专题3 第1讲 等差数列与等比数列 基础课-【优化探究】2026年高考数学二轮专题复习配套课件（基础版）

第一讲　等差数列与等比数列 基础课 第一部分　专题突破 专题三　数列 高考分析 1.等差数列、等比数列的基本运算、性质是高考的热点,常以选择题、填空题的形式考查,主要考查解决与项、和有关的计算问题,多为基础题.　2.数列的通项公式及等差、等比数列的判断(证明)常以解答题的形式出现,考查用数列知识分析和解决问题的能力. 考点一　等差数列、等比数列的基本运算 内容索引 考点二　等差数列、等比数列的性质 考点三　等差数列、等比数列的判断与证明 3 考点一　等差数列、等比数列的基本运算 考点一　等差数列、等比数列的基本运算 [例1]　(1)(2025·全国二卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若S3=6,S5=-5,则S6=(　　) A.-20　　　　　　　　 B.-15 C.-10 D.-5 [解析]　设等差数列{an}的公差为d,则由题可得 ⇒ 所以S6=6a1+15d=6×5+15×(-3)=-15. B 考点一　等差数列、等比数列的基本运算 (2)(多选)(2025·全国二卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和,q为{an}的公比,q>0.若S3=7,a3=1,则(　　) A.q= B.a5= C.S5=8 D.an+Sn=8 AD 考点一　等差数列、等比数列的基本运算 [解析]　对于A,由题意得 结合q>0,解得(舍去),故A正确; 对于B,a5=a1q4=4×()4=,故B错误; 对于C,S5===,故C错误; 对于D,an=4×()n-1=23-n,Sn==8-23-n, 则an+Sn=23-n+8-23-n=8,故D正确. 考点一　等差数列、等比数列的基本运算 　等差数列、等比数列问题的求解策略 1.抓住基本量,首项a1、公差d或公比q. 2.熟悉一些结构特征,如前n项和为Sn=an2+bn(a,b是常数)的形式的数列为等差数列,通项公式为an=p·(p,q≠0)的形式的数列为等比数列. 3.由于等比数列的通项公式、前n项和公式中的变量n在指数位置,所以常用两式相除(即比值的方式)进行相关计算. 方法总结 考点一　等差数列、等比数列的基本运算 1.(2025·北京卷)已知{an}是公差不为0的等差数列,a1=-2,若a3,a4,a6成等比数列,则a10=(　　) A.-20　　　　　　　 B.-18 C.16 D.18 解析:设等差数列{an}的公差为d(d≠0), 因为a3,a4,a6成等比数列,且a1=-2, 所以=a3a6,即(-2+3d)2=(-2+2d)(-2+5d),解得d=2或d=0(舍去), 所以a10=a1+9d=-2+9×2=16. 对点训练 C 考点一　等差数列、等比数列的基本运算 2.(2025·天津卷)已知数列{an}的前n项和Sn=-n2+8n,则{|an|}的前12项和为(　　) A.48 B.112 C.80 D.144 C 考点一　等差数列、等比数列的基本运算 解析:因为Sn=-n2+8n, 所以当n=1时,a1=S1=-12+8×1=7, 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(-n2+8n)-[-(n-1)2+8(n-1)]=-2n+9, 经检验,a1=7满足上式, 所以an=-2n+9(n∈N*),令an=-2n+9≥0⇒n≤4,an=-2n+9≤0⇒n≥5, 设数列{|an|}的前n项和为Tn, 则数列{|an|}的前4项和为T4=S4=-42+8×4=16, 数列{|an|}的前12项和为 T12=|a1|+|a2|+…+|a12|=a1+a2+a3+a4-a5-a6-…-a12 =2S4-S12=2×16-(-122+8×12)=80. 