0,-2), 设平面PCD和平面PBF的法向量分别为n=(x1,y1,z1),m=(x2,y2,z2), 则 令y1=2,得x1=0,z1=3,所以n=(0,2,3), 考点一　翻折问题 令x2=,得y2=-1,z2=1, 所以m=(,-1,1).设平面PCD和平面PBF所成角为θ,所以cos θ=|cos<m,n>|===,则sin θ==, 即平面PCD和平面PBF所成角的正弦值为. 考点二　空间中的探索性问题 考点二　空间中的探索性问题 [例2]　(2025·陕西咸阳模拟)如图,在矩形纸片ABCD中,AB=4,BC=2,沿AC将△ADC折起,使点D到达点P的位置,点P在平面ABC的射影H落在边AB上. (1)求三棱锥P-BCH的体积. 考点二　空间中的探索性问题 [解]　作PE⊥AC,垂足为E,连接EH,如图1所示. 由点P在平面ABC的射影H落在边AB上,可得PH⊥平面ABC. 又AC⊂平面ABC,所以PH⊥AC.因为PH∩PE=P,且PH,PE⊂平面PHE,所以AC⊥平面PHE.又EH⊂平面PHE,所以AC⊥EH. 因为四边形ABCD为矩形,所以AB⊥BC,可得△ABC∽△AEH. 考点二　空间中的探索性问题 由AB=4,BC=2,可得AP=2,PC=4,AC=2, 所以PE==,AE==. 由△ABC∽△AEH,可得=,即AH===1,则BH=AB-AH=3. 在Rt△PAH中,PH==, 所以VP-BCH=×BC·BH·PH=××2×3×=. 考点二　空间中的探索性问题 (2)若M是PC上的一个动点,是否存在点M,使得平面AMB与平面PBC的夹角正切值为?若存在,求点M到平面ABC的距离;若不存在,请说明理由. 考点二　空间中的探索性问题 [解]　根据题意,以H为坐标原点,过点H且平行于BC的直线为y轴,分别以HB,PH所在直线为x,z轴建立空间直角坐标系,如图2所示. 则A(-1,0,0),P(0,0,),B(3,0,0),C(3,2,0). 设=λ,λ∈[0,1],可得=λ=λ(-3,-2,)=(-3λ,-2λ,λ), 所以M(3-3λ,2-2λ,λ). 易知=(4,0,0),=(3λ,2λ-2,-λ),=(3,0,-),=(0,2,0). 考点二　空间中的探索性问题 设平面AMB的法向量为m=(x1,y1,z1), 所以 解得x1=0,取y1=λ,则z1=2λ-2, 即m=(0,λ,2λ-2). 设平面PBC的法向量为n=(x2,y2,z2), 所以解得y2=0, 取x2=1,则z2=,即n=(1,0,). 考点二　空间中的探索性问题 因为平面AMB与平面PBC的夹角正切值为,所以平面AMB与平面PBC的夹角的余弦值为, 因此可得|cos<m,n>|===, 整理可得3λ2-8λ+4=0,解得λ=2(舍去)或λ=. 因此当=时,平面AMB与平面PBC的夹角的正切值为, 此时点M到平面ABC的距离为PH=. 考点二　空间中的探索性问题 　立体几何中探索性问题的求解策略 1.通常先假设问题中的数学对象存在或结论成立,再在这个前提下进行推理,如果能推出与条件吻合的数据或事实,说明假设成立,并可进一步证明,否则假设不成立. 2.可借助空间直角坐标系将动点用坐标(含参数)表示出来,然后根据已知条件建立关于参数的方程(组)解决探索性问题. 方法总结 考点二　空间中的探索性问题 对点训练 2.(2025·陕西西安模拟)如图,圆柱OO1的底面半径和母线长均为4,AB是底面直径,点C在圆O上且OC⊥AB,点E在母线BD上,BE=3,F是上底面上的一个动点.(若建系,请以OA,OC,OO1为坐标轴建系) (1)求平面ACE与平面AOC的夹角的余弦值; 考点二　空间中的探索性问题 解:由题意得OC⊥AB,OO1⊥AB,OO1⊥OC, 如图,以O为原点建立空间直角坐标系. 因为圆柱OO1的底面半径和母线长均为4,BE=3, 所以A(4,0,0),C(0,4,0),E(-4,0,3),则=(-4,4,0),=(-8,0,3), 设平面ACE的法向量为n=(x,y,z),得到令x=3,得y=3,z=8, 考点二　空间中的探索性问题 故平面ACE的一个法向量为n=(3,3,8),易知平面AOC的法向量为m=(0,0,1), 设平面ACE与平面AOC的夹角为θ,则cos θ=|cos<m,n>|===. 考点二　空间中的探索性问题 (2) 若点F只在上底面的圆周上运动,求当△AEF的面积取得最大值时,点F的位置.(可用坐标表示) 考点二　空间中的探索性问题 解:由已知得A(4,0,0),=(-8,0,3), 由模长公式得||=AE==, 由题意得圆O1的方程为x2+y2=16, 故设F(4cos β,4sin β,4), 设F到AE的距离为d,而S△AEF=×d×AE=d, 故当S△AEF最大时,只需要保证d最大即可,而=(4cos β-4,4sin β,4), 则=(4cos β-4)2+16sin2β+16=16cos2β-32cos 考点二　空间中的探索性问题 β+16+16sin2β+16=48-32cos β,·=-8(4cos β-4)+12=-32cos β+44, 故(·)2=(-32cos β+44)2=1 936-2 816cos β+1 024cos2β, 由点到直线的距离公式得 d= = = 考点二　空间中的探索性问题 =, 令t=cos β∈[-1,1],则g(t)=-1 024t2+480t+1 568,由二次函数性质得g(t)在[-1,]上单调递增,在(,1]上单调递减,则当t=时,g(t)取得最大值,则d最大,△AEF的面积最大,此时cos β=,由同角三角函数的基本关系得sin β=±, 故F(,±,4). 感谢您的观看 $