考点二　等差数列、等比数列的性质 考点二　等差数列、等比数列的性质 [例2]　(1)(多选)(2025·河南南阳模拟)已知等比数列{an}不是递增数列,其前n项和为Sn,且S4+a4,S6+a6,S5+a5成等差数列,a2=-,则(　　 ) A.a4=4a6 B.an=(-1)n-1· C.数列{Sn-}的最大项为 D.数列{Sn-}的最小项为 ACD 考点二　等差数列、等比数列的性质 [解析]　设等比数列{an}的公比为q. 对于A,由题意得2(S6+a6)=S4+a4+S5+a5, 则a4=2S6+2a6-S4-S5-a5=2a6+2(S6-S5)=4a6,故A正确. 对于B,由A可知,q2==,∴q=±, 当q=时,an=a2qn-2=(-)×()n-2=, 此时an+1-an=-=>0,可知数列{an}为递增数列,故舍去, ∴q=-,∴an=(-)×(-)n-2=,故B错误. 考点二　等差数列、等比数列的性质 对于C,由A,B可知,a1==3,∴Sn===2[1-(-)n], 当n为奇数时,Sn=2[1+()n],而指数函数y=()x在R上单调递减, ∴Sn=2[1+()n]≤S1=3; 当n为偶数时,Sn=2[1-()n],而指数函数y=()x在R上单调递减, ∴Sn=2[1-()n]≥S2=,故得Sn∈[,3], 又∵函数y=x-在(0,+∞)上单调递增, ∴≤Sn-≤, 当n=1时,Sn-=为最大项,故C正确. 对于D,当n=2时,Sn-=为最小项,故D正确. 考点二　等差数列、等比数列的性质 (2)(2025·全国一卷)若一个等比数列的各项均为正数,且前4项的和等于4,前8项的和等于68,则这个数列的公比等于　　　　.  2 考点二　等差数列、等比数列的性质 [解析]　法一:设该等比数列为{an},Sn是其前n项和,则S4=4,S8=68, 设{an}的公比为q, 当q=1时,S4=4a1=4,即a1=1,则S8=8a1=8≠68,显然不成立,舍去; 当q≠1时,则S4==4,S8==68, 两式相除得=,即=17, 则1+q4=17,解得q=2或-2(舍去), 所以该等比数列公比为2. 考点二　等差数列、等比数列的性质 法二:设该等比数列为{an},Sn是其前n项和,则S4=4,S8=68, 设{an}的公比为q, 所以S4=a1+a2+a3+a4=4, S8=a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8 =a1+a2+a3+a4+a1q4+a2q4+a3q4+a4q4 =(a1+a2+a3+a4)(1+q4)=68, 所以4(1+q4)=68,则1+q4=17,解得q=2或-2(舍去), 所以该等比数列公比为2. 考点二　等差数列、等比数列的性质 法三:设该等比数列为{an},Sn是其前n项和,则S4=4,S8=68, 设{an}的公比为q. 因为S8-S4=a5+a6+a7+a8=(a1+a2+a3+a4)·q4=68-4=64, 又S4=a1+a2+a3+a4=4, 所以=q4==16,解得q=2或-2(舍去), 所以该等比数列公比为2. 考点二　等差数列、等比数列的性质 　等差数列、等比数列性质问题的求解策略 1.抓关系,抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系,从这些特点入手,选择恰当的性质进行求解. 2.用性质,数列是一种特殊的函数,具有函数的一些性质,如单调性、周期性等,可利用函数的性质解题. 方法总结 考点二　等差数列、等比数列的性质 对点训练 3.(2025·福建泉州模拟)已知{an}为等比数列,a2a7=-3,a2a5=a1a3a6,则a6=(　　) A.-3 B.3 C.-9 D.9 解析:由题设a3a6=a2a7=-3,又a2a5=a1a3a6,则a1a6=a2a5=a1(a3a6)=-3a1,而a1≠0,故a6=-3. A 考点二　等差数列、等比数列的性质 4.(2025·湖南岳阳模拟)已知Sn为正项等比数列{an}的前n项和,a3a5a7=a4a8,S3=7,则a1=(　　) A.2 B.3 C.4 D.6 C 考点二　等差数列、等比数列的性质 解析:由题意,设正项等比数列{an}的公比为q,其中q>0, 由等比数列的性质可知a5a7=a4a8,由题干可得a3=1,即a1q2=1⇒a1=, 若q=1,则S3=3a1=3,不合题意,故q≠1, 所以S3===a1(1+q+q2)=(1+q+q2)=++1=7, 解得=2或=-3(舍去),故a1==4. 考点三　等差数列、等比数列的判断与证明 考点三　等差数列、等比数列的判断与证明 [例3]　(2025·湖南长沙模拟)已知数列{an}满足a1=,an+1=,令bn=-1. (1)证明:数列{bn}为等比数列. 考点三　等差数列、等比数列的判断与证明 [证明]　法一:∵an+1=, ∴若an=1,则an+1=1;若an+1=1,则an=1.∵a1=,∴an≠1, ∴====, 又b1=-1=, ∴{bn}是首项为,公比为的等比数列. 考点三　等差数列、等比数列的判断与证明 法二:∵an+1=,a1=,∴an>0, ∴-1=-1=(-1), 即bn+1=bn,又b1=-1=,∴{bn}是首项为,公比为的等比数列. 考点三　等差数列、等比数列的判断与证明 (2)在bn与bn+1之间插入n个数,使这n+2个数组成一个公差为dn的等差数列.在数列{dn}中是否存在3项dm,dk,dp(其中m,k,p成等差数列)成等比数列?若存在,求出这样的3项;若不存在,请说明理由. 考点三　等差数列、等比数列的判断与证明 [解]　不存在,理由如下:由(1)知bn=×()n-1=()n, 由题意知bn+1=bn+(n+2-1)dn,即dn==, 假设存在3项dm,dk,dp成等比数列,则=dmdp, ∴[]2=·. ∵m+p=2k,∴化简可得k2=mp, ∴k=m=p,这与已知条件m,k,p互不相等矛盾, ∴不存在3项dm,dk,dp(其中m,k,p成等差数列)成等比数列. 考点三　等差数列、等比数列的判断与证明 方法总结 　1.=an-1an+1(n≥2,n∈N*)是{an}为等比数列的必要不充分条件,也就是判断一个数列是等比数列时,要注意各项不为0. 2.{an}为等比数列,可推出a1,a2,a3成等比数列,但a1,a2,a3成等比数列并不能说明{an}为等比数列. 3.证明{an}不是等比数列可用特殊值法. 考点三　等差数列、等比数列的判断与证明 对点训练 5.(多选)(2025·辽宁沈阳模拟)已知数列{an}满足an+1+an=f(n),则下列说法中正确的是(　　 ) A.若a1=2,f(n)=2n,则{an}是等差数列 B.若a1=1,f(n)=2n+1,则{an}是等差数列 C.若a1=2,f(n)=4,则{an}是等比数列 D.若a1=1,f(n)=3×2n-1,则{an}是等比数列 BCD 考点三　等差数列、等比数列的判断与证明 解析:对于A,当an+1+an=f(n)=2n时,若a1=2,则a2=0,a3=4,a4=2,a5=6,…, 所以数列{an}不是等差数列,故A错误. 对于B,当an+1+an=f(n)=2n+1时,an+1-n-1=-(an-n). 因为a1-1=0,所以an-n=0,即an=n.因为an+1-an=n+1-n=1, 所以数列{an}是等差数列,故B正确. 对于C,当an+1+an=f(n)=4时,an+1-2=-(an-2). 因为a1-2=0,所以an-2=0,即an=2,所以{an}是等比数列,故C正确. 对于D,当an+1+an=f(n)=3×2n-1时,an+1-2n=-(an-2n-1). 因为a1-20=0,所以an-2n-1=0,即an=2n-1. 因为==2, 所以{an}是等比数列,故D正确. 考点三　等差数列、等比数列的判断与证明 6.(2025·山东青岛模拟)记数列{an}的前n项和为Sn,已知an+Sn=2n+.证明:数列{an-2}是等比数列. 考点三　等差数列、等比数列的判断与证明 证明:因为an+Sn=2n+, 所以当n=1时,a1=; 当n≥2时,an-1+Sn-1=2(n-1)+, 所以an-an-1+an=2, 即an=1+an-1, 又a1-2=≠0, 所以==, 所以数列{an-2}是首项为,公比为的等比数列. 感谢您的观看 